专题04特殊的平行四边形 专项训练（25大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

**基本信息** 以矩形、菱形、正方形为核心，按性质-判定-综合应用逻辑分层设计，覆盖中考高频题型，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形|9题型|性质（角度/线段/面积）、判定、折叠与坐标系|从性质理解到判定应用，逐步过渡到综合计算| |菱形|7题型|性质（角度/线段/面积）、判定、平行线间距离|延续矩形研究框架，突出菱形特殊性质| |正方形|5题型|性质计算、折叠重叠面积、判定综合|整合矩形菱形特性，强化正方形独特考法| |综合应用|5题型|对称求面积、动点、线段最值|融合多图形性质，提升复杂问题解决能力|

专题04特殊的平行四边形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.矩形性质理解 题型2.利用矩形性质求角度 题型3.利用矩形性质求线段长 题型4.利用矩形性质求面积 题型5.矩形性质相关证明 题型6.矩形折叠与坐标系问题 题型7.矩形判定定理及添加条件判定 题型8.证明四边形是矩形 题型9.矩形性质与判定综合计算 题型10.利用菱形性质求角度 题型11.利用菱形性质求线段长 题型12.利用菱形性质求面积 题型13.菱形性质相关证明 题型14.平行线间距离的计算与应用 题型15. 菱形判定定理及添加条件判定 题型16. 菱形性质与判定综合计算 题型17.正方形性质理解及基础计算 题型18.正方形折叠与重叠面积问题 题型19.正方形性质相关证明 题型20.正方形判定定理及添加条件判定 题型21.正方形性质与判定综合计算及证明 题型22.利用对称性求特殊平行四边形阴影面积 题型23.特殊平行四边形动点问题 题型24.四边形中的线段最值问题 题型25.四边形其他综合问题 题型26.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.矩形性质理解 1．若一个四边形的对角线互相垂直平分，下列生活中的物体最可能有上述四边形形象的是（   ） A．数学课本 B．伸缩门 C．手机屏幕 D．蜂巢 2．如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 3．如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，在上取点F，使； (2)在图（2）中，在上取点D，使平分的面积； (3)在（2）的基础上，在上取点E，使． 题型2.利用矩形性质求角度 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 3．如图，在矩形中，平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 题型3.利用矩形性质求线段长 1．如图，在矩形中，，交于点，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为_____． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒，过点作于点，连接，． (1)________，________，________，________（用含t的代数式表示） (2)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为直角三角形时，求值． 题型4.利用矩形性质求面积 1．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 2．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的面积为___． 3．如图，四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点在边上，在边上找一点，使得平分的周长； (2)如图2，中挖去了一个矩形，作一条直线平分剩下图形的面积． 题型5.矩形性质相关证明 1．如图，已知等边三角形被一矩形所截，被截成三等分，且．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 2．在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转，得到线段，过点E作的垂线交直线于点F．当F，E，D三点共线时，的长为______． 3．如图，在矩形中，点在边上，且交于点M．求证：． 题型6.矩形折叠与坐标系问题 1．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，点和点E关于直线对称，点G在边上，连接．将沿折叠，点C恰好落在线段上的点处，连接，则______ 3．将矩形纸片按如图的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处； (1)连接，求证：； (2)求线段的长． 题型7.矩形判定定理及添加条件判定 1．在平面直角坐标系中，有，，，四点，顺次连接这四个点组成的四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 2．如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 3．我们把每个顶点都在格点上的四边形叫做格点四边形．如图，在所给的的网格中，点均为格点，请画出符合要求的格点四边形． (1)在图①中画出一个以为边的矩形，且它的面积为整数； (2)在图②中画出一个以为对角线的菱形，且它的周长为整数． 题型8.证明四边形是矩形 1．已知平行四边形，下列条件中，能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为____． 3．已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 题型9.矩形性质与判定综合计算 1．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 3．如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求S的值． 题型10.利用菱形性质求角度 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 3．如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 题型11.利用菱形性质求线段长 1．如图为菱形的对角线，已知，，则边上的高为（    ） A．14.4 B．15.3 C．16.8 D．17.2 2．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为___________． 3．如图，在中，是的中线，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若．求四边形的周长． 题型12.利用菱形性质求面积 1．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 2．在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 3．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，求菱形的面积． 题型13.菱形性质相关证明 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具，他先将该学具摆成如图所示的菱形，接着又将该学具摆成如图所示的正方形．在图形变化的前后，下列几何量没有发生变化的是________（边长、内角度数、面积、对角线长度） 3．如图，在菱形中，是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 题型14.平行线间距离的计算与应用 1．如图，已知直线，直线l分别与a、b、c相交于点A、B、C，且．若，则直线a、c之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 3．如图，在梯形中，，，，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型15. 菱形判定定理及添加条件判定 1．如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（    ） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 2．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 3．如图1，为等腰三角形，，P点是底边上的一个动点．，． (1)四边形的周长为________． (2)点P运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由； (3)如果不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形是菱形，并说明理由． 题型16. 菱形性质与判定综合计算 1．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______． 3．如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 题型17.正方形性质理解及基础计算 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C的坐标为，则顶点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 3．如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，求的长． 题型18.正方形折叠与重叠面积问题 1．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 3．已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且．    (1)求证：． (2)求证：、分别在、延长线上，，四边形与正方形重合部分的面积等于． 题型19.正方形性质相关证明 1．正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．①②④⑤ 2．在正方形中，，P是正方形内的一点，连接，，，，记的面积为，的面积为．若，则的最小值是__________． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 (1)如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．由三角形全等可得，，之间的数量关系 ； (2)如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 (3)在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． (4)如图，正方形中，，，求的面积． 题型20.正方形判定定理及添加条件判定 1．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 2．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 3．如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． (1)与相等吗？证明你的结论： (2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 题型21.正方形性质与判定综合计算及证明 1．下列说法中正确的是（　　） A．四个角都相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．菱形的两条对角线相等 D．正方形的四条边都相等 2．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 3．如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 题型22.利用对称性求特殊平行四边形阴影面积 1．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 2．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 3．如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 题型23.特殊平行四边形动点问题 1．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，在菱形中，，，是对角线上的动点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，，与交于点，连接，则的面积最大值为_______，的最小值为______． 3．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 题型24.四边形中的线段最值问题 1．如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 3．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 题型25.四边形其他综合问题 1．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 2．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________． ①；②；③；④；⑤．    3．定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 分层精练 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 2．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 3．将菱形放在如图所示的平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，的坐标分别是、，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，，若的面积为8，的面积为20，则线段的长度是（   ） A．5 B．6 C．6.5 D．7.5 5．如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（   ） A． B．C． D． 二、填空题 6．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 7．如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是_________． 8．如图，四边形中，，，四边形的面积是81，若，则________． 9．如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当__________时，四边形是正方形． 10．如图，在四边形ABCD中，，点E是AB边的中点．P点从点B出发以的速度沿BC方向运动，同时点Q从点C出发沿CD方向运动，若能够在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为_______． 三、解答题 11．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 12．如图，是的角平分线，点分别在上，且，． (1)指出图中的一个等腰三角形，并加以证明； (2)求证：； (3)若，，求的度数． 13．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． 14．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，在矩形中，，，，分别是，边上的点，且，，，分别是对角线上的四等分点，顺次连接，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空： ①当______时，四边形是矩形； ②当______时，四边形是菱形； (3)求四边形的周长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04特殊的平行四边形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.矩形性质理解 题型2.利用矩形性质求角度 题型3.利用矩形性质求线段长 题型4.利用矩形性质求面积 题型5.矩形性质相关证明 题型6.矩形折叠与坐标系问题 题型7.矩形判定定理及添加条件判定 题型8.证明四边形是矩形 题型9.矩形性质与判定综合计算 题型10.利用菱形性质求角度 题型11.利用菱形性质求线段长 题型12.利用菱形性质求面积 题型13.菱形性质相关证明 题型14.平行线间距离的计算与应用 题型15. 菱形判定定理及添加条件判定 题型16. 菱形性质与判定综合计算 题型17.正方形性质理解及基础计算 题型18.正方形折叠与重叠面积问题 题型19.正方形性质相关证明 题型20.正方形判定定理及添加条件判定 题型21.正方形性质与判定综合计算及证明 题型22.利用对称性求特殊平行四边形阴影面积 题型23.特殊平行四边形动点问题 题型24.四边形中的线段最值问题 题型25.四边形其他综合问题 题型26.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.矩形性质理解 1．若一个四边形的对角线互相垂直平分，下列生活中的物体最可能有上述四边形形象的是（   ） A．数学课本 B．伸缩门 C．手机屏幕 D．蜂巢 【答案】B 【分析】先根据四边形的判定定理得到符合条件的四边形是菱形，再逐一分析各选项物体的形状，即可得出答案． 【详解】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形， ∴本题需要选出四边形形象为菱形的物体． 对各选项分析如下： A 数学课本的形状是矩形，对角线相等且平分，不互相垂直，不符合要求； B 伸缩门的结构单元为菱形，菱形满足对角线互相垂直平分，符合要求； C 手机屏幕的形状是矩形，对角线相等且平分，不互相垂直，不符合要求； D 蜂巢的单元结构是正六边形，不是符合条件的四边形，不符合要求． 2．如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 【答案】 【详解】解：矩形的四个内角都是直角， 则的大小为． 3．如图是由小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，在上取点F，使； (2)在图（2）中，在上取点D，使平分的面积； (3)在（2）的基础上，在上取点E，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； 【分析】（1）根据网格构建全等三角形，再利用角的互余关系构造即可； （2）根据中线平分三角形的面积，利用矩形的对角线交点为中点的思路解答即可； （3）按照（1）中方法取的垂线，根据斜边上的中线等于斜边一半的性质得到点E，即为所求． 【详解】（1） 在网格中取点M，分别连接，，再取格点E连交线段于F，点F即为所求； 由网格可知， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 即； （2）解：如图，由图可得，点是的中点，是边的中线，故平分的面积，点即为所求． （3）解：按照（1）中方法，在网格中取点N，分别连接，，再取格点Q连交线段于E，点E即为所求； 理由如下：结合（1）（2）可知，，D为中点， 则为斜边上的中线， 所以． 题型2.利用矩形性质求角度 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和的交点，且，则______度． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可得，是等边三角形，进而得到，，即得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，掌握矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键； （1）由矩形的性质、平分可知的大小，由直角三角形的性质即可求出的度数； （2）由矩形的性质及可得是等边三角形，等量代换即可证得． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 平分， ， ， ； （2）证明：四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ． 题型3.利用矩形性质求线段长 1．如图，在矩形中，，交于点，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，结合可判定为等边三角形，从而求出的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴ 在中， 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为_____． 【答案】2 【分析】由矩形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒，过点作于点，连接，． (1)________，________，________，________（用含t的代数式表示） (2)连接，与能垂直吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为直角三角形时，求值． 【答案】(1)，，， (2)与能垂直，此时的值为 (3)2或 【分析】（1）先求出的长，再根据含30度的直角三角形的性质可得的长，然后根据即可得； （2）先证出四边形是平行四边形，则要使得与垂直，需平行四边形是菱形，再根据菱形的性质可得，建立方程，解方程即可； （3）先求出的长，以及，再分两种情况：①，②，利用含30度的直角三角形的性质建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴在中，． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴四边形是平行四边形， 要使得与垂直，则需平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， 解得， ∴与能垂直，此时的值为． （3）解：由上已得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①如图，当时，为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，即， 解得，符合题意； ②如图，当时，为直角三角形， ∴， ∴在中，，即， 解得，符合题意； 综上，当为直角三角形时，的值为2或． 题型4.利用矩形性质求面积 1．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 2．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的面积为___． 【答案】 6 【分析】根据矩形性质和中点定义求出四个角上直角三角形的直角边长，利用矩形面积减去四个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，，． ，，，分别为矩形各边的中点， ，， ， ． 3．如图，四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点在边上，在边上找一点，使得平分的周长； (2)如图2，中挖去了一个矩形，作一条直线平分剩下图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求，由于点是平行四边形的对称中心，根据平行四边形是中心对称图形可得平分的周长； （2）由题意作出平行四边形的中心，矩形的中心，作直线即可，根据平行四边形是中心对称图形可得直线平分剩下图形的面积．． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）解：如图2中，直线即为所求； 题型5.矩形性质相关证明 1．如图，已知等边三角形被一矩形所截，被截成三等分，且．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 【答案】D 【分析】推出和是等边三角形，结合三等分得到，再求出四边形各边长，最后求周长即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵等边三角形被一矩形所截，被截成三等分，， ∴，， ∴， ∴，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为：． 2．在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转，得到线段，过点E作的垂线交直线于点F．当F，E，D三点共线时，的长为______． 【答案】1或9 【分析】分两种情况求解：①当点E在上时，连接，可证得，从而，设，则，可求得，在中列出，进而求得的值；②当点E在的延长线上时，同样方法求得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ①当点E在上时，连接，如图， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ②当点在线段的延长线上时．如图，连接， 同理可得：，，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为或9． 3．如图，在矩形中，点在边上，且交于点M．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用矩形的性质，得出，证得，可得到，进而得到． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 题型6.矩形折叠与坐标系问题 1．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交y轴于点E，则轴．即有，则A点的横坐标为3；根据轴，可得A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，进一步问题得解． 【详解】解：延长交y轴于点E，则轴．    ∵，， ∴， ∴A点的横坐标为3； ∵轴，， ∴A点的纵坐标与D点的纵坐标相同，为3， ∴B点的坐标为． 2．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，点和点E关于直线对称，点G在边上，连接．将沿折叠，点C恰好落在线段上的点处，连接，则______ 【答案】/ 【分析】连接求出，则，设，则，由勾股定理可得，，解得，得到，得到，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接 在矩形中，，，， ∵点A和点E关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在线段上的点H处， ∴， ∴， ∴． 3．将矩形纸片按如图的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处； (1)连接，求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据折叠的性质证明即可； （2）由直角三角形的性质结合勾股定理易得长，证明为等边三角形，那么就得到的长，即为长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，∵折叠， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴，，， ∵， ∴， ，， 折叠后为， ， ∴， 是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ． 题型7.矩形判定定理及添加条件判定 1．在平面直角坐标系中，有，，，四点，顺次连接这四个点组成的四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据四个点的坐标特征，判断各边的位置关系与长度，再根据特殊四边形的判定确定形状． 【详解】∵ ，，纵坐标相同， 轴， ， ∵ ，， 横坐标相同， 轴， ， ∵ ，纵坐标相同， 轴， ， ∵ ， 横坐标相同， 轴， ； 可得且，且 ， 四边形是平行四边形； 又轴，轴， ， 四边形是长方形； ∵邻边，，长度不相等， 因此不是正方形． 2．如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】依据矩形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； 或添加，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形即可判定． 3．我们把每个顶点都在格点上的四边形叫做格点四边形．如图，在所给的的网格中，点均为格点，请画出符合要求的格点四边形． (1)在图①中画出一个以为边的矩形，且它的面积为整数； (2)在图②中画出一个以为对角线的菱形，且它的周长为整数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据格点特点画出图形即可； （2）根据格点特点作菱形即可． 【详解】（1）解：如图①所示，矩形即为所求（答案不唯一）． 矩形面积为 （2）解：如图②所示，菱形即为所求． ∵，， ∴， ∴四边形为菱形． 题型8.证明四边形是矩形 1．已知平行四边形，下列条件中，能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用平行四边形的性质，结合矩形、菱形的判定定理对各选项逐一判断即可.． 【详解】解：A. ∵平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴平行四边形为矩形， 故选项符合题意； B. 是平行四边形具有的性质，不能判定这个平行四边形为矩形； C. 可以判定平行四边形是菱形，不能判定这个平行四边形为矩形； D. 可以判定平行四边形是菱形，不能判定这个平行四边形为矩形． 2．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为____． 【答案】24 【分析】证明出四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，得到，然后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是菱形 ∴，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 3．已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图与证明见解析 【分析】（1）利用翻折性质得，结合为中点证，再由角度关系推，证为等边三角形； （2）过作梯形的高，证得、，结合与，推得且，再由证四边形为矩形． 【详解】（1）证明：将沿直线翻折，点落在腰上的点处， ，，即， 是腰的中点， 垂直平分， ， ，， ， 由翻折性质，， ， （三线合一）， ， 又， ∴， ∴， 又， 是等边三角形． （2）证明：过点作，垂足为，则． ，， 四边形是矩形， ，， 由翻折性质，，， ，且， 在和中：， ， ，， ， ， 又∵， ∴，即， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． 题型9.矩形性质与判定综合计算 1．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 2．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，结合题意可得为等腰直角三角形，则，延长交于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求S的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形是矩形； （2）由得，利用勾股定理解得，利用完全平方公式计算出，进而得出的值即可． 【详解】（1）证明： ，， ∴四边形是平行四边形，                     ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：， ， ， ，                     ， ， ∵四边形是矩形， ， ∴在中，根据勾股定理得，， ，                         ， ， ． 题型10.利用菱形性质求角度 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，，是上一点，于点，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，再结合等腰三角形的性质以及直角三角形的性质可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形，分别是菱形与正方形，且为对角线， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ， ． 题型11.利用菱形性质求线段长 1．如图为菱形的对角线，已知，，则边上的高为（    ） A．14.4 B．15.3 C．16.8 D．17.2 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，还等于底乘以对应的高计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线， ∴， ∴， ∵． ∴ ∴． 2．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图所示正方形，则图中对角线的长为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知是等边三角形，可得正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的对角线长． 【详解】解：如下图所示，连接， 菱形中，， 是等边三角形， ， ， 正方形的边长为， ． 3．如图，在中，是的中线，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若．求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中线，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据和为等腰三角形且顶角相等，则底角相等，再证，得四边形是平行四边形，再根据，即可证四边形是菱形； （2）连接，交于点，根据菱形，可得，解，得，根据菱形的性质和三角形的中线，可得，再根据勾股定理，得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是的中线， ， 又， ， ， 四边形的周长为． 题型12.利用菱形性质求面积 1．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，得，进而可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ∴， ， ， ∴， 即， ， ∴． 2．在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴． 3．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，求菱形的面积． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，利用勾股定理求出的长，再根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可得． 【详解】解：四边形是菱形，对角线与相交于， ，，， ，， ， ， ． 题型13.菱形性质相关证明 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质即可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，故B正确； ∵菱形的边长与对角线长度无必然相等关系 ∴不一定等于，故A错误； ∵四边形是菱形 ∴ ∴，而不一定等于，故C错误； ∵菱形的对角线不一定相等（仅正方形时相等） ∴不一定等于，故D错误 ． 2．在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具，他先将该学具摆成如图所示的菱形，接着又将该学具摆成如图所示的正方形．在图形变化的前后，下列几何量没有发生变化的是________（边长、内角度数、面积、对角线长度） 【答案】边长 【分析】根据菱形和正方形的性质求解． 【详解】解：由菱形到正方形，几何量没有发生变化的是边长． 3．如图，在菱形中，是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得，可证明，即可求证； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质可得到，在和中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 题型14.平行线间距离的计算与应用 1．如图，已知直线，直线l分别与a、b、c相交于点A、B、C，且．若，则直线a、c之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，若一条直线垂直于平行线中的一条，则它也垂直于其余平行线，从而确定直线l 是直线 a、b、c的公垂线，进而得出直线 a、c 之间的距离即为线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，（在同一平面内，垂直于平行线中一条直线的直线必垂直于其余直线）． ∴ 线段 的长度即为直线 a、c 之间的距离． ∵ 点 A、B、C 在直线 l 上，且， ∴， ∴ 直线 a、c之间的距离为． 2．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【分析】根据平行线间间距相等得到，据此得到的面积为6，则四边形的面积为． 【详解】解：直线， ， 的面积为3， 的面积为6， 四边形的面积为． 3．如图，在梯形中，，，，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，即可求证； （2）过点A作于点F，根据两平行线间的距离可得，再证明，即可求证． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即； （2）证明：如图，过点A作于点F， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 题型15. 菱形判定定理及添加条件判定 1．如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（    ） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 【答案】C 【详解】解：A、当时，是矩形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，故此选项错误； B、当时，是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误； C、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，推出，判定平行四边形是菱形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得；故此选项正确； D、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，因此，判定平行四边形是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误． 2．如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 3．如图1，为等腰三角形，，P点是底边上的一个动点．，． (1)四边形的周长为________． (2)点P运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由； (3)如果不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形是菱形，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)当点P运动到中点时，四边形是菱形．理由见解析 (3)点P运动到的平分线上时，四边形是菱形．理由见解析 【分析】（1）由题意可得四边形为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可求四边形的周长； （2）当P为中点时，四边形是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，则平行四边形是菱形； （3）P运动到的平分线上时，四边形是菱形，首先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质可得，从而可证出，进而可得，然后可得四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （2）解：当点P运动到中点时，四边形是菱形．理由如下： 连结，如图， ，， 四边形是平行四边形． ，P为的中点， ． ， ， ， ， 四边形是菱形； （3）解：点P运动到的平分线上时，四边形ADPE是菱形，理由如下： 连结． ，， 四边形是平行四边形， 平分， ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 题型16. 菱形性质与判定综合计算 1．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 2．如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______． 【答案】3 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的面积为15和，进行求解即可． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意得，， 四边形是菱形， ∵菱形的面积为15， ∴ 解得． 3．如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明； （2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出、，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又， ． （2）解：由（1）得， 四边形是菱形，， 在中，， ， ， ， ∴ ， ，， ． 题型17.正方形性质理解及基础计算 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C的坐标为，则顶点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得点A和点C关于x轴对称，然后根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点A和点C关于对称，即点A和点C关于x轴对称， ∵点C的坐标为， ∴点A的坐标为． 2．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，若则 =________． 【答案】 【分析】由于四边形是正方形、是正三角形，由此可以得到，接着利用正方形和正三角形的内角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，求的长． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出、、三点共线，，，进而得出，然后利用判断出，根据全等三角形的对应边相等得出，设，然后根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案． 【详解】解：逆时针旋转得到， ， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 设， ，且， ， ， ， 在中，即， 解得， . 题型18.正方形折叠与重叠面积问题 1．如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先证明，再利用角的关系求得，即可判断；沿对折，得到，利用角的关系求出，从而判断；设，则，，利用勾股定理可得，即，解得，从而判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 2．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 3．已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且．    (1)求证：． (2)求证：、分别在、延长线上，，四边形与正方形重合部分的面积等于． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由四边形为正方形得到，，，又由，即可证明，则，由得到，即可得到结论； （2）由得到，根据即可得到四边形与正方形重合部分的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∴四边形与正方形重合部分的面积等于 ． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 题型19.正方形性质相关证明 1．正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】证明是等腰直角三角形，得到，证明四边形是矩形，得到，，即可判断①；连接，证明，得到，然后由矩形的性质得到，即可判断②；根据题意直角三角形斜边大于直角边得到，即可得到四边形不可能是菱形，进而判断③；延长交于点G，推出，证明四边形是正方形，得到，证明，得到，然后证明四边形是平行四边形，推出，然后等量代换得到，即可判断④；当F运动到的中点时，设，则然后根据等面积法表示出，然后得到即可判断⑤． 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴四边形的周长，是定值，故①正确； ②如图，连接， ∵四边形是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，故②正确； ③∵四边形是矩形 ∴ ∴在中， ∴四边形不可能是菱形，故③错误； ④如图，延长交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴，即 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴，故④正确； ⑤当F运动到的中点时， 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②④⑤． 2．在正方形中，，P是正方形内的一点，连接，，，，记的面积为，的面积为．若，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】先求出的长度，根据轴对称求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，最后根据两点之间，线段最短，即可得答案． 【详解】解：如下图，过点P作，过点P作，作点A关于直线的对称点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 的值最小， 三点共线， 在中，， 的最小值是． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 (1)如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．由三角形全等可得，，之间的数量关系 ； (2)如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 (3)在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． (4)如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （2）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （3）由（2）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解； （4）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为； （4）解：如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型20.正方形判定定理及添加条件判定 1．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确； B、当时，四边形是矩形，不是正方形，故错误； C、当时，四边形是矩形，正确； D、当时，四边形是菱形，正确． 2．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形． 3．如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． (1)与相等吗？证明你的结论： (2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)当点O是的中点时，四边形是矩形，证明见解析 (3)当满足时，四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义推出，根据等角对等边推出，同理可得，然后运用等量代换即可解答； （2）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，据此只需要满足即可，据此可得答案； （3）令，证明四边形是菱形，再结合四边形是矩形，即可证明是正方形． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：当点O是的中点时，四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （3）解：当满足时，四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵平行四边形是矩形， ∴， ∴菱形是正方形． 题型21.正方形性质与判定综合计算及证明 1．下列说法中正确的是（　　） A．四个角都相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．菱形的两条对角线相等 D．正方形的四条边都相等 【答案】D 【分析】本题考查了特殊四边形的性质与判定，由矩形、菱形、正方形的定义和性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ 四个角都相等的四边形是矩形，但矩形不一定是正方形（需边相等），∴ A错误； ∵ 对角线互相垂直的四边形不一定是矩形（如菱形），矩形的对角线相等但不一定垂直，∴ B错误； ∵ 菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等（只有正方形对角线相等），∴ C错误； ∵ 正方形的定义是四边相等、四角为直角，∴ 四条边都相等正确，∴ D正确． 故选：D． 2．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 【答案】或或 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ； 如图，当时， 过点作于点，过点作于点，如图3所示， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用． 3．如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由推出，再结合是中点得到，又因、得到，依据判定定理即可证得． （2）先由、且，判定四边形为矩形，结合得到，进而判定四边形为正方形，即；再由、可知为等腰直角三角形，故，结合可判定为等腰直角三角形，即；已知，是中点得，在等腰中，由勾股定理求得，因此． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， 由得：， ∴四边形是正方形， ，是的中点， ． ∵，， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ， ． 题型22.利用对称性求特殊平行四边形阴影面积 1．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 2．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 【答案】/ 【分析】如图，采用局部求解的方法，先求出正八边形的内角，再结合菱形的性质证明，进而证明，依次推出，，结合为正方形，可得，设，则，，由此可解． 【详解】解：如图， 正八边形的每个内角的度数为：， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ， 由对称性易知四边形为正方形， ， 设，则，， ． 3．如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，动点、分别从点、同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接并延长交边于点M，连接并延长交边于点N，连接、、、，得到四边形，设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为_______，的长为_______；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，求出x的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）证，得出即可； （2）证，分别列出，，，，再用正方形面积减去即可； （3）先确定四边形是平行四边形，其中能为轴对称的只有矩形和菱形，分别讨论即可． 【详解】（1）解：（1）由题意得，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）根据题意，得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ；；， ∴， 综上，； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是轴对称图形， ①当四边形是矩形时，如图， 只需即可， 则此时只需即可， ∴， 解得； ②当四边形是菱形时，， ∴， 解得（舍去）； 综上，当四边形是轴对称图形时，的值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，动点问题，矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 题型23.特殊平行四边形动点问题 1．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，用含的代数式表示出的长，利用矩形及平行四边形、梯形的性质逐一判断即可. 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当四边形为矩形时， ∴， 即：， 解得：， ∴不正确； 当四边形是平行四边形时， ∴， 即：， 解得：， ∴②不正确； 当时，若四边形是平行四边形，； 若四边形是梯形，分别过点作于，于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：当时，或， ∴③正确； 由题意得：， 若， 则， ∵， ∴点，在运动中不存在一个时刻，使得， ∴④不正确． 综上：①②④不正确. 2．如图，在菱形中，，，是对角线上的动点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，，与交于点，连接，则的面积最大值为_______，的最小值为______． 【答案】 【分析】先利用菱形的性质求出对角线长度，再通过全等三角形证明，从而确定点的轨迹为以为弦、圆周角为的定圆．利用圆的性质，分别求解面积的最大值和点到该圆的最短距离，即可得到结果． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，， 因此、均为等边三角形，， 菱形的对角线与互相垂直平分，设对角线交点为，则， 在中，由勾股定理：， 因此，， 在、中，， ， ， 又， 则， 在中，根据三角形内角和定理： ， 由可知，点的轨迹是以为弦、圆周角为的定圆， 设该圆的圆心为，根据圆周角定理，圆心角 ， 点到的距离最大时，的面积最大， 由正弦定理，在中，，作， ， 又， ， 圆心到的距离， 因此点到的最大距离为， 的最大面积为：， 作的延长线于，则， ， 表示点到圆的距离，当距离最小时，为线段与圆的交点， 的最短距离为， 综上，的最大面积为：，的最短距离为． 3．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)16 (2)或 (3)或 (4)或或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点， ，， ∵， ； （2）解：∵在中，，， ∴，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； （3）解：∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； （4）解：当点在上，点在上时，则， ， ， 当在线段的延长线上时，点在上时， 当时，如图所示， ， 又， ∴， 解得：， ∴时，； 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， 解得：， 综上所述：或或． 题型24.四边形中的线段最值问题 1．如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小，利用面积求解即可. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小， ∵菱形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：. 2．如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】由于点B与点D关于对称，连接，交于点P，那么的周长最小，此时的周长．在中，由勾股定理先计算出的长度，再得出结果． 【详解】解：如图所示,连接， 当点三点共线时,的周长最小, 即当点在处时,的周长最小. 因为为的中点, 所以在Rt中, 连接, 因为四边形是正方形, 所以垂直平分, 所以, 所以周长的最小值的周长 ． 3．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点作交于点， 可证出，得，，利用勾股定理得到，进而可证得结论； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，则， ∵四边形是正方形，O为的中点， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 题型25.四边形其他综合问题 1．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是正方形，由正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证明四边形是正方形是解题的关键． 2．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是_________． ①；②；③；④；⑤．    【答案】①②③④ 【分析】根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明，从而判断①正确，根据全等三角形对应角相等可得，可证，从而判断②正确，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，根据列式计算即可判断出③正确；过点B作，交的延长线于点F，先求出，由等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，即可求正方形的面积，从而判断④正确；连接PC，连接，过点P作，交于M，交于N，利用三角形的面积关系可求的长，同理可求的长，由勾股定理可求的长，从而判断⑤错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，故①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 如图，过点B作，交的延长线于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 如图，连接，过点P作，交于M，交于N，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴，故⑤错误， 故答案为：①②③④ 【点睛】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题． 3．定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】(1)②③ (2)①见解析；② (3)4 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【详解】（1）解：根据“勾股四边形”的定义可知矩形和有一个角为直角的任意凸四边形为“勾股四边形”． 故答案为：②③ （2）解：①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”，且， ． 又， 是等边三角形， ， ． （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 分层精练 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，，，故选项A符合题意； 选项B，，，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D不符合题意； 2．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】结合菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形 对于A选项，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于B选项，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于C选项，如图， 平分， ， 又∵， ， 可得， ，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于D选项，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知平行四边形是矩形，不能成为菱形，符合要求. 3．将菱形放在如图所示的平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，的坐标分别是、，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，相交于E，由点，的坐标得出，轴，，根据菱形的性质得出，，，证明四边形是矩形，可求出，即可求解． 【详解】解：连接、，相交于E， ∵点，的坐标分别是、， ∴，轴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵轴，， ∴轴， 又A在y轴上，、 ∴． 4．如图，直线，，若的面积为8，的面积为20，则线段的长度是（   ） A．5 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】D 【分析】设直线与之间的距离为h，由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：设直线与之间的距离为h， ∵，，的面积为8，的面积为20， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，根据相关性质逐一判断即可，综合掌握相关知识点是解决问题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 在和中： ∴ ()， ∴； 同理可证： ()， ∴； 选项：∵，， ∴，依据四条边相等的四边形是菱形， 选项正确． 选项： ∵ ∴ 是成立的结论，无法推出四边形的边或对角线满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 选项：仅知道，无法保证四边形的四条边相等或对角线互相垂直平分，不能判定其为菱形，选项错误． 选项： 仅能确定点的位置，无法保证点的位置使四边形满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 二、填空题 6．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【答案】/62度 【分析】首先证明出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形 ∴平分和 ∴． 7．如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若点与点重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值． 【详解】解：当点H与点A重合时，有最小值， ，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 若点与点重合时，有最大值， ∴四边形是正方形， ∴， ∴最大值为4， ∴， 故答案为：． 8．如图，四边形中，，，四边形的面积是81，若，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键．过作于于，证，将四边形的面积转化为矩形的面积，再证矩形是正方形．求出，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作于于，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16. 9．如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当__________时，四边形是正方形． 【答案】90° 【分析】要确定的度数使四边形为正方形，需先分析四边形的形状，利用角平分线、平行线的性质及正方形的判定条件推导． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理，平分，． ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 当时，平分， 可得：． ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． ∴矩形是正方形． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，角平分线与平行线的性质，解题关键是先利用“对角线互相平分且相等”证明矩形，再通过“邻边相等的矩形是正方形”推导角度． 10．如图，在四边形ABCD中，，点E是AB边的中点．P点从点B出发以的速度沿BC方向运动，同时点Q从点C出发沿CD方向运动，若能够在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为_______． 【答案】2或m/s/2或m/s/或m/s/或m/s 【分析】本题考查三角形全等动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的性质，进行分类讨论．根据三角形全等性质分，或，两类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵m，E是AB的中点； ∴m； ∵，且与全等； ∴，或，； 当，时； m，m设运动时间为t； 则，解得； ； 此时点Q的运动速度为：m/s； 当，时； ； 解得：； 此时，点Q的运动速度为：m/s； 故答案为：2或m/s． 三、解答题 11．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，最后求出矩形的面积即可； （3）根据菱形的性质得出，，，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）解：∵菱形， ，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ． 12．如图，是的角平分线，点分别在上，且，． (1)指出图中的一个等腰三角形，并加以证明； (2)求证：； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由可得，再根据角平分线的定义得，即得，得到，即可求证； （），，可得四边形是平行四边形，得到，又由（）知，即可得到； （）由四边形是平行四边形，可得四边形是菱形，得到，进而得到，即可由得到是等边三角形，即得，最后根据平行线的性质即可求解； 本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平行四边形、菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）是等腰三角形． 证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又由（）知， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 13．如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查折叠的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到、，进而得到，则求出，证明四边形是矩形，利用，证明四边形是正方形； （2）设，则，由折叠的性质得到、，进而得到，在中，利用勾股定理列出方程，解方程，从而求出的值． 【详解】（1）证明：由折叠可知，、、、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形； （2）解：由（1）知，四边形是正方形， 、， ， 设，则， 由折叠的性质知，、， ， 在中，， ， 解得：， ． 14．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或2 【分析】本题考查列代数式、矩形上的动点问题： （1）求出即可表示出的长度； （2）分两种情况讨论：和时，根据全等的性质得边长相等，从而可求v的值． 【详解】（1）解：，则， 故答案为：； （2）解：存在． 分两种情况讨论： ①当，时，． ∵， ∴． ∴，即． 解得． ∵，， ∴． ②当，时，． ∵， ∴，即． 解得． ∵，即，解得． 综上所述，当或2时，与全等． 15．如图，在矩形中，，，，分别是，边上的点，且，，，分别是对角线上的四等分点，顺次连接，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空： ①当______时，四边形是矩形； ②当______时，四边形是菱形； (3)求四边形的周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质及轴对称性质的应用， （1）证明，进而得，，便可得结论； （2）①连接，证明四边形为平行四边形，得，进而得四边形是矩形； ②连接、、，证明四边形是菱形，得，便可得四边形是菱形； （3）过作于，连接到点，使得，连接，与交于点，过作于点，求得的最小值为，进而便可求得四边形的周长的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ，，分别是对角线上的四等分点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①当时，四边形是矩形．理由如下： 连接，如图， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，，分别是对角线上的四等分点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 故答案为：； ②当时，四边形是菱形．理由如下： 连接、、，如图， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：； （3）解：过作于，延长到点，使得，连接，，过作于点，如图， 则，，， ， ， ， ， ， 当、、三点共线，的值最小，其值为， 四边形的周长的最小值为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $