精品解析：内蒙古杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

奋斗中学2025-2026-2高一年级期中考试 数学学科 本试卷共150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 单位向量的模都相等 C. 平行向量一定相等 D. 向量的模是负数 2. 若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（ ） A. -5 B. 4 C. 5 D. -4 3. 下列几何体不是五面体的是（ ） A. 正四棱柱 B. 三棱柱 C. 三棱台 D. 正四棱锥 4. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 5 6. 已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. “桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走6m后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，则长度为（ ） A. B. C. D. 6 8. 一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若向量 则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为(1,0) D. 与的夹角为 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为1 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当，时，仅有一解 C. 当时，为等边三角形 D. 当时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 13. 已知正方形的边长为2，点为中点，则__________. 14. 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数.为虚数单位. （1）若为实数，求的值； （2）若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 16. 已知与是非零向量，，且． （1）求与的夹角； （2）求． 17. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成的角． 18. 在中， （1）求边的长； （2）若，于点D，的中点为E，求线段的长． 19. 如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . （1）当底面水平放置时（如图1所示），求水面的高度； （2）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； （3）当底面水平放置时（如图1所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2025-2026-2高一年级期中考试 数学学科 本试卷共150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 单位向量的模都相等 C. 平行向量一定相等 D. 向量的模是负数 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：零向量方向任意，故A错误； 选项B：单位向量的模为1，都相等，故B正确； 选项C：平行向量的方向相同或相反，且模长不一定相等，故平行向量不一定相等，故C错误； 选项D：向量的模非负，故D错误. 2. 若复数在复平面内对应的点的坐标为，则的实部为（ ） A. -5 B. 4 C. 5 D. -4 【答案】A 【解析】 【详解】由复数在复平面内对应的点的坐标为， 得，实部为. 3. 下列几何体不是五面体的是（ ） A. 正四棱柱 B. 三棱柱 C. 三棱台 D. 正四棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征即可判断. 【详解】正四棱柱有两个底面，四个侧面，共6个面，是六面体； 三棱柱和三棱台均有两个底面，三个侧面，共5个面，是五面体； 正四棱锥有一个底面，四个侧面，共5个面，是五面体. 4. 在中，若，，则形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰但不等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为 ，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 5. 若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义确定的对应点的坐标，再求两点距离. 【详解】由已知，在复平面内对应的点分别为，， 所以 所以． 6. 已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）. 【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线， 平面，平面， 但是平面与平面不平行，（1）不正确； 对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确； 对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确. 7. “桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走6m后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，则长度为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】延长到点. 由题意得，，，. 在中，. 由正弦定理得，即， 所以. 8. 一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为， 正四棱台的侧面是等腰梯形，设斜高为，则 ， 侧面积为：， 解得，或（舍去）， ， 设棱台的高为，则， 上底面积， 下底面积， 该正四棱台的体积： ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若向量 则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为(1,0) D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量运算的坐标表示计算判断． 【详解】对于A，由已知，，，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，在上的投影向量为，C正确； 对于D，，又，所以，D错． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为1 【答案】AC 【解析】 【详解】A：由正方体的性质可知：平面， 因为平面， 所以，因此直线与直线所成角为90°，所以本选项结论正确； B：由正方体性质可知：，所以有， 因为，所以不成立，因此本选项结论不正确； C：连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面，故本选项结论正确； D：由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故本选项结论不正确； 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当，时，仅有一解 C. 当时，为等边三角形 D. 当时，的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用辅助角公式化简，求出三角函数值域；B根据判断；C利用余弦定理得出，根据取等条件即可求出；D设外接圆圆心为，求出的外接圆半径，利用求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，则， 故，故A错误； 因为，所以为锐角，则三角唯一确定，故仅有一解，故B正确； 由余弦定理得，等号成立时， 因为，故为等边三角形，故C正确； 当时，由正弦定理可知，的外接圆半径， 设外接圆圆心为，则， 则， 等号成立时三点共线且在直线同侧， 故的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】， 则. 13. 已知正方形的边长为2，点为中点，则__________. 【答案】3 【解析】 【详解】在边长为2的正方形，点为中点，， 所以. 14. 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出圆锥底面半径r和母线l的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥的外接球球心在SO上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径R，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的高为 因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 又轴截面面积为，所以， 解得，则，圆锥的高为， 由题意三棱锥的外接球的球心在SO上，且设为，外接球半径设为R， 连接，则，所以， 在中，，即， 则，解得， 则三棱锥的外接球的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数.为虚数单位. （1）若为实数，求的值； （2）若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】（1）  （2） 【解析】 【分析】（1）将复数除法化简为代数形式，根据实数的虚部为0列方程求解； （2）先计算复数乘法得到的代数形式，再根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解范围. 【小问1详解】 已知，故， 由题知为实数，故虚部， 解得. 【小问2详解】 易知  ， 由题知在复平面上对应的点在第二象限，故  ， 解得， 即的取值范围为. 16. 已知与是非零向量，，且． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直得，然后由向量夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以，所以， 又，可得与的夹角为． 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以． 17. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） 四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 18. 在中， （1）求边的长； （2）若，于点D，的中点为E，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合同角三角函数关系，利用正弦定理求解即可； （2）利用余弦定理及面积公式求解. 【小问1详解】 因为，所以． 由正弦定理：， 所以． 【小问2详解】 由余弦定理：， 所以． 因为的面积为， 所以． 由勾股定理：， 所以． 19. 如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . （1）当底面水平放置时（如图1所示），求水面的高度； （2）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； （3）当底面水平放置时（如图1所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） 【答案】（1）6 （2）18 （3）个. 【解析】 【分析】（1）首先求水的体积，再应用棱柱的体积公式求底面ABC水平放置后水面的高度； （2）根据前后体积相同以及三棱锥的体积公式求解即可. （3）由题设只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积，结合球体的体积公式求放入的小铁球个数的最小值. 【小问1详解】 因为正三棱柱中，侧棱，底面边长， 由题意可得底面内四边形的面积， 所以正三棱柱中水的体积． 又因为底面三角形的面积， 所以底面水平放置后水面高. 【小问2详解】 设三棱锥的高为． 由题意三棱锥的体积， 所以，则 所以三棱锥的高为． 【小问3详解】 个. 由题意，只需放入小铁球的总体积大于空白区域的体积即可. 空白区域的体积为. 小铁球的体积，若放入个小铁球水从上底面溢出， 所以，故最小为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $