专题9.2 平移（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“平移”核心知识点，系统梳理平移的定义（两要素、核心特点）、性质（对应线段、角、点的关系）、作图步骤及实际应用（面积、长度计算），构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料亮点在于知识点分层（即学即练）与题型多样（10类，含生活实例），如小区绿化面积计算培养几何直观和应用意识，台阶地毯长度问题发展空间观念和推理意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

专题9.2 平移 教学目标 1.理解平移的定义，掌握平移的两要素。 2.掌握平移的性质，能进行简单计算与推理。 3.能按要求作出平移后的图形。 4.能用平移解决实际面积、长度等生活问题。 教学重难点 重点 （1）平移的概念与两要素 （2）平移的基本性质 （3）平移作图方法 难点 （1）平移性质的灵活运用 （2）利用平移转化求面积、长度 知识点01：平移的定义 1.概念：在同一平面内，将一个图形沿某一方向平行移动一定距离的图形运动叫作平移。 2.两要素：平移的方向、平移的距离。 3.核心特点：平移只改变图形位置，不改变形状、大小与方向。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·天津和平·期中）下列关于平移的特征中不正确的是（   ） A．平移后的图形和原来的图形的对应线段必定平行 B．平移后对应点所连的线段必定平行或在同一直线上 C．平移前线段的中点经过平移后一定也是线段的中点 D．平移前后图形的形状和大小都没有发生变化 【答案】A 【分析】根据平移基本性质，由平移不改变图形的形状大小和方向来分析作答．此题考查平移的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 【详解】解：A. 平移后的图形和原来的图形的对应线段不一定平行，也可能共线，原说法不正确，符合题意； B. 平移后对应点所连的线段必定平行或在同一直线上，说法正确，不符合题意； C. 平移前后的两个图形全等，则平移前线段的中点经过平移后一定也是线段的中点，说法正确，不符合题意； D. 平移前后不改变图形的形状和大小，只改变了图形的位置，说法正确，不符合题意； 故选：A 知识点02：平移的基本性质 1.对应线段：平行（或在同一直线上）且相等。 2.对应角：相等。 3.对应点所连线段：平行（或在同一直线上）且相等，其长度等于平移距离。 4.平移前后图形全等，面积、周长均不变。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，将平移一定的距离得到，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 知识点03：平移作图 1.基本步骤：定方向与距离→找关键点→作对应点→顺次连线→标注结论。 2.作图关键：抓住关键点平移，按原图顺序连接对应点。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)见解析 【分析】（1）根据题意可知向左平移5个单位，再向下平移1个单位得到，据此依次得到点、的对应点、，最后依次连接即可； （2）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算解题； （3）在上取格点，根据点M向右平移2格向下平移1格到达点C，将点B向右平移2格向下平移1格到达点D，连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：∵线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积， ∴． （3）解：如图，即为所求． 知识点04：平移的实际应用 1.不规则图形面积：用平移转化为规则图形计算。 2.长度计算：台阶、道路等问题用平移拼接线段。 3.图案设计：用基本图形重复平移构造对称、美观图案。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）如图，某住宅小区内有两长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路，余下部分为绿化，如图、图所示，道路的宽为，分别求出图、图中需要绿化的面积． 【答案】图中需要绿化的面积为，图中需要绿化的面积为 【分析】本题的核心思路是平移法：将分散的绿化部分通过平移拼接成一个完整的新长方形，直接计算其面积，避免复杂的分割计算． 【详解】解：利用平移将图变为 ； 利用平移将图变为 ． 题型01识别生活中的平移现象 方法技巧：判断是否沿直线平行移动，无旋转、无变形。 【例题1】.（25-26七年级下·广东汕头·月考）下列现象中，属于平移现象的是（    ） A．钟摆的运动 B．方向盘的转动 C．电梯的升降 D．建筑在水面的倒影 【答案】C 【分析】根据平移的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵平移的定义为：把一个图形整体沿某一直线方向移动，得到新的图形，这种移动叫作平移，平移不改变图形的方向， ∴A．钟摆的运动是绕定点摆动，方向不断改变，不属于平移，不符合题意； B．方向盘的转动方向改变，不属于平移，不符合题意； C．电梯的升降是整体沿竖直直线方向移动，图形方向和形状大小均不改变，属于平移，符合题意； D．建筑在水面的倒影是轴对称变换，不属于平移，不符合题意． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】B 【分析】本题根据平移的定义判断各选项，平移的定义为：平面内，将一个图形上所有点沿同一直线方向移动相同距离，不改变图形的形状，大小和方向． 【详解】解：∵ 平移不改变图形的形状，大小和方向，且图形上所有点移动方向，距离都相同， A 选项 温度计中液柱变化时，液柱的大小发生改变，不符合平移定义，错误； B 选项 升降电梯从一楼升到五楼，电梯整体上所有点沿同一方向移动相同距离，形状大小方向均不变，符合平移定义，正确； C 选项 树叶随风飘落，运动方向不断变化，不符合平移定义，错误； D 选项 纸张沿中线对折是翻折变换，不是平移，错误； ∴ 答案选B． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·天津滨海新区·阶段检测）下列生活现象中是平移的是（   ） A．过安检时传送带上行李箱的运动 B．汽车雨刷的运动 C．钟摆的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】A 【分析】本题考查平移的定义，平移是图形沿直线移动，移动过程中图形的形状、大小、方向都不改变，需区分平移与绕定点转动的旋转． 【详解】解：A、过安检时传送带上行李箱的运动，是沿直线移动，方向形状大小均不改变，符合平移的定义； B、汽车雨刷的运动是绕定点的旋转，不是平移； C、钟摆的运动是绕定点的旋转，不是平移； D、自行车前后轮的转动是旋转，不是平移． 【变式题1-3】.（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是_____（填序号）． 【答案】③⑤⑥ 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，进行判断即可．熟练掌握平移的定义是解题的关键． 【详解】解：①在游乐场荡秋千是旋转，不是平移； ②转动的电扇叶片是旋转，不是平移； ③正在上升的电梯是平移； ④行驶的自行车后轮是旋转，不是平移； ⑤水平传送带上的物体是平移； ⑥飞机在跑道上滑行，直至停止是平移； 故答案为：③⑤⑥ 题型02判断图形能否由平移得到 方法技巧：形状、大小、方向完全相同，仅位置不同。 【例题2】.（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）2026央视春晚主标识以“骐骥驰骋”主题为核心，“四马齐驱”的设计藏满巧思．下列选项中可以通过平移这个图形得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动；由此问题可求解． 【详解】解：由题意可知只有B选项符合． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）每年5月8日是世界微笑日，传递微笑也是传递温暖．由图中所示的“微笑表情”平移得到的是（    ） A． B．   C． D． 【答案】A 【详解】解：平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离 ， ∴平移前后的图形形状、大小、方向完全相同， 观察各选项可知： A选项：图形的形状、大小、方向与原图一致，是由原图平移得到的； B选项：图形方向发生了改变（倒置），不是平移得到的； C选项：图形方向发生了改变（旋转），不是平移得到的； D选项：图形方向发生了改变（旋转），不是平移得到的． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·重庆·期中）王安石的古诗“飞来山上千寻塔，闻说鸡鸣见日升．不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”中的“塔”如图所示，关于“塔”的图片，可以由选项（    ）中的图片通过平移得到． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据平移的定义可知关于“塔”的图片由选项A中的图片通过平移得到． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·广东江门·期中）剪纸是第一批列入国家级非物质文化遗产名录的，如图春节剪纸通过平移可得到的图案是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A选项：图形大小发生了改变，故A不符合题意； B选项：图形的形状、大小、方向与原图完全一致，符合平移的性质，故B符合题意； C选项：图形属于轴对称变换（翻折），方向发生了改变，故C不符合题意； D选项：图形属于旋转变换（旋转），方向发生了改变，故D不符合题意． 题型03利用平移性质判断结论正误 方法技巧：对应线段平行且相等、对应角相等、对应点连线相等。 【例题3】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项不一定正确，符合题意． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）如图，在三角形中，，，，．将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接，，． 给出下列结论：①，；  ②；③四边形的面积是6；④． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平移得到，，，，根据平行线的性质可得，根据三角形的面积判断③即可． 【详解】解：∵将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形， ∴，，，， ∴①正确； 线段平移个单位长度到得到，与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ∴四边形的高等于的高， 设的高为， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴， ∴四边形是面积为：， ∴③正确； ∵，， ∴， ∴④正确， 综上所述，正确的结论共4个． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·黑龙江·阶段检测）如图．在三角形中，，把三角形沿直线向右平移后得到三角形，连接，以下．结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形平移的性质对各选项进行解答即可． 【详解】解：A、由平移的性质得，则，即，结论正确； B、由平移的性质得，则，结论正确； C、由平移的性质得， ∵，即， ∴，结论正确； D、由题意得是的边长，为平移的距离，两者不一定相等，结论错误． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，中，把沿着射线的方向平移到的位置．下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质及平行线的判定，熟知平移的性质是解题的关键．根据平移的性质及平行线的判定，依次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为由沿着射线的方向平移得到， 所以，，，， 只有A选项错误． 故选：A． 题型04利用平移性质求线段长度 方法技巧：对应线段相等，对应点连线等于平移距离。 【例题4】.（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，将一个周长为的三角形沿射线方向平移到三角形的位置，若四边形周长为，则的长为_______． 【答案】2 【分析】根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∵周长为，即， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，将沿所在直线的方向平移至的位置，若，，求平移的距离． 【答案】6 【分析】先得出，再求出的长即可． 【详解】解：由平移的性质可知，， ∵，，， ∴， ∴平移的距离为． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，将的边沿方向向左平移得到线段（点、的对应点分别为点、），连接、，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据平移的性质，，, ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿方向平移3个单位得到，若的周长为12，则四边形的周长为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】根据平移的性质，对应点的连线、都等于平移距离，再根据四边形的周长=的周长代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将沿方向平移3个单位得到， ∴， ∴四边形的周长 的周长 ． 题型05利用平移性质求角度 方法技巧：对应角相等，结合三角形内角和计算。 【例题5】.（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形．若，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】由平移可得，，根据平行线的性质，即可得的度数． 【详解】解：由平移可得，， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·北京·期中）如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系．则下列角度中不可能是度数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在线段上时，过点作， ∵由平移得到， ， ∵， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在线段延长线上时，过点作， 同理可得， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为或或，不可以是． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据图形平移的性质得出，再根据线段的和差关系求解即可； （2）由图形平移的性质得出，，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，， ， ； （2）解：由平移的性质可得，，， ． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：由平移的性质可知，，， ． 题型06平移作图（网格中） 方法技巧：关键点按要求平移，顺次连接对应点。 【例题6】.（25-26七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)请画出向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度后的； (2)连接，则线段与的关系是______； (3)求图中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②平行且相等（或且） (3)5 【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律得到点，，的坐标，然后描点即可； （2）根据平移的性质：对应点连线平行且相等即可获解； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）（2）①作图如图所示； ②平行且相等（或且）． （3）（3）． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)22 【分析】（1）根据点A和点D的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （2）根据平移的性质可得，，在平移的过程中线段扫过的面积是四边形的面积，利用网格图的特征，通过割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江西上饶·期中）在如图所示的方格中，请按下列要求作图（每个小正方形的顶点叫格点，不要求写作法）．    (1)在图1中，请在格点上找一点D，使得； (2)在图2中，请在格点上找一点H，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格特点利用平移作图即可； （2）根据网格特点利用平移作即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求；    （2）解：如图，点H即为所求．    【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点画的平行线； (3)连接，，则与之间的关系是____________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)平行且相等 【分析】（1）根据平移的规律进行作图即可； （2）观察点和点的位置可得，点向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到点，因此将点经过同样的平移得到点，则直线即为所求； （3）根据平移的性质判断与的关系． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，直线即为所求平行线； （3）解：如图， ∵由平移得到， ∴，且，即与之间的关系是平行且相等． 题型07平移与面积计算 方法技巧：平移转化为规则图形，用公式直接计算。 【例题7】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意和平移的特点，可以写出和的长度，然后即可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：根据平移可得，， 则图中阴影部分的面积为． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将长为8，宽为6的长方形先向右平移3，再向下平移2，得到长方形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 20 【分析】利用平移的性质求出阴影部分长方形的长和宽，再利用长方形面积公式求解即可． 【详解】解：∵长方形的长为，向右平移， ∴阴影部分的长为． ∵长方形的宽为，向下平移， ∴阴影部分的宽为． ∴阴影部分的面积为． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】根据题意得到阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 阴影部分的面积． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着的方向平移13cm到达三角形的位置，若，，则阴影部分的面积为_______cm2． 【答案】40 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得四边形是长方形，，再用长方形的面积减去的面积即可． 【详解】解：∵沿着的方向平移得到， ∴四边形是长方形，， 则阴影部分的面积为：． 题型08平移与周长计算 方法技巧：平移不改变周长，直接用原图形周长求解。 【例题8】.（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，将直角三角形向右平移4个单位长度，得到直角三角形，连接.若三角形的周长为24，则四边形的周长是_______． 【答案】 32 【分析】根据平移的性质可知对应线段相等，对应点连线的长度等于平移距离，将四边形的周长转化为的周长与倍平移距离的和即可求解． 【详解】解：由平移的性质可知，，， 因为四边形的周长， 又因为， 所以四边形的周长， 因为的周长为， 所以， 所以四边形 的周长 ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，将向左平移得到，，相交于点G．如果的周长是，那么与的周长之和是___． 【答案】12 【分析】根据平移的性质可得，然后判断出与的周长之和，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将向左平移得到， ∴，，，， ∵的周长是， ∴与的周长之和 ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质可得，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴，， ∵三角形的周长为， ∴， ∴， ∴四边形的周长为：． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，沿边所在直线向上平移3个单位长度得到，四边形的周长为20，则的周长等于_____． 【答案】14 【分析】根据平移的基本性质，得出，；然后得四边形的周长，即可得出答案． 【详解】解：∵沿边所在直线向上平移3个单位长度得到， ∴，； 又∵四边形的周长． ∴， ∴， ∴的周长为14． 题型09平移解决实际问题 方法技巧：水平、竖直线段分别平移拼接求和。 【例题9】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图是南湖公园里一处桃花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的正中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．84米 B．80米 C．61米 D．82米 【答案】B 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·贵州遵义·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为_________． 【答案】42 【分析】根据题意，得，计算即可； 【详解】解：根据题意，得这条小路的面积为． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，某酒店经理需要在门前的台阶上铺一块地毯，问这块地毯长至少需要_____m． 【答案】18 【详解】解：利用平移的性质可知：将每个台阶的横竖向下向左平移，长度刚好等于，则有地毯的长度为． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某宾馆准备在大厅的楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，楼梯道宽2米．楼梯侧面如图所示，则购买地毯需要________元． 【答案】640 【详解】解：由平移的性质得，地毯的长度为（米）， ∴地毯的面积为（平方米）， ∴（元） ∴购买地毯需要640元． 题型10平移与几何综合证明 方法技巧：用平移性质得平行、相等关系，完成证明。 【例题10】.（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，平分交于点，将沿的方向平移，点移至点的位置，得到． (1)若，，则 °； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质求解即可；（2）根据平移的性质得到，，从而得到，然后根据平分得到，从而得解． 【详解】（1），， ， 平分， ， 沿的方向平移得到， ； （2）沿的方向平移得到， ，， ， 平分， ， ， ， ． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．    (1)若，求的度数； (2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理． （1）由平移的性质可得：，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）由三角形的外角性质，得，由已知求得，推出，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 由三角形的外角性质，得， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，或 【分析】作，根据平移的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，，求得； 分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：当点在直线的下方时，如图，根据平移的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补全图形如图所示， 证明：作， 将线段沿平移得到线段， ， ， ，, ， 即； （2）解：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：，， ， ， ， ， 整理，得； 当点在直线的下方时，如图， ， ， 整理，得； 综上所述，与之间的数量关系为或． 一、单选题 1．2026年湖北省城市足球联赛，又称“楚超”，是湖北省于2026年举办的首届全省性城市足球赛事，荆门球队吉祥物以“金龙”为荆门专属足球形象，以灵动小龙为原型，巧妙融入荆门地域文化符号．选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质判断即可． 【详解】解：AD选项通过旋转得到右边图案，B选项是对称得到右边图案； 只有C选项可以平移变换就能得到右边图案． 2．如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据图形平移的性质得出，，根据得出的长，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵将四边形沿方向平移得到四边形，交于点， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴． 3．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则平移的距离为（　　） A．3 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【详解】解：根据平移的性质可知：平移的距离为5． 二、填空题 4．如图，有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路，花圃长52米，宽34米，则种花的面积是_______________平方米． 【答案】1600 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 可得种花部分为长米，宽米的长方形， 所以种花的面积是平方米． 5．将三角板沿所在直线向右平移，得到三角形，已知，则的度数是______． 【答案】/150度 【详解】解：由平移得， ∵ ∴． 6．如图是一个零件的示意图，每一转角处都是直角，边长数据如图所示，则该零件的周长是______． 【答案】32 【详解】解：由平移的性质知：该零件的周长是． 三、解答题 7．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用无刻度的直尺画图并解答下列问题． (1)画出三角形； (2)连接，，那么与的数量关系是_____，位置关系是____，线段扫过的图形的面积为_____． 【答案】(1)见解析 (2)相等；平行；10 【分析】（1）由点以及对应点的位置可得三角形向右平移个单位，向下平移1个单位得到三角形，再由此平移方式即可作图； （2）根据平移的性质即可得到与的数量关系、位置关系；可知线段扫过的图形是平行四边形，再将其分为上下两个三角形面积之和求解即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：由平移的性质可得，， 线段扫过的图形是平行四边形，则面积为． 8．如图，将沿边向右平移得到，与相交于点O． (1)若,，求的度数． (2)连接，若的周长为，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握相关基础性质． （1）根据平移的性质“对应角相等”可得，，再根据三角形外角的性质，求解即可； （2）根据平移的性质“对应线段相等”可得，，将四边形的周长转化为，再根据题意，求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，， ∵,， ∴，， ∴； （2）解：由平移的性质可得，， ∴四边形ABFD的周长． ∵的周长为16，， ∴， ∴四边形的周长． 9．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫作折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 10．如图，将一块直角三角板，沿着所在的直线l向右平移了一段距离，点与点对应．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)过点作直线的平行线； (2)过点作直线的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作直线即可； （2）作直线交延长线于点H即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 由平移的性质得，； （2）解：如图，直线即为所求； 由平移的性质得， ∴ ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 平移 教学目标 1.理解平移的定义，掌握平移的两要素。 2.掌握平移的性质，能进行简单计算与推理。 3.能按要求作出平移后的图形。 4.能用平移解决实际面积、长度等生活问题。 教学重难点 重点 （1）平移的概念与两要素 （2）平移的基本性质 （3）平移作图方法 难点 （1）平移性质的灵活运用 （2）利用平移转化求面积、长度 知识点01：平移的定义 1.概念：在同一平面内，将一个图形沿某一方向 一定距离的图形运动叫作平移。 2.两要素：平移的 、平移的 。 3.核心特点：平移只改变图形 ，不改变形状、大小与方向。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·天津和平·期中）下列关于平移的特征中不正确的是（   ） A．平移后的图形和原来的图形的对应线段必定平行 B．平移后对应点所连的线段必定平行或在同一直线上 C．平移前线段的中点经过平移后一定也是线段的中点 D．平移前后图形的形状和大小都没有发生变化 知识点02：平移的基本性质 1.对应线段：平行（或在同一直线上）且 。 2.对应角： 。 3.对应点所连线段：平行（或在同一直线上）且 ，其长度等于平移距离。 4.平移前后图形 ，面积、周长均不变。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，将平移一定的距离得到，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03：平移作图 1.基本步骤：定方向与距离→找关键点→作对应点→顺次连线→标注结论。 2.作图关键：抓住关键点 ，按原图顺序连接对应点。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． (1)请补全三角形； (2)线段平移过程中扫过的面积为________； (3)过点C作的平行线（点D在格点上） 知识点04：平移的实际应用 1.不规则图形面积：用平移转化为 计算。 2.长度计算：台阶、道路等问题用平移 。 3.图案设计：用基本图形重复平移构造对称、美观图案。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）如图，某住宅小区内有两长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路，余下部分为绿化，如图、图所示，道路的宽为，分别求出图、图中需要绿化的面积． 题型01识别生活中的平移现象 方法技巧：判断是否沿直线平行移动，无旋转、无变形。 【例题1】.（25-26七年级下·广东汕头·月考）下列现象中，属于平移现象的是（    ） A．钟摆的运动 B．方向盘的转动 C．电梯的升降 D．建筑在水面的倒影 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【变式题1-2】.（25-26七年级下·天津滨海新区·阶段检测）下列生活现象中是平移的是（   ） A．过安检时传送带上行李箱的运动 B．汽车雨刷的运动 C．钟摆的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【变式题1-3】.（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是_____（填序号）． 题型02判断图形能否由平移得到 方法技巧：形状、大小、方向完全相同，仅位置不同。 【例题2】.（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）2026央视春晚主标识以“骐骥驰骋”主题为核心，“四马齐驱”的设计藏满巧思．下列选项中可以通过平移这个图形得到的是（  ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）每年5月8日是世界微笑日，传递微笑也是传递温暖．由图中所示的“微笑表情”平移得到的是（    ） A． B．   C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·重庆·期中）王安石的古诗“飞来山上千寻塔，闻说鸡鸣见日升．不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”中的“塔”如图所示，关于“塔”的图片，可以由选项（    ）中的图片通过平移得到． A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·广东江门·期中）剪纸是第一批列入国家级非物质文化遗产名录的，如图春节剪纸通过平移可得到的图案是（） A． B． C． D． 题型03利用平移性质判断结论正误 方法技巧：对应线段平行且相等、对应角相等、对应点连线相等。 【例题3】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）如图，在三角形中，，，，．将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接，，． 给出下列结论：①，；  ②；③四边形的面积是6；④． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-2】.（25-26七年级下·黑龙江·阶段检测）如图．在三角形中，，把三角形沿直线向右平移后得到三角形，连接，以下．结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，中，把沿着射线的方向平移到的位置．下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 题型04利用平移性质求线段长度 方法技巧：对应线段相等，对应点连线等于平移距离。 【例题4】.（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，将一个周长为的三角形沿射线方向平移到三角形的位置，若四边形周长为，则的长为_______． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，将沿所在直线的方向平移至的位置，若，，求平移的距离． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，将的边沿方向向左平移得到线段（点、的对应点分别为点、），连接、，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿方向平移3个单位得到，若的周长为12，则四边形的周长为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 题型05利用平移性质求角度 方法技巧：对应角相等，结合三角形内角和计算。 【例题5】.（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形．若，求的度数． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·北京·期中）如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系．则下列角度中不可能是度数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接．若，求的度数． 题型06平移作图（网格中） 方法技巧：关键点按要求平移，顺次连接对应点。 【例题6】.（25-26七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)请画出向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度后的； (2)连接，则线段与的关系是______； (3)求图中的面积． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江西上饶·期中）在如图所示的方格中，请按下列要求作图（每个小正方形的顶点叫格点，不要求写作法）．    (1)在图1中，请在格点上找一点D，使得； (2)在图2中，请在格点上找一点H，使得． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点平移到点，点，分别是，的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点画的平行线； (3)连接，，则与之间的关系是____________． 题型07平移与面积计算 方法技巧：平移转化为规则图形，用公式直接计算。 【例题7】.（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将长为8，宽为6的长方形先向右平移3，再向下平移2，得到长方形，则图中阴影部分的面积为______． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着的方向平移13cm到达三角形的位置，若，，则阴影部分的面积为_______cm2． 题型08平移与周长计算 方法技巧：平移不改变周长，直接用原图形周长求解。 【例题8】.（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，将直角三角形向右平移4个单位长度，得到直角三角形，连接.若三角形的周长为24，则四边形的周长是_______． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，将向左平移得到，，相交于点G．如果的周长是，那么与的周长之和是___． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，沿边所在直线向上平移3个单位长度得到，四边形的周长为20，则的周长等于_____． 题型09平移解决实际问题 方法技巧：水平、竖直线段分别平移拼接求和。 【例题9】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图是南湖公园里一处桃花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的正中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．84米 B．80米 C．61米 D．82米 【变式题9-1】.（25-26七年级下·贵州遵义·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地．如图，若将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这条小路的面积为_________． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，某酒店经理需要在门前的台阶上铺一块地毯，问这块地毯长至少需要_____m． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某宾馆准备在大厅的楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，楼梯道宽2米．楼梯侧面如图所示，则购买地毯需要________元． 题型10平移与几何综合证明 方法技巧：用平移性质得平行、相等关系，完成证明。 【例题10】.（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，平分交于点，将沿的方向平移，点移至点的位置，得到． (1)若，，则 °； (2)求证：． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．    (1)若，求的度数； (2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 一、单选题 1．2026年湖北省城市足球联赛，又称“楚超”，是湖北省于2026年举办的首届全省性城市足球赛事，荆门球队吉祥物以“金龙”为荆门专属足球形象，以灵动小龙为原型，巧妙融入荆门地域文化符号．选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则平移的距离为（　　） A．3 B．5 C．10 D．20 二、填空题 4．如图，有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路，花圃长52米，宽34米，则种花的面积是_______________平方米． 5．将三角板沿所在直线向右平移，得到三角形，已知，则的度数是______． 6．如图是一个零件的示意图，每一转角处都是直角，边长数据如图所示，则该零件的周长是______． 三、解答题 7．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用无刻度的直尺画图并解答下列问题． (1)画出三角形； (2)连接，，那么与的数量关系是_____，位置关系是____，线段扫过的图形的面积为_____． 8．如图，将沿边向右平移得到，与相交于点O． (1)若,，求的度数． (2)连接，若的周长为，，求四边形的周长． 9．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫作折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 10．如图，将一块直角三角板，沿着所在的直线l向右平移了一段距离，点与点对应．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)过点作直线的平行线； (2)过点作直线的垂线． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $