专项10 三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年八年级下册数学期末试卷精选（北师大版·新教材）河北专版

期末复习第2步·攻专项 专项10三角形的综合探究 根据新教材及河北省新中考考情编写 满分：30分得分： 编者按：本专项结合当地期末考情，聚焦于特殊三角形的性质和判定、图形的变换两大核心知 识，助力学生集中突破期末高频难点， 1.〔郑州市〕(10分)八年级某数学兴趣小组在学习过平行四边形之后，决定利用对称变换来 探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问题.以下是该小组讨论的一个片段， 请仔细阅读，完成下列各题. (1)猜想证明：如图1，在口ABCD中，AB>AD,将△ABD沿BD翻折至△A'BD,A'B交CD 于点O,连接A'C,猜想A'C与BD之间的位置关系及△BOD的形状，并说明理由； (2)应用探究：在(1)的条件下，如图2，若∠A=60°，AB=2,当△A'0D是直角三角形时，请 直接写出AD的长。 D 图 图2 期末复习第2步·攻专项 2.〔河北保定师范附属学校〕(10分)【操作发现】如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上 的一点，∠DCE=30°，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,连接AF,EF (1)∠EAF的度数为 (2)DE与EF之间的数量关系为 【类比探究】如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为AB边上的一点， ∠DCE=45°，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF,连接AF,EF. (1)∠EAF的度数为 (2)线段AE,ED,DB之间有什么数量关系？请说明理由. 河北专版数学八年级下册北师 31 【实际应用】如图3，在△ABC中，小明同学量得∠ACB=120°，AC=BC,他在边AB上取了 D,E两点，并量得∠BCD=15°，∠DCE=60°，这样CD,CE将△ABC分成三个小三角形，则 △BCD,△DCE,△ACE的面积之比为 图2 图3 3.设题新角度综合与实践了(10分)综合与实践： 问题情境：数学课上，老师让每个小组准备了一张如图1所示的等腰三角形纸片（即△ABC), 其中AB=AC=2√5，BC=4,AD是BC边上的中线.老师要求各个小组结合所学图形变 换的知识展开数学探究， 初步分析：(1)勤学小组发现图1中的AD与BC相等，请你证明这一结论 操作探究：(2)善思小组将△ABC纸片沿AD剪开，然后保持△ABD不动，将△ACD从图1 期末复习第 的位置开始移动. ①如图2，将△ACD绕，点C逆时针旋转90°得到△FCE,点E,F分别是D,A的对应点，连接 BE.猜想线段AB与BE之间的数量关系与位置关系，并说明理由 2步 ②如图3，将△ACD沿射线BC方向平移得到△GPH,点G,P,H分别是A,C,D的对应点， 连接AP,CG,交于点O.当以A,C,O为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出平移的 攻专项 距离. D 图1 图2 图3 32 河北专版数学八年级下册北师.四边形ABCD为平行四边形 (3分) (2)如图①，口ABCD即为所求 (5分) D B 图① (3)过点C作CF⊥AD于点F,如图②， M ID 图② ·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC,CD=AB..∠A+∠ADC= 180°，∠CED=∠BCE. '∠A+∠BCE=180°，∴.∠ADC=∠BCE. .∴.∠CED=∠ADC. .CE CD. (7分) .·CF⊥AD,AD=BC,AB=AE, .EF=DF=DE=AD-AE BC-AB =1. 2 2 2 在Rt△CFE中，CE=CD=AB=4,EF=1,则 CF=√CE2-EF2=√15 .四边形ABCD的面积为BC.CF=6√15.（10分) 5.解：(1)证明：AD∥BC,.∠A=∠CBE. 'LA=∠C,∴.∠C=∠CBE. AB∥CD. .四边形ABCD为平行四边形， (5分) (2)'∠ADB=90°，AD=6cm,BD=8cm, .AB=√AD2+BD2=√6+82=10(cm). 四边形ABCD是平行四边形， ..CD=AB 10 cm,AD BC=6 cm. (7分) 由题意可知，AP=4tcm,CQ=2tcm :点Q运动到点D时两点均停止运动， .2t≤10.解得t≤5. 分两种情况：①当点P在线段AB上时，0≤4t≤10， 即0≤t≤2.5. .'BP AB-AP=(10-4t)cm. 四边形PBCQ是平行四边形， ∴.BP=CQ. ∴.10-4t=2t. 廊得4多 (9分) ②当点P在线段AB的延长线上时，4t>10,即t> 2.5..2.5<t≤5. .'BP=AP-AB=(4t-10)cm. 9 河北专版数学 八 四边形BPCQ是平行四边形， ..BP=CQ. .4t-10=2t. 解得t=5. （11分) 综上所述，当：的值为}或5时，以P,B,C,Q为顶 点的四边形为平行四边形 (12分) 专项10三角形的综合探究 1.解：(1)A'C∥BD,△B0D为等腰三角形 (2分) 理由如下：根据折叠的性质，得∠ABD=∠A'BD,AB= A'B. 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD. .∠ABD=∠CDB,A'B=CD. .∴.∠A'BD=∠CDB.∴.OB=OD. .△BOD为等腰三角形. (5分) .A'B=CD. ..A'B-OB=CD-OD,OA'=OC. ∴.∠OA'C=∠OCA'. .·∠BOD=∠A'OC,∠BOD+∠A'BD+∠CDB =∠A'0C+∠0CA'+∠0A'C=180°， .∠CDB=∠OCA'..A'C∥BD. (7分) (2)AD的长为4-2W3或2√/3-2. (10分) 【解析】根据题意，分两种情况：①当∠A'D0=90° 时，如图①。 ∠0A'D=∠A=60°，.∠A'0D=30° CD∥AB,∠ABA'=∠A'OD=30° ∠ABD=号AB=15.过点D作DBL4D交A 于点E.∴∠AED=30° .∠BDE=∠AED-∠EBD=15 .DE=BE.设AD=x,则AE=2AD=2x. DE=√AE2-AD2=√3x..BE=√3x. .AE BE=AB=2,.'.2x+3x=2. 解得x=4-2√3..AD=4-23. A 0 4 E 图① 图② ②当LA'0D=90°时，如图②. CD∥AB,∠ABA'=∠A'OD=90° ABD-AB45. 过点D作DFLAB于点F. 年级下册北师 .DF=BF.设AD=x.∠A=60°， 210r=30MF=40= 2 2衣∴BF=3 DF=√AD2-AF2=3x 1 22. AF+BF-AB=2.3 獬得x=2√3-2.AD=2√3-2. 综上所述，AD的长为4-2√3或2W3-2. 2.解：【操作发现】(1)120° (1分) (2)DE=EF (2分) 【类比探究】(1)90 (3分) 【解析】：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°，∴.AC=BC,∠BAC=∠B=45°. 由旋转的性质，得CD=CF,∠DCF=90°， ∴.∠ACF=LBCD ∴.△ACF≌△BCD. ∴.∠CAF=∠B=45,AF=DB. ∴.LEAF=∠BAC+∠CAF=90°. (2)AE2+DB2=ED2. (4分) 理由：，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， .AC=BC,∠BAC=∠B=45 由旋转的性质，得CD=CF,∠DCF=90°. .∠ACF=∠BCD .△ACF≌△BCD..AF=DB. (6分) .∠DCF=90°，∠DCE=45°， .∠FCE=∠DCF-∠DCE=45° .·.∠DCE=∠FCE. CD=CF,CE=CE,∴.△DCE≌△FCE. ..ED EF. 在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2, .'.AE2+DB2=ED2. (8分) 【实际应用1：√3：2 (10分) 【解析】如图，将CD绕点C顺时针旋转120°得到 线段CF,连接AF,EF. C D AC=BC,∠ACB=120°， .∠BAC=∠B=30° 与【类比探究】同理，可得△ACF≌△BCD,△DCE≌ △FCE. .BD=AF,DE=EF,∠CAF=∠B=30°，∠AFC= ∠BDC=180°-∠B-∠BCD=135°，∠CFE= ∠CDE=∠B+∠BCD=45°. .∠AFE=∠AFC-∠CFE=90°，∠EAF=∠BAC+ 河北专版数学 八 LCAF=60°. .∠AEF=30°. ..AE 2AF. EF=√AE2-AF2=√3AF .DE=EF=√3AF SABCD SADCE SAACE BD DE AE=AF √3AF:2AF=1:√3：2. 3.解：(1)证明：AB=AC,AD是BC边上的中线， ∴.AD⊥BC,BC=2BD=2CD=4 ∠ADB=90°，BD=CD=2. AD=√AB2-BD2=J(2√5)2-22=4. ∴AD=BC. (3分) (2)①AB=BE,AB⊥BE. (4分) 理由：由旋转的性质，得CD=CE,∠DCE=90°. .BD=CD,·.BD=CE :∠ADB=90°，∠ADB=∠DCE. AD=BC,∴.△ADB≌△BCE .AB=BE,∠ABD=∠BEC :LCBE+∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠ABD=90°，即∠ABE=90° ∴AB⊥BE. (7分) ②当平移的距离是6或10时，以A,C,0为顶点的 三角形是等腰三角形 (10分) 【解析】连接AG.:AG∥CP,AG=CP,.四边形 ACPG是平行四边形..OA=OP,0C=OG.当以 A,C,0为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种 情况： I.当0A=0C时，则0A=0C=0P. ..LOAC=LOCA,LOCP=LOPC. .∠0AC+∠0CA+∠0CP+∠0PC=180°， ∴.∠0CA+∠OCP=90°，即LACP=90°. .∠ACD=90°，与题目条件矛盾，此情况不存在。 Ⅱ.当0A=AC=2W5时，如图① .0P=0A=2W5..AP=4√5. 在Rt△ADP中，由勾股定理，得DP=√AP2-AD2 =√(4√5)2-42=8. .CP=DP-CD=8-2=6,即平移的距离为6 A G B DC 图① 图② 年级下册北师 10 Ⅲ.当AC=0C=2√5时，过点C作CR⊥AG于点R, 如图②，则CR=AD=4,AR=CD=2 .0G=0C=2W5,.CG=4W5 .GR=√CG2-CR2=8, ∴.AG=AR+GR=2+8=10,即平移的距离为10 综上所述，当平移的距离是6或10时，以A,C,0为 顶点的三角形是等腰三角形 期末复习第3步·练真题 试卷1保定市竞秀区 一、选择题 1.D2.B3.A4.C5.A6.C 7.B【解析】由题图可知，BE平分∠ABC,CF平分 ∠BCD..∠ABE=∠EBC,∠BCF=∠DCF.四边形 ABCD是平行四边形，AB=3cm,∴.AD∥BC,AB= CD=3cm.∴.∠EBC=LAEB,∠DFC=LBCF. .∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF.∴.AB=AE=3cm, CD=DF =3 cm..'.EF AD AE -DF=4 cm. 选B. 8.C9.B10.D 11.A【解析】AB=CD,BC=AD,.四边形ABCD 是平行四边形 ∴.AD∥BC.由平移的性质，得EG∥AD,EG=AD. ∴.EG∥BC,EG=BC. :.以点B,E,G,C为顶点的四边形总是平行四边 形，即结论1正确 当BE最短时，BELAC.∠BEC=90°. .∠BEG=∠BEC+∠CEG>90°. 四边形BEGC是平行四边形，∴，LBCG=∠BEG .∠BCG>90°.∴.BC与CG不垂直，即结论2错误 故选A. 12.D【解析】：△ABC和△DEF是等边三角形， .∴∠A=∠DEF=∠ACB=60°，DE=EF,AB=AC. ,'∠DEF+∠MEF=∠A+∠ADE, ∴.∠ADE=∠MEF.A正确，不符合题意 :FM∥BC,∴，∠EMF=∠ACB=60°. ∴.∠A=∠EMF. .△AED≌△MFE.B正确，不符合题意. △AED≌△MFE,.EM=AD,MF=AE. .'AB=AC,∴.BD=AE+CM. BD=2AE,.CM=AE.C正确，不符合题意 MF=AE,∴.MF=CM. ∴.∠MCF=∠MFC..∠EMF=∠MCF+∠MFC=60°， ÷∠MCF=2EMF=30°.D错误，符合题意.故 1 选D. 河北专版数学 二、填空题 13.m>114.10 15.10【解析】过点A作AE∥CD交BC于点E. AD∥BC,.四边形AECD是平行四边形 ..AE CD,CE=AD =8..AB CD,BC =18, ∴.AE=AB,BE=BC-CE=10.∠B=60°， △ABE是等边三角形.·AB=BE=10. 16.5【解析】正六边形每个内角的度数为 (6-2)×180°=120°， 6 .中间正n边形的一个内角为360°-120°- 120°-12°=108°. .中间正n边形的一个外角为180°-108°=72°. .中间正n边形的边数n=360 25. 三、解答题 17.解：(1)T= a+2 a-1a-1 (a+1)(a-1)(a+1)(a-1)6 a+2-a+1a-1 (a+1)(a-1)6 3 a-1 (a+1)(a-1)6 1 2a+2 (3分) (2)7的值不能等于号 (4分) 理由：要使原分式有意义，则a的值不能等于±1. 当2124时，解得a=1 1 :7的值不能等于} (7分) 18.解：(1)6 (2分) (2)x<3x≤1 (4分) 5432102含4 (6分) x≤10和1 (8分) 19.解：(1)平移的方向为从点A到点D的方向，平移 的距离AD=√22+32=√13 (3分) (2)如图，△DEF即为所求 (5分) C A B (3)线段AB平移至DE时扫过的图形面积为4× 3=12. (8分) 、年级下册北师