专题13中心对称图形 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

本初中数学讲义聚焦中心对称图形核心知识点，系统梳理中心对称的定义、性质、图形识别及作图步骤，构建从概念理解到性质应用再到实际作图的完整学习支架。 资料通过7类题型分类讲解，结合钟面、围棋等生活实例设计典例与变式，培养学生几何直观和空间观念。过关检测覆盖多样题型，助力课中教学与课后查漏，提升推理能力与应用意识。

专题13中心对称图形 （4知识点+7题型+过关检测） 【题型1 成中心对称】 1 【题型2 中心对称的性质】 4 【题型3 中心对称图形的识别】 7 【题型4 判断中心对称图形的对称中心】 9 【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】 11 【题型6 画已知图形关于某点对称的图形】 13 【题型7 图案设计】 19 1. 知识目标：理解中心对称、中心对称图形的概念，掌握中心对称的性质；能区分中心对称与中心对称图形；掌握画中心对称图形的方法；理解对称中心的意义。 2. 能力目标：能识别中心对称图形，确定对称中心；能在方格纸中补画或绘制中心对称图形；运用中心对称性质解决角度、线段、图案设计等问题。 3. 素养目标：培养几何直观、空间想象与对称美感，提升图形观察、作图与逻辑推理能力。 03 知识•梳理 知识点1：中心对称的定义 • 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。 • 这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 • 中心对称是指两个图形之间的一种位置关系。 知识点2：中心对称的性质 1. 关于中心对称的两个图形是全等形。 2. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 3. 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 知识点3：中心对称图形 • 定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 • 常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、正六边形等。 • 注意：中心对称图形是对**一个图形**而言的。 知识点4：中心对称作图步骤 1. 找：找出已知图形的关键点（顶点、端点）。 2. 画：分别画出各关键点关于对称中心的对称点。 3. 连：顺次连接各对称点，得到对称图形。 04 题型•汇总 【题型1 成中心对称】 解题思路： • 判断依据：两个图形绕某点旋转180°后能完全重合。 • 先找对称中心，再验证对应点连线是否被中心平分。 • 中心对称一定全等，全等不一定中心对称。 【典例1】．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 【变式1】．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 【变式2】．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式3】．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成轴对称图形和成中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念，并加以区分． 利用成轴对称图形和成中心对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； B. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； C. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意； D. 选项图形是成轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 【题型2 中心对称的性质】 解题思路： • 对称点连线必过对称中心，且被中心平分。 • 对应线段平行且相等，对应角相等。 • 求线段长、角度直接用全等性质推导。 【典例2】．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、与不是对应角，是， 不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的周长为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 【变式3】．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【题型3 中心对称图形的识别】 解题思路： • 绕中心旋转180°能与自身重合才是。 • 常见：平行四边形、圆、正方形、矩形、菱形、线段。 • 注意：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形不是中心对称图形。 【典例3】．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式1】．我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 ． 【详解】A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ， B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 ， C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， D． 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ． 【变式2】．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 【答案】①⑤ 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念. 在平面内，若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形；在平面内，若把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形；根据两个概念逐一判断各图形即可． 【详解】解：①线段，沿线段的垂直平分线或线段所在直线折叠都能重合，是轴对称图形，绕线段中点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求； ②角，沿角平分线所在直线折叠能重合，是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ③等边三角形，是轴对称图形，旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ④平行四边形，绕对角线交点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，不存在直线使折叠后重合，不是轴对称图形，不符合要求； ⑤正六边形，有多条对称轴，是轴对称图形，绕中心旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求． 故答案为①⑤． 【变式3】．以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_____．（填序号即可） ①圆；②长方形；③等边三角形；④平行四边形；⑤线段；⑥角． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析即可得出结果，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：①圆是轴对称图形，任何直径所在直线都是对称轴，也是中心对称图形，圆心是对称中心； ②长方形是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点的连线），也是中心对称图形，对角线交点为对称中心； ③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，但不是中心对称图形； ④平行四边形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，对角线交点为对称中心； ⑤线段是轴对称图形，其垂直平分线是对称轴，也是中心对称图形，中点为对称中心； ⑥角是轴对称图形，角平分线是对称轴，但不是中心对称图形． 故答案为：①②⑤． 【题型4 判断中心对称图形的对称中心】 解题思路： • 对称中心是对称点连线的中点。 • 两条对称点连线的交点就是对称中心。 • 规则图形：中心在对角线交点、几何中心。 【典例4】．如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，连接对角线即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∴其中是平行四边形中心的是点； 故选：B 【变式1】．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 【变式2】．如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 【变式3】．如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】 解题思路： • 先确定已有图形关键点，找它们的对称点。 • 按顺序连接对称点，完成图形。 【典例5】．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，图形绕对称中心旋转后能与自身重合，观察图形中黑子的分布确定对称中心，再根据已有白子的位置找出缺失的对称点． 【详解】解：图中4个黑子构成一个正方形，且关于网格中心对称， 该对弈图的对称中心为网格的中心点， 左上方的白子与右下方的白子关于网格中心对称， 要使整个图形成为中心对称图形，只需使右上方的白子与落子点关于网格中心对称， 观察图形可知，白方落子应在C点． 【变式1】．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析即可． 【详解】解：如图，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有3种： 【变式2】．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 【变式3】．如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形______涂灰．(填编号) 【答案】① 【详解】解：如图， 当涂灰①时，图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 当涂灰②时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 当涂灰③时，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 当涂灰④时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 【题型6 画已知图形关于某点对称的图形】 解题思路： • 步骤：找点→画对称点→连线。 • 每个顶点都要画出对称点，不能遗漏。 • 画完检查旋转180°是否重合。 【典例6】．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)请画出绕O顺时针旋转后的，并写出点的坐标_________； (3)若将平移得到，使得点A与D对应，点B与E对应，点C与F对应，其中点D的坐标为，则平移的距离为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【分析】（1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； （3）根据与得到平移方式，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求；． （3）解：∵平移后的对应点为，且， ∴将向右平移一个单位，再向下平移4个单位，得到， ∴平移的距离为． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点O成中心对称，画出； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出，则的坐标为________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标标出、、，然后顺次连接即可； （2）利用网格和旋转的性质确定对应点的位置，再将对应点顺次连接即可；根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律：点旋转后为即可解答； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， 绕原点顺时针旋转的坐标变换规律：点旋转后为， ∴点的对应顶点． 【变式2】．如图，将放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是_______； (2)画出绕点B按顺时针方向旋转后得到的； (3)画出关于点C成中心对称的． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据割补法求解即可； （2）根据旋转的性质找出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可； （3）根据中心对称的性质找出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图， 如图1， ； （2）解：的位置如图2所示． （3）解：的位置如图3所示． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． (1)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由A的对应点的坐标为，可确定平移的方法，即可作出B，C的对应点，，再顺次连接即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接即可； （3）对应点连线的交点即为旋转中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，连接、，交点即为旋转中心， 旋转中心的坐标为． 【题型7 图案设计】 解题思路： • 利用中心对称构造重复、美观、均衡的图案。 • 先画基本单元，再以中心对称复制、排列。 • 注意整体美感、对称性、简洁性。 【典例7】．如图，该图案在设计思路中没有体现的变换方式是（   ） A．旋转 B．中心对称 C．轴对称 D．平移 【答案】D 【分析】根据这四种变换的特点来判断图案所体现的变换方式即可． 【详解】解：A、旋转是指图形绕着一个定点(旋转中心)按某个方向转动一个角度的变换。观察该图案，其可通过绕中心旋转一定角度后与自身重合，因此图案体现了旋转变换，不符合题意； B、中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。该图案绕其中心旋转后能与自身重合，因此图案体现了中心对称变换，不符合题意； C、轴对称是指如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。该图案存在多条对称轴(如过中心的竖直直线、水平直线等)，沿这些对称轴折叠后图形两部分能重合，因此图案体现了轴对称变换，不符合题意； D、平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。该图案中不存在图形沿某一方向移动相同距离得到部分图形的情况，因此图案没有体现平移变换，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形的变换方式，包括旋转、中心对称、轴对称和平移，解题的关键是掌握上述知识点． 【变式1】．下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移、旋转、翻折的图形变换性质，掌握通过观察图形的基本单元和排列方式，判断其能否通过变换组合成目标图案的方法是解题的关键． 观察目标图案的结构，它是由单个星星通过平移、旋转构成的放射状图案，需对比每个选项的基本图形，判断其能否通过平移、旋转或翻折与目标图案匹配． 【详解】解：A、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，因为可以通过多次平移和适当的旋转操作使基本图形组成给定图案，不符合题意； B、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，例如先平移，再进行一定的旋转等操作可实现，不符合题意； C、无论经过怎样的平移、旋转或翻折操作，都无法得到给定图案，其图形的组合形式与给定图案不匹配，符合题意； D、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，可通过相应的图形变换操作实现，不符合题意； 故选：C． 【变式2】．如图所示的是三个小正方形组成的图形．若在图形中补画一个小正方形，使得补画完的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的方案分别有（   ） A．3种、2种 B．3种、3种 C．4种、2种 D．4种、3种 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义画出图形是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的性质分别画出符合要求的答案即可． 【详解】解：如下图，补画完的图形是轴对称图形，一共有种． 如下图，补画完的图形是中心对称图形，一共有种． 故选：D． 【变式3】．下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 【答案】D 【分析】此题考查了平面图形的分割与组合，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可． 【详解】解：如图所示：图案是由五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠）， 这两种基本图形是②⑤． 故选：D． 05 过关•检测 1．下列图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2．如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质，点是线段的中点，利用数轴上两点间的距离公式列方程求解即可； 【详解】解：设点对应的实数为， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∵ 点关于点的对称点为点， ∴ 点是线段的中点，即， ∴， 解得， 即点C所对应的实数为． 3．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 4．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质． 根据中心对称的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴， ∴， 故选项A，C正确， 根据对顶角相等得， 故选项B正确． 故选：D． 5．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键． 根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心， 点O是的对称中心， 则有：（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点，故（1）正确； （2）是的对角线，所以直线必经过点O，故（2）正确； （3）四边形是中心对称图形，故（3）正确； （4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，故（4）正确； （5）由题知绕点O旋转能得到，所以和成中心对称，故（5）正确； 综上所述，正确的有5个． 故选：C． 6．下列说法中正确的是（   ） A．如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C．平移改变图形的形状和大小 D．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移，中心对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移，中心对称图形的定义和性质依次即可判断． 【详解】解：A. 如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，故选项错误； B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点到对称中心之间的距离相等，故选项错误； C. 平移不改变图形的形状和大小，故选项错误； D. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故选项正确； 故选D． 7．如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的性质可得B、E两点关于原点成中心对称，即可求解． 【详解】解：正六边形为中心对称图形，为对角线，正六边形的对角线交于原点O， B、E两点关于原点成中心对称， ∵， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在格点上，将正方形绕原点旋转，得到正方形，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点绕原点旋转得到对应点， ∴点的坐标是． 9．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据中心对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可解答． 【详解】解：如图，把①涂黑后得到图形，绕中心点旋转可与原图重合，为中心对称图形． 10．如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 11．如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移变换，关于原点中心对称的坐标变换，掌握向右平移横坐标加，关于原点对称横纵坐标取相反数是解题的关键． 先确定点的初始坐标，按向右平移的坐标规则计算平移后的坐标，再按关于原点对称的坐标变换规则求最终坐标． 【详解】解：根据图像，点的初始坐标为 将点向右平移5个单位长度，其坐标变为 ，即 将平移后的点 关于原点中心对称，其坐标变为 因此，点的对应点的坐标是 故答案为：． 12．如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点________． 【答案】 【分析】结合成中心对称的图形的性质解答． 本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握是解决本题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的图形的性质可得，点的对称点为点． 故答案为：． 13．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 14．如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为________． 【答案】4 【分析】本题考查了中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据对称性可知一定过点，由及等腰直角三角形的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，点和点关于点对称，连接，则一定过点， 且， ∵和是等腰直角三角形，为的中点， ∴， 由对称性知， ∴． 故答案为：4 ． 15．如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 【答案】 【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 16．如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中心对称图形．根据等腰三角形的性质可得，再由中心对称图形的性质可得，，，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在等腰三角形中，∵是底边的中线，， ∴， ∵与关于点 C 成中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： 17．如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据中心对称的性质得出，，然后证明，得出，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵与关于O中心对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、交于点，点即为所作； （2）根据成中心对称的图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图：对称中心O即为所作， （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 19．如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质得到，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，， ，，， ， ， ， ． 20．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为21 【分析】（1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 答：的周长为21． 21．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴． （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 (4)8 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据平面直角坐标系中坐标的确定方法，在图中找到、对应的坐标，即可得出答案； （3）根据平移的性质作图即可； （4）通过割补法，将四边形放在一个长为6宽为4的矩形中，用矩形的面积减去周围四个直角三角形的面积，从而得出四边形的面积． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由图可得，． （3）解：如图所示． （4）解：由图可得， 【点睛】本题主要考查中心对称、图形的平移以及图形面积的计算，涉及中心对称图形的性质、平面直角坐标系中坐标的确定、图形的平移变换以及利用割补法求不规则图形的面积知识点． 23．如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） (2)当时，的面积=_________； (3)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (4)当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】(1)； (2) (3)t的值为；此时的面积为 (4)点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到 （3）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可； （4）根据轴对称的性质和三角形的面积公式，分别求出点P在上运动时和点P在上运动时的t值即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． （2）解：当时P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． （4）解：分二种情况：①点P在上运动时，如图， 则，，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴， 即， ∵， ∴； ②点P在上运动时，如图， 则，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴ 解得：； ∴点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形面积，熟练掌握相关性质是解题的关键． 24．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13中心对称图形 （4知识点+7题型+过关检测） 【题型1 成中心对称】 1 【题型2 中心对称的性质】 3 【题型3 中心对称图形的识别】 4 【题型4 判断中心对称图形的对称中心】 4 【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】 5 【题型6 画已知图形关于某点对称的图形】 7 【题型7 图案设计】 8 1. 知识目标：理解中心对称、中心对称图形的概念，掌握中心对称的性质；能区分中心对称与中心对称图形；掌握画中心对称图形的方法；理解对称中心的意义。 2. 能力目标：能识别中心对称图形，确定对称中心；能在方格纸中补画或绘制中心对称图形；运用中心对称性质解决角度、线段、图案设计等问题。 3. 素养目标：培养几何直观、空间想象与对称美感，提升图形观察、作图与逻辑推理能力。 03 知识•梳理 知识点1：中心对称的定义 • 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。 • 这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 • 中心对称是指两个图形之间的一种位置关系。 知识点2：中心对称的性质 1. 关于中心对称的两个图形是全等形。 2. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 3. 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 知识点3：中心对称图形 • 定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 • 常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、正六边形等。 • 注意：中心对称图形是对**一个图形**而言的。 知识点4：中心对称作图步骤 1. 找：找出已知图形的关键点（顶点、端点）。 2. 画：分别画出各关键点关于对称中心的对称点。 3. 连：顺次连接各对称点，得到对称图形。 04 题型•汇总 【题型1 成中心对称】 解题思路： • 判断依据：两个图形绕某点旋转180°后能完全重合。 • 先找对称中心，再验证对应点连线是否被中心平分。 • 中心对称一定全等，全等不一定中心对称。 【典例1】．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【变式2】．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 中心对称的性质】 解题思路： • 对称点连线必过对称中心，且被中心平分。 • 对应线段平行且相等，对应角相等。 • 求线段长、角度直接用全等性质推导。 【典例2】．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【变式1】．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【变式2】．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的周长为________． 【变式3】．如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【题型3 中心对称图形的识别】 解题思路： • 绕中心旋转180°能与自身重合才是。 • 常见：平行四边形、圆、正方形、矩形、菱形、线段。 • 注意：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形不是中心对称图形。 【典例3】．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 【变式3】．以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_____．（填序号即可） ①圆；②长方形；③等边三角形；④平行四边形；⑤线段；⑥角． 【题型4 判断中心对称图形的对称中心】 解题思路： • 对称中心是对称点连线的中点。 • 两条对称点连线的交点就是对称中心。 • 规则图形：中心在对角线交点、几何中心。 【典例4】．如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【变式1】．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】．如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【变式3】．如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】 解题思路： • 先确定已有图形关键点，找它们的对称点。 • 按顺序连接对称点，完成图形。 【典例5】．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式2】．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【变式3】．如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形______涂灰．(填编号) 【题型6 画已知图形关于某点对称的图形】 解题思路： • 步骤：找点→画对称点→连线。 • 每个顶点都要画出对称点，不能遗漏。 • 画完检查旋转180°是否重合。 【典例6】．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)请画出绕O顺时针旋转后的，并写出点的坐标_________； (3)若将平移得到，使得点A与D对应，点B与E对应，点C与F对应，其中点D的坐标为，则平移的距离为_________． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点O成中心对称，画出； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出，则的坐标为________． 【变式2】．如图，将放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是_______； (2)画出绕点B按顺时针方向旋转后得到的； (3)画出关于点C成中心对称的． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． (1)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 【题型7 图案设计】 解题思路： • 利用中心对称构造重复、美观、均衡的图案。 • 先画基本单元，再以中心对称复制、排列。 • 注意整体美感、对称性、简洁性。 【典例7】．如图，该图案在设计思路中没有体现的变换方式是（   ） A．旋转 B．中心对称 C．轴对称 D．平移 【变式1】．下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图所示的是三个小正方形组成的图形．若在图形中补画一个小正方形，使得补画完的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的方案分别有（   ） A．3种、2种 B．3种、3种 C．4种、2种 D．4种、3种 【变式3】．下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 05 过关•检测 1．下列图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 3．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．如图在平行四边形中，已知与关于点O对称，过点O任作直线分别交、于点M、N，下列结论：（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的对称点；（2）直线必经过点O；（3）四边形是中心对称图形；（4）四边形和四边形的面积相等；（5）和成中心对称．其中，正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．5个 D．1个 6．下列说法中正确的是（   ） A．如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C．平移改变图形的形状和大小 D．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 7．如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在格点上，将正方形绕原点旋转，得到正方形，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 11．如图，将先向右平移5个单位长度，再关于原点中心对称得到，则点的对应点的坐标是__________． 12．如图，已知与成中心对称，点A是对称中心，则点C的对应点为点________． 13．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 14．如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为________． 15．如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 16．如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 17．如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 18．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 19．如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 20．如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 21．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，关于点成中心对称的图形为． (1)画出． (2)分别写出点的坐标． (3)将向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (4)连接，，求四边形的面积． 23．如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） (2)当时，的面积=_________； (3)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (4)当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 24．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $