专题9.1 轴对称（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“轴对称”核心知识点，系统梳理轴对称图形与成轴对称的概念，轴对称性质（对应线段、角相等，对称点连线被对称轴垂直平分），线段垂直平分线和角平分线性质，尺规作图（作垂直平分线、角平分线、轴对称图形）及最短路径问题，构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 资料亮点在于“即学即练”结合窗格、徽标等生活实例培养数学眼光，“典例+变式”通过长方形纸带折叠角度计算训练数学思维，“综合实践”如将军饮马问题提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过题型训练查漏补缺，强化知识应用。

专题9.1 轴对称 教学目标 1.理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念。 2.掌握轴对称的性质，能进行简单计算与证明。 3.会作线段垂直平分线、角平分线与轴对称图形。 4.能运用轴对称解决最短路径等实际问题。 教学重难点 重点 （1）轴对称图形与成轴对称的识别 （2）轴对称的基本性质 （3）线段垂直平分线与角平分线的性质 难点 （1）轴对称性质的灵活应用 （2）作轴对称图形 （3）利用轴对称解决最短路径问题 知识点01：轴对称图形 1.定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分 ，这个图形是 ，这条直线是 。 2.常见图形及对称轴条数： 图形 对称轴 条数 等腰三角形 底边上的高(中线/顶角平分线)所在直线 1 等边三角形 各边上的高(中线/角平分线)所在直线 3 长方形 对边中点连线所在直线 2 正方形 对边中点连线、对角线所在直线 4 圆 过圆心的任意直线 无数 【即学即练】 1．（2026·江苏苏州·一模）下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 知识点02：两个图形成轴对称 1.定义：把一个图形沿某条直线对折，能与 完全重合，称这两个图形 ，这条直线是对称轴。 2.与轴对称图形的区别：轴对称图形是 ，成轴对称是 的位置关系。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 知识点03：轴对称的性质 1.对应线段相等，对应角相等。 2.对称点的连线被对称轴 。 3.对应线段(或延长线)的交点在对称轴上。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 知识点04：线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线。 2.性质：垂直平分线上的点到线段 。 3.线段是轴对称图形，对称轴是垂直平分线和线段本身所在直线。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 知识点05：角的轴对称性 1.角是轴对称图形，对称轴是 。 2.角平分线上的点到角两边距离相等。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·北京门头沟·期末）如图，．点为内部一点．平分平分． (1)当时．依题意补全图形．并求的度数； (2)当时，直接用含的代数式表示的度数． 知识点06：尺规作图 1.作线段的垂直平分线：分别以两端点为圆心，大于线段长为半径画弧，连接两交点。 2.作角的平分线：在角两边截取等长线段，再以端点为圆心画弧交于一点，连接顶点与交点。 3.作轴对称图形：找关键点→作对称点→顺次连接对称点。 【即学即练】 1．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 题型01识别轴对称图形 方法技巧：沿直线折叠，两旁部分能重合即为轴对称图形。 【典例1】. （2026·广东深圳·二模）花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【变式1】. （2026·广东汕头·一模）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级下·湖北恩施·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （2026·山西朔州·一模）方寸徽标，承载学府精神；对称之美，彰显设计匠心．下列展示的是国内著名美术学院的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A．清华大学美术学院 B．天津美术学院 C．中国美术学院 D．西安美术学院 题型02判断两个图形成轴对称 方法技巧：看是否能沿某条直线对折后完全重合。 【典例2】. （25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【变式3】. （24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 题型03确定对称轴条数与位置 方法技巧：常见图形按表格记忆，对称点连线的垂直平分线是对称轴。 【典例3】. （2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【变式1】. （25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式2】. （2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【变式3】. （25-26九年级下·重庆·阶段检测）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 题型04利用轴对称性质求角度 方法技巧：对应角相等，结合三角形内角和计算。 【典例4】. （25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏连云港·期中）在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则______． 【变式2】. （25-26八年级下·河北保定·期中）已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 题型05利用轴对称性质求线段长 方法技巧：对应线段相等，垂直平分线得点到两端距离相等。 【典例5】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型06线段垂直平分线的应用 方法技巧：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，直接转化线段。 【典例6】. （25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于直线对称．直线交于点E、F，若，． (1)求的长度； (2)连接，与有什么位置关系？并说明理由． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式3】. （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 题型07角平分线的轴对称应用 方法技巧：角平分线是对称轴，两边上对应线段相等。 【典例7】. （25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，平分，交于点D． (1)若，求的度数； (2)尺规作图：在中，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】. （25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，平分，交于点． (1)求作：射线，使得，垂足为点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，与相交于点，若，求的度数； 【变式2】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，点是直线上一点，，平分． (1)的度数是__________； (2)尺规作图：作直线，使得（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，在四边形中，，与互为补角，点在上，将沿折叠，得到．若，平分， (1)求的度数， (2)求的度数． 题型08尺规作对称轴、轴对称图形 方法技巧：找对称点→作垂直平分线→顺次连对称点。 【典例8】. （2026·陕西西安·二模）已知在中，，，利用无刻度直尺和圆规在内部寻找点P，使得，且满足（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1】. （2026·陕西西安·二模）如图，是的边上一点．请你用尺规作图法在上方作，使得点在边上，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】. （2026·陕西榆林·一模）如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． (1)仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，试说明：． 题型09折叠中的轴对称问题 方法技巧：折叠前后对应边、角相等，设未知数列方程。 方法技巧：先定对称轴，再补全对称部分。 【典例9】. （25-26七年级下·山东青岛·期中）图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依此类推，第次折叠后，的度数为__________．（用含和的代数式表示） 【变式1】. （25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，与交于点G，再将其沿折叠，点分别落在点处，若折叠后，则的度数为______． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏盐城·月考）综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过P点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点，折痕为，第二次折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)证明：； 迁移探究 再次折叠得到，又能提出哪些问题呢？ (2)如图4，将沿过点A的某射线折叠得到，与边交于F． ①作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小； 高阶探究 过点P能折一个角等于已知角吗？ (3)如图5，如何过点P折出一条折痕，使得？请画出折叠的示意图并简要描述折叠过程，无需证明． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， (2)如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 题型10利用轴对称求最短路径 方法技巧：作对称点，连线与对称轴交点即为所求点。 【典例10】. （25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】. （25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【变式2】. （24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏徐州·期中）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 一、单选题 1．2026年4月20日至26日，我们将迎来首个“全民阅读活动周”．为鼓励同学们积极阅读，学校举办了“阅读周”设计大赛，以下参赛作品中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 二、填空题 4．如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 5．“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    6．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则＝_______． 三、解答题 7．如图，直线l表示一条笔直的水渠，点P表示一个村庄．现要从村庄P向水渠修一条最短的引水管道．请用尺规作图画出这条管道所在直线，垂足为H．要求：保留作图痕迹，不写作法． 8．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点． (1)作关于直线对称的； (2)求出的面积． 9．如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 10．综合与实践【回归课本】下图是人教版七年级下册数学课本32页数学活动《你有多少种画平行线的方法》的部分内容：王芳是通过折纸画的，方法如图所示： 【观察发现】 (1)图（2）中操作得到的折痕与直线的位置关系是___________； (2)如图（4），___________，则直线．（填角的度数） 【联系拓展】 (3)将正方形纸片按以图（3）方式折叠后展开如图（4），标记字母如图（5），若，求的度数． 【迁移探究】 (4)将长方形纸带按如图（6）折叠，和分别为折痕，若，当时，请直接写出与之间的数量关系． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 轴对称 教学目标 1.理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念。 2.掌握轴对称的性质，能进行简单计算与证明。 3.会作线段垂直平分线、角平分线与轴对称图形。 4.能运用轴对称解决最短路径等实际问题。 教学重难点 重点 （1）轴对称图形与成轴对称的识别 （2）轴对称的基本性质 （3）线段垂直平分线与角平分线的性质 难点 （1）轴对称性质的灵活应用 （2）作轴对称图形 （3）利用轴对称解决最短路径问题 知识点01：轴对称图形 1.定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴。 2.常见图形及对称轴条数： 图形 对称轴 条数 等腰三角形 底边上的高(中线/顶角平分线)所在直线 1 等边三角形 各边上的高(中线/角平分线)所在直线 3 长方形 对边中点连线所在直线 2 正方形 对边中点连线、对角线所在直线 4 圆 过圆心的任意直线 无数 【即学即练】 1．（2026·江苏苏州·一模）下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念，求解即可，把一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合的图形是轴对称图形． 【详解】解：根据图形可得，D的图形是轴对称图形，A、B、C的图形不是轴对称图形．D选项符合题意． 知识点02：两个图形成轴对称 1.定义：把一个图形沿某条直线对折，能与另一个图形完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线是对称轴。 2.与轴对称图形的区别：轴对称图形是一个图形，成轴对称是两个图形的位置关系。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：B． 知识点03：轴对称的性质 1.对应线段相等，对应角相等。 2.对称点的连线被对称轴垂直平分。 3.对应线段(或延长线)的交点在对称轴上。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2) (3)，（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则 （3）解：∵与关于直线对称， ∴，．（答案不唯一）． 知识点04：线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线。 2.性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。 3.线段是轴对称图形，对称轴是垂直平分线和线段本身所在直线。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【详解】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 知识点05：角的轴对称性 1.角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线。 2.角平分线上的点到角两边距离相等。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·北京门头沟·期末）如图，．点为内部一点．平分平分． (1)当时．依题意补全图形．并求的度数； (2)当时，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作图，角度的计算，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可，由可得，再根据角平分线的性质即可得； （2）注意分情况讨论：当与重合时， ，故分 ，和 三种情况讨论；先表示出，再根据角平分线的性质表示出与，再由角度的计算求解即可． 【详解】（1）解：以点O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交，于点M，点N， 以点M为圆心，大于一半的长度为半径画弧， 再以点N为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点D， 连接，则为的角平分线， 同样方法即可作出的平分线，如图， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （2）解：当与重合时，如图①， ， ①当时，如图①， ∴ ， ∴ ； ②当 时，如图②， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． ③当 时，如图③， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 知识点06：尺规作图 1.作线段的垂直平分线：分别以两端点为圆心，大于线段长为半径画弧，连接两交点。 2.作角的平分线：在角两边截取等长线段，再以端点为圆心画弧交于一点，连接顶点与交点。 3.作轴对称图形：找关键点→作对称点→顺次连接对称点。 【即学即练】 1．（2026·陕西榆林·一模）如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据垂线的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，求解即可． 【详解】解：根据题意，作图如下： ． 题型01识别轴对称图形 方法技巧：沿直线折叠，两旁部分能重合即为轴对称图形。 【典例1】. （2026·广东深圳·二模）花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下面选项中的窗芯是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B选项，是轴对称图形，故此选项符合题意； C选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D选项，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 【变式1】. （2026·广东汕头·一模）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、圆底烧瓶沿中心竖直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； 、漏斗下端管口为斜切面，沿竖直线折叠左右不重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、分液漏斗活塞处右侧有手柄，沿竖直线折叠左右不重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、洗气瓶内导管一长一短，沿竖直线折叠左右不重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 【变式2】. （25-26九年级下·湖北恩施·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，则由轴对称图形的定义可知四个选项中，只有B选项中的图形是轴对称图形． 【变式3】. （2026·山西朔州·一模）方寸徽标，承载学府精神；对称之美，彰显设计匠心．下列展示的是国内著名美术学院的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A．清华大学美术学院 B．天津美术学院 C．中国美术学院 D．西安美术学院 【答案】B 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 题型02判断两个图形成轴对称 方法技巧：看是否能沿某条直线对折后完全重合。 【典例2】. （25-26八年级上·云南曲靖·期中）下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是成轴对称图形的识别．利用成轴对称图形的概念（两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，就是成轴对称图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，两个图形属于轴对称，符合题意； B、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； C、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； D、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； 故选：A． 【变式1】. （25-26八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【答案】②③④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称．    故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 【变式3】. （24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形． 【详解】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形 故选：B． 题型03确定对称轴条数与位置 方法技巧：常见图形按表格记忆，对称点连线的垂直平分线是对称轴。 【典例3】. （2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【详解】解：如图所示： 该图形有3条对称轴． 【变式1】. （25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 【变式2】. （2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据对称轴的定义解题即可． 【详解】解：如图，对称轴一共有5条． 【变式3】. （25-26九年级下·重庆·阶段检测）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就叫作对称轴，据此结合图形找到四个图形的所有对称轴即可得到答案． 【详解】解：A选项中的图形有1条对称轴，B选项中的图形有5条对称轴，C选项中的图形有1条对称轴，D选项中的图形有3条对称轴， ∴对称轴条数最多的是B选项中的图形． 题型04利用轴对称性质求角度 方法技巧：对应角相等，结合三角形内角和计算。 【典例4】. （25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 【答案】36 【详解】解：∵ ∴ ∵线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O， ∴． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏连云港·期中）在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则______． 【答案】36 【分析】根据轴对称的性质知，再计算，即可求解． 【详解】解：∵于D，点B关于的对称点在上， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·河北保定·期中）已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 【答案】 【分析】作P点关于的对称点，连接，可知当的周长取最小值时，在一条直线上，根据垂线的定义及三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图，作P点关于的对称点，然后连接，    ∵点与点P关于直线对称，点与点P关于对称， ∴， ∴， ∵的周长 ∴当的周长取最小值时，在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知：， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 题型05利用轴对称性质求线段长 方法技巧：对应线段相等，垂直平分线得点到两端距离相等。 【典例5】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 【答案】15 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：∵点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点O为内部一点，且，E，F分别为点O关于射线，射线的对称点，当时，则的长为_______． 【答案】10 【分析】先求出，，再得出点三点共线，根据解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点分别为点关于射线，射线的对称点， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 【答案】 【详解】解：∵，分别是点关于、的对称点，， ∴，， ∴， 即的周长为． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得，，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵点关于的对称点是点关于的对称点是， ∴，． ∵， ∴． 题型06线段垂直平分线的应用 方法技巧：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，直接转化线段。 【典例6】. （25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于直线对称．直线交于点E、F，若，． (1)求的长度； (2)连接，与有什么位置关系？并说明理由． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由轴对称的性质得，进而可解； （2）连接交直线于点，由轴对称得直线垂直平分线段，，进而可得． 【详解】（1）解：与关于直线对称， ． ； （2）解：． 理由如下：连接交直线于点， 与关于直线对称， ∴直线垂直平分线段，直线垂直平分线段， ， ． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角三角形中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，由作图方法可得平分，，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴， 由作图方法可得平分，， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：， ∴的周长为． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出，，进而得出，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，， ， ∴的周长 ． 题型07角平分线的轴对称应用 方法技巧：角平分线是对称轴，两边上对应线段相等。 【典例7】. （25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，平分，交于点D． (1)若，求的度数； (2)尺规作图：在中，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后由平角的定义可得答案； （2）根据垂线的尺规作图方法作图即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：如图所示，即为所求． 【变式1】. （25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，平分，交于点． (1)求作：射线，使得，垂足为点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，与相交于点，若，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”作图即可； （2）先求出，得，根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：， ， ， ， ， 平分， ， ； 【变式2】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，点是直线上一点，，平分． (1)的度数是__________； (2)尺规作图：作直线，使得（不写作法，保留作图痕迹并标注字母）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再利用平角求解即可； （2）延长至点，以为圆心作弧交于点、，以、为圆心，大于长为半径作弧相交于点，直线即为所求作． 【详解】（1）解：，平分， ， ； （2）解：如图，直线即为所求作． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，在四边形中，，与互为补角，点在上，将沿折叠，得到．若，平分， (1)求的度数， (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补角的定义求出的度数，再由角平分线的定义和折叠的性质可得，据此可得答案； （2）由平行线的性质求出的度数，则由折叠的性质可得的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据四边形内角和为360度可得答案． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，与互为补角， ∴， ∵平分， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 题型08尺规作对称轴、轴对称图形 方法技巧：找对称点→作垂直平分线→顺次连对称点。 【典例8】. （2026·陕西西安·二模）已知在中，，，利用无刻度直尺和圆规在内部寻找点P，使得，且满足（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】过点作，作的平分线，交于，根据直角三角形两锐角互余得出，，根据角平分线的定义得出，利用三角形内角和定理求出，可得点即为所求． 【详解】解：如图所示，过点作，作的平分线，交于，点即为所求． ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【变式1】. （2026·陕西西安·二模）如图，是的边上一点．请你用尺规作图法在上方作，使得点在边上，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】利用尺规作图中作过点E的垂线的方法，先作垂线，再与交于F点，即可作出． 【详解】如图所示，即为所求． 【变式2】. （2026·陕西榆林·一模）如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据垂线的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，求解即可． 【详解】解：根据题意，作图如下： ． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． (1)仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，试说明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）利用基本作图作出的平分线即可； （2）根据角平分线的定义得，，再根据平角的定义求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：∵是的平分线，平分， ∴，， ∴， ∴． 题型09折叠中的轴对称问题 方法技巧：折叠前后对应边、角相等，设未知数列方程。 方法技巧：先定对称轴，再补全对称部分。 【典例9】. （25-26七年级下·山东青岛·期中）图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依此类推，第次折叠后，的度数为__________．（用含和的代数式表示） 【答案】 【分析】由折叠的性质折叠n次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【详解】解：如图， 由折叠可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， .....， ∴； 故答案为：． 【变式1】. （25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，与交于点G，再将其沿折叠，点分别落在点处，若折叠后，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质和垂直的定义求出，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， 由题可知， ∴， ， ． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏盐城·月考）综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过P点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点，折痕为，第二次折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)证明：； 迁移探究 再次折叠得到，又能提出哪些问题呢？ (2)如图4，将沿过点A的某射线折叠得到，与边交于F． ①作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小； 高阶探究 过点P能折一个角等于已知角吗？ (3)如图5，如何过点P折出一条折痕，使得？请画出折叠的示意图并简要描述折叠过程，无需证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析；②的度数为或或 (3)见解析 【分析】（1）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （2）①作的角平分线即可；以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点I、G，分别以I、G为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线，交于点F，射线即为所求折痕；②分，，三种情况，结合折叠性质与平行线性质，分别求解即可； （3）先过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕；再过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕；最后过点再次折叠纸片，使得点D落在射线上，展平纸片，得到折痕，即为所求；先过点A折叠纸片，使点C落在上的处，由折叠的全等性质得；再两次过点P折叠，构造出与平行的折痕，利用平行线的同位角相等，得，则． 【详解】（1）证明：由第一次折叠得，折痕是线段的垂直平分线， ∴； 由第二次折叠得，折痕是线段的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：①折痕如下图： ②由题意得，当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 由题意得，当时，如图： 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 由题意得，当时，如图： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，的度数为或或； （3）解：如图，即为所求： 【点睛】本题核心是折叠的性质与平行线判定，通过折叠得到垂直或角相等关系，结合分类讨论思想求解角度，关键是几何直观与逻辑推理的结合． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏苏州·期中）综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， (2)如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析；②的度数为或或 【分析】（）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （）①作的角平分线即可；以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求； ②分三种情况，结合折叠性质与平行线性质，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， ∴； 第二次折叠后，， ∴； ∴， ∴； （2）解：①如图： ②由题意得，当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 当时， 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴； 由题意得，当时，如图： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或． 题型10利用轴对称求最短路径 方法技巧：作对称点，连线与对称轴交点即为所求点。 【典例10】. （25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点，连接，与的交点即可所求． 【详解】解：点关于的对称点，连接，如图， 由图可知点应选在点； 故选：D． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)5 (3)作图见解析 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：连接交直线l于点P，则点P即为所求． 连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 【变式2】. （24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【答案】F 【分析】根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，即可得出答案． 【详解】解：由题意，B，关于直线L对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∴此时点F满足条件． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏徐州·期中）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短； (2)11 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短． 【详解】（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 一、单选题 1．2026年4月20日至26日，我们将迎来首个“全民阅读活动周”．为鼓励同学们积极阅读，学校举办了“阅读周”设计大赛，以下参赛作品中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 2．如图所示，长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∵， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴． 3．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 4．如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设光线在上方平面镜的反射点为点A、在下方平面镜的反射点为点B， 根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ， 两个平面镜平行， ， 根据光的反射性质、光线在点B处再次反射， ， ． 5．“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    【答案】4 【分析】根据轴对称图形的定义，分析图②的特征，确定对称轴的数量即可． 此题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示，    故答案为：4． 6．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则＝_______． 【答案】 【分析】根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出，的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：点与关于轴对称，，， ，， ， ． 三、解答题 7．如图，直线l表示一条笔直的水渠，点P表示一个村庄．现要从村庄P向水渠修一条最短的引水管道．请用尺规作图画出这条管道所在直线，垂足为H．要求：保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】根据尺规作图，过点作的垂线，垂足为，即可求解． 【详解】解：如图所示， 8．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点都是格点． (1)作关于直线对称的； (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质找到A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积为： ； 9．如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得到、，进而求出的周长为长． 【详解】解：点，分别是点关于，的对称点， 、， ， 的周长为． 10．综合与实践【回归课本】下图是人教版七年级下册数学课本32页数学活动《你有多少种画平行线的方法》的部分内容：王芳是通过折纸画的，方法如图所示： 【观察发现】 (1)图（2）中操作得到的折痕与直线的位置关系是___________； (2)如图（4），___________，则直线．（填角的度数） 【联系拓展】 (3)将正方形纸片按以图（3）方式折叠后展开如图（4），标记字母如图（5），若，求的度数． 【迁移探究】 (4)将长方形纸带按如图（6）折叠，和分别为折痕，若，当时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)垂直 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据折叠的性质即可判断折痕与直线a的位置关系是垂直； （2）由折叠的性质可得，再由内错角相等，两直线平行可得； （3）过点E作，根据两直线平行，同位角相等得到，，结合，即可得到答案； （4）根据折叠的性质得到，，然后再根据平行线的性质得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可知，图2的折痕与直线a的位置关系是垂直； （2）解：由折叠的性质可得， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解：过点E作，如图所示， 由（1）可知，， ， ，， ， ， ； （4）解：根据折叠的性质可知，，, ，， ，， ， ， ， ，即． 1 / 17 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