第9章 轴对称、平移和旋转（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

第9章 轴对称、平移和旋转 教学目标 1.掌握轴对称、平移、旋转、中心对称的概念与性质。 2.能进行四种图形变换的作图。 3.会运用变换性质进行线段、角度、面积计算。 4.理解图形变换与全等的关系。 教学重难点 重点 （1）轴对称、平移、旋转、中心对称的性质 （2）图形变换作图方法 （3）全等图形的性质与应用 难点 （1）旋转与中心对称的性质理解 （2）图形变换的综合计算与证明 （3）利用变换思想解决实际问题 知识点01：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两侧部分能完全重合。 2.成轴对称：两个图形沿某条直线折叠后能完全重合。 3.性质：对应线段相等、对应角相等；对称点连线被对称轴垂直平分。 【即学即练】 1．下列交通标志中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 知识点02：图形的平移 1.两要素：平移方向、平移距离。 2.性质：对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等；对应点连线平行且相等；图形形状、大小不变。 【即学即练】 1．如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】为向右平移得到的距离，设，根据长度关系可得x的值，从而可得到平移的距离． 【详解】解：由题意可得，为向右平移得到的距离， 设，则， ，， ， ，解得， 也是向右平移的距离， ． 知识点03：图形的旋转 1.三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。 2.性质：对应线段相等、对应角相等；对应点到旋转中心距离相等；图形形状、大小不变。 【即学即练】 1．如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意逐项分析． 【详解】解：A、旋转前后图像全等，对应线段相等，即，选项说法正确，不符合题意； B、旋转前后图像全等，对应角相等，即，选项说法正确，不符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法错误，符合题意； D、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点，即，选项说法正确，不符合题意． 知识点04：中心对称与中心对称图形 1.中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合。 2.成中心对称：两个图形绕某点旋转180°后互相重合。 3.性质：对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 【即学即练】 1．如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作出点关于点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积． 知识点05：图形的全等 1.定义：能够完全重合的两个图形全等。 2.性质：全等图形对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等。 3.关系：轴对称、平移、旋转前后的图形一定全等。 【即学即练】 1．下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ⑤面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 题型01轴对称图形识别 方法技巧：沿直线折叠，两侧能完全重合即为轴对称图形。 【典例1】. （2026·浙江台州·二模）下列图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．该图形找不到任何一条直线使折叠后两部分重合，故不是轴对称图形； B．该图形找不到任何一条直线使折叠后两部分重合，故不是轴对称图形； C．该图形沿竖直或水平中心线折叠，两部分能完全重合，故是轴对称图形； D．该图形找不到任何一条直线使折叠后两部分重合，故不是轴对称图形． 【变式1】. （2026·云南曲靖·二模）我国汉字博大精深，彰显美好意蕴．下列四个汉字中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念，只有C选项中的汉字是轴对称图形． 【变式2】. （2026·山西吕梁·二模）山西省，简称“晋”，又称“三晋”．下面是小明收集的关于“晋”字的演变过程，其文字上方的部分是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形， 根据轴对称图形的定义可得选项C符合题意． 【变式3】. （2026·湖北武汉·二模）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 题型02平移性质计算 方法技巧：对应点连线相等，对应线段、角不变。 【典例2】. （2026·山东东营·二模）如图，将一个周长为8的沿射线方向平移后得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，连接，已知四边形的周长为12，那么平移的距离是________． 【答案】2 【分析】根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为12， ∴， ∴， ∵周长为8，即， ∴， ∴， 即平移的距离为2． 【变式1】. （16-17八年级下·江西抚州·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据平移的性质、梯形的面积公式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ． 【变式2】. （25-26七年级下·重庆·期中）如图，沿射线方向平移得到，若，，则平移的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移前后对应点之间的距离等于平移距离，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵沿射线方向平移得到， ∴点的对应点为点， ∴平移的距离为线段的长， ∵，， ∴， ∴平移的距离为． 【变式3】. （25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用平移后对应线段平行且相等、对应角相等，结合线段长度、周长与面积公式逐一判断结论． 【详解】解：由平移可知，在上，因此，①正确； 平移距离相等，即，②正确； 平移后对应角相等，故，③正确； 四边形的周长， 周长为12，， 周长，④正确； ， ， 阴影面积 梯形的面积 ⑤错误， 综上，正确的个数为4． 题型03旋转性质求角度 方法技巧：旋转角相等，对应点到中心距离相等。 【典例3】. （25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出旋转角，再利用计算即可． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转得到， ， ， ． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，则等于_____． 【答案】/48度 【分析】根据旋转的性质，即可知，根据垂直可知，进而根据旋转即可求解． 【详解】解： ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，若，则的度数为________．    【答案】/17度 【分析】图形旋转时，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应角的大小不变．因此等于旋转角，再结合已知的，即可求出的度数． 【详解】解：由绕点顺时针旋转得到，得到， 又， ． 【变式3】. （25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，． (1)若，求旋转角的度数； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转角，根据旋转的性质，，而，，即可求解旋转角； （2）旋转角，由两直线平行，可知同旁内角互补，，从而求解． 【详解】（1） 解：∵将绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2） 解：根据旋转的性质，有， ∵，， ∴， 即， ∴． 题型04找对称中心 方法技巧：两组对称点连线的交点即为对称中心。 【典例4】. （25-26八年级上·全国·课后作业）指出图中的中心对称图形，并画出其对称中心． 【答案】（2）（3）（4）是中心对称图形，画图见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点．熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义即可求解，再找到其对称中心即可． 【详解】解：（1）不是中心对称图形，（2）（3）（4）是中心对称图形， 如图，点O分别是它们的对称中心． 【变式1】. （25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，连接交于点P， 所以对称中心是点P． 故选：C 【变式2】. （25-26九年级上·全国·课后作业）在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心． 【答案】，，中是中心对称图形，对称中心见解析 【分析】本题考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中成中心对称图形的字母，再标出它们的对称中心． 【详解】解：根据题意，上述汉字或字母是中心对称图形的有：，，中．“由”不是中心对称图形； 如图所示，，，中的对称中心为图形中的点． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，请画出它的对称中心． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转后能与原图形重合．理解中心对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的定义回答即可． 【详解】解：第1张和第3张能找到一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形重合，所以是中心对称图形，它们的对称中心在对角线的交点． 如图，点即为所求的点． 题型05全等图形判断 方法技巧：形状、大小完全相同，与位置无关。 【典例5】. （25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 【变式2】. （25-26八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的概念，熟记全等图形的形状和大小都相同是解题的关键． 根据全等图形的概念，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状、大小都相同，是全等图形，符合题意； C、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）下列四组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A、大小不等，不是全等图形，故此选项不合题意； B．形状不同，不是全等图形，故此选项不合题意； C．形状相同，大小相等，旋转后能够完全重合，是全等图形，故此选项符合题意； D．形状不同，不是全等图形，故此选项不合题意； 故选：C． 题型06全等性质求线段/角度 方法技巧：利用对应边、对应角相等直接计算。 【典例6】. （24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，，若，，则的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵， ． ， ． ， ． 故答案为：4． 【变式1】. （24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，若，且，，则______． 【答案】/35度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】. （24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式3】. （24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 题型07轴对称作图 方法技巧：作关键点关于对称轴的对称点，再顺次连接 【典例7】. （25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为_____________； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)8 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）用割补法求面积即可； （2）每个点关于对称，连接即可； （3）先作点关于的对称点，连接，与的交点为． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示： （3）解：如图，点即为所求作， ， ∵关于直线对称， ∴， 当三点共线时，值最小． 【变式1】. （25-26七年级下·四川成都·期中）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别确定、、关于的对称点、、，再顺次连接即可； （2）由对称可得，则，当、、三点共线时，的值最小，所以连接交于，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，连接交于，则即为所求； （3）． 【变式2】. （25-26八年级下·贵州贵阳·期中）有一块三角形的广告牌，广告公司需要把它分成面积相等的两块．分别喷涂两种不同的宣传图案． 小明说：作的高，就能把广告牌分成面积相等的两块， 小亮说：作的中线，就能把广告牌分成面积相等的两块，你认为谁的说法正确？请用尺规作图作出对应的线段，并说明为什么这样作图能使得被分成面积相等的两块． 【答案】小亮的说法正确．图见解析 【分析】能够把三角形分成两个面积相等的小三角形的是三角形的中线．作线段的中垂线，得到的中点，进而可画出中线． 【详解】解：小亮的说法正确．作图如下： 理由：由作图知，点E为的中点， ， 设点A到的距离为h， 则， ． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）如图，射线即为所求． . 题型08平移作图 方法技巧：按方向与距离平移所有关键点。 【典例8】. （25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，方格纸中每一个小正方形的边长都为1，建立平面直角坐标系，其中的三个顶点坐标分别为，，．将先向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到． (1)请画出平移后的． (2)的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意画出平移后的图形即可； （2）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：的面积为：． 【变式1】. （2026八年级下·全国·专题练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【详解】（1）解：找出对应点 然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到：， ∴线段扫过的面积为16． 【变式2】. （25-26七年级下·重庆开州·期中）把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查平移，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平移的性质，平面直角坐标系的应用，进行解答，即可． （1）根据平移，画出图形，即可； （2）根据平面直角坐标系，即可得到； （3）根据平移可得，在平移过程中扫过的面积为：，即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：如图可知：，，． （3）解：在平移过程中扫过的面积为： ． 【变式3】. （25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)向右平移4个单位，向下平移1个单位 (3)8 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置； （2）利用平移的性质即可求解． （3）线段在平移过程中扫过部分是两个平行四边形的面积之和． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位． （3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为． 题型09旋转作图 方法技巧：关键点绕中心旋转定角，保持距离不变。 【典例9】. （2026·安徽合肥·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案． （2）根据网格的特点作的垂直平分线的交点即为，旋转角，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求，旋转角，即的度数为 【变式1】. （25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． (1)在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． (2)请在图2中画出绕点C顺时针旋转后得到的格点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据图形的轴对称性质作出直线即可； （2）根据旋转图形性质，找出A、B绕点C顺时针旋转的对应点，就可得到旋转后的图形． 【详解】（1）解：如下图，过正方形的两对应顶点作直线即为所求； （2）解：如下图，以点C为旋转中心，作，且，同理得，连接，即为所求． 【变式2】. （2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A，B，C都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留作图痕迹，体现作图过程）． (1)延长至点D，连接，使； (2)将绕点逆时针旋转至，过点E作于点F，并直接写出EF的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，的长为 【分析】本题考查作图——网格作图，勾股定理，旋转，相似三角形，三角形的面积．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）作 即可求解；（2）的面积，，可得出. 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图：的长为． 【变式3】. （25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，的顶点坐标分别为，． (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的 (4)在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)与成轴对称或与成轴对称；与成中心对称， 【分析】（1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：连接交x轴于点E，由图可知， 点E为的中点，， ∴， 在中， 由图可知，与，与成轴对称；与成中心对称，且对称中心的坐标为． 题型10中心对称作图 方法技巧：延长关键点至对称中心等距位置，确定对称点。 【典例10】. （25-26七年级下·江苏盐城·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中，将沿方向平移，当点移动到点时，画出平移后的； (2)在图中，作关于直线对称的； (3)在图中，作关于点中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质，点的对应点为，再确定、即可； （2）根据轴对称的性质，作、、关于的对称点、、，顺次连接即可得到； （3）根据中心对称的性质，作、、关于的对称点、、，顺次连接即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 【变式1】. （25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据旋转方式找到对应点，顺次连接即可； （2）找到各顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （3）根据所作图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：点和点的坐标分别为，． 【变式2】. （25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图： (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； (2)将以原点O为旋转中心，旋转后得到，画出． (3)若与关于点Q成中心对称，则点Q的坐标为_______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，即可获得答案； （2）根据旋转的性质，即可获得答案； （3）连接，则交点即为与的对称中心，结合图形确定点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，则交点即为与的对称中心， 由图可知，． 【变式3】. （25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的定义求解即可； （2）利用中心对称图形的定义及轴对称图形的定义求解即可． 【详解】（1）解：选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形，如图所示： （2）解：选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形且不轴对称，如图所示． 题型11图形变换与面积计算 方法技巧：变换不改变面积，用割补法、等量代换求解。 【典例11】. （25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 【变式1】. （2026七年级下·江苏·专题练习）作图题 (1)3月12日是植树节，图中树需进行平移，请将树根A移到点F处，作出平移后的树． (2)小明家有一块三角形菜地，要种面积相等的四种蔬菜，请你设计两种方案，把这块地分成四块面积相等的三角形地块分别种植这四种蔬菜． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由图形（1）可以看出，F点是由A点先向右平移9个单位、后向上平移2个单位得到的．将图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连接；也可从三角形一半的一半来考虑． 【详解】解：（1）将图形的各个顶点按先向右平移9个单位、后向上平移2个单位的平移条件找出它的对应点，顺次连接，得到的图形如下： （2）第一种方案：把边四等分，把三个分点依次连接到这条边所对的顶点，得到的4个小三角形等底同高，面积都相等； 第二个方案：找到边的中点O，连接，再找到的中点D，连接． 方案如图所示： 【变式2】. （25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点为原点，线段平移得到线段，点的对应点为点．已知． (1)根据平移的性质，求的值； (2)若点在轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用点的平移规律构建方程组求解即可； （2）设，由构建方程求解即可． 【详解】（1）解：线段平移得到线段，点的对应点为点， 点的对应点为点， ， ， 解得， 即的值分别为和； （2）解：∵的值分别为和 ∴． 如图所示： ， 点在轴上，且三角形的面积等于三角形的面积， 设， ， 则， ， 则或， 解得或 或． 【变式3】. （25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． (1)请在方格纸中画出平移后的； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)的面积是______． (4)平移过程中，边扫过的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 (4)9 【分析】（1）根据平移的性质，即可解答； （2）根据垂线段的定义作出图形即可解答； （3）利用分割法把三角形的面积看成长方形面积减去周围三个三角形的面积即可； （4）扫过的图形的面积即为两个平行四边形的面积相加，根据平行四边形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：； （4）解：如图，边扫过的面积是平行四边形加上平行四边形的面积， ∴边扫过的面积是． 题型12图形变换综合探究 方法技巧：先判断变换类型，再用性质推理证明。 【典例12】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F．已知，． (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，然后计算即可； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 【详解】（1）解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴； （2）解：． ∵， ∴ ∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·广东茂名·期中）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； 【详解】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴， 即至少旋转75度，才能使落在上； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的（1）（4）所示，虚线部分表示折痕）． (1)从图中可知，小明得出的依据是_______； (2)联系拓展：将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．小明经过思考，想到过正方形的顶点E作．请你根据小明的想法作出辅助线，并解答． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行（答案不唯一） (2)的度数为，图见解析 【分析】（1）根据折叠可得，、，再根据平行线的判定求解即可； （2）先根据题意作出图形，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如下图： 由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是； 第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是； ， ， ， 小明得出的依据是内错角相等，两直线平行； （2）解：如图，过点作， 由（1）可知，， ， ， ， ， ． 【变式3】. （25-26七年级下·广东茂名·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)，45 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据内错角的定义即可得到与是内错角，先推导出，再根据折叠的性质，得到，即可解答； （2）先推导出，，则，即可解答； （3）先推导出，再求出，根据将纸片沿折痕EF折叠，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图1 ∵点E与点A重合，使点恰好落在线段上， ∴与是内错角， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图 ， ， ， ， ； （3）解：如图 ， ， ， ， ∵将纸片沿折痕折叠， ， ， ． 一、单选题 1．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 2．如图，在俄罗斯方块游戏中，出现一L型图形正向下运动，为了使L型图形与已拼好的图案组合成一个完整的长方形，你必须进行以下哪项操作（     ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向左平移 D．逆时针旋转，向左平移 【答案】A 【分析】根据旋转的性质和平移的性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：要使L型图形与已拼好的图案组合成一个完整的长方形，可先顺时针旋转，再向右平移． 3．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 花圃长米，宽米，道路宽米， 种花部分可拼接为长（米），宽（米）的长方形， 种花的面积是（平方米）． 二、填空题 4．如图，将沿方向平移到的位置．已知的周长是，四边形的周长是，则平移的距离为_____ ． 【答案】5 【分析】利用平移的性质得到，，平移的距离为，结合的周长是，四边形的周长是，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知， ∵由沿方向平移得到， ∴，， ∵的周长是，四边形的周长是， ∴，， 两式相减得， ， ∴， 即平移的距离为． 5．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为30，则的长是___________． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得与面积相等，减去公共部分的面积后，剩余部分面积相等，即阴影部分的面积等于梯形的面积，利用梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，． ，． ． ． ． ． 解得． 6．如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由平移的性质可得，，再由，可得，据此可判断①②④；由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据等面积法求出此时的长即可判断③． 【详解】解：由平移的性质可得，，故①②正确； ∵，即， ∴，故④正确； 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③错误． ∴正确的有①②④． 三、解答题 7．如图，将沿方向平移，得到，若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平移的性质得，继而得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵将沿的方向平移得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 8．如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】先作的角平分线，再作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点D即为制作， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 【答案】(1)，， (2)作图见详解，三角形的面积为7 (3)作图见详解， 【分析】（1）根据题中的图形利用平面直角坐标系特征分别找出对应的点A，B，C的坐标即可； （2）根据题中平移的方式找出平移后点A、B、C的对应点，，，并依次连接即可画出，利用割补法求出的面积即可； （3）先作出对应的图形，利用平行线的性质结合图形求出点D的横坐标，再观察点A，C的坐标，找出对应规律后，从而求得点D的纵坐标，进而得出点D的坐标． 【详解】（1）解：根据图象可知， ，，． （2）解：如图所示，即为所求： ∴． （3）解：如图所示，点D为所求： ∵轴，， ∴， ∵点D为线段的交点，，， 从点A到点C，横坐标增加了，纵坐标减少了， ∴横坐标每增加1，则纵坐标减少， ∵，点D的横坐标比点A的横坐标增加了1， 由横坐标每增加1，则纵坐标减少可知， ∵， ∴， ∴． 10．如图，将沿的方向向右平移到的位置，点E在边上． (1)若，求的度数； (2)连接，若的周长为，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平移的性质得：，再由三角形内角和定理，即可求解； （2）由平移的性质得：，，从而得到，再由的周长为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质得：， ∵， ∴； （2）解：由平移的性质得：，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 轴对称、平移和旋转 教学目标 1.掌握轴对称、平移、旋转、中心对称的概念与性质。 2.能进行四种图形变换的作图。 3.会运用变换性质进行线段、角度、面积计算。 4.理解图形变换与全等的关系。 教学重难点 重点 （1）轴对称、平移、旋转、中心对称的性质 （2）图形变换作图方法 （3）全等图形的性质与应用 难点 （1）旋转与中心对称的性质理解 （2）图形变换的综合计算与证明 （3）利用变换思想解决实际问题 知识点01：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两侧部分能 。 2.成轴对称：两个图形沿某条直线折叠后能 。 3.性质：对应线段相等、对应角相等；对称点连线被对称轴 。 【即学即练】 1．下列交通标志中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 知识点02：图形的平移 1.两要素： 、 。 2.性质：对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等；对应点连线平行且相等； 、 。 【即学即练】 1．如图，将向右平移得到，点A，B，C分别平移到了点D，E，F，且点B，E，C，F在同一条直线上．连接，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 知识点03：图形的旋转 1.三要素： 、 、 。 2.性质：对应线段相等、对应角相等；对应点到旋转中心距离相等；图形 。 【即学即练】 1．如图，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点04：中心对称与中心对称图形 1.中心对称图形：一个图形绕某点旋转 后与自身重合。 2.成中心对称：两个图形绕某点旋转 后互相重合。 3.性质：对称点连线经过对称中心，且被对称中心 。 【即学即练】 1．如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 知识点05：图形的全等 1.定义：能够 合的两个图形全等。 2.性质：全等图形对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等。 3.关系：轴对称、平移、旋转前后的图形 。 【即学即练】 1．下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ⑤面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 题型01轴对称图形识别 方法技巧：沿直线折叠，两侧能完全重合即为轴对称图形。 【典例1】. （2026·浙江台州·二模）下列图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026·云南曲靖·二模）我国汉字博大精深，彰显美好意蕴．下列四个汉字中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026·山西吕梁·二模）山西省，简称“晋”，又称“三晋”．下面是小明收集的关于“晋”字的演变过程，其文字上方的部分是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （2026·湖北武汉·二模）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型02平移性质计算 方法技巧：对应点连线相等，对应线段、角不变。 【典例2】. （2026·山东东营·二模）如图，将一个周长为8的沿射线方向平移后得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，连接，已知四边形的周长为12，那么平移的距离是________． 【变式1】. （16-17八年级下·江西抚州·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 【变式2】. （25-26七年级下·重庆·期中）如图，沿射线方向平移得到，若，，则平移的距离为（） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 题型03旋转性质求角度 方法技巧：旋转角相等，对应点到中心距离相等。 【典例3】. （25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，若，则等于_____． 【变式2】. （25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，若，则的度数为________．    【变式3】. （25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，． (1)若，求旋转角的度数； (2)若，且，求的度数． 题型04找对称中心 方法技巧：两组对称点连线的交点即为对称中心。 【典例4】. （25-26八年级上·全国·课后作业）指出图中的中心对称图形，并画出其对称中心． 【变式1】. （25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 【变式2】. （25-26九年级上·全国·课后作业）在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，请画出它的对称中心． 题型05全等图形判断 方法技巧：形状、大小完全相同，与位置无关。 【典例5】. （25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B．C．D． 【变式2】. （25-26八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）下列四组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 题型06全等性质求线段/角度 方法技巧：利用对应边、对应角相等直接计算。 【典例6】. （24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，，若，，则的长为______． 【变式1】. （24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，若，且，，则______． 【变式2】. （24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【变式3】. （24-25七年级下·上海·期中）如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 题型07轴对称作图 方法技巧：作关键点关于对称轴的对称点，再顺次连接 【典例7】. （25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为_____________； (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】. （25-26七年级下·四川成都·期中）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)求的面积． 【变式2】. （25-26八年级下·贵州贵阳·期中）有一块三角形的广告牌，广告公司需要把它分成面积相等的两块．分别喷涂两种不同的宣传图案． 小明说：作的高，就能把广告牌分成面积相等的两块， 小亮说：作的中线，就能把广告牌分成面积相等的两块，你认为谁的说法正确？请用尺规作图作出对应的线段，并说明为什么这样作图能使得被分成面积相等的两块． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 题型08平移作图 方法技巧：按方向与距离平移所有关键点。 【典例8】. （25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，方格纸中每一个小正方形的边长都为1，建立平面直角坐标系，其中的三个顶点坐标分别为，，．将先向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到． (1)请画出平移后的． (2)的面积为________． 【变式1】. （2026八年级下·全国·专题练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【变式2】. （25-26七年级下·重庆开州·期中）把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【变式3】. （25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 题型09旋转作图 方法技巧：关键点绕中心旋转定角，保持距离不变。 【典例9】. （2026·安徽合肥·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 【变式1】. （25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． (1)在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． (2)请在图2中画出绕点C顺时针旋转后得到的格点． 【变式2】. （2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，A，B，C都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留作图痕迹，体现作图过程）． (1)延长至点D，连接，使； (2)将绕点逆时针旋转至，过点E作于点F，并直接写出EF的长． 【变式3】. （25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，的顶点坐标分别为，． (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的 (4)在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 题型10中心对称作图 方法技巧：延长关键点至对称中心等距位置，确定对称点。 【典例10】. （25-26七年级下·江苏盐城·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中，将沿方向平移，当点移动到点时，画出平移后的； (2)在图中，作关于直线对称的； (3)在图中，作关于点中心对称的． 【变式1】. （25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【变式2】. （25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图： (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； (2)将以原点O为旋转中心，旋转后得到，画出． (3)若与关于点Q成中心对称，则点Q的坐标为_______． 【变式3】. （25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形； (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形．（只需画出符合条件的一种情形） 题型11图形变换与面积计算 方法技巧：变换不改变面积，用割补法、等量代换求解。 【典例11】. （25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【变式1】. （2026七年级下·江苏·专题练习）作图题 (1)3月12日是植树节，图中树需进行平移，请将树根A移到点F处，作出平移后的树． (2)小明家有一块三角形菜地，要种面积相等的四种蔬菜，请你设计两种方案，把这块地分成四块面积相等的三角形地块分别种植这四种蔬菜． 【变式2】. （25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点为原点，线段平移得到线段，点的对应点为点．已知． (1)根据平移的性质，求的值； (2)若点在轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【变式3】. （25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． (1)请在方格纸中画出平移后的； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)的面积是______． (4)平移过程中，边扫过的面积是______． 题型12图形变换综合探究 方法技巧：先判断变换类型，再用性质推理证明。 【典例12】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F．已知，． (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式1】. （25-26八年级下·广东茂名·期中）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 【变式2】. （25-26七年级下·北京朝阳·期中）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的（1）（4）所示，虚线部分表示折痕）． (1)从图中可知，小明得出的依据是_______； (2)联系拓展：将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．小明经过思考，想到过正方形的顶点E作．请你根据小明的想法作出辅助线，并解答． 【变式3】. （25-26七年级下·广东茂名·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 一、单选题 1．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，在俄罗斯方块游戏中，出现一L型图形正向下运动，为了使L型图形与已拼好的图案组合成一个完整的长方形，你必须进行以下哪项操作（     ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向左平移 D．逆时针旋转，向左平移 3．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 二、填空题 4．如图，将沿方向平移到的位置．已知的周长是，四边形的周长是，则平移的距离为_____ ． 5．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为30，则的长是___________． 6．如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 三、解答题 7．如图，将沿方向平移，得到，若，，求的度数． 8．如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 9．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 10．如图，将沿的方向向右平移到的位置，点E在边上． (1)若，求的度数； (2)连接，若的周长为，求四边形的周长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $