精品解析：2025年山东省青岛市市南区九年级中考二模数学试题

2024—2025学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 九年级数学试题（二） （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明：本试题共有25道题，其中1～8题为选择题，共24分；9～14题为填空题，共18分；15题为作图题，共4分：16～25题为解答题，共74分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 科学家在深海发现了一种新型浮游生物，其单个个体的质量仅为0.00000000015千克（约为1.5皮克）．将0.00000000015用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 保健食品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，，，在数轴上对应点位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ） A B. C. D. 7. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成12个扇形），并规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针转到分界线上，则重新转动转盘），那么顾客就可以分别获得45元、30元、15元的购物券．小明在该商场购买了120元的商品，则他转动一次转盘所获得购物券金额的平均数是（ ） A. 7.5元 B. 11.25元 C. 12.5元 D. 30元 8. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，于点．若，，则折痕长为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 若、是一元二次方程的两根，则的值为_____． 11. 如图，矩形的顶点在反比例函数（）的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是，，则______． 12. 如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，作，分别交，于点，．若点，分别是，的中点，则______． 13. 一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是______． 14. 如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； 若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为____． 三、作图题（本大题满分4分） 15. 请用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹 已知：如图，． 求作：点，使在的中线上，且到、两边的距离相等． 四、解答题（本大题共10小题，共74分） 16. （1）解不等式组：； （2）化简：． 17. 打造书香文化，培养阅读习惯，日庄中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）若甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 18. 如图，是的直径，弦于点，过作的切线，交的延长线于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求弦的长． 19. 某校组织七、八年级学生去曲阜研学，并在研学基地开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为个等级： A．；B．；C．；D．． ②八年级B等级学生成绩为：； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45.7 八年级 85 86 32.9 根据以上信息解答下列问题： （1）补全条形统计图，题中______，表格中______；八年级等级所占圆心角度数为______； （2）若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共______人； （3）请从平均数，中位数，众数，方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 20. 小明周末来到了美丽的青岛游玩，去感受了一下石老人海水浴场的魅力．当日正值阳光明媚，天气炎热，小明准备在遮阳伞下乘凉休息，如图所示，伞柄与地面垂直，米，伞骨米，伞骨与伞柄的夹角为80°，有一高度为的小桌子（），外端到伞柄的距离为1米，已知此时太阳高度角为53°（太阳高度角为太阳光线与水平线的夹角），请你判断此时小桌子的桌面能否被太阳光照射到？若能照射到，则至少将小桌子向伞柄移动多长才能不被太阳光照射到？ （参考数据：，，，，，） 21. 为培养阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需要购买20个书架用于摆放书籍．现有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． （1）求，两种书架的单价； （2）学校采购时恰逢商场促销：种书架九折优惠，若购进种书架不少于种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购买，两种书架，可以使学校花费最少？ 22. 如图，点，，，…，，为反比例函数（）图象上的点，其横坐标分别为1，2，3，…，，．过点，，，…，，为作轴垂线，垂足分别为点，，，…，，；连接，交于点，连接，交于点…；连接，点交于点，记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为______；______； ______；______；（用含的代数式表示） （2）当时，______．（用含的代数式表示） 23. 如图，平行四边形，延长至，延长至，使，连接、． （1）证明：； （2）若是中点，平分，则边与满足什么数量关系时，四边形是矩形？证明你的结论． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 25. 已知：矩形与等腰如图①摆放（点与点重合），点，，在同一直线上，，，，，点到的距离为．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为，交于点；同时，点从出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止运动时，也停止运动．连接、，设运动时间为（）．请解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得点关于的对称点恰好落在上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 九年级数学试题（二） （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明：本试题共有25道题，其中1～8题为选择题，共24分；9～14题为填空题，共18分；15题为作图题，共4分：16～25题为解答题，共74分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 科学家在深海发现了一种新型浮游生物，其单个个体的质量仅为0.00000000015千克（约为1.5皮克）．将0.00000000015用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 保健食品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【详解】A中，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B中，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C中，该图形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D中，该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了考查组合体的三视图，根据俯视图是从上往下看判断即可． 【详解】解：根据俯视图是从上往下看，可知是三个长方形组成的，且两边的长方形的宽小于中间长方形的宽， 故选：A 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算正确，符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键． 5. 实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了数轴，倒数，相反数，根据数轴上点的位置及，互为相反数，得，然后根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：∵由数轴商店的位置可得， 又∵实数，互为相反数， ∴原点位于，之间， 即， ∴的倒数最大， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的变化，掌握旋转，平移的性质是关键． 根据旋转，平移的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据题意，， 如图所示， 将线段先绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，再将线段向下平移得到线段，点的对应点为点，即点变换后的对应点的坐标是， ∴旋转后向下平移了4个单位， ∴， 故选：D ． 7. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成12个扇形），并规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针转到分界线上，则重新转动转盘），那么顾客就可以分别获得45元、30元、15元的购物券．小明在该商场购买了120元的商品，则他转动一次转盘所获得购物券金额的平均数是（ ） A. 7.5元 B. 11.25元 C. 12.5元 D. 30元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，加权平均数，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由题意得45元、30元、15元的购物券分别为，再求加权平均数即可． 【详解】解：由题意得：由题意得45元、30元、15元、0元的购物券分别为， ， 故选：C． 8. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，于点．若，，则折痕长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形的计算，掌握解直角三角形的计算方法是关键． 根据菱形，折叠的性质，勾股定理得到，，如图所示，过点作于点，则，设，可得，，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∵， ∴，则， 在中，， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 解得，， ∴ ∴， ∴， 故选：A ． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负指数幂，二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，负指数幂的计算得到结果，再根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 10. 若、是一元二次方程的两根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得，再代入即可解决此题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ， 则 ， 故答案为：． 11. 如图，矩形的顶点在反比例函数（）的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形面积，解直角三角形的计算，掌握反比例函数系数的计算，解直角三角形的计算是关键． 根据题意，设，可得，，，则，，由几何图形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设，对角线轴，交轴于点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形的面积是，即， 解得，， ∴， 故答案为： ． 12. 如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，作，分别交，于点，．若点，分别是，的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，，，证明四边形为矩形，得出，作于，于，于，交于，则，证明，，求出，计算可得 ，证明为等腰直角三角形，得出，证明四边形为矩形，得出，，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是边长为正方形，点在边上，， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 如图，作于，于，于，交于， ， 则， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 13. 一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，从三视图中2开始，结合主视图可得到下层正面为6的正方体左右两面的数字为3与4，进而可确定此正方体上下两面是2与5，再底面是5与2两种情况考虑，从下往上即可得出★所代表的数． 【详解】解：由题意可以还原这个立体图形的形状， 左视图中2的对面是5；紧临的是3，其对面是4；再接下来是4，其对面是3； 主视图中小正方体正面是6，后面是1；左面是4，右面是3；上下两面就是2、5相对； 当底面是5，上面为2，紧临的是6，其对面是1；接触的两个面上的数字之和为8，则★应为7，不可能； 故底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4；接下来紧临的还是4，★为其对面， 所以是3； 故答案为：3． 14. 如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； 若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象特征可判断，根据对称轴可判断，根据抛物线与轴的交点即对称轴确定抛物线与轴的另一个交点后可判断，方程的解可看作与的交点可判断，点与关于直线对称可判断． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴ ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故正确， ∵， ∴，故错误， ∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴， ∵， ∴，故正确； 方程的解可看作与的交点， ∵， 当过抛物线顶点时，两函数只有一个交点，即方程有两个相等实数根，故错误； ∵点与关于直线对称， ∴，故正确； 故答案为: ． 【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分） 15. 请用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹 已知：如图，． 求作：点，使在的中线上，且到、两边的距离相等． 【答案】作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，尺规作角平分，掌握垂直平分线的性质，角平分线的性质定理是解题的关键． 根据线段垂直平分线的作法得到线段的中点，连接即为的中线，再根据角平分线的性质定理作的角平分线，得到交点即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴点即为所求点的位置． 四、解答题（本大题共10小题，共74分） 16. （1）解不等式组：； （2）化简：． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式的混合运算，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤以及分式的混合运算法则是解题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可； （2）先计算括号内异分母的分式加法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解：（1）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，原不等式组的解集为：； （2）原式 ． 17. 打造书香文化，培养阅读习惯，日庄中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）若甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为 【解析】 【分析】本题考查了表格或画树状图求概率，准确画树状图是解题的关键．利用画树状图计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果， 甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 18. 如图，是的直径，弦于点，过作的切线，交的延长线于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由切线的性质并结合题意可得，再由平行线的性质和圆周角定理即可得解； （2）由垂径定理可得，弧弧，推出，由勾股定理可得，再由面积法计算即可得解． 【小问1详解】 解：切于点，是半径， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接 是直径， ∴，弧弧 ． 是直径， ． ∵， ， ． 19. 某校组织七、八年级学生去曲阜研学，并在研学基地开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为个等级： A．；B．；C．；D．． ②八年级B等级学生成绩为：； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45.7 八年级 85 86 32.9 根据以上信息解答下列问题： （1）补全条形统计图，题中______，表格中______；八年级等级所占圆心角度数为______； （2）若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共______人； （3）请从平均数，中位数，众数，方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 【答案】（1） （2） （3）八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本估算总体数量的计算方法，中位数，圆心角的计算，调查数据作决策的方法是关键． （1）根据八年级组有人，占比为，可得，根据中位数的计算得到的值，根据圆心角度数的计算即可求解； （2）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解； （3）根据调查数据作决策即可． 【小问1详解】 解：八年级组有人，占比为， ∴（人）， ∴七、八年级各抽取人， ∴， 八年级组有人，组有人，组有人，组有人， ∴中位数在第位同学成绩的平均数， 八年级等级学生成绩从大到小排序为：， ∴， 八年级等级所占圆心角度数为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）， ∴该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共约人， 故答案为：； 【小问3详解】 解：八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由如下， ∵七年级的中位数小于八年级的中位数，七年级的方差大于八年级的方差， ∴八年级中间部分比七年级中间部分多，八年级成绩比七年级成绩稳定， ∴八年级的传统文化知识掌握情况较好． 20. 小明周末来到了美丽的青岛游玩，去感受了一下石老人海水浴场的魅力．当日正值阳光明媚，天气炎热，小明准备在遮阳伞下乘凉休息，如图所示，伞柄与地面垂直，米，伞骨米，伞骨与伞柄的夹角为80°，有一高度为的小桌子（），外端到伞柄的距离为1米，已知此时太阳高度角为53°（太阳高度角为太阳光线与水平线的夹角），请你判断此时小桌子的桌面能否被太阳光照射到？若能照射到，则至少将小桌子向伞柄移动多长才能不被太阳光照射到？ （参考数据：，，，，，） 【答案】小桌子至少向伞柄的方向移动，才能不被阳光照射到． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．先证明四边形、为矩形，得到，，，在、中解直角三角形得到，进而求解可得结论． 【详解】解：设过点作的延长线于点，延长交于点， 设过点的光线交于点，与交于点， 由题意，，，，， ， 四边形为矩形， 同理，四边形为矩形， ，，， 在中，，，，， ，， ，， 在中，，，， ， 到伞柄的距离为， 阳光能照射到桌面 小桌子至少向伞柄的方向移动，才能不被阳光照射到． 21. 为培养阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需要购买20个书架用于摆放书籍．现有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． （1）求，两种书架的单价； （2）学校采购时恰逢商场促销：种书架九折优惠，若购进种书架不少于种书架的数量的，请你设计一种方案，怎么购买，两种书架，可以使学校花费最少？ 【答案】（1）种书架的单价为500元，种书架的单价为600元； （2）购进种书架5个，购买种书架15个，学校花费最少． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一次函数，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设种书架的单价为元，种书架的单价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购买种书架个，学校花费为元，由此列式得到，根据购进种书架不少于种书架的数量的，得到购买种书架的取值范围，根据一次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设种书架的单价为元，种书架的单价为元， ∴， 解得， 经检验是原方程的根，， 答：种书架的单价为500元，种书架的单价为600元； 【小问2详解】 解：设购买种书架个，学校花费为元， ， ，随着的增大而增大， ， ， 当时，取得最小值， 答：购进种书架5个，购买种书架15个，学校花费最少． 22. 如图，点，，，…，，为反比例函数（）图象上的点，其横坐标分别为1，2，3，…，，．过点，，，…，，为作轴垂线，垂足分别为点，，，…，，；连接，交于点，连接，交于点…；连接，点交于点，记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为______；______； ______；______；（用含的代数式表示） （2）当时，______．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数交点的计算，几何图形面积的计算，掌握函数图象的性质，找出规律是解题的关键． （1）根据题意，得到点的坐标，根据得到对应阴影部分的面积，找出规律即可求解； （2）计算方法同（1）． 【小问1详解】 解：当时，反比例函数解析式为， ∵点，，，…，，的横坐标分别为1，2，3，…，，， ∴， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为：， 直线解析式为：， ∴， 解得，， ∴，且， ∴ ， ， ∴， 同理，， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，反比例函数解析式为， ∵点，，，…，，的横坐标分别为1，2，3，…，，， ∴， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为， 直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为：，直线的解析式为：， 直线的解析式为：，直线的解析式为：， ∴，，且， ∴ ， ， ， ∴ ． 23. 如图，平行四边形，延长至，延长至，使，连接、． （1）证明：； （2）若是中点，平分，则边与满足什么数量关系时，四边形是矩形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，且，由此即可求证； （2）根据题意得到四边形是平行四边形，设，，由勾股定理得到，则，结合矩形的判定即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ． 【小问2详解】 解：，理由如下， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， ∵是中点， ， 设，， ， ， ， 平行四边形是矩形． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点． （1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围； （3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标． 【详解】解：任务一：建立坐标系， 由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点， 设地物的解析式为， ， ， 故抛物线的解析式为； 任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于． 令， 解得：或， 因此安装点的横坐标取值范围； 任务三：由于，因此最多可以安装条灯带， 由对称性可得最右边灯带的横坐标为， ， 故最右边灯带安装点的坐标为． 25. 已知：矩形与等腰如图①摆放（点与点重合），点，，在同一直线上，，，，，点到的距离为．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为，交于点；同时，点从出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止运动时，也停止运动．连接、，设运动时间为（）．请解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得点关于的对称点恰好落在上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）在矩形中，，，，勾股定理求出，根据题意可得，，当时，，得出，即，求出即可解答． （2）等腰平移之前，根据，，点到的距离为，求出，等腰平移之后，，连接，过点作，根据，表示出，根据四边形的面积梯形的面积的面积，表示出． （3）延长交于点，当点关于的对称点恰好落在上时，根据对称可得，在矩形中，，得出，即可得，等角对等边得出，证明，得出，即可得，，过点作，根据，，点到的距离为，得出，勾股定理求出，即可得，求出即可解答． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，， ∴， 根据题意可得， 当时，， ∴， ∴， 解得：． 即当时，． 【小问2详解】 解：连接，如图； 等腰平移之前， ∵，，点到的距离为， ∴， 等腰平移之后，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形的面积梯形的面积的面积， ∴ ． 【小问3详解】 解：延长交于点， 当点关于的对称点恰好落在上时， 根据对称可得， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵，，点到的距离为， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】该题是几何动点问题，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，轴对称的性质，平移的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $