精品解析：2026年山东省青岛市市南区二模数学试题

2025-2026学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 绝对值等于6的数是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的定义即可求出满足条件的数． 【详解】设绝对值等于6的数为x， 根据绝对值的定义可得：， ∵绝对值等于正数的数有两个，且两个数互为相反数， ∴． 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形；把一个图形绕着一点旋转，可以与原图形重合，这个图形就是中心对称图形；解决本题的关键是根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：杨辉三角是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：科克曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意； D选项：莱洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 3. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，1粒粟的重量大约为0.0000052千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 【答案】B 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义，把数表示为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可求解． 【详解】∵原数0.0000052是绝对值小于1的正数，将0.0000052的小数点向右移动6位可得，满足，n的绝对值等于小数点移动的位数，原数小于1时n为负， ∴， ∴0.0000052用科学记数法表示为千克． 4. 明式家具中用到许多榫卯结构，比如燕尾榫．如图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据立体图形的特征判断俯视图的轮廓线及虚实情况，即可解题． 【详解】解：∵该几何体是燕尾榫的带榫头部分，其上部榫头为燕尾形（上宽下窄），下部为长方体底座，且底座宽度大于榫头顶部宽度， ∴从上面看（俯视图），能看到底座的外轮廓（实线长方形）和榫头的顶面（实线长方形）， ∵榫头侧面倾斜，且顶部宽于根部 ∴榫头与底座连接的根部棱线被榫头顶部遮挡，不可见，应画为虚线 ∴俯视图应为 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、和不是同类项，则，故A错误； 选项B、，故B错误； 选项C、，故C错误； 选项D、，故D正确． 6. 如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点顺时针旋转得到，再将向右平移2个单位得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据图形确定点B的坐标，再根据旋转的性质求出点的坐标，最后根据平移的规律求出点的坐标． 【详解】由图可知，点B的坐标为， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ∴点B的对应点的坐标为， ∵将向右平移2个单位得到， ∴点的对应点的横坐标加2，纵坐标不变， ∴点的坐标为，即． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等求出，根据直径所对的圆周角是直角求出，进而求出，最后利用圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】如图，连接， ∵ 与对着同一条弧， ∴ ， ∵ 是的直径， ∴ ， ∴ ，  ∵四边形内接于， ∴，  ∴． 8. 如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】延长交的延长线于点M，证明，利用线段垂直平分线的性质得出，结合中点定义建立与的数量关系求解． 【详解】解：延长交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 9. 已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数t，；④．其中，正确结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的对称轴、与坐标轴交点、顶点性质等知识点，逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为，且，得， 把代入，得， 将代入得， ∵与y轴交点B在和之间， ∴，即，解得，故④正确； 判断①：当时，， ∵，且，得，开口向上，二次函数图象与x轴的两个交点之间的函数值小于0， ∴，故①正确； 判断②：当时，函数取得最小值，即顶点纵坐标为， 将，代入，得顶点纵坐标为， ∵， ∴，即， 两边同乘（，不等号方向不变），得，故②正确； 判断③：整理得， ∴的最小值为， 又∵， ∴当时，，不满足，故③错误， 综上所述，正确结论为①②④． 10. 如图，直线与轴、轴分别交于，两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，…如此运动下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意依次求出点的坐标，发现点与点重合，从而得出动点运动的循环周期为，再根据的余数确定点的位置即可求解. 【详解】解：对于直线， ∵当时，， ∴， 当时，， 解得，则， ∵点，且， ∴点的纵坐标为， 把代入得， 解得，  ，  ， ∴， ，  ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， 同理可得，， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ，此时点与点重合，  ∴动点的运动每次为一个循环， ，  ∴点与点重合，  ∴点的坐标为 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再化简二次根式，合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】原式 ． 12. 相声是一种民间说唱曲艺，它以说、学、逗、唱为形式．某相声社要招聘一名相声学徒，通过考察，甲乙两人的各项得分如下表，若将“说、学、逗、唱”四种功夫按照、、、的百分比确定最终得分，则_____将被录取．（填甲或乙） 说功 学功 逗功 唱功 甲 80 85 90 95 乙 90 80 95 85 【答案】 乙 【解析】 【分析】分别计算甲，乙两人的最终得分，比较得分大小，得分更高者被录取． 【详解】根据加权平均数的计算方法， 甲的最终得分（分）， 乙的最终得分（分）， ∵， ∴乙的得分更高，乙将被录取． 13. 两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据压强公式，水平桌面物体对桌面的压力等于物体重力，结合A、B对桌面的压强之比为的等量关系列方程即可． 【详解】解：设A铁块底面积为，则B铁块底面积为， 水平桌面上，铁块对桌面的压力等于铁块的重力， 根据压强公式可得：铁块A对桌面的压强为，铁块B对桌面的压强为， 由题意知，即， 代入压强表达式得：， 整理得：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是直线上在第一象限内的两个点，，B点坐标为．以线段为斜边作，轴，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点A、B在过原点的直线上且，利用坐标与线段比例的关系求出点A的坐标；根据轴及，确定点C的横纵坐标与点A、B的关系，从而求出点C的坐标；最后将点C坐标代入反比例函数解析式求出k的值． 【详解】解：∵点A、B在直线上，且O、A、B三点共线， ∴点A、B的横、纵坐标成比例， ∵，点B的坐标为， ∴点A的横坐标为，纵坐标为， ∴点A的坐标为， ∵ 轴， ∴点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，即， ∵ 是以为斜边的直角三角形 ， ∴， ∴ ， ∵ 轴， ∴轴，即轴， ∴点C的横坐标与点A的横坐标相同，即， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 15. 如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，利用四边形内角和求出的度数，通过解直角三角形求出的长，进而求出四边形的面积，最后利用阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，是圆的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，正方形的边长为，是上一点，，将沿折叠得到，交于，延长交于，以下结论：①；②；③；④点到的距离是．其中正确的是_____．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据折叠的性质可判定①，在正方形中，，可判定②，过点作于，作于，由折叠可知，，，，证明四边形为矩形，则设，，在和中根据勾股定理列方程求出，即可判定④，由④知，可求出，进而得到，证明，得到，可求出，根据，得到，即，即可求解． 【详解】解：①由折叠可得，，，， ，故①正确； ②在正方形中，， ，故②正确； ④四边形是正方形， ， 由折叠可知，，，， 过点作于，作于． ， 四边形为矩形， ，， 设，． 在中，，即， 整理得①， 在中，，即， 整理得②， 联立①②得， 则， 代入②中得， 解得或（舍去）， ， 即点到的距离是，故④正确； ③由④知， ， ， ，， ， ， ，即， ， ， ，即， ，故③错误； 故答案为：①②④． 三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 青岛浮山森林公园计划推进智慧园区改造，打造三角形生态监测区，为边上已布设的环境监测桩点位．现计划在监测区内部设置一处数据中转站，要求，且中转站到监测区两个入口B、C的距离相等，请作出符合要求的中转站． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点作，作的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 四、解答题（本大题满分68分，共有9道题） 18. 计算 （1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． （2）计算：． 【答案】（1），数轴见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上如图， 【小问2详解】 解： 19. 为加强海洋教育，某学校组织“海洋知识竞赛”活动，准备了四个与海洋文化相关的主题卡片，卡片除标记的主题外，其余均相同．四个主题分别为：A．海洋生态保护；B．海洋科技创新；C．海洋历史探索；D．海洋经济开发．将这四张卡片背面朝上洗匀后放置于桌面上，由小明先从四张卡片中随机抽取一张，然后小亮再从剩余的三张卡片中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮抽到的两张卡片中，有一张是“A．海洋生态保护”的概率． 【答案】列表见详解， 【解析】 【分析】列表展示所有12种等可能的结果数，找出小明与小亮抽到的两张卡片中，有一张是“A．海洋生态保护”的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：根据题意列表如下： 小亮 小明 A B C D A B C D 共有12种等可能的情况，其中小明和小亮抽到的两张卡片中，有一张是“A．海洋生态保护”的情况有6种， ∴概率为． 20. 为落实“五育并举”教育方针，青岛市某中学开展了“劳动最光荣”主题实践活动．为了解八年级学生参与家务劳动的情况，学校随机抽取了部分学生，调查他们“一周累计参与家务劳动的时间”（用表示，单位：小时），并将数据分为四组：A组：；B组：；C组：；D组：．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表： 学生一周累计参与家务劳动时间统计表 组别 频数（人） 频率 A组 8 0.16 B组 0.32 C组 20 D组 6 0.12 学生一周累计参与家务劳动时间扇形统计图 此外，C组的具体数据（单位：小时）如下：2.0，2.1，2.2，2.2，2.3，2.4，2.5，2.5，2.5，2.6，2.7，2.8，2.8，2.9，2.9． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_____，_____； （2）本次调查数据的中位数为_____小时；C组数据的众数是_____小时； （3）若该校八年级共有500名学生，请估计一周累计参与家务劳动时间不少于2小时的学生共有多少人？ 【答案】（1）16，0.4 （2）2.05，2.5 （3）260人 【解析】 【分析】（1）先由A组数据求解总人数，由此可求解m与n的值； （2）根据总人数确定中位数为第25个与第26个数据的平均数，结合各组人数确定即可；再由C组数据确定数据出现次数最多的为25，由此可求解； （3）先得到参与家务劳动时间不少于2小时的频率，再结合八年级学生人数求解即可 【小问1详解】 解：∵A组频数为8人，频率为0.16， ∴学生人数为人， ∴，； 【小问2详解】 解：∵学生人数为50人，故中位数为第25个与第26个数据的平均数， 又∵A组与B组共有人， ∴第25个与第26个数据在C组， 由C组数据可知，第25个为2.0，第26个数据为2.1， ∴中位数为； C组数据中2.5出现3次，故C组数据的众数是2.5小时； 【小问3详解】 解：∵一周累计参与家务劳动时间不少于2小时的频率为， 又∵该校八年级共有500名学生， ∴估计一周累计参与家务劳动时间不少于2小时的学生共有人． 21. 已知：中，，以上一点为圆心，为半径作，分别交，，于点，，，平分． （1）求证：为的切线； （2）若，，则的半径为_____． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，通过角平分线和等边对等角证明，再由平行线的性质证明即可； （2）过点作于点，先证明，设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴的半径为． 22. 团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，） （1）求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； （2）若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里 （2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 【解析】 【分析】（1）根据速度及时间求出海里，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出x的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出海里，即可求出海里，得出从B到达码头A所用时间为2.375小时，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，从B处到C处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从B到达码头A所用时间为（小时）， ∵到是3小时，而， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 23. 某海产品店计划购进A、B两种即食礼盒进行销售．按原定进价，购进1盒A种礼盒和2盒B种礼盒，则需要290元；购进2盒A种礼盒和3盒B种礼盒，则需要490元．该店销售1盒A种礼盒可获利20元，销售1盒B种礼盒可获利15元． （1）A、B两种即食礼盒每盒原定进价分别为多少元？ （2）若该店决定购进A、B两种礼盒共100盒，由于进价调整，A种礼盒实际进价比原定进价提高了，B种礼盒实际进价为原定进价的八折．若购进两种礼盒的总费用不超过8670元，该店通过调整售价保持A、B两种礼盒每盒各自的销售利润不变，请问该店如何进货可使购进的礼盒全部售出后，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A种礼盒每盒原定进价为110元，B种礼盒每盒原定进价为90元 （2）购进A种礼盒30盒，B种礼盒70盒时获得的利润最大，最大利润为1650元 【解析】 【分析】（1）根据两种购进方案的总价，设未知数后列二元一次方程组即可求解原定进价； （2）设购进A种礼盒的数量，根据总费用的限制条件列一元一次不等式，得到自变量的取值范围，再列出总利润的一次函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出最大利润和对应的进货方案． 【小问1详解】 解：设A种礼盒每盒原定进价为x元，B种礼盒每盒原定进价为y元， ∴， 解得：， ∴A种礼盒每盒原定进价为110元，B种礼盒每盒原定进价为90元． 【小问2详解】 解：设购进A种礼盒a盒，全部售出后获得总利润为W元，则购进B种礼盒盒， 根据题意得总利润：， A种礼盒实际进价为：（元），B种礼盒实际进价为（元）， 由总费用不超过8670元可得：， 解得：， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当a取最大值30时，W取得最大值， 将代入得，最大利润（元）， 此时（盒）， ∴购进A种礼盒30盒，B种礼盒70盒时获得的利润最大，最大利润为1650元． 24. 已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的形状是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形为正方形，得到，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 25. 数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．如图1，某水果种植户的温室大棚横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，点是抛物线的顶点，到的距离为．以点为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，则的长为_____米． （3）大棚水果成熟后，种植户将其批发销售．已知每千克水果种植成本为2.5元，且物价部门规定该水果批发单价不得超过6元/千克，每天固定运营成本为80元．若每天该水果批发单价（元/千克）与每天批发销量（千克）满足关系式，请问批发单价定为多少时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）； （2）9 （3）批发单价定为6元时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大，最大利润为480元 【解析】 【分析】（1）设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，平行设出过点的光线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到，进而求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出的长即可； （3）设种植户每天批发销售该水果获得的利润为，根据总利润等于总批发价减去总成本，列出二次函数关系式，求最值即可. 【小问1详解】 解：由题意，，，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，设直线的解析式为， 则，解得， ∴， ∵太阳光是平行光， ∴设过点的光线的解析式为， 联立，得， 由题意，两个图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 即：的长为米； 【小问3详解】 解：由题意，得：， ∴， 设种植户每天批发销售该水果获得的利润为， 则：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为； 此时， 答：批发单价定为6元时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大，最大利润为480元. 26. 已知：如图，将和按图1摆放，点A与点F重合，点C与点E重合， ，，点O为的中点．如图2，从图1位置出发，沿方向向右运动，速度为；同时，点P从B出发沿方向向O运动，速度为．过点P作，分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为，解答下列问题： （1）当F在的中垂线上时，求t的值； （2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）连接，，在运动过程中，是否存在最小值，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即，从而求得结果； （2）过点M作交于点G，过点D作交于点H，根据题意利用勾股定理，矩形的性质，将S分割成两个三角形面积进行计算得出结果； （3）利用轴对称的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质即可得出t的值． 【小问1详解】 解：∵点F在的中垂线上， ∴， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：如图，过点M作交于点G，过点D作交于点H， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵沿方向向右运动，速度为， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，作点O关于的对称点，连接，交于点Q，连接，交于点，连接， 由轴对称的性质可知，，， 当点，，A三点共线时，有最小值， ∴， 过点作交于点T，过点作交于点R，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可知，， 设，则， 在中，, 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴在中，， 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴存在最小值，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 绝对值等于6的数是（ ） A. 6 B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，1粒粟的重量大约为0.0000052千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 4. 明式家具中用到许多榫卯结构，比如燕尾榫．如图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点顺时针旋转得到，再将向右平移2个单位得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 2.5 9. 已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数t，；④．其中，正确结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 10. 如图，直线与轴、轴分别交于，两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，…如此运动下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 计算：_____． 12. 相声是一种民间说唱曲艺，它以说、学、逗、唱为形式．某相声社要招聘一名相声学徒，通过考察，甲乙两人的各项得分如下表，若将“说、学、逗、唱”四种功夫按照、、、的百分比确定最终得分，则_____将被录取．（填甲或乙） 说功 学功 逗功 唱功 甲 80 85 90 95 乙 90 80 95 85 13. 两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是直线上在第一象限内的两个点，，B点坐标为．以线段为斜边作，轴，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为_____． 15. 如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为_____． 16. 如图，正方形的边长为，是上一点，，将沿折叠得到，交于，延长交于，以下结论：①；②；③；④点到的距离是．其中正确的是_____．（填写序号） 三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 青岛浮山森林公园计划推进智慧园区改造，打造三角形生态监测区，为边上已布设的环境监测桩点位．现计划在监测区内部设置一处数据中转站，要求，且中转站到监测区两个入口B、C的距离相等，请作出符合要求的中转站． 四、解答题（本大题满分68分，共有9道题） 18. 计算 （1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． （2）计算：． 19. 为加强海洋教育，某学校组织“海洋知识竞赛”活动，准备了四个与海洋文化相关的主题卡片，卡片除标记的主题外，其余均相同．四个主题分别为：A．海洋生态保护；B．海洋科技创新；C．海洋历史探索；D．海洋经济开发．将这四张卡片背面朝上洗匀后放置于桌面上，由小明先从四张卡片中随机抽取一张，然后小亮再从剩余的三张卡片中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮抽到的两张卡片中，有一张是“A．海洋生态保护”的概率． 20. 为落实“五育并举”教育方针，青岛市某中学开展了“劳动最光荣”主题实践活动．为了解八年级学生参与家务劳动的情况，学校随机抽取了部分学生，调查他们“一周累计参与家务劳动的时间”（用表示，单位：小时），并将数据分为四组：A组：；B组：；C组：；D组：．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表： 学生一周累计参与家务劳动时间统计表 组别 频数（人） 频率 A组 8 0.16 B组 0.32 C组 20 D组 6 0.12 学生一周累计参与家务劳动时间扇形统计图 此外，C组的具体数据（单位：小时）如下：2.0，2.1，2.2，2.2，2.3，2.4，2.5，2.5，2.5，2.6，2.7，2.8，2.8，2.9，2.9． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_____，_____； （2）本次调查数据的中位数为_____小时；C组数据的众数是_____小时； （3）若该校八年级共有500名学生，请估计一周累计参与家务劳动时间不少于2小时的学生共有多少人？ 21. 已知：中，，以上一点为圆心，为半径作，分别交，，于点，，，平分． （1）求证：为的切线； （2）若，，则的半径为_____． 22. 团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，） （1）求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； （2）若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 23. 某海产品店计划购进A、B两种即食礼盒进行销售．按原定进价，购进1盒A种礼盒和2盒B种礼盒，则需要290元；购进2盒A种礼盒和3盒B种礼盒，则需要490元．该店销售1盒A种礼盒可获利20元，销售1盒B种礼盒可获利15元． （1）A、B两种即食礼盒每盒原定进价分别为多少元？ （2）若该店决定购进A、B两种礼盒共100盒，由于进价调整，A种礼盒实际进价比原定进价提高了，B种礼盒实际进价为原定进价的八折．若购进两种礼盒的总费用不超过8670元，该店通过调整售价保持A、B两种礼盒每盒各自的销售利润不变，请问该店如何进货可使购进的礼盒全部售出后，获得的利润最大？最大利润是多少？ 24. 已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 25. 数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．如图1，某水果种植户的温室大棚横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，点是抛物线的顶点，到的距离为．以点为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，则的长为_____米． （3）大棚水果成熟后，种植户将其批发销售．已知每千克水果种植成本为2.5元，且物价部门规定该水果批发单价不得超过6元/千克，每天固定运营成本为80元．若每天该水果批发单价（元/千克）与每天批发销量（千克）满足关系式，请问批发单价定为多少时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大？最大利润为多少？ 26. 已知：如图，将和按图1摆放，点A与点F重合，点C与点E重合， ，，点O为的中点．如图2，从图1位置出发，沿方向向右运动，速度为；同时，点P从B出发沿方向向O运动，速度为．过点P作，分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为，解答下列问题： （1）当F在的中垂线上时，求t的值； （2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）连接，，在运动过程中，是否存在最小值，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $