专项10 全等三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年七年级下册数学期末试卷精选（北师大版·新教材）河北专版

期末复习第2步·攻专项 专项10 全等三角形的综合探究 根据河北省新中考考情编写 满分：40分得分： 编者按：本专项重点考查全等三角形的判定与性质的综合应用，以综合探究的方式呈现全等三 角形的常见模型、动点问题等核心压轴题，助力学生突破期末高频难点 1.〔郑州市改编〕(8分)下面是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题和引发的 思考，请帮助小方同学完成以下学习任务： (1)如图1，点M,N分别是∠AOB的边OA和OB上的点，OM=ON,点P是射线OC上一点， 测得PM=PN.请说明：OP平分∠AOB. (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD+BC,点P为DC的中点，连接PB.将四边形ABCD 沿着AP所在的直线翻折，点D刚好与AB上的点E重合，请判断AD与BC的位置关系，并 说明理由. D 图1 图2 期末复习第 2.〔张家口市改编)(10分)如图，AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=4cm,点P从点 2 A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的 步 速度运动，P,Q两点同时出发.当点P返回到点A时，P,Q两点同时停止运动.设点P的运 攻专 动时间为ts. (1)试说明：AB∥DE; (2)写出线段AP的长（用含t的式子表示）； (3)连接P0,当线段PO经过点C时，求t的值. D 河北专版数学七年级下册北师 31 3.设题新角度综合与实践了(11分)已知点C是直线AB上的一个动点. (1)【问题发现】如图1，当点C在线段AB上运动时，在AB异侧分别过点C作DCLAB,过 点A作EA⊥AB,垂足分别为点C,A,且DC=AB,AE=BC ①△ABE与△CDB全等吗？请说明理由. ②连接DE,试猜想△BDE是什么特殊三角形，并说明理由 (2)【类比探究】如图2，当点C在线段AB的延长线上时，在AB同侧分别过点C作DCL AB,过点A作EALAB,垂足分别为点C,A,且DC=AB,AE=BC,请直接写出△BDE是什么 特殊三角形 D C B 图1 图2 期末复习 4.〔洛阳市〕(11分)(1)【问题发现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CE,BD, 延长BD交CE于点F,试说明：BD=CE,∠BFC=60° (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，即AB=AC,AD=AE, 2步 ∠BAC=∠DAE=90°，连接CE,BD,延长BD交CE于点F,则BD与CE存在怎样的数量关 系及位置关系？请说明理由。 攻 (3)【问题解决】若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE= 项 α，连接CE,BD,请直接写出线段BD和CE的数量关系及它们所在直线的夹角度数。 图 图2 32 河北专版数学七年级下册北师专项10全等三角形的综合探究 1.解：(1)因为0M=0N,PM=PN,0P=0P, 所以△OPM≌△OPN. 所以LMOP=∠NOP. 所以OP平分LAOB. (3分) (2)AD∥BC. (4分) 理由：由折叠的性质，得PD=PE,∠PDA=∠PEA, AD=AE. 因为AB=AD+BC,AB=AE+BE, 所以BE=BC. 因为点P为DC的中点，所以PD=PC 所以PE=PC. 因为PB=PB,所以△PEB≌△PCB. 所以∠PEB=∠PCB. (6分) 所以∠PDA+∠PCB=∠PEA+∠PEB=180°. 所以AD∥BC (8分) 2.解：(1)因为AC=EC,BC=DC,∠ACB=∠ECD, 所以△ABC≌△EDC. 所以LA=∠E.所以AB∥DE. (3分) (2)分两种情况：①当0：e膏时，AP=3em ②当号<t≤时，aP=(8-30cm 综上所述，线段AP的长为3tcm或(8-3t)cm. (6分) (3)当线段PQ经过点C时，∠ACP=∠ECQ. 因为∠A=∠E,AC=EC, 所以△ACP≌△ECQ.所以AP=EQ, 因为△ABC≌△EDC,AB=4cm,所以ED=AB=4cm 所以EQ=ED-DQ=(4-t)cm. 分两种情况：①当0≤：≤等时，3=4-k解得1=1。 ②当号<1≤时，8-3=4-解得4=2 8 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1或2. (10分) 3.解：(1)①△ABE≌△CDB. （1分) 理由：因为EA⊥AB,DC⊥AB, 所以LA=∠DCB=90° 因为AB=DC,AE=BC,所以△ABE≌△CDB.（4分) 河北专版数学 七 ②△BDE是等腰直角三角形 (5分) 理由：因为△ABE≌△CDB, 所以BE=BD,∠ABE=∠BDC. 因为∠DCB=90°，所以∠BDC+∠DBC=90°. 所以∠DBC+∠ABE=90°，即∠DBE=90°. 所以△BDE是等腰直角三角形， (8分) (2)△BDE为等腰直角三角形， (11分) 【解析】因为DC⊥AB,EA⊥AB, 所以∠EAB=∠DCB=90°. 因为AB=DC,AE=BC,所以△ABE≌△CDB. 所以BE=BD,∠ABE=∠BDC. 因为LBDC+∠DBC=90°， 所以∠DBC+∠ABE=90°. 所以∠EBD=90°.所以△BDE是等腰直角三角形. 4.解：(1)因为△ABC和△ADE都是等边三角形， 所以AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= LCAE. 所以△BAD≌△CAE. 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE. (2分) 设题图1中BF与AC交于点O,则LAOB=∠COF. 因为LBFC=180°-∠ACE-∠C0F,∠BAC=180 -∠ABD-∠AOB, 所以LBFC=∠BAC=60°. (4分) (2)BD=CE,BD⊥CE. (5分) 理由：因为∠BAC=∠DAE=90°， 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= LCAE. 因为AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE. 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE. 与(1)同理得∠BFC=90°.所以BD⊥CE. (8分) (3)BD=CE,夹角为180°-a和a (11分) 【解析】设直线BD,CE交于点F.因为∠BAC= ∠DAE=a,所以∠BAD=∠CAE.因为AB=AC, AD=AE,所以△BAD≌△CAE 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE.同理，可得∠BFC= a所以直线BD和直线CE的夹角为180°-α和a. 年级下册北师