专题9.5 图形的全等（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“图形的全等”核心知识点，从全等图形的概念、特征及变换关系入手，逐步深入全等多边形的对应元素与性质，最终落脚于全等三角形的性质、判定及对应元素寻找方法，构建从一般到特殊的学习支架。 资料亮点在于知识点与题型紧密结合，即学即练强化理解，题型涵盖概念辨析、图形分割等，如分割问题培养空间观念（数学眼光），动点问题分类讨论发展推理能力（数学思维），课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题9.5 图形的全等 教学目标 1.理解全等图形、全等多边形、全等三角形的概念。 2.掌握全等三角形的性质，能进行简单计算与推理。 3.能准确找出全等图形的对应边和对应角。 4.理解图形变换与全等的关系。 教学重难点 重点 （1）全等图形及全等三角形的概念 （2）全等三角形的性质 （3）找全等图形的对应元素 难点 （1）准确确定全等三角形的对应边与对应角 （2）运用全等三角形的性质进行计算与简单推理 （3）区分“全等”与“面积/周长相等” 知识点01：全等图形 1.定义：在平面内， 的两个图形叫做全等图形。 2.特征：形状相同、大小相等，与位置无关。 3.变换关系：图形经过 、 、 后得到的新图形与原图形全等。 【即学即练】 1．下列说法：①两个形状相同的多边形称为全等多边形；②如果两个多边形的边、角对应相等，那么这两个多边形全等；③全等多边形的形状、大小都相同；④面积相等的两个多边形全等．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③ 知识点02：全等多边形 1.定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形。 2.对应元素：重合的顶点为 ，重合的边为 ，重合的角为 。 3.表示方法：用符号≌表示，读作“全等于”，书写时对应顶点字母写在对应位置。 4.性质：全等多边形的 ， 。 5.判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等。 【即学即练】 1．如图，给出的四对图形中是全等形的有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 知识点03：全等三角形 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做 。 2.性质： 对应边相等； 对应角相等； 周长相等、面积相等； 对应中线、对应角平分线、对应高分别相等。 3.判定：边、角分别对应相等的两个三角形全等。 【即学即练】 1．如图全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 知识点04：找全等三角形对应元素的方法 1.符号对应法：由 连接的字母顺序直接确定对应关系。 2.长短大小法：最长边对最长边，最大角对最大角。 3.位置特征法：公共边、公共角、对顶角为对应边、对应角。 【即学即练】 1．如图，已知．写出对应边、对应角． 题型01全等图形的概念辨析 方法技巧：判断依据为能够完全重合，形状、大小必须都相同。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形叫全等形 B．面积相等的两个图形是全等形 C．全等形是形状、大小相同的图形 D．平移、旋转前后的图形是全等形 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·单元复习）对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 题型02辨别全等图形 方法技巧：用叠合法或观察形状、大小是否完全一致。 【例题2】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）下列各组图形是全等形的是 （       ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）下列各组给出的两个图形中，全等的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）找出下列各组图中的全等图形（    ） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 题型03图形分割为全等图形 方法技巧：利用对称、平分、等分思想进行分割。 【例题3】.（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【变式题3-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【变式题3-2】.（24-25八年级上·安徽安庆·月考）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【变式题3-3】.（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 题型04由全等三角形性质求线段长度 方法技巧：利用对应边相等，结合线段和差计算。 【例题4】.（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，已知，若，则的长是______________． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，，若，，则的长度为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 【变式题4-2】.（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 题型05由全等三角形性质求角度 方法技巧：利用对应角相等，结合三角形内角和计算。 【例题5】.（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，．点落在上，且．则_____． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型06全等三角形性质的动点问题 方法技巧：分类讨论对应关系，列方程求解边长与时间。 【例题6】.（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【变式题6-3】.（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，始终保持，当点经过_____秒时，与全等．（注：点与不重合） 一、单选题 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 3．下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A．形状相同但大小不同的两个三角形 B．能够完全重合的两个正方形 C．一个圆和一个椭圆 D．长为3、宽为2的长方形和长为2、宽为1的长方形 二、填空题 4．如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 5．如图，点在上，，若，，则 ______． 6．如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 三、解答题 7．请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 8．观察房梁支架和窗户的示意图．请分别指出图中的三组全等图形． 9．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.5 图形的全等 教学目标 1.理解全等图形、全等多边形、全等三角形的概念。 2.掌握全等三角形的性质，能进行简单计算与推理。 3.能准确找出全等图形的对应边和对应角。 4.理解图形变换与全等的关系。 教学重难点 重点 （1）全等图形及全等三角形的概念 （2）全等三角形的性质 （3）找全等图形的对应元素 难点 （1）准确确定全等三角形的对应边与对应角 （2）运用全等三角形的性质进行计算与简单推理 （3）区分“全等”与“面积/周长相等” 知识点01：全等图形 1.定义：在平面内，能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2.特征：形状相同、大小相等，与位置无关。 3.变换关系：图形经过平移、轴对称、旋转后得到的新图形与原图形全等。 【即学即练】 1．下列说法：①两个形状相同的多边形称为全等多边形；②如果两个多边形的边、角对应相等，那么这两个多边形全等；③全等多边形的形状、大小都相同；④面积相等的两个多边形全等．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同． 【详解】解:①形状、大小都相同的多边形称为全等多边形，错误； ②如果两个多边形的边、角对应相等，那么这两个多边形全等,正确； ③全等多边形的形状、大小都相同, 正确； ④面积相等的两个多边形不一定全等，错误． 故选D． 知识点02：全等多边形 1.定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形。 2.对应元素：重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 3.表示方法：用符号≌表示，读作“全等于”，书写时对应顶点字母写在对应位置。 4.性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等。 5.判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等。 【即学即练】 1．如图，给出的四对图形中是全等形的有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等形，根据能够完全重合的两个图形是全等形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，①中两个图形大小不一样，不可能完全重合，不是全等形； ②中的两个图形可以完全重合，是全等形； ③中两个图形形状不一样，不可能完全重合，不是全等形； ④中的两个图形可以完全重合，是全等形； 则给出的四对图形中是全等形的有2对． 故选：B． 知识点03：全等三角形 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.性质： 对应边相等； 对应角相等； 周长相等、面积相等； 对应中线、对应角平分线、对应高分别相等。 3.判定：边、角分别对应相等的两个三角形全等。 【即学即练】 1．如图全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项中两个三角形的边、角关系，判断是否满足全等三角形的判定定理． 【详解】解：A项：选取①②时，在和中， ， ∴， ∴①②两个三角形全等，故符合题意； B项：选取②③时，三角形③中距离为3的长度与三角形②中距离为3的长度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②③不全等，故不符合题意； C项：选取②④时，三角形④中度数为的角度与三角形②中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②④不全等，故不符合题意； D项：选取①④时，三角形④中度数为的角度与三角形①中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形①④不全等，故不符合题意； 故选：A． 知识点04：找全等三角形对应元素的方法 1.符号对应法：由≌连接的字母顺序直接确定对应关系。 2.长短大小法：最长边对最长边，最大角对最大角。 3.位置特征法：公共边、公共角、对顶角为对应边、对应角。 【即学即练】 1．如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 题型01全等图形的概念辨析 方法技巧：判断依据为能够完全重合，形状、大小必须都相同。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形叫全等形 B．面积相等的两个图形是全等形 C．全等形是形状、大小相同的图形 D．平移、旋转前后的图形是全等形 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形的定义，正确利用全等图形的性质与定义分析是解题关键． 根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形，判断即可． 【详解】解：A、能够完全重合的两个图形是全等形，正确，不合题意； B、面积相等的两个图形不一定是全等形，故此选项错误，符合题意； C、全等形是形状、大小相同的图形，正确，不合题意； D、平移、旋转前后的图形是全等形，正确，不合题意； 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·单元复习）对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案． 【详解】解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【答案】D 【分析】此题考查全等图形的定义，全等图形必须形状和大小完全相同，选项A、B、C中，图形可能因其他参数（如腰长、直角边、长宽比）不同而不全等；选项D中，圆的全等仅取决于半径，面积相等则半径相等，故一定全等． 【详解】A、两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，故不一定全等； B、两个斜边相等的直角三角形，内角不一定分别相等，直角边长也不一定分别相等，故不一定全等； C、两个周长相等的长方形，长和宽不一定分别相等，故不一定全等； D、∵ 圆的面积公式为 ，且圆的大小由半径唯一确定； ∴ 两个面积相等的圆，其半径必然相等，因此一定全等； 故选：D 题型02辨别全等图形 方法技巧：用叠合法或观察形状、大小是否完全一致。 【例题2】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形判断即可求解，掌握全等图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、两个图形大小不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形形状不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 、两个图形大小、形状一样，可以完全重合，是全等图形，符合题意； 、两个图形大小不一样，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）下列各组图形是全等形的是 （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的识别，形状、大小相同的图形为全等图形，据此即可求解； 【详解】解：A：选项中的两个漩涡图案虽相似但并非严格全等，不符合题意； B：选项中的两个图形在大小和形状上完全一致，平移或翻转后可完全重合，符合题意； C：选项中企鹅的细节（眼睛和围巾等）有差异，不符合题意； D：选项中图标大小不同，不属于全等，不符合题意； 故选： B． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）下列各组给出的两个图形中，全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的定义，准确分析判断是解题的关键． 根据全等图形的定义，即能够完全重合的两个图形是全等图形判断即可； 【详解】根据已知条件分析可得，、、三项不是全等图形，项两个图形全等； 故选． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）找出下列各组图中的全等图形（    ） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查全等图形，掌握相关知识是解决问题的关键．能够完全重合的图形是全等图形，据此判断即可． 【详解】解：能够完全重合的图形是全等图形，C选项中两个图形可以完全重合， 故选：C． 题型03图形分割为全等图形 方法技巧：利用对称、平分、等分思想进行分割。 【例题3】.（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【答案】图形见详解 【分析】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可． 【详解】解：分割线如图所示： ． 【变式题3-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形． 【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法： 【变式题3-2】.（24-25八年级上·安徽安庆·月考）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示： 【变式题3-3】.（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 题型04由全等三角形性质求线段长度 方法技巧：利用对应边相等，结合线段和差计算。 【例题4】.（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，已知，若，则的长是______________． 【答案】2 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，，若，，则的长度为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，再由，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选C． 题型05由全等三角形性质求角度 方法技巧：利用对应角相等，结合三角形内角和计算。 【例题5】.（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵将绕点A旋转后得， ∴， ∴，， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件无法证明出， 故B选项错误，符合题意． 故选：B． 【变式题5-2】.（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，．点落在上，且．则_____． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的性质（对应角相等）、对顶角的性质（对顶角相等）及三角形内角和定理．解题的关键是通过全等三角形的对应角关系和对顶角相等，结合三角形内角和定理进行角的等量代换，推导目标角度． 设与交于点P，利用全等得，推出；由全等得，结合对顶角；利用三角形内角和定理证得，得出． 【详解】设与相交于点P， ∵ ∴，即， ∴，又 ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 题型06全等三角形性质的动点问题 方法技巧：分类讨论对应关系，列方程求解边长与时间。 【例题6】.（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【答案】与全等时，点运动的时间为秒 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，设点、的运动时间为，表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边， ②与是对应边两种情况，列方程求解即可. 【详解】解：∵，， 点为的中点， ， 设点、的运动时间为， 则， ， ∴， ①、是对应边时， ∵与全等，， ∴， ， ∴且，解得； ②与是对应边时， ， ∵与全等， ∴，， ∴且， 解得 且(相互矛盾，则舍去) ， 综上所述，与全等时，点运动的时间为秒． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 【答案】1或 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，； 当时， ∴， ∴， 解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对． 故选：B． 【变式题6-3】.（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，始终保持，当点经过_____秒时，与全等．（注：点与不重合） 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质；设点经过t秒时，与全等；由斜边，分类讨论或时的情况，求出t的值即可． 【详解】解：设点经过秒时，与全等；此时， 分情况讨论： （1）当点在点的左侧时，，则， ∴， ∴； （2）当点E在点B的右侧时， ①，时，， ∴； ②，时，， ∴． 综上所述，点经过或或秒时，与全等． 故答案为：或或． 一、单选题 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 2．如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 3．下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A．形状相同但大小不同的两个三角形 B．能够完全重合的两个正方形 C．一个圆和一个椭圆 D．长为3、宽为2的长方形和长为2、宽为1的长方形 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形的判定，根据定义能够完全重合的两个图形叫做全等形得出是解题关键． 【详解】解：根据定义可知，能够完全重合的两个正方形即为全等图形， 故选：B． 二、填空题 4．如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 【答案】 【分析】本题考查了全等图形的性质，根据全等图形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和即可求解，掌握全等图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ， 故答案为：． 5．如图，点在上，，若，，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，即可求出的长． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 6．如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 三、解答题 7．请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的图形；分别连接对边的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8个全等的图形． 【详解】解：所作图形如下所示： 8．观察房梁支架和窗户的示意图．请分别指出图中的三组全等图形． 【答案】和，和，和，四边形和四边形，四边形和四边形，四边形和四边形，以上六组全等图形或图中由以上六组全等图形组成的图形中（如四边形和四边形），任选三组作答即可． 【分析】本题考查“全等图形”，通过图形特征和全等的定义判断全等图形是解题关键． 根据生活常识和所给图形，找到全等图形即可． 【详解】解：由生活常识和所给图形，可知， 在第一个图形中： 是轴对称图形，是对称轴，和关于对称， 故在沿折叠后，和重合，和重合，和重合， 故和，和，和，是三组全等图形， 同理，在第二个图形中： 四边形和四边形，四边形和四边形，四边形和四边形，经由折叠后可以重合，是三组全等图形， 除以上六组经由折叠，通过图形重合可以判断全等的图形外，根据全等图形的定义，经由全等图形用相同方式组合而成的图形也为全等图形， 如第一个图形中：四边形和四边形，由和，和，这两组全等图形由同样的组合方式组合而成，也为一组全等图形； 如第二个图形中：不规则图形和不规则图形，由四边形和四边形，四边形和四边形，这两组全等图形由同样的组合方式组合而成，也为一组全等图形， 任选以上说明的三组全等图形即可，满足上述说明的其他全等图形也可． 9．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $