精品解析：吉林长春市朝阳区长春吉大附中实验学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

“鲲鹏振翼九霄近，星斗焕章万里明” 2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回．注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量加法运算法则计算即可得. 【详解】. 2. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可. 【详解】依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行. 故选：D 3. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，应用余弦定理可得. 4. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量为单位向量，可得， 因为，可得， 解得，所以， 又因为，可得，所以与的夹角为. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 【答案】B 【解析】 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 6. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量模的运算，数量积的运算律得，再结合投影向量的公式求解即可. 【详解】设向量，的夹角为，由题意知，， 因为， 所以，即，解得， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量为， 7. 如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. 15km D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出. 【详解】在中，，，则，，， 在中，，， 由正弦定理得，， 在中，由余弦定理得， . 故选：B. 8. 已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，的实部为1，正确； 对于B，的共轭复数为，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 10. 如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可. 【详解】对A：如图： 连接，交于点，连接，则，平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误； 对B：如图： 因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对C：如图： 取中点，易证四点共面，且，平面， 平面，所以平面，故C正确； 对D：如图： 连接，则，平面，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD 11. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 面积的最大值为 D. 周长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理结合三角变换可先求出，故可判断AB的正误，再根据基本不等式求出的最大值后可判断CD的正误. 【详解】因为，且， 则， 由正弦定理得， 所以， 整理得，而， 故，故， 所以，而为三角形内角， 故，所以，故A正确，B错误. 而，则． 由基本不等式（当且仅当时取等号），已知， 故，解得（当且仅当时取等号）． 因此，故C正确 周长，由余弦定理， 故，而，故， 故．因此周长的取值范围为． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则， ， 代入原式得， ，即，解得， ． 13. 如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 【答案】 【解析】 【分析】设，连接，利用线面平行的性质得，从而得为中点，再利用棱锥的体积公式和转换底面法，即可求解. 【详解】如图，设，连接，因为四棱锥为正四棱锥，则为的中点， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，则为中点，所以， 又，则，所以，则. 14. 如图，在中，，，是中点，与交于点，若存在实数使得成立，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量加法、数乘的几何意义得，令且得，再由向量共线的推论得，从而有，结合，应用向量数量积的运算律化简，得与的数量关系，即可得. 【详解】由，则，故， 令且，故， 由三点共线，则， 由，则， 所以， 由，则， 即，而，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，辅助角公式，结合特殊角的三角函数值求解； （2）利用三角形的面积公式及余弦定理求解. 【小问1详解】 由，得，即， 由，得，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由及的面积为， 得，解得， 在中，由余弦定理，可得 ， 所以的周长为. 16. 如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． （1）求剩下几何体的体积； （2）求剩下几何体的表面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积和体积公式求解. 【小问1详解】 由圆柱上底面圆心为圆锥高的中点，得圆柱的底面圆半径， 圆柱母线长为2，而圆锥的母线长， 由圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 得． 所以剩下几何体的体积为. 【小问2详解】 依题意，圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 所以剩下几何体的表面积. 17. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值； （3）当为钝角时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ， 因为， ， 所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， . 【小问3详解】 角为钝角，即，且与不能反向共线， 所以，因为，可得， 且， 综上. 18. 如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． （1）求证：D，B，F，E四点共面． （2）设平面平面，求证：． （3）棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【小问1详解】 证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． 【小问2详解】 证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． 【小问3详解】 存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 19. 设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别是与Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，仿射坐标系中，对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数使得，我们把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记作．已知在如图所示的仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，点D、F分别为OC、BC的中点，且． （1）若仿射坐标系中，，请用与的坐标表示； （2）在仿射坐标系中，若， ①求与的仿射坐标； ②求． （3）在仿射坐标系中，若，，，求的最大值． 【答案】（1） （2）①，；② （3） 【解析】 【分析】（1）利用仿射坐标的定义和向量数量积的运算律进行求解； （2）①根据中点、向量的线性运算分别求出与，写出对应的仿射坐标； ②将①问求出的坐标代入（1）问的公式求解； （3）利用（1）问求出，再利用正弦定理、辅助角公式、三角函数的性质求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以 ； 【小问2详解】 ①由题可知， 因为F为BC的中点，所以 所以的仿射坐标为， ， 所以的仿射坐标为； ②由（1）可知 【小问3详解】 由（2）知，， 所以，， ， 在中，根据正弦定理得：， 即 设，所以， 所以 ，其中， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “鲲鹏振翼九霄近，星斗焕章万里明” 2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回．注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 3. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 4. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 6. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. 15km D. 8. 已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 面积的最大值为 D. 周长的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则___________． 13. 如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 14. 如图，在中，，，是中点，与交于点，若存在实数使得成立，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． （1）求剩下几何体的体积； （2）求剩下几何体的表面积． 17. 已知向量. （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值； （3）当为钝角时，求的取值范围. 18. 如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． （1）求证：D，B，F，E四点共面． （2）设平面平面，求证：． （3）棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别是与Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，仿射坐标系中，对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数使得，我们把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记作．已知在如图所示的仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，点D、F分别为OC、BC的中点，且． （1）若仿射坐标系中，，请用与的坐标表示； （2）在仿射坐标系中，若， ①求与的仿射坐标； ②求． （3）在仿射坐标系中，若，，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $