精品解析：河南省部分名校2026届高三下学期模拟测试数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码、考场号、座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全集，即， 集合，， 则. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】设，，, ，所以. . 3. 已知，且在第二象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为在第二象限，所以， ，根据三角恒等式可得， 则， ，化简可得， 因为在第二象限，即， 所以，即在第一或第三象限，故， 因此解得. 4. 甲、乙两个班级之间进行排球比赛，采用五局三胜制（没有平局），已知甲班在每一局比赛中获胜的概率均为，若前三局甲班以的比分领先，则甲班最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据前三局甲领先的赛况，分第四局甲直接获胜、第四局甲负且第五局甲获胜两种互斥情况分别计算概率，求和即可得到甲最终获胜的概率. 【详解】已知前三局甲以领先，甲最终获胜仅需再赢得局胜利，最多剩余局比赛，分两类互斥情形计算： 第四局甲获胜，比赛直接结束，对应概率； 第四局乙获胜，第五局甲获胜，对应概率； 故甲最终获胜的总概率为. 5. 已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出命题成立时的取值范围，再判断哪个选项对应集合是该范围的子集，即为的充分条件. 【详解】由，可得. 因为且区间的长度为， 所以要使函数在区间内单调递增， 则，可得. 即命题：. 所以的一个充分条件为，故C正确. 6. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，通过向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值． 【详解】取的中点，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面． 以为坐标原点，方向为轴正方向，底面内垂直于的方向为轴正方向， 方向为轴正方向建立空间直角坐标系，可得各点坐标： ，，，． 因为是的中点，所以，则，． 设异面直线与所成角为，，则． 计算得： ，，  ， ， 代入得． 7. 椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形面积公式求解，通过椭圆的几何性质即可得到，结合余弦定理求解得到椭圆离心率. 【详解】已知椭圆，则左、右焦点分别为，，点坐标， 因为是以为直角顶点的直角三角形，所以， 直角边， 而，因此， 而，因此， 在中，，，由余弦定理得， 即， 化简得，而， 因此离心率. 8. 已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为对任意的，，因为，令，，则问题转化为对任意的，恒成立，构造函数，，求导，利用导数分析的单调性，求出最大值即可求解． 【详解】对任意的恒成立，即对任意的，恒成立， ， 令，，，则对任意的，恒成立， 令，， ， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以，所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 10. 一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为124 C. 该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D. 该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断. 【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，， 所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，， ，即， 所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 11. 已知抛物线：的焦点为F，的准线与x轴的交点为H，直线与C交于A，B两点，P是C上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线过点F，则的准线上存在点M使得为钝角 B. 若线段的中点横坐标为4，则的最大值为10 C. 的最大值为 D. 若四边形为平行四边形，则直线l过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，根据抛物线的几何性质以及直线与圆的位置关系，即可判断；对于选项B，结合中点坐标，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式，即可求解；对于C选项，根据抛物线的几何性质与点与点间的距离公式，表示出求出最值即可；对于D选项，根据平行四边形的几何性质，联立直线与抛物线方程，即可求解. 【详解】选项A，过焦点的弦，根据抛物线定义：等于到准线的距离，等于到准线的距离， 因此中点到准线的距离为，即以为直径的圆与准线相切， 准线上的点要么在圆上，此时，要么在圆外，此时，不存在点使得为钝角， 故A选项错误. 选项B，设，，中点横坐标为，则， 设直线的方程为，联立抛物线方程得，， 由韦达定理，，， 因为，解得， 代入和，化简得，， 令，则， 的最大值在时取得，因此，， 故B选项正确. 选项C，设在抛物线上，由抛物线定义， 点坐标，则， 代入得，， 令，求导得， 当时，取得最大值， 因此， 故C选项正确. 选项D，四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， 即中点相同：，得。 因为在抛物线上，所以，代入得：， ，，所以。 设直线的方程为，联立抛物线方程得， 由韦达定理，解得， 因此直线的方程为，恒过定点， 故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，常数项为______（用数字作答）． 【答案】15 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出的值，代入通项公式中可求得常数项. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为. 故答案为：15. 13. 已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分别根据两组向量夹角为钝角的要求，列数量积小于0且排除共线反向的不等式，取交集得到t的取值范围. 【详解】由可得， 由得：，此时与的夹角为. 所以若与的夹角为钝角，则. 因为， 由，得， 由，得，此时与方向相同， 所以若与的夹角为钝角，则. 所以与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则. 14. 已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列，记，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和公式与等比中项性质求解首项和公差，再推导、的表达式，进而得到的表达式，通过计算正整数对应的取值得到最小值． 【详解】设等差数列的公差为，， 由，根据等差数列前项和公式，得：，化简得①， 由成等比数列，根据等比中项性质得，将各项用展开：， 整理得，因，故②， 联立①②，将代入②，解得，。 因此通项公式，前项和． 代入得，计算不同的取值： 时，，，故； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，，，故，综上，的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面四边形中，已知，，. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 在中，由余弦定理得：， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 在四边形中，， 设，在中，， 在中，， 因为，所以。 即 整理得，解得 在中，． 16. 如图，已知圆台的母线长为2，且与底面所成角为，，分别为圆台上、下底面的直径，，是底面圆周上异于，的一点，是的中点. （1）若，求证：是的中点； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆台的母线与底面所成角为，得到为等边三角形，即，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理得到，结合为直径，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设（），求出平面的法向量，利用线面角的向量求法得到，联立求出点坐标，利用两点间距离公式求解即可. 【小问1详解】 连接，，，过点作，交于点， 圆台的母线与底面所成角为，即. 又，所以为等边三角形，因为是的中点，所以. 又平面，，所以平面. 因为平面，所以. 圆台中，为轴截面，所以平面平面， 又平面平面，，所以平面， 因为平面，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又为直径，所以是的中点. 【小问2详解】 结合（1）可得，，. 以为原点，以，为轴、轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，则. ，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 所以. 设直线与平面所成角为，则. 又， 所以，整理得，所以. 与联立，解得或（舍去，是底面圆周上异于，的点）， 此时，即. 所以. 17. 已知圆：，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，过点与直线平行的直线交直线于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设直线与圆：相切，与曲线交于，两点，记为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系得到，结合双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点的双曲线（右支），进而求方程即可； （2）设出直线方程，根据直线与圆相切求出直线方程，与双曲线联立，结合韦达定理及弦长公式求出，求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 已知圆：，圆心，半径. 所以，故. 因为，所以， 又，所以，所以. 则，又， 根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线（右支）， 即，，所以，， 故的方程为. 【小问2详解】 设直线：， 由直线与圆相切可得，解得，即. 不妨取，则直线：， 代入双曲线方程整理得，，， 设，，则，. 所以， 原点到直线的距离为， 所以. 18. 已知函数. （1）若是的极小值点，求的值； （2）若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】(1)通过导数分析单调性，利用极小值点导数为0求解参数； (2)(i)分离参数后构造函数，通过单调性与最值确定参数范围； (ii)换元后结合极值点偏移，构造辅助函数证明不等式. 【小问1详解】 由，求导得， 因恒成立，故的符号由决定， 由是的极小值点，得，即，解得， 当时，，时，单调递减； 时，单调递增，故为极小值点，符合题意， 因此，； 【小问2详解】 (i)由得，变形为， 令，则的零点等价于与的图象交点， 求导得，令，得， 时，，单调递减；时，，单调递增， ，且时，时， 因此，的取值范围为； (ii) 由是的零点，得， 由单调性可知，令，， 则，，且，，代入得， 设，则，在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，， ， 由，则，故，在上单调递减， 则，即在恒成立， 因，故， 结合，得， 又，，在上单调递增， 因此，即， 故. 19. 一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为，死亡的概率也为，分裂生成的新细菌亦如此，当细菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第分钟后，该实验室拥有此种细菌数为. （1）求的概率； （2）已知，求的概率； （3）求的数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1) 建立细菌数量的状态概率递推，直接计算第3分钟细菌为4的概率； (2) 逐次递推得到第3、5分钟细菌为0的概率，结合条件概率公式求解； (3) 推导数学期望的递推不变性，由初始期望直接得到结果. 【小问1详解】 定义状态概率：记，，，. 由细菌分裂规则，得递推关系： ， 初始条件： . 依次计算状态概率： ， . 因此，. 【小问2详解】 依次计算零状态概率： ， ， ， . 由条件概率公式，. 【小问3详解】 由数学期望定义，， 代入递推关系推导： ， 即为常数列. 由 ，得 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码、考场号、座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 3. 已知，且在第二象限，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两个班级之间进行排球比赛，采用五局三胜制（没有平局），已知甲班在每一局比赛中获胜的概率均为，若前三局甲班以的比分领先，则甲班最终获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为A，P为C上一点，，以为直角顶点的直角三角形的面积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为124 C. 该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D. 该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 11. 已知抛物线：的焦点为F，的准线与x轴的交点为H，直线与C交于A，B两点，P是C上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线过点F，则的准线上存在点M使得为钝角 B. 若线段的中点横坐标为4，则的最大值为10 C. 的最大值为 D. 若四边形为平行四边形，则直线l过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，常数项为______（用数字作答）． 13. 已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 14. 已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列，记，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面四边形中，已知，，. （1）求； （2）若，，求. 16. 如图，已知圆台的母线长为2，且与底面所成角为，，分别为圆台上、下底面的直径，，是底面圆周上异于，的一点，是的中点. （1）若，求证：是的中点； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 17. 已知圆：，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，过点与直线平行的直线交直线于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设直线与圆：相切，与曲线交于，两点，记为坐标原点，求的面积. 18. 已知函数. （1）若是的极小值点，求的值； （2）若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 19. 一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为，死亡的概率也为，分裂生成的新细菌亦如此，当细菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第分钟后，该实验室拥有此种细菌数为. （1）求的概率； （2）已知，求的概率； （3）求的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $