河南商水县第一高中、第二高中、实验高级中学2025-2026学年高三下学期模拟预测数学试题

HN202605 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C． D． 3．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为原点，则 A．12 B．16 C．20 D．24 4．若圆锥的底面积为，高为4，则该圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 5．已知，均为正数，设甲：，乙：，则甲是乙的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知是偶函数，且当时，，则 A．2 B．3 C．29 D．30 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为 A． B． C． D． 8．已知正数，满足，则一定有 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司统计了今年前5个月购买办公用品的费用（单位：元），分别为14500，5800，11600，6000，8700，则 A．这组数据的极差为8700 B．这组数据的平均数为9320 C．这组数据的第80百分位数为11600 D．添加一个新的数据，在极差保持不变的条件下，方差可能变大 10．已知抛物线：的焦点为，以为圆心、为半径的圆与交于，两点在第一象限），轴，垂足为，设，，则 A．的取值范围是 B．是增函数 C．是增函数 D．是增函数 11．已知正四面体的棱，的中点分别为，．空间中的动点满足．设点的轨迹为，则 A．轨迹上满足的点有无数个 B．轨迹上满足的点有无数个 C．轨迹上满足的点有无数个 D．轨迹上满足的点仅有两个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等比数列中，，，则________． 13．若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，________． 14．已知袋中有3个红球和2个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出1个球（不放回），三人只能看到别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手中是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手中是什么颜色的球．”若两人会根据已知信息进行推理，并且不说谎，则甲手中是红球的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若的面积为3，求的最小值． 16．（15分） 已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． （1）求的方程． （2）过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 17．（15分） 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 19．（17分） 在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为，的前项中0的个数为随机变量． （1）求，的值； （2）求的分布列; （3）记是的数学期望，证明：． 附：对任意随机变量，有． 学科网（北京）股份有限公司 $HN202605 高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查集合的并运算 解析由x2-2x-3<0得-1<x<3,则AUB=xlx>-1. 2.答案A 命题透析本题考查诱导公式与余弦的二倍角公式 解折0s(20+m)=-0os20=2sn20-1=2×号-1= 9 3.答案C 命题透析本题考查复数的几何意义与向量的坐标运算 解析由题意知Z1(1,-2),Z2(4,2),所以Z1Z·0Z=(3,4)·(4,2)=20. 4.答案D 命题透析本题考查圆锥的结构特征及相关计算. 解析由底面积可得圆锥的底面半径r=3,再根据高h=4,得母线长为l=5,所以侧面积为π=15π 5.答案A 命题透析本题考查不等式、充分条件与必要条件的判断。 解析b>10+b≥2d>2,放充分性成立：反过来，取a=2,6=号，此时满足a+6>2,但a山=子<1，故 必要性不成立 6.答案C 命题透析本题考查函数的性质， 解析当>0时)=f-)=lg1-)+1=lg,(x+)-lg+1,于是∑f)=26+1g(26+)- log31=29. 7.答案D 命题透析本题考查双曲线与直线的位置关系. 解析连接NF.设INPI=m,则IPFI=2m,又∠F,PW=60°，由余弦定理可得INF I=√3m,易知IWFI= 1NFI=5m,所以IPF21=(5-1)m,所以1PFI-IPF2I=(3-√5)m,即2a=(3-√5)m.在△PFF2中，由 一1 余弦定理可得1FF,1=6m,即2c=6m,于是E的离，心率e=2兰=6-6+巨 2a3-5 2 8.答案A 命题透析本题考查函数与方程，利用导数研究函数的性质. 解析对xe+y=y两边取自然对数得lnx+x+y=ny,移项得x+lnx=ny-y.构造函数g(y)=lny-y(y> 0),则g'(y)=1-Y,当0<y<1时，g(y)>0,g(y)单调递增，当y>1时，g(y)<0,g(y）单调递减，故g(y)在 y=1处取得最大值g()=-1.构造函数x)=x+nx(x>0),则F()=1+,因为x>0,所以恒有f()> 0,放x)在(0，+)上单润递增放x)=6()≤-1，又升日）=。-1>-1，由代)单调递增且()≤ -1<）可得x<。对于变量y,因为g(1)=-1时存在实数x满足条件，且y在区间(0,1)与(1，+0)内 均可取到使g(y)<-1的值，故y的取值可大于、等于或小于1，选项C与D均不恒成立，故选A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.答案ABD 命题透析本题考查统计中的基本概念， 解析对于A,极差m=14500-5800=8700,故A正确； 对于B,平均数元=14500+5800+山600+6000+8700=9320，故B正确： 5 对于C,5×809%=4,第80百分位数应为1600,14500-13050，故C错误； 2 对于D,极差保持不变，则添加的新数据在[5800,14500]内，方差可能变大，也可能变小，还可能不变，故D 正确， 10.答案BC 命题透析本题考查抛物线的几何性质， 解析对于A,抛物线上与F(0,1)最近的点为原点O,因为1OF1=1,所以r的取值范围是(1，+∞)，故A 错误； 对于B,由抛物线的定义知IAH1=r-1,即f(r)=r-1,是增函数，故B正确； 对于C,点A的纵坐标为r-1,所以横坐标为2√F-1,所以g(r)=1AB1=4F-1,为增函数，故C正确； 对于Df代r)-g(r)=r-1-4F-I,设F-I=t>0,h(t)=2-4t在(0,2)上单调递减，在(2，+0)上单调 递增，所以f(r)-g(r)不是增函数，故D错误. 11.答案ACD 命题透析本题考查空间位置关系、空间点的轨迹问题。 2 解析因为∠APB=∠DPC=90°，所以点P同时在以AB为直径的球和以CD为直径的球的球面上，即o是这 两个球球面的交线.如图，使正四面体的四个顶点与正方体的四个对角顶点重合，则M,V分别是上、下底面的 中心.设正方体的棱长为2，则两个球的半径均为1.在对角面ABFE内，G,H是o与该平面的两个交点，GH 是o的一条直径.由已知可得MW=√2，MG=MⅢ=NG=NH=1,所以四边形MGNH是正方形，根据旋转的性 质，w上的任意一点P都满足PM=PW且PM⊥PN,故A,C正确. 由图易知，满足PA=PD的点仅有两个，即o上到侧面AED的距离最小和最大的两个点，以AD为直径的球的 球面与o有两个交点，即满足PA⊥PD的点P也仅有两个，故B错误，D正确 M G -----H D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2答案子 命题透析本题考查等比数列的基本性质. 解析由等比数列的性质知a=8,a6=27,所以a5=2,a6=3,故a4= 3 13.答案4 命题透析本题考查三角函数的性质 解析因为(x)是偶函数，且o>0,所以ω=空+k,k=0,1,2,,当代x)的最小正周期最大时，ω取最小值 此时=8（+）8s于是g2)-8m103=8(38m-号）=4 14.答案2 命题透析本题考查逻辑推理与概率的计算 解析从5个球中依次不放回抽出3个，基本事件总数为A?=60种，甲说不知道，说明甲看到的不是2个白 球，即排除了（红，白，白）这A;A?=6种情况，剩余54种情况，乙接着说不知道，说明乙看到的不是甲为白球 且丙为白球（若如此，乙必为红球，对应的（白，红，白）共AA=6种情况)，也不是甲为红球且丙为白球（因 (红，白，白)已被排除，若如此，乙必为红球，对应的（红，红，白）共AA2=12种情况)，即排除了这18种情况， 最终剩余的样本空间包含36种基本事件，其中满足甲是红球的事件有（红，红，红）的A=6种与（红，白，红） 的A=12种，共计18种，放甲手中是红球的概率为7 一3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查解三角形. 解析(1)由已知可得c2=4ab.1-9osC=2ab-2 abcos C,① 2 (2分) 由余弦定理得c2=a2+-2 abeos C,②… (4分) 由①②得a2+b2=2ab,即(a-b)2=0, 故a=b. (6分) (2)i记4B边上的高为A,则3=7，h=6 (8分) 由勾股定理得。=+()≥2h·乞=h=6,即a≥6， (11分) 当且仅当h=√3，c=25时等号成立， 故a的最小值为6.…(13分) 16.命题透析本题考查椭圆的几何性质，椭圆与直线的位置关系. 解析(1)因为左焦点为F(-1,0),所以√a-b=1,① (1分) 复轴长是长轴长的停即名-厚2 (2分) a ra=2, 由①②可得 b=3, 所以E的方程为+兮=1 22 (4分) (2)选择命题①.… (6分) 当AB的斜率为0时，显然可得AD与BD的斜率均为O. (7分) 当AB的斜率不为0时，设lAB:x=my-1,A(x1,y1),B(x2,2), [x=my-1, 联立得 可得(3m2+4)y2-6my-9=0, 3x2+4y2=12, 6m 9 所以1+h3m+4h=3m+4 …(9分）》 于是k如+m=1+方=为 =1+4x2+4my1+3my2+3 (12分) -9 +3· 6m =(m2+3)+⅓(my+3)2my+3(y+2)_2m‘3nm2+4 3m2+4=0, (my1+3)(my2+3)(my1+3)(my2+3) (my1+3)(my2+3) 所以直线AD与BD的斜率之和为定值0.…(15分) 17.命题透析本题考查线面垂直的证明、棱锥的体积计算以及空间角的计算， 解析(1)由AB+AC2=9=BC2,得ACLAB,…(1分) 4 又平面ABB,A1⊥平面ABC,平面ABB1A1∩平面ABC=AB, 所以AC⊥平面ABBA1… …(3分)》 (2)由ABLA4,结合(1)知该三棱柱是直三棱柱，则点A,到平面BMN的距离d,即点A到平面B,MN的距 离，也即点A到直线BC的距离，所以d=ABXAC_2 BC 3 …(5分）》 易知5aw=S-5a-Sac-Sa6=(1-子-立方八A=弓周=3， …(7分）】 所以三棱锥M-AB,V的体积V三校能w-18y=V三校锥利-B1wv= 3x3×2,22 3 。…(9分)》 3 (3)如图，以A为坐标原点，A正，A元，AA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Acz, ……（10分） B 则4(0,0,3)，B1,03),M0,2,1)N72,0 所以7=（-22,14i=(0,2万，-2)，AE=(1,0,0).…（11分) rn·AB=0,fx=0, 记平面MAB,的法向量为n=(x,y,z),则 即 可取n=(0,1,2).…(13分) nA应=0,5y-z=0 记直线MWN与平面MAB,所成的角为0， 则sim0= lW☑·nl 22 478 INMIInI /1 39 -+2+1×+2 4 即直线MN与平面MA,B所成角的正弦值为4区 …(15分） 39 18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析(1)当a=2时，x)=e-2x,f(x)=1-x-2, 则f'(0)=1-2=-1.… …(2分)） 因为f(0）=0,故切点为(0,0).…(3分) 5 所以曲线y=fx)在点(0，f(0)处的切线方程为y=-x …(4分）》 (2)当xe(0,1]时，f(x)≥-e,即xe-ax≥-e,整理得ax≤xe+e, 因为xe(0,1],所以a≤e+e ……………………………… (6分) 设g(x)=e+。,则g(x)在(0,1]上单调递减， 1 所以g(x)mm=g(1)=e+ (7分) e 要使a≤e+兰对e(0,】恒成立，必须a≤c+日 即实数a的取值范围为-x,e+ (9分) (3)若a=0,则fx)=工，可得f(x)= 当x<1时f'(x)>0,当x>1时，f'(x)<0, 所以)在(-0，)上单涧递增，在(1，+)止单调递减，且)=)=。 当x→-0时，f(x）→-o,当x→+0时fx)-0. (11分) 由)=)，得票-高，整理得e= 龙， (12分) 不妨设x2>x1,则0<x1<1<x2,令t=x2-x1>0, 则卖克整理得=所以+场=2++ 问题转化为证。+1>2，因为-1>0，所以即证21+1-20(e-)>0 设G(t)=2t+(t-2)(e-1),则G(t)=(t-1)e+1.…(15分) 令H(t)=(t-1)e+1,则当t>0时，Ⅲ'(t)=te>0,故G'(t)在(0，+o)上单调递增， G'(t)>G'(0)=0,从而G(t)也在(0，+∞)上单调递增，G(t)>G(0)=0, 即证得2t+(t-2)(e-1)>0,即原不等式成立.…(17分) 19.命题透析本题考查数列的概念与相关计算，随机变量的分布列与数学期望. 解析(1)因为a1=0,所以要使a=0(k>1),则从a1到a的(k-1)次变化中，+1与-1的次数相同， …(分） 所以n=C×()=P=cG×(2)=是 …(3分) (2)由(1)知，an}只有奇数项a1,a3,a可能为0，故X的所有可能取值为1,2,3.…(4分) 从a1到a的4次变化共有2=16种情况，用枚举法可得： …(7分) 一6 所以X,的分布列为 Xs 1 2 3 P 3 3 8 4 …(8分） r1,a=0, (3)设1= 则X=1+12+…+In 0,a≠0， 因为an}只有奇数项可能为0，所以{I}的所有偶数项都为0，即Xk-1=I1+l3+…+1-1 所以E(X-1)=E(1+1+…+12-1)=E(I)+E(I3)+…+E(1-1)=P1+P3+…+P2-1·…(I1分) 庙(1）可知2-1=3子，k=1,23,…,其中C写三1.…(12 定义xn= 亭5，满足↓1 ES xn+t Xn 定义得-学-.a--》-子22山-2 x4`C本‘ (2n-2)！ n 2n m以女a2a5即=a-1x:G 4n-1 …(14分) 下面只需要再证明S,是{x,}的前n项和即可： ①当n=1时，S=1=x1; 2当2时-及-c.》0三(2m-1)2 2n-3)C] 4-1 4“-2 4-1 C-2 2(2n-3),所以上式括号中(2n-1） n-1 42m-3)c2-2n-1-2(m-10=1, C C 所以5-S-1=4导=x 利用累加法可知Sn是{xn}的前n项和，从而原命题得证.…(17分) 一7