专题03菱形压轴题型专项训练(15大题型+压轴题型精析)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦菱形15类高频压轴题型，以母题精讲带动梯度专练，系统覆盖性质判定、图形变换及综合应用，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质与判定综合|3题|结合平行四边形性质证菱形|从定义出发，关联对角线垂直特性| |折叠问题|3题|折叠求线段长/角度|利用轴对称性质转化等量关系| |图形变换综合|平移/旋转各3题|动态变化中探究几何关系|体现空间观念，培养动态思维| |最值与存在性|各3题|动点背景下求最值/证存在|融合代数运算与几何推理，发展模型意识|

专题03菱形压轴题型专项训练 【温馨提示】15大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.菱形性质与判定综合证明 题型02.菱形对角线综合计算 题型03.菱形折叠求线段长 题型04.菱形折叠求角度 题型05.菱形与平移综合 题型06.菱形旋转综合 题型07.菱形与坐标系综合 题型08.菱形与动点问题 题型09.菱形最大值问题 题型10.菱形最小值问题 题型11.菱形与矩形结合 题型12.菱形与正方形结合 题型13.菱形中位线综合 题型14.菱形存在性问题 题型15.菱形面积综合计算 题型01.菱形性质与判定综合证明 1．如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 3．矩形中，，．将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕为．延长交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠的性质和矩形的性质，证明四边形的邻边相等且对边平行，再通过勾股定理计算线段长度并求比值． （1）利用折叠性质得，；结合矩形，得，进而，得；再证，得到四边相等，判定菱形； （2）先在中用勾股定理求，再求，在中求；设，在中用勾股定理求，再在中求，最后计算比值． 【详解】（1）证明：∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴ ． 由折叠性质得：，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ 四边形是平行四边形． 又∵ ， ∴ 平行四边形为菱形． （2）解：∵ 四边形是矩形， ∴ ，，． 由折叠得：，在中，． ∴ ． 在中，． 设，则， 在中，，， ∴，即． 在中，． ． 答：的值为． 题型02.菱形对角线综合计算 4．在菱形中，，，点E，F分别在，上，点P在对角线上，连接，，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】在取点，使，证明，求得，当共线，且时，取得最小值，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】解：在上取点，使，连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线，且时，取得最小值， ∵菱形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点O，平分，交、于点P、M，连接，当，时，点C到的距离为 _________ ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，再根据菱形的性质得到为直角三角形，再根据，得到，根据含角的直角三角形的性质得出，得出为等边三角形，过点C作，过点D作，交延长线于F，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，利用面积法得出CE的长即可得答案． 【详解】解：四边形为菱形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴为中点，． 过点C作，过点D作，交延长线于F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵． ∴． 6．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接交于点，连接 (1)求证：； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得到，则可证明，进而证明四边形为平行四边形，则； （2）连接，证明四边形为平行四边形，进而证明为矩形则；证明为等边三角形，得到，则，利用勾股定理得到，则，据此可得． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ，即， ； 又， ∴四边形为平行四边形， ； （2）解：如图所示，连接， 四边形为菱形， ，， ，即， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∵， 为矩形， ； ∵， 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 题型03.菱形折叠求线段长 7．如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 【答案】或 【分析】利用菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质及勾股定理，分两种情况画出图形进行解答即可：①；②． 【详解】解：∵与菱形的对角线平行，而菱形的对角线有和， ∴分和两种情况进行讨论： ①当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 过点E作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 8．如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质和折叠的性质可知，，，然后分三种情况讨论：、、，再根据直角三角形的性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，连接，交于点M，如图所示， ∵将线段沿着直线翻折，得到线段， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，如图所示， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴； 当时，此时交的延长线于点M，如图所示， 此时点E与点C重合，， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，A选项符合题意． 9．【问题背景】在学习了平行四边形后，某兴趣小组研究了一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： (1)如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断四边形的形状为___________； 【探究证明】 (2)在（1）的条件下，取的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接、，如图②，求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】 (3)在（1）（2）的条件下，若四边形为轴对称图形，请直接写出的值为___________． 【答案】(1)菱形 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合可得，，由此判定为菱形； （2）容易判断四边形也是菱形，由菱形的性质可得，，，，，结合平行四边形的性质和中点的性质可得，，，命题得证； （3）分两类讨论，当四边形为矩形时，作于点，作于点，设，由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得可得，，，容易证明四边形是矩形，则，．由矩形的性质可得，，则，从而得到，进一步计算出，因此；当四边形为菱形时，延长交于点，设，容易判断，，从而判断是等边三角形，则，进而计算出，因此． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：同理（1）可得，四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵为边的中点，为边的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（2）可知，四边形是平行四边形， 又∵四边形为轴对称图形， ∴四边形为矩形或菱形， ①当四边形为矩形时，如图，作于点，作于点，设， ∵为边的中点，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴； ②当四边形为菱形时，如图，延长交于点，设， 由①可知，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 题型04.菱形折叠求角度 10．如图，菱形中，，点P在对角线上，将沿翻折，得到，当____________ 时，P、、D三点共线． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点．当P，，D三点共线时，分两种情况：①当D在线段上时，连接；②当D在延长线上时，连接，，由翻折的性质易证得，则，设，由菱形的性质及易求得菱形内各个角的度数，然后，根据用x表示的各个角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况下的度数． 【详解】解：当P，，D三点共线时，分两种情况： ①当D在线段上时， 如图，连接， ∵沿翻折至， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵P在菱形的对角线上， ∴， ∴， 又∵， 而， ∴， ∴； ②当D在延长线上时， 如图，连接，， 同上，设， ∵， ∴， 又∵P在菱形的对角线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当或时，P、、D三点共线， 故答案为：或． 11．动手操作 （1）如图1，将正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点E处，得到折痕．折痕与折痕交于点H，打开铺平，连接，则的度数是________； 理解应用 （2）如图2，某公园有一块边长为的菱形空地，．园区管理员准备在该空地上种植花卉．为方便游客观赏，在其中修四条步道和，且点M在上，点N在上，． ①求的度数；（提示：构造全等（）先求出的度数） ②求出三条步道和所围成的的面积的最小值．（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了正方形、菱形的性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判定等知识，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． （1）由折叠可知：，设，则，，可得，进而推出是等腰直角三角形； （2）①过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F，可得是以为底，顶角为的等腰三角形； ②当最小时三角形面积最小，则当时，三角形面积最小，再利用含30°直角三角形性质解三角形，即可得出结论． 【详解】解：（1）由折叠可知：； 连接，如图， 由折叠可知，，， 设，则，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； （2）①如图；过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点N作于点G，设, 则,， ∵，即， 解得：, 则， ∴当a最小时，面积最小， ∴当时，有最小，进而面积最小， ∵，， ∴， ∴（m）， ∴， 则（）， ∴的面积存在最小值，最小值为． 12．如图①，有一张菱形纸片，，折叠该纸片，使得点A，均与点重合，折痕分别为，，设两条折痕的延长线交于点． (1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数； (2)四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】(1)补充图形见解析， (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了翻折变换、菱形的判定和性质、三角形全等的判定与性质等知识点，灵活运用折叠的性质是本题的关键． （1）由菱形的性质可得，即，由折叠的性质可得，即，再根据四边形的内角和定理求解即可； （2）由题意可证，可证四边形是平行四边形，由“”可证，可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点O． ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴，，，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 题型05.菱形与平移综合 13．如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于D′，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在边长为4的菱形中，， ∴，，， 将沿射线的方向平移得到， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值，令交于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，通过证明得到，即可得出结论． 【详解】解：连接交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得， ∴，整理得：， ∵， ∴，则为等边三角形那个， ∴， ∵在边长为4的菱形中，， ∴，， ∵将沿射线的方向平移得到 ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点E在过点A且平行于的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点M，连接交定直线于E，则的长度即为的最小值， 根据轴对称的性质可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 15．如图，在菱形中，，将边沿对角线平移，得到线段，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)平移过程中能否得到四边形的是矩形？如果能得到，求出平移的距离；如果不能，请说明理由； (3)在平移过程中，最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)能，平移距离 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质，平行四边形的判定证明即可； （2）连接，，当四边形是矩形时， ， 利用勾股定理解答即可． （3）点F在直线上运动，故作点B关于直线得对称轴点M，连接交于点N，当点F与点N重合时，取得最小值，且最小值为的长，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：由平移可知， , ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：连接，， 当四边形是矩形时， ， 由平移可知，， ∵四边形是菱形 ， ∴ ， ∴ DF⊥BD ,即， 在中，即 ， 解得， 故当移动距离时，四边形是矩形． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点F在直线上运动， 故作点B关于直线得对称轴点M， 连接交于点N， ∴当点F与点N重合时，取得最小值，且最小值为的长， ∵四边形是菱形 ，，设的交点为O， ∴ ，，， ∴， 在中，， 故最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，平移的应用，将军饮马河原理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 题型06.菱形旋转综合 16．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 17．如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为(    ) A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长． 【详解】解： 根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形， 旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是． 故选：C． 18．如图①所示，四边形是菱形，，边长为3，在菱形内作等边三角形，边长为，点E，F分别在，上，以点A为旋转中心将顺时针转动，旋转角为，如图②所示． (1)在图②中证明； (2)如图②所示，过点E作，若旋转角，求和的长度； (3)当时，求旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)旋转角的度数为或 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）由得是等腰直角三角形，得出，求出，在中，由勾股定理求出，即可得出的长； （3）先由已知得，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出点M与A重合，求出，进而得或． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：； （3）解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴，即， 解得：，即点M与A重合， ∴， 分两种情况： 如图①所示，； 如图②所示，； 综上所述：当时，旋转角的度数为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 题型07.菱形与坐标系综合 19．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】由条件可先证得四边形为菱形，连接交于点，连接，可求得和的长，则，故当三点在一条线上时，有最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 20．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 21．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）过点作于，证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案； （3）过点作于，延长、交于点，证明，然后求出，即可得到答案； （4）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，通过构造垂线、利用等腰直角三角形与全等三角形，将菱形、正方形的性质转化为坐标计算．动点路径分析时，抓住中点坐标规律，结合临界位置求解，体现了“数形结合”与“化动为静”的解题思想． 题型08.菱形与动点问题 22．如图，在边长为4的菱形中，，点，分别为边，上的动点，且，点为线段的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点O， 取、、的中点为M、N、H，利用三角形的中位线性质得到，，则M、H、N共线，，，进而点G在上运动，当G与H重合时，，此时最小，最小值为的长度，利用菱形的性质和勾股定理求得，，进而可求解． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是边长为4的菱形，， ∴，，，， 取、、的中点为M、N、H，则，， ∴M、H、N共线，，， ∵，为线段的中点， ∴点G在上运动， 当G与H重合时，，此时最小，最小值为的长度， 在中，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 23．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的对称性可知点与点关于直线对称，则，故，当三点共线且时，的值最小，此时的周长即为的长，求出和的长即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴关于对称， ∴ ∴， ∵点在上，点在上， ∴当三点共线且时，最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 24．已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）证明是等边三角形，进而得四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理求解即可； （2）过点A作，垂足为H，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，证明，是等边三角形，四边形是菱形，，进而得出当点在线段上时，的值最小，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点A作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型09.菱形最大值问题 25．如图，在菱形中，，，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作于点M，连接，则线段的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，连接交于点取的中点连接，由菱形的性质可得，得出都是等边三角形，从而得出再由勾股定理求得，得出 最后得出即可求解． 【详解】如图，连接交于点取的中点连接， 直线将菱形分成面积相等的两部分， 直线经过点 四边形是菱形， ， 都是等边三角形， 的最大值为 故答案为： 26．如图，在菱形中，，点为中点，点在对角线上运动，若，则长的最大值为______．    【答案】2 【分析】连接、、，如图所示，由菱形的性质得，，则，再证，即可解决问题． 【详解】解：连接、、，如图所示：     四边形是菱形， ，垂直平分， ， ， ，， 是等边三角形， 点为边的中点，由等边三角形“三线合一”可知，， ， 在中，设，则，由勾股定理得到， ， ， 长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明为等边三角形是解题的关键． 27．如图所示，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合从而得到四边形，求四边形面积的最大值与最小值的差． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形以及正方形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 作于点于点，根据平行四边形的性质以及等面积可得平行四边形是菱形，然后求出四边形面积的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图①所示，作于点于点， ， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形的宽都是3， ， ， ， 平行四边形是菱形； 如图②所示，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时， 四边形的面积最大．设，则， ， ， 解得． 四边形面积的最大值是． 当四边形的边长最小时，其面积有最小值， 此时四边形是正方形，其最小面积为 所求四边形面积的最大值与最小值的差是． 题型10.菱形最小值问题 28．如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过点C作，且，连接，设交于点O，由菱形的性质得到，则可证明，设，则，由勾股定理得，解方程可推出；证明，得到，则可推出当A、F、G三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，且，连接，设交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、F、G三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 29．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出 ，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点， 由对称性得，， ∴，当且仅当依次共线时，取得最小值， 如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 30．如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 【答案】(1)， (2)存在， (3) (4) 【分析】（1）过点作于，根据各点坐标得出，，，，四边形是矩形，求出，利用勾股定理求出，是等腰直角三角形，得出； （2）利用正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，得出，即可得出； （3）过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于，根据菱形的性质及平行线的性质得出，可得，得出，，可得是等腰直角三角形，得出,即可得出点坐标； （4）设，，根据菱形点性质，结合中点坐标公式求出，即可得出点在直线上运动，根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动过程中，能使得四边形为正方形，点坐标为． （3）解：如图，过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于， ∴四边形是矩形，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （4）解：如图，设，， ∵四边形是菱形，、，交于点， ∴点为中点， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当轴时，取最小值，最小值为． 题型11.菱形与矩形结合 31．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒． (1)_____．（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由． (4)在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t (2) (3)四边形是矩形，理由见解析 (4)存在，的值为或 【分析】（1）因为点M的运动速度是每秒2个单位长度，运动时间为t秒，根据路程=速度×时间，所以可直接得到的表达式． （2）先根据矩形性质和已知坐标求出的相关线段长度，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到为平行四边形时与的数量关系，结合的表达式建立关于t的方程求解． （3）先根据平行四边形的性质得到边的关系，再结合矩形的边长，判断的边和角的特征，可利用矩形的判定定理分析． （4）分两种情况讨论：当点在点右侧时，，当点在点左侧时，，结合勾股定理建立关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动．运动时间为t秒． ∴． （2）四边形为矩形，， ， 点是的中点， ， 由题意得：， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：． （3）四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为矩形， ， 四边形是矩形． （4）存在，分两种情况： ①当点在点右侧时，如图1所示： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ： ②当点在点左侧时，如图2所示： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ． 综上所述，的值为或时，以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形． 32．如图，菱形的对角线相交于点，分别过点，作，，且两平行线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）根据矩形的对边相等得出，，根据菱形的对角线互相平分得出，，即可求出菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）可知：四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积． 33．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有____（填序号）； ①平行四边形；②菱形；③矩形． (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．求证：四边形是“忧乐四边形”． (3)如图3，在四边形中，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)② (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）连接，证明，得出四边形沿折叠完全重合，则可得出结论； （3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形一定是忧乐四边形； （2）证明：如图2，连接， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，，， ， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”； （3）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由（2）知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． 题型12.菱形与正方形结合 34．已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且的面积为12，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【分析】（1）连接，根据正方形的性质得，，再由推出，再根据在四边形中，对角线互相垂直平分，判定四边形是菱形； （2）先由已知得，进而得． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，且的面积为12， ∴， ∴． 35．如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形性质得 ，；由 及 ，得 ，即 与 互相平分且相等，故四边形 是矩形；再由 ，得矩形 是正方形． 【详解】证明： 四边形 是菱形， ，． ， ． 与 互相平分，且 ． 四边形 是矩形． 又， 矩形 是正方形． 36． 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合），探索线段之间的数量关系． (1)线段间的数量关系是________________； (2)如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出此时线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为________ 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，同理①，求解作答即可． 【详解】（1）解： ∵正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； 如图2，取的中点T，连接，则， ∵四边形为的菱形， ∴，，平分 ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B，如图，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； ②当点P靠近点D时，如图， 同理①，可得，，， ∴； 综上所述，满足条件的的长度为或． 题型13.菱形中位线综合 37．如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的四边形（不重叠、无缝隙），已知，若有，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据四边形是由分割拼成找出对应的边相等，再利用题目给的条件将这些线段的长度解出来，利用等面积法将平行四边形的高求出来，最后用勾股定理将答案解出来． 【详解】解：∵四边形是由分割拼成， ∴，， ∵， ∴，四边形为菱形， ∴线段是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即：， 解得， ∴， 如图所示，连接，过点向线段作垂线，垂足为点，则， ∵，， 即，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了图形的剪拼问题，解题的关键技巧是抓住不变量，得到更多的信息，再利用勾股定理和等面积法求出答案． 38．如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 【答案】 【分析】利用菱形的性质和面积公式，由边长与夹角直接计算面积．取中点，利用三角形中位线证明，再利用平行四边形的判定证明，从而得到，，三点共线，说明点在线段上运动，最后由垂线段最短求出的最小值． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， ， 菱形的高， 面积． 取的中点，连接，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 点在上， ． 四边形是菱形， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，． ，，且是公共点， ，，三点共线， 点在线段上运动． ，都是定点， 是定点， 当时，取得最小值． ， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，交于点Q，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，则，且四边形是矩形， ∴，， 是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ． 39．探究下列问题： 【问题提出】 (1)如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求四边形的周长． 【问题解决】 (4)如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据菱形的性质求解，证明四边形是平行四边形即可得到答案． （2）证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形； （3）由（2）得：，，四边形是平行四边形，得，再由勾股定理求出，即可求解． （4）如图，取的中点，的中点为F，证明在与的距离为的线段上运动，当时最小，此时四边形为矩形，四边形是矩形，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵菱形的边长为10，对角线的长为16，记对角线的交点为， ∴，，，，， ∴，， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（2）得：，，四边形是平行四边形， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长． （4）解：∵矩形，， ∴，，， 如图，取的中点，的中点为F，取的中点，的中点，连接， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴在与的距离为的线段上运动， ∴当时最小，此时， 此时四边形为矩形，四边形是矩形， ∴，共线，， ∴，， ∴． 题型14.菱形存在性问题 40．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】 ②③ 【分析】先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，，， 当时， 四边形是矩形，不是菱形，则①不符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，则②符合题意； ∵且E是的中点， ∴， ∴四边形是菱形，则③符合题意； 所以选择②③能使四边形是菱形． 41．如图，在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴上一动点，点D为平面内一动点．若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则的坐标为_________． 【答案】或或或 【分析】先求出，再分四种情况：①当四边形是菱形，且点在点的右侧时，②当四边形是菱形，且点在点的左侧时，③当四边形是菱形时，④当四边形是菱形时，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点的坐标为． ①如图1，当四边形是菱形，且点在点的右侧时， ∴， ∵， ∴，即； ②如图2，当四边形是菱形，且点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴，即； ③如图3，当四边形是菱形时， ∴，， ∵， ∴，， 在中，，即， 解得， ∴， 又∵，， ∴，即； ④如图4，当四边形是菱形时， ∴，， ∴点与点关于轴对称， ∵， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 42．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，的长度为10？ (3)在P、Q运动过程中，四边形是有没有可能是菱形？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，，若四边形是平行四边形，则，即可得到答案； （2）过点作于点，，求出，即，即可得到答案； （3）四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足，则，此时，过点作于点，则，得到． 【详解】（1）解：由题意可知，点的速度为，点的速度为， ， 点到达点需要，点到达点需要，且其中一个到达端点即停止， ， 若四边形是平行四边形，则， ， 解得； （2）解：过点作于点， 则， 在中，， ， ， ， ， 当时，； 当，； 和都在范围内， 答：当为或时，的长度为； （3）解：四边形不可能是菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足， ， ， 此时， 过点作于点，则，， 在中，， ，即， 故四边形不可能是菱形． 题型15.菱形面积综合计算 43．如图，将两条等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形 ．若，两点间的距离为1，，两点间的距离为2，则四边形的面积为______． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键，作交的延长线于点，交的延长线于点，由于两条等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形，所以，，，可证明，得到，则四边形是菱形，连接，，则，再由可得答案． 【详解】解：作交的延长线于点，交的延长线于点，如图： ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，两点间的距离为1，，两点间的距离为2， ∴，， ∴， 故答案为：1． 44．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点E，交于点O，连接．若，，则四边形的面积为_________． 【答案】24． 【分析】根据作图可知AG是角平分线，根据等腰三角形的性质判断四边形AFEB是菱形，求出对角线长即可求面积． 【详解】解：由作图可知，AG平分∠BAF，AB=AF， ∴AG垂直平分BF，∠FAG=∠BAE， ∴EF=EB， ∵AD∥BE， ∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE =∠AEB， ∴AB=BE， ∴AB=BE=EF=AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴BO=FO=4， ∴， AE=6， 菱形的面积为； 故答案为：24． 【点睛】本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质、勾股定理和平行四边形的性质，解题关键是明确角平分线作法，证出四边形是菱形． 45．定义：有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． (1)如图2，在正方形网格中（每个小正方形的边长为1），A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在图2中画出“准菱形”；（要求：D在格点上）； (2)如图3，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D． ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若，，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理即可得到结论； ②取的中点， 连接、、，再根据然后求出，即可判断出是等腰直角三角形；最后根据勾股定理，分别求出、的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形的面积即可. 【详解】（1）解：如图2所示，四边形即为所求； （2）证明：①∵，， ∴垂直平分 ∴，， ∵， ∴“准菱形”是平行四边形， ∵， ∴“准菱形”是菱形； ②如图，取的中点，连接、、， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴菱形中，， ∴菱形的面积为：． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03菱形压轴题型专项训练 【温馨提示】15大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.菱形性质与判定综合证明 题型02.菱形对角线综合计算 题型03.菱形折叠求线段长 题型04.菱形折叠求角度 题型05.菱形与平移综合 题型06.菱形旋转综合 题型07.菱形与坐标系综合 题型08.菱形与动点问题 题型09.菱形最大值问题 题型10.菱形最小值问题 题型11.菱形与矩形结合 题型12.菱形与正方形结合 题型13.菱形中位线综合 题型14.菱形存在性问题 题型15.菱形面积综合计算 题型01.菱形性质与判定综合证明 1．如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 2．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 3．矩形中，，．将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕为．延长交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)求的值． 题型02.菱形对角线综合计算 4．在菱形中，，，点E，F分别在，上，点P在对角线上，连接，，则的最小值为____________． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点O，平分，交、于点P、M，连接，当，时，点C到的距离为 _________ ． 6．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接交于点，连接 (1)求证：； (2)已知，若，求的长． 题型03.菱形折叠求线段长 7．如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 8．如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（   ） A．6 B． C．3 D． 9．【问题背景】在学习了平行四边形后，某兴趣小组研究了一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： (1)如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断四边形的形状为___________； 【探究证明】 (2)在（1）的条件下，取的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接、，如图②，求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】 (3)在（1）（2）的条件下，若四边形为轴对称图形，请直接写出的值为___________． 题型04.菱形折叠求角度 10．如图，菱形中，，点P在对角线上，将沿翻折，得到，当____________ 时，P、、D三点共线． 11．动手操作 （1）如图1，将正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点E处，得到折痕．折痕与折痕交于点H，打开铺平，连接，则的度数是________； 理解应用 （2）如图2，某公园有一块边长为的菱形空地，．园区管理员准备在该空地上种植花卉．为方便游客观赏，在其中修四条步道和，且点M在上，点N在上，． ①求的度数；（提示：构造全等（）先求出的度数） ②求出三条步道和所围成的的面积的最小值．（步道宽度忽略不计） 12．如图①，有一张菱形纸片，，折叠该纸片，使得点A，均与点重合，折痕分别为，，设两条折痕的延长线交于点． (1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数； (2)四边形是菱形吗？请说明理由． 题型05.菱形与平移综合 13．如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为______． 14．如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，连接，，，则的最小值为____________． 15．如图，在菱形中，，将边沿对角线平移，得到线段，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)平移过程中能否得到四边形的是矩形？如果能得到，求出平移的距离；如果不能，请说明理由； (3)在平移过程中，最小值为_______． 题型06.菱形旋转综合 16．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为(    ) A．8 B． C． D． 18．如图①所示，四边形是菱形，，边长为3，在菱形内作等边三角形，边长为，点E，F分别在，上，以点A为旋转中心将顺时针转动，旋转角为，如图②所示． (1)在图②中证明； (2)如图②所示，过点E作，若旋转角，求和的长度； (3)当时，求旋转角的度数． 题型07.菱形与坐标系综合 19．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 20．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 21．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 题型08.菱形与动点问题 22．如图，在边长为4的菱形中，，点，分别为边，上的动点，且，点为线段的中点，连接，则的最小值为______． 23．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 24．已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 题型09.菱形最大值问题 25．如图，在菱形中，，，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作于点M，连接，则线段的最大值为________． 26．如图，在菱形中，，点为中点，点在对角线上运动，若，则长的最大值为______．    27．如图所示，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合从而得到四边形，求四边形面积的最大值与最小值的差． 题型10.菱形最小值问题 28．如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 29．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 30．如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 题型11.菱形与矩形结合 31．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒． (1)_____．（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由． (4)在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 32．如图，菱形的对角线相交于点，分别过点，作，，且两平行线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 33．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有____（填序号）； ①平行四边形；②菱形；③矩形． (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．求证：四边形是“忧乐四边形”． (3)如图3，在四边形中，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 题型12.菱形与正方形结合 34．已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且的面积为12，求正方形的面积． 35．如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 36． 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合），探索线段之间的数量关系． (1)线段间的数量关系是________________； (2)如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出此时线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为________ 题型13.菱形中位线综合 37．如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的四边形（不重叠、无缝隙），已知，若有，则的长为______． 38．如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 39．探究下列问题： 【问题提出】 (1)如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求四边形的周长． 【问题解决】 (4)如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 题型14.菱形存在性问题 40．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 41．如图，在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴上一动点，点D为平面内一动点．若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则的坐标为_________． 42．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，的长度为10？ (3)在P、Q运动过程中，四边形是有没有可能是菱形？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由． 题型15.菱形面积综合计算 43．如图，将两条等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成四边形 ．若，两点间的距离为1，，两点间的距离为2，则四边形的面积为______． 44．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点E，交于点O，连接．若，，则四边形的面积为_________． 45．定义：有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． (1)如图2，在正方形网格中（每个小正方形的边长为1），A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在图2中画出“准菱形”；（要求：D在格点上）； (2)如图3，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D． ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若，，，请直接写出四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $