专题9.3 旋转（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“旋转”核心知识点，系统梳理旋转的定义（三要素：中心、方向、角度）、性质（对应点距中心等距、旋转角相等）、作图（四要素及步骤）、旋转对称图形（最小旋转角计算），并对比平移与轴对称，构建从概念到应用的知识支架。 资料亮点在于知识点与题型深度融合，即学即练巩固基础，生活实例（如钟表指针、风车旋转）培养数学眼光，网格作图提升空间观念，综合题（旋转与平行线角度计算）发展推理能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题9.3 旋转 教学目标 1.理解旋转的定义，掌握旋转三要素。 2.掌握旋转的性质，能进行角度、线段计算。 3.能按要求画出旋转后的图形，会找旋转中心。 4.认识旋转对称图形，会求最小旋转角。 5.能区分旋转、平移、轴对称，解决简单综合问题。 教学重难点 重点 （1）旋转的概念与三要素 （2）旋转的基本性质 （3）旋转作图的方法 （4）旋转对称图形的判断 难点 （1）旋转角的识别与计算 （2）旋转性质的灵活运用 （3）旋转中心的确定 （4）旋转与平行、角度综合问题 知识点01：旋转的相关概念 1.定义：在平面内，将一个图形绕 按一定方向转动一个角度，叫做图形的旋转。 2.核心要素： 、 （顺时针/逆时针）、 。 3.对应元素：旋转前后重合的点为 ，重合的线段为 ，重合的角为 。 4.旋转角：对应点与旋转中心所连线段的 。 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（ ） A．旋转改变图形的形状 B．旋转不改变图形的大小 C．图形可以向某方向旋转一定距离 D．由旋转得到的图形也一定可由平移得到 知识点02：旋转的基本性质 1.对应点到旋转中心的距离 。 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角 。 3.旋转前、后的图形 ，对应线段相等，对应角相等。 4.旋转只改变图形 ，不改变形状、大小与方向。 【即学即练】 1．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形． (1)图中点的对应点是点______，______； (2)若，，求的度数． 知识点03：旋转作图 1.作图四要素：已知图形、 、 、 。 2.作图步骤：找关键点→连中心与关键点→作旋转角→截取等长线段→顺次连接对应点。 3.找旋转中心：两组对应点连线的 。 【即学即练】 1．如图，在网格中，小正方形的边长均为个单位，点都在格点上，直线经过点． (1)仅用无刻度的直尺在网格中作图． ①画，使绕点顺时针旋转； ②画使与关于直线对称； ③在直线上找一点，使最小． (2)发现：经过一次 （填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． 知识点04：旋转对称图形 1.定义：绕定点旋转一定角度 后能与自身重合的图形。 2.最小旋转角：正n边形最小旋转角为 3.与图形旋转的区别：前者是图形自身特征，后者是图形位置变换。 【即学即练】 1．下列图形旋转一定角度（小于）后与其自身不能重合的图形是（   ） A．B． C． D． 故选：A． 知识点05：旋转、平移、轴对称的异同 变换 运动方式 核心依据 相同点 旋转 绕定点转动 旋转三要素 只改位置，不改形状、大小，变换前后全等 平移 沿直线移动 方向、距离 只改位置，不改形状、大小，变换前后全等 轴对称 沿直线翻折 对称轴 只改位置，不改形状、大小，变换前后全等 【即学即练】 1．下列关于旋转和平移的说法正确的是（    ） A．旋转使图形的形状发生改变 B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C．对应点到旋转中心距离相等 D．平移与旋转都可改变图形的位置和大小 题型01识别生活中的旋转现象 方法技巧：判断是否绕定点转动，有旋转中心与旋转角。 【例题1】.（2026八年级下·全国·专题练习）升旗时国旗的运动是（    ），钟面上时针、分针的运动是（    ）． A．平移；旋转 B．旋转；对称 C．对称；旋转 D．旋转；平移 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 题型02确定旋转三要素 方法技巧：找不动点为中心，对应点连线夹角为旋转角，分清顺/逆时针。 【例题2】.（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·江苏南京·期中）将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【变式题2-2】.（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，在小正方形组成的网格中，图②是由图①经过旋转变换得到的，其旋转中心是点______（填“”或“”或“”）． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（    ） A． B． C． D． 题型03利用旋转性质求角度 方法技巧：对应角相等，旋转角相等，结合三角形内角和计算。 【例题3】.（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则______． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（21-22九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·河北保定·期中）踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化示意图，，．若要使臂部与腿部平行（），则应绕点逆时针旋转__________°． 题型04判断旋转对称图形 方法技巧：旋转0°~360°内能与自身重合，是旋转对称图形。 【例题4】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）2026年河南省第十五届运动会在安阳举办，大会吉祥物之一为“牛牛”，其设计造型以本省世界级的青铜器亚长牛尊、甲骨文字、吉祥纹样等作为创意构思的重点．通过将如图所示的“牛牛”旋转，不能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·单元测试）将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A．B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·全国·单元测试）下列图形绕某点旋转（旋转度数不超过）后，不能与原来重合的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（23-24九年级上·广西梧州·期末）下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（   ） A．B．C． D． 题型05网格中旋转作图 方法技巧：关键点按旋转要求定位，顺次连接对应点。 【例题5】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，仅用无刻度的直尺画图． (1)平移得到，使得点的对应点为； (2)将绕点顺时针旋转，得到． 【变式题5-1】.（2026·安徽宣城·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； (2)画出以点为旋转中心顺时针旋转后得到的； (3)连接，，直接写出四边形的面积为________． 【变式题5-2】.（2026·宁夏银川·一模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． (1)画出以点为旋转中心，将逆时针旋转得到的． (2)用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，点、、、都在格点上．按下列要求画图： (1)画出向左平移个单位长度后得到的； (2)画出绕点按逆时针方向旋转后的； (3)在直线上找出一点，使得的值最小． 题型06求旋转对称图形最小旋转角 方法技巧：正n边形最小旋转角为。 【例题6】.（25-26七年级下·吉林·期中）如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，它的最小旋转角度数为________． 【变式题6-1】.（2026·江苏泰州·一模）明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角星图案绕点O至少旋转_________度才能与自身重合． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，该图案绕它的中心旋转能与自身重合，则旋转角最小为_________    【变式题6-3】.（2026九年级·吉林·专题练习）喜迎2026马年，中华传统贴福纳新，如图中的福字在一个正八边形内．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，体现了数学的对称美．正八边形绕着它的中心至少旋转_________度就能与自身重合． 题型07旋转与面积计算 方法技巧：旋转前后图形全等，面积不变，转化为规则图形计算。 【例题7】.（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，将绕点旋转至的位置，若点恰好落在边上，与相交于点，若的面积比的面积大24，则的面积为（） A．12 B．21 C．24 D．27 【变式题7-2】.（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求的面积． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 题型08旋转与平行线综合问题 方法技巧：用旋转性质得角相等，结合平行线判定与性质。 【例题8】.（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知一副三角板按图1所示摆放，．，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧，保持不动．      (1)在图1中，_________； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则_________； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数； (4)将绕点逆时针方向旋转时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出的所有值． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图1．是一款可折叠台灯．图、图是其平面示意图，支架，为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，的角平分线始终与垂直，垂足为点． (1)如图，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (2)将图中绕点顺时针旋转（），射线与直线相交于点，如图所示． ①当时，的度数为________． ②当与水平方向的夹角时，求的度数． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1， 已知与摆放在一起， 点A、C、E在同一直线上，其中，，． 如图2， 固定， 将绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角 ． (1)当时， (2)在旋转过程中，试探究与间的关系； ①当时， ， ②当时， ， ③当  时， (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图1：已知直线，，平分． (1)求的度数； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，且．点N是线段上一点，且．点K是线段上一点满足，求的值； (3)在（2）的条件下，如图3，当时，将绕点G每秒逆时针旋转到，同时，绕点K以每秒顺时针旋转得到．记第一次与平行时的时间为，第二次与垂直的时间为．当，请直接写出所在直线与一边所在直线平行时的所有时间t． 一、单选题 1．下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（   ）能与自身重合． A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，绕点按顺时针方向旋转得到，若，，则__________． 5．点为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点旋转一周，当的度数是________时，直线与直线互相平行． 6．如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 三、解答题 7．如图，将绕点逆时针方向旋转得到； (1)若，求旋转角的度数； (2)若，且，求的度数． 8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 9．利用对称性可设计出美丽的图案，在边长为1的方格中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）． (1)作出该四边形关于直线l成轴对称的图形； (2)作出你所作图形（连同原四边形）绕点O按顺时针方向旋转后的图形； (3)完成上述设计后，求整个图案的面积． 10．如图把按逆时针方向旋转得到． (1)旋转中心是点 ． (2)若，求的度数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 旋转 教学目标 1.理解旋转的定义，掌握旋转三要素。 2.掌握旋转的性质，能进行角度、线段计算。 3.能按要求画出旋转后的图形，会找旋转中心。 4.认识旋转对称图形，会求最小旋转角。 5.能区分旋转、平移、轴对称，解决简单综合问题。 教学重难点 重点 （1）旋转的概念与三要素 （2）旋转的基本性质 （3）旋转作图的方法 （4）旋转对称图形的判断 难点 （1）旋转角的识别与计算 （2）旋转性质的灵活运用 （3）旋转中心的确定 （4）旋转与平行、角度综合问题 知识点01：旋转的相关概念 1.定义：在平面内，将一个图形绕定点O按一定方向转动一个角度，叫作图形的旋转。 2.核心要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角。 3.对应元素：旋转前后重合的点为对应点，重合的线段为对应线段，重合的角为对应角。 4.旋转角：对应点与旋转中心所连线段的夹角。 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（ ） A．旋转改变图形的形状 B．旋转不改变图形的大小 C．图形可以向某方向旋转一定距离 D．由旋转得到的图形也一定可由平移得到 【答案】B 【分析】本题考查了平移和旋转的性质，根据平移和旋转的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A．旋转不改变图形的形状，故原说法错误，不符合题意； B．旋转不改变图形的大小，故原说法正确，符合题意； C．图形可以向某方向平移一定距离，旋转是图形绕某点旋转一定角度，故原说法错误，不符合题意； D．旋转是图形绕某点旋转一定角度，平移是图形向某方向移动一定距离，由旋转得到的图形不一定可由平移得到，不符合题意， 故选：B 知识点02：旋转的基本性质 1.对应点到旋转中心的距离相等。 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 3.旋转前、后的图形全等，对应线段相等，对应角相等。 4.旋转只改变图形位置，不改变形状、大小与方向。 【即学即练】 1．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形． (1)图中点的对应点是点______，______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得答案； （2）根据旋转的性质得，根据平行线的性质得，然后由可得答案． 【详解】（1）解：∵将三角形绕点逆时针旋转得到三角形， ∴图中点的对应点是点，； （2）解：∵将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 知识点03：旋转作图 1.作图四要素：已知图形、旋转中心、旋转方向、旋转角度。 2.作图步骤：找关键点→连中心与关键点→作旋转角→截取等长线段→顺次连接对应点。 3.找旋转中心：两组对应点连线的垂直平分线交点。 【即学即练】 1．如图，在网格中，小正方形的边长均为个单位，点都在格点上，直线经过点． (1)仅用无刻度的直尺在网格中作图． ①画，使绕点顺时针旋转； ②画使与关于直线对称； ③在直线上找一点，使最小． (2)发现：经过一次 （填写“平移”、“旋转”或“轴对称”）可以与重合． 【答案】(1)①见详解，②见详解，③见详解 (2)旋转 【分析】本题考查网格中的图形变换（旋转、轴对称）以及最短路径问题． （1）①根据图形旋转的规律找到每个点旋转后的点，连接各点即可； ②根据轴对称图形的特点找到每个点关于直线的对称点，连接各点即可； ③根据两点之间线段最短，找到点关于直线的对称点，根据，连接，与直线的交点即为点． （2）依次根据各种图形变换的特点进行判断，即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，根据 “绕点旋转” 的坐标变化规律，先确定三点绕点顺时针旋转后的对应点，再依次连接，得到即为所求； ②如图，作三点关于直线的对称点，再依次连接，得到即为所求； ③如图，根据点和点关于直线对称，连接对称点与点，这条线段与直线的交点即为所求的点； （2）解：根据图形平移的定义，图形沿某个方向，移动相同的距离，所以图中和不是平移变换，根据轴对称图形的定义，轴对称图形是关于一条直线进行翻折，所以图中和不是轴对称， 根据图形旋转的定义，图形绕一个定点（旋转中心），按一定角度转动，所以图中和是可以通过旋转得到的． 故答案为：旋转． 知识点04：旋转对称图形 1.定义：绕定点旋转一定角度（0°<α<360°）后能与自身重合的图形。 2.最小旋转角：正n边形最小旋转角为。 3.与图形旋转的区别：前者是图形自身特征，后者是图形位置变换。 【即学即练】 1．下列图形旋转一定角度（小于）后与其自身不能重合的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，解题的关键是掌握旋转对称图形的定义． 根据旋转对称图形的定义逐项进行判断即可，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫作旋转对称图形． 【详解】解：A.该图形旋转一定角度后，不能与其自身重合，符合题意； B.该图形旋转后，能与其自身重合，不符合题意； C. 该图形旋转后，能与其自身重合，不符合题意； D. 该图形旋转后，能与其自身重合，不符合题意； 故选：A． 知识点05：旋转、平移、轴对称的异同 变换 运动方式 核心依据 相同点 旋转 绕定点转动 旋转三要素 只改位置，不改形状、大小，变换前后全等 平移 沿直线移动 方向、距离 只改位置，不改形状、大小，变换前后全等 轴对称 沿直线翻折 对称轴 只改位置，不改形状、大小，变换前后全等 【即学即练】 1．下列关于旋转和平移的说法正确的是（    ） A．旋转使图形的形状发生改变 B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C．对应点到旋转中心距离相等 D．平移与旋转都可改变图形的位置和大小 【答案】C 【分析】平移和旋转都是全等变换，只改变图形位置，不改变图形的形状和大小，结合旋转的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵平移和旋转都是全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形位置， ∴A选项说旋转改变图形形状错误，D选项说平移和旋转可改变图形大小错误； ∵旋转会改变图形的方向，平移不改变图形方向，所以旋转得到的图形无法通过平移得到， ∴B选项错误； 由旋转的性质可知，旋转的对应点到旋转中心距离相等， ∴C选项正确． 题型01识别生活中的旋转现象 方法技巧：判断是否绕定点转动，有旋转中心与旋转角。 【例题1】.（2026八年级下·全国·专题练习）升旗时国旗的运动是（    ），钟面上时针、分针的运动是（    ）． A．平移；旋转 B．旋转；对称 C．对称；旋转 D．旋转；平移 【答案】A 【详解】解：∵升旗过程中，国旗任意两点间的相对方向和距离不变，整体沿直线移动，符合平移的定义， ∴升旗时国旗的运动是平移， ∵钟面上时针、分针都绕钟面中心定点转动，各点到中心的距离不变，符合旋转的定义， ∴钟面上时针、分针的运动是旋转． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 【答案】C 【分析】在平面内，绕一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换称为旋转，沿某一方向直线移动的变换称为平移，根据定义逐一判断各选项的运动类型即可． 【详解】解：选项A国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，不符合要求； 选项B输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，不符合要求； 选项C轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合要求； 选项D扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，不符合要求． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【答案】A 【详解】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，符合题意； B．国旗上升的过程，属于平移，不符合题意； C．传输带运输的东西，属于平移，不符合题意； D．飞驰的火车沿轨道移动，属于平移，不符合题意． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫作旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 题型02确定旋转三要素 方法技巧：找不动点为中心，对应点连线夹角为旋转角，分清顺/逆时针。 【例题2】.（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【答案】G 【分析】分别连接两组对应点作它们的垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·江苏南京·期中）将线段绕点O旋转一定角度得到线段，分别是A、B的对应点．如图，求作旋转中心O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】作的中垂线，两条中垂线的交点即为旋转中心. 【详解】解：如图，点即为所求； 【变式题2-2】.（2026八年级下·山东青岛·专题练习）如图，在小正方形组成的网格中，图②是由图①经过旋转变换得到的，其旋转中心是点______（填“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：根据两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心，可知图②经过旋转变换得到图①的旋转中心是． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质可得，再结合旋转的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，且、、在同一直线上， ∴， 由旋转的性质可得旋转角度是， 故选：C． 题型03利用旋转性质求角度 方法技巧：对应角相等，旋转角相等，结合三角形内角和计算。 【例题3】.（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则______． 【答案】/ 【分析】根据旋转的性质结合角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵把绕点按逆时针方向旋转得到，， ∴， ∴. 【变式题3-1】.（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题3-2】.（21-22九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知，对应边 与 的夹角即为旋转角，从而可以得到 的度数，由 结合角的和差关系可以得到 的度数． 【详解】解： 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ， ， ， ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·河北保定·期中）踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化示意图，，．若要使臂部与腿部平行（），则应绕点逆时针旋转__________°． 【答案】32 【分析】设绕点逆时针旋转至时，，再由两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：当绕点逆时针旋转至时，， ， ，又， ． 题型04判断旋转对称图形 方法技巧：旋转0°~360°内能与自身重合，是旋转对称图形。 【例题4】.（25-26八年级下·河南郑州·期中）2026年河南省第十五届运动会在安阳举办，大会吉祥物之一为“牛牛”，其设计造型以本省世界级的青铜器亚长牛尊、甲骨文字、吉祥纹样等作为创意构思的重点．通过将如图所示的“牛牛”旋转，不能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结果． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； C．不能由如图所示的图形经过旋转得到，故本选项符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意. 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·单元测试）将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，读懂题意是解答的关键． 将图案绕中心顺时针先旋转，再旋转，得出图形即可； 【详解】解：根据旋转的定义， 图案先旋转，再旋转，得出的图案是选项A． 故选：A． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·全国·单元测试）下列图形绕某点旋转（旋转度数不超过）后，不能与原来重合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：选项的图形绕某点旋转后都能与原图形重合，只有B选项不能． 故选：B． 【变式题4-3】.（23-24九年级上·广西梧州·期末）下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与旋转对称图形的识别，掌握这两个概念是解题的关键；根据轴对称图形与旋转对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、只能利用轴对称得到图形，不能利用旋转得到图形，故不符合题意； B、不能利用轴对称得到图形，只能利用旋转得到图形，故不符合题意； C、不能利用轴对称得到图形，能利用旋转得到图形，故不符合题意； D、能利用轴对称得到图形，又能利用旋转得到图形，故符合题意； 故选：D． 题型05网格中旋转作图 方法技巧：关键点按旋转要求定位，顺次连接对应点。 【例题5】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，仅用无刻度的直尺画图． (1)平移得到，使得点的对应点为； (2)将绕点顺时针旋转，得到． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用点对应点的位置关系，分析平移规律可知点先向右移1格，再向下移5格，进而确定点的对应点，用直尺顺次连接即可； （2）旋转可以利用“横变竖，竖变横”的规律找到线段和分别绕点旋转后的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 【变式题5-1】.（2026·安徽宣城·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； (2)画出以点为旋转中心顺时针旋转后得到的； (3)连接，，直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据要求作图即可； （3）根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解： ． 【变式题5-2】.（2026·宁夏银川·一模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． (1)画出以点为旋转中心，将逆时针旋转得到的． (2)用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）根据旋转的性质分别找出点，再依次连接，即可作答； （）利用线段垂直平分线的性质结合网格的特征，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，作的垂直平分线，交于点，则即为所求． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，点、、、都在格点上．按下列要求画图： (1)画出向左平移个单位长度后得到的； (2)画出绕点按逆时针方向旋转后的； (3)在直线上找出一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）分别画出点、、向左平移个单位长度的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； （2）分别画出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、，连接点、、，得到即为所求； （3）作点关于的对称点，连接交直线于点，根据两点之间线段最短可知，此时的值最小． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别画出点、、向左平移个单位长度的对应点、、， 连接点、、，得到即为所求； （2）解：如下图所示， 分别画出点、、绕点逆时针旋转的对应点、、， 连接点、、，得到即为所求； （3）解：如下图所示， 作点关于的对称点，连接交直线于点， 则有， ， 此时的值最小． 题型06求旋转对称图形最小旋转角 方法技巧：正n边形最小旋转角为。 【例题6】.（25-26七年级下·吉林·期中）如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，它的最小旋转角度数为________． 【答案】/90度 【分析】根据每旋转角的整数倍都能与原图形重合，则旋转角最小是，即可解答． 【详解】解：由图，可得， ∴每旋转角的整数倍都能与原图形重合， 故旋转角最小是． 【变式题6-1】.（2026·江苏泰州·一模）明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角星图案绕点O至少旋转_________度才能与自身重合． 【答案】72 【分析】根据旋转对称图形的性质解答即可； 【详解】解：这个五角星是旋转对称图形，中心O将整个周角平均分成了5个相等的部分， 根据旋转对称图形的性质，最小旋转角度周角度数等份数， 即： ， 因此绕点O至少旋转72度就能与自身重合． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，该图案绕它的中心旋转能与自身重合，则旋转角最小为_________    【答案】 /度 【分析】观察图形可知，该图形被平分成个相同的部分，根据旋转对称图形的性质，最小旋转角等于周角除以份数． 【详解】解：观察图形可知，该图案是一个旋转对称图形，且被平均分成了个完全相同的部分， 因为周角为， 所以该图案绕它的中心旋转能与自身重合的最小旋转角为． 【变式题6-3】.（2026九年级·吉林·专题练习）喜迎2026马年，中华传统贴福纳新，如图中的福字在一个正八边形内．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，体现了数学的对称美．正八边形绕着它的中心至少旋转_________度就能与自身重合． 【答案】45 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫作旋转对称图形，这个定点叫作旋转对称中心，旋转的角度叫作旋转角． 根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：， ∴该图形绕中心至少旋转度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：． 题型07旋转与面积计算 方法技巧：旋转前后图形全等，面积不变，转化为规则图形计算。 【例题7】.（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积、旋转的性质．根据旋转的性质即可判断A、B；设中阴影部分的面积为，求得，从而得即可判断C；由，，不一定成立，说明不一定成立． 【详解】解：根据旋转的性质，，， ∴A、B说法正确，不符合题意； 设中阴影部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴C说法正确，不符合题意； ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，将绕点旋转至的位置，若点恰好落在边上，与相交于点，若的面积比的面积大24，则的面积为（） A．12 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质．由的面积比的面积大24，得到，由旋转的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵的面积比的面积大24， ∴， ∴， 即， ∵旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求的面积． 【答案】2 【分析】利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可． 【详解】解：在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，证明即可； （2）由题意可知，，，得到，根据三角形的面积公式求解即可； 【详解】（1）证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． （2）（2）由题意可知，，， ， ，， ， ． 题型08旋转与平行线综合问题 方法技巧：用旋转性质得角相等，结合平行线判定与性质。 【例题8】.（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知一副三角板按图1所示摆放，．，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧，保持不动．      (1)在图1中，_________； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则_________； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数； (4)将绕点逆时针方向旋转时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出的所有值． 【答案】(1)150 (2)30 (3)30 (4)，45，90，135 【分析】本题主要考查角之间的和差关系，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解； （2）分别表示出和即可求解； （3）设旋转角度，平分时，，据此列方程，即可求解； （4）分情况讨论：当时；当时；当时；当时，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， （3）解：设旋转角，如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角的度数是； （4）解：当时，如图， ∴， ∴， ∴； 当时，设与相交于E，如图， ∴， 又， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∴； 综上，，45，90，135． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图1．是一款可折叠台灯．图、图是其平面示意图，支架，为固定支撑杆，支架可绕点旋转调节．已知灯体顶角，的角平分线始终与垂直，垂足为点． (1)如图，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (2)将图中绕点顺时针旋转（），射线与直线相交于点，如图所示． ①当时，的度数为________． ②当与水平方向的夹角时，求的度数． 【答案】(1) (2)①  ② 【分析】（）根据已知条件可得，再结合，算出即可． （）①先找到旋转后的，由垂直得到，列方程求解即可． ②过作交于，得到， 再根据三角形内角和的性质得到求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵与水平方向夹角，支架也旋转至水平位置， ∴． （2）解：如图所示， ①当绕点顺时针旋转时，与水平的夹角为，与水平的夹角为， ∴, ∵, ∴， ∴， ∴． ②过作交于， ∴， 由（）知，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，角平分线的定义，垂线的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关知识点，数形结合分析是解决本题的关键． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图1， 已知与摆放在一起， 点A、C、E在同一直线上，其中，，． 如图2， 固定， 将绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角 ． (1)当时， (2)在旋转过程中，试探究与间的关系； ①当时， ， ②当时， ， ③当  时， (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数． 【答案】(1)30 (2)①； ②； ③ (3)，，，， 【分析】（1）根据旋转角的定义进行解答即可； （2）根据旋转过程中各个角之间的变化关系进行解答即可； （3）在旋转过程中，画出的一边与的某一边平行（不共线）的所有可能出现的情况图，再根据各个角之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，当时，， 即； （2）解：①当时，如图2， ，， ∴； ②当时，如图3， ， 即； ③当时，如图4，，， ∴； （3）解：当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 综上所述，当的一边与的某一边平行（不共线）时，旋转角所有可能的度数为，，，，． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图1：已知直线，，平分． (1)求的度数； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，且．点N是线段上一点，且．点K是线段上一点满足，求的值； (3)在（2）的条件下，如图3，当时，将绕点G每秒逆时针旋转到，同时，绕点K以每秒顺时针旋转得到．记第一次与平行时的时间为，第二次与垂直的时间为．当，请直接写出所在直线与一边所在直线平行时的所有时间t． 【答案】(1) (2) (3)当所在直线与一边所在直线平行时，或40 【分析】（1）由题意易得，，然后根据平角的定义可进行求解； （2）由题意可设，则有，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解； （3）由（2）可得当时，则有，，，，，，由题意易得，然后可分当时，当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：由可设，则有， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：当时，则有，，，，，， 当第一次与平行时的时间为时，即， ∴， ∴， 此时旋转的度数为， ∵， ∴此时的边与直线重合； 当第二次与垂直的时间为时，延长，则有，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴可把和从当第一次与平行时的时间（此时的边与直线重合）算起， ①当时，延长，分别交直线、于点O、P、R，由题意知，如图所示： ∴，，， 由旋转可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∴， 由①可得：， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴此时、都与重合，不符合题意，舍去； ③当，如图所示： ∴， 由②可知：，， ∴， 解得：； 综上所述：当所在直线与一边所在直线平行时，或40． 一、单选题 1．下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键． 根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、变换方式是平移，不符合题意； B、变换方式是旋转，符合题意； C、变换方式是轴对称，不符合题意， D、变换方式不是旋转，不符合题意． 故选：B． 2．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴A、B、C正确，不符合题意； 不一定成立，D符合题意． 3．如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（   ）能与自身重合． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新图形中心角的求法解答即可. 【详解】解：要使新图形旋转后，与其自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数是 ． 二、填空题 4．如图，绕点按顺时针方向旋转得到，若，，则__________． 【答案】/度 【分析】由旋转的性质证明，再进一步求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．点为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点旋转一周，当的度数是________时，直线与直线互相平行． 【答案】 或 【分析】根据，利用平行线的性质可知直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即．由于三角板绕点旋转一周，需分点在直线上方和下方两种情况进行讨论，结合三角形的外角性质求出的度数． 【详解】解：设直线与直线交于点． 分两种情况讨论： （1）当点在直线上方时，如图， ， ． ； （2）当点在直线下方时，如图， ， ． ． ． 综上所述，当的度数是或时，直线与直线互相平行． 6．如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 【答案】4 【分析】一圈有360度，每次旋转60度，那么每6次旋转为一个循环，求出除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴每6次旋转为一个循环， ∵， ∴第2026个图案与第1个至第4个中的第4个箭头方向相同． 三、解答题 7．如图，将绕点逆时针方向旋转得到； (1)若，求旋转角的度数； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转的性质得到，，再由平行线的性质作答即可； （2）由旋转的性质得到，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ； （2）解：绕点逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ∴． 8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质得到，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 9．利用对称性可设计出美丽的图案，在边长为1的方格中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）． (1)作出该四边形关于直线l成轴对称的图形； (2)作出你所作图形（连同原四边形）绕点O按顺时针方向旋转后的图形； (3)完成上述设计后，求整个图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)20 【分析】（1）根据图形对称的性质作出关于直线l的对称图形即可； （2）作出所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转后的图形即可； （3）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）如图所示即为所求； （3）∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1， ∴原图形的面积为：， ∴整个图案的面积． 10．如图把按逆时针方向旋转得到． (1)旋转中心是点 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)A (2) 【分析】（1）根据旋转在旋转过程固定不变的点是旋转中心解答即可； （2）根据旋转的性质得，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵把按逆时针方向旋转得到，点A固定不变， ∴旋转中心是点A； （2）解：因为按逆时针方向旋转得到 所以 因为， 所以 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $