河南南阳市九师联盟2026届高三考前自测数学试题

**基本信息** 高中数学三模试卷，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过分层设计与情境化问题，考查数学抽象、逻辑推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数性质、双曲线渐近线|基础概念辨析，如第1题集合交并运算| |多选题|3/18|三角函数图象、椭圆性质、抽象函数|多维度能力考查，如第10题椭圆几何性质综合| |填空题|3/15|等比数列求和、圆锥与球体积、解三角形|空间想象与运算能力，如第13题轴截面圆锥体积| |解答题|5/77|数列通项与求和、概率分布列、立体几何、抛物线综合、导数应用|分层综合设计，如16题射箭游戏概率模型，18题抛物线垂心与定点问题，19题导数证明考查逻辑推理|

数学参考答案 1.C由题意A∩B={2,3},AUB={1,2,3,4},AUC={1,2,3,4,5,6}=C,A∩C={1,2,3},对比选项可知只有C选 项符合题意.故选C 2.D因为(1-i)(2+ai)=a十2+(a-2)i,又(1-i)之为纯虚数，所以a+2=0且a-2≠0，解得a=-2,所以 |x+i=√22+(-1)=√5.故选D. 3A双曲线m+wy=1的渐近线方程为y=土√-只x,所以√ -”=3,所以”=一9.故选A. A由题意可知：(+2马)广-[2+(-)门°的通项为T=C2(x-号）=01…6，且(：-)的 通项为S+1=Ci(-昌）=(-3)Cxi-y,令k=2,6--k=4,解得=2，r=0,所以号的系数为C (-3)2C%=135.故选A. 5B因为响量a在向量b方向上的投影向量为一号6，所以-专0=a·T回：个‘合=(a:B)6,所以a:b 3,所以有1a-3b=√(a-3b=V+9B-6a·6=√1+9-6×(-号）=23.故选B 6.C因为tamg=2tana,所以0g-2g,放sim9c0s=2 sin acos又sn(g-a）=sin-in=子，所以 cos B cos a snsg产子，sn☆osa=之，所以sm(g+a)=s血sa+o in=是.所以cos(2a十29)=6s2(叶a)=1- 1 2sim(叶a)=1-2×(）厂=-日，故选C 7.B由y=√/4-x一2，得x2+(y+2)2=4(y≥-2)，即y=√4-x2-2为圆x2+(y+2)2=4的上半圆，圆心 A(0,-2),半径为2，B(2,一2)，又|6x-8y十5表示点(x,y)到直线6x-8y十5=0距离的10倍，点A到直线6x-8y +5=0的距离4=X-器>2，即直线6一8十5=0与圆相离，点B到直线6：一8y十5=0的距离4山 √/62+(-8)2 12X6X+5=器.所以6一8+51的最小值为10×（器-2）=1，最大值为10×器=38，所以 √62+(-8)2 |6.x-8y十5|的取值范围为[1,33].故选B. 8D因为f1)=-1,f2)=-,f3)=-34)=-子，所以f)=-之，即xf)+1=0有根1,2,3,4，设 xf(x)+1=a.x4+bx3+cz2+dx+1=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),当x=0时，1=a(-1)(-2)(-3)(-4), 解得a=京，所以5f(5)十1=7×24=1，故f5)=0.故选D .BD由题意知g<)-号nx一2co0sx=sn(x-吾），又g(吾）=sim(昏一吾）=sm吾≠士1，放x-吾不是gx) 的对称轴，故A错误：g(否)=sim(否-否）=0，故g(x)的图象关于点（，0)对称，故B正确：将f(x)的图象向右 平移个单位长度后，得到y=sm2(x一云)=sin(2x一答)，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵 坐标不变)，得到函数y=sim(x一于)，故C错误；分别作出f(x)与g(x)在[0,2x]内的图象，可知有4个交点，故D 正确.故选BD 10.BCD由题意知C的短轴长为22，故A错误；四边形PF1QF2的周长为|PF|+|PF2|+|QF|+|QF2|=2a+ 【数学参考答案 第1页（共4页）】 2a=4a-8放B正确：PF+QF,l=PE,+PF=2a=4,则十10=(TP+10） m1+Q1)(6+8+器)≥5+2)=号当且仅当8=|m1Qr1 2PE,=号时等号成立，放P十0T的最小值为是，放C正确：设P),则Q(-,一，B(,0, 6面)所以侧=要=e=0器=尝=又如·如=2·丹2=第 x十x0x一x0x号-z 2(1-4)-2(1-)】 a一x 2,所以ko·kc=2ka·kc=-1,故PQLPG,故D正确.故选BCD, 11.ACD 因为f(x)=1-f1-x),所以f(0)=1-f1),因为f(x)=2f(号)，所以f0)=2f0),所以f(0)= 0,所以1)=1-f0)=1,放A正确；因为f(x)=1-f1-x),所以f(2)=1-f(2),所以f(受)=7，因 为1)=2（皆），所以f)=2(兮)，所以（兮）=合故B错误：所以f(合)=（兮），因为1(2字） (-)=1-f(绿)=1-(）=1-（点）==1-f(3）,所以f(）=1-六×合=1 安-会，放C正确：因为f(3)=2r(日)=21（分）=公f(分)=2f(）)=2f()=21(2) 合且f(合)=2（合）=2（信）=2（京）=2f(成)=()=2f()=合，所以1(） f(4s)=西因为当0区<时)).且∈[287]，所以(2)=f(2)厂 f(48)=8,放D正确，故选ACD 12赢 因为数列{an}为等比数列，且各项均为正数，设公比为q,所以a,q>0,由2a4十a3=a2得2a1q十a￠=a1q,即 2对+g一1=0，解得q-多或-1K合，所以5-a产a十=（公）广=0 S a十a2+ag+a4 1.2 设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高h-√3，所以圆锥的体 必平哈XXX球的体积c所戏完 景-号解得 3 14.1因为sin Bcos A十sinC=2sinB,由正弦定理得bcos A十c=2b,所以2+bccos A=2bc,即c2=bc(2-cosA),又 △Ag的面积S=宁simA-号放公=品所以-n,其中0<A<吾争)- 3sin A sin x (0<<受)所以了()=1，当x∈(0，音)时，1-2xs<0,则了()<0，fx)单调递减，当x∈ sin2x (停，登)时，1-2as>0,则f)>0,)单调递增，所以)≥（告）-厅，所以C-B0A≥号x5 3sin A 3 =1,即c≥1，当A=时，等号成立，故c的最小值为1. 1解：1因为浮=1，数列{各}是公差为时的等老数列，所以受.=1十号(m一1D +2 1分 所以S,=n+2。 3a-+1 3a,当n≥2时，a,=S,-S。1=2。, a-J,即a 则Dn数列{m }是常数列， 4分 又a=1,因此w子2为=子，所以a,=m 2 …5分 (2)由题意知6，=1·2 n·2+1 2+22n+1 (十1)(n+2)n+2+1' …6分 【数学参考答案 第2页（共4页）】 所以T=十+++=()+（）++（） n+2 —2,…9分 吊-（一）器产≥0所以红是…1分 2+1+2 2+2(n十1) 又工器号-2警<120，器-22>120，所以使得T>120成立的最小正整数n的值为9。一18分 5 11 16.解：1记“第3次射衡的人是甲”为事件A,所以P()=号×号+(1-号)×(1-子)器。 即第3次射箭的人是甲的概率为号 …6分 (2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3，… …7分 所以PX-0)=号×号×号-易， PX=1D=号×号×(1-号)+号×(1-号)x(1-)+(1-号)×(1-)×号-7， PX=2)=号×(1-号)×+(1-号)×子×(1-是)+(1-号)×(1-)×(1-号)=0 PX=3)=(1-号)××-0： 所以X的分布列为 X 0 心 品 37 3 144 12分 所以EX0=0×号+1×务+2×留+3X是影 …15分 17.(1)证明：在△PAC中，点D是棱PA的中点，点E满足C元=2ED,所以E是△PAC的重心， 连接PE,并延长交AC于点G,连接BG,如图所示，则PE=2EG,。 1分 因为EF∥平面ABC,平面PEF∩平面ABC=BG,EFC平面PEF,所以EF∥BG,…4分 所以器-2，即PF=2FB 6分 (2)解：因为PA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC, 又AB=AC=2,BC=22,所以AB2+AC2=BC,所以AB⊥AC,故以A为坐标原点，AB, AC,AP所在的直线分别为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系，如图所示，故A(0,0,0), P(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),设平面BCD的法向量为n=(x,y,之)，又 Bd=(-2,0,1),CD=(0,-2,1),所以 n.BD=-2x+2=0, n.Ci=-2y+2=0, 令之=2，解得x=1,y=1, 所以平面BCD的法向量n=(1,1,2),… …9分 设PF=入PB=A(2,0,-2)=(2A,0,-2以)(0<1<1)， 所以A=AD+P市=(0,0,2)+(2以，0，-21)=(2A,0,2-2), 所以cosn,A1=n·A |2λ+2(2-2λ) 230 AFI √2+12+2X√(2)2+(2-2) 15 …11分 解得兰，所以庐-号成. …12分 所以三棱锥P-FCD的体积VrrD=VrrD= 1 3 3 3 ×2×2×2=9 4 2 …15分 18.(1)解：记C的焦点为F,因为C的焦点恰好是△OAB的垂心，所以OA=|OB引，AF⊥OB,·2分 设A(件，m）,则B(件，-m）,又F(1,0),所以kam=-1,即，mm·=-1,4分 412 m 解得m=2√5或m=-25,所以|ABl=2|ml=4W5. …5分 数学参考答案 第3页（共4页）】 (2)(i)证明：显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=y十t,A(y),B(x2,2), (x=nyt; 由y=4虹 得y2-4y-41=0,所以△=(-41)2-4×(-4t)>0,y十2=41，y2=-4t,…7分 又直线OA与直线OB的斜率之积为-4，所以·B=出·业=义 1616 =-4,…9分 x123y1 yiy2 -4t 4 解得t=1,… …10分 所以直线AB的方程为x=ny十1，故直线AB过定点F(1,0). 11分 (1)解：由题意知FN|=|FM,可得xw十1=3，即xN=2,所以N(2,-2√2)或N(2,2√2)，…13分 当N2,-2厄)时，MN的中点为0，-反)，直线MN的斜率为-号，方程为x+y+2=0, 此时直线AB的方程为y=反一尼，由一Ex一B,得x-4红十1=0，解得=2+5或=2-后， y2=4x 即A(2+√5，w2+6),B(2-5,2-√6)或A(2-5,√2-√6)，B(2+5,√2+√6)，故G(2,2)…14分 又MN=√+(22)=26，点G(22)到直线MN的距离为d=2+2+2=25, √1+2 所以Soa=2 KIMNIXd=-6E, 15分 当N(2,2√2)时，同理可得S△aN=6√2.… …16分 综上，△GMN的面积为6√2.… …17分 19.(1)解：若a=-2,则f(x)=-2 e'cos x-sinx-1,所以f(0)=-2ecos0-sin0-1=-3, f'(x)=-2e'cos z-sin x)-cos x,(0)=-2e(cos 0-sin 0)-cos 0=-3, 所以∫(x)的图象在x=0处的切线方程为y一（一3）=一3(x一0)，即3x十y十3=0.… …3分 (2)解：若f()≥0对任意的x∈[-受，0]恒成立，即≥1十sinx对任意的x∈[一受，0]恒成立， 当x=一变时，则有0>≥0对任意的x∈R恒成立，此时a∈R:… 4分 当-变<x≤0时，c0s>0,则a心士mx …5分 e'cos x 令hx)-中，-受<0， e'cos x 则K()=co二e(8士sn卫=-o2>≥0，故h(x)在(-受，0]上单调递培， (e'cos e cosx 则h(x)mx=h(0)=1,…8分 所以a≥1，即a的取值范围是[1，十o∞). …9分 (3)证明：若a=1,则f(x)=e'cos-sinx-1,则f(x)=e(cosx一sinx)一cosx, 因为x∈(2mx+子，2x+)(n∈N),则sinx>cos>0,所以广(x)<0, 所以f(x)在(2m十至，2x+受)(n∈N)上单调递减，… …11分 因为f(2m+晋）=ecos(2mx+年)-sm(2m+子)-1=号et-号-1 ≥e管号-1oex+号)-ow+号）m(2m受）1=-0 所以存在唯一的m∈(2mx+平，2m+受)(n∈N),使得f(m)=0, 13分 所以x,∈(2m+至，2x+变)(n∈N),则x1-2x∈(2x+平，2x+变）， 所以f(.x+1-2x)=e+1厂2rcos(xnt1-2m)-sin(x+1-2x)-1 -e'w+2 cosz1-sin -1=e'+1-2 cos t-e+i cos=(ef12-e+)cos<0=f(1 ) 因为函数f(r)在(2x+至，2x+受)(n∈N)上单调递减，故21-2m>,即21->2m。…17分 【参考答案 第4页（共4页）】 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={1,2,3,4,5,6},则 A. A∩B=∅ B. A∪B=C C. A∪C=C D. A∩C=B 2.已知复数z=2+ai(a∈R)满足(1-i)z为纯虚数,则|z+i|= A.13 B.5 C. D. 3.若双曲线 的一条渐近线方程为y=3x，则 A.-9 B.-3 C. D. 的展开式中，的系数为 A.135 B.15 C.-15 D.-135 5.已知a，b为单位向量，向量a在向量b方向上的投影向量为 则|a-3b|= A.2 B. C.8 D.12 6.若tanβ=2tanα, sin(β-α)= 则 cos(2α+2β)= D. B. A. C. 7.已知实数x，y满足 则|6x-8y+5|的取值范围为 B.[1,33] C.[9,33] D. 学科网（北京）股份有限公司 8.已知函数 则f(5)= A.-1 B. C. D.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数 则下列说法正确的是 A. g(x)的图象关于直线 对称 B. g(x)的图象关于点(π/6,0)对称 C.将f(x)的图象向右平移π/6个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象 D. g(x)的图象与f(x)的图象在[0,2π]内有4个交点 10.已知椭圆 的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是C上不同于顶点的一点，直线 PO交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点 P作x轴的垂线，垂足为E，直线QE交C于另外一点G，则下列说法正确的是 A. C的短轴长为 B.四边形 PF₁QF₂的周长为8 C. 的最小值为 D. PQ⊥PG 11.定义在[0,1]上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(1-x)=1;②f(x)=2f();③当 时,f(x ₁ )≤f(x₂), 则下列说法正确的是 A. f(1)=1 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知各项均为正数的等比数列{}的前n项和为 ，且 则 13.已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是 ，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为 . 14.在面积为 的锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sin Bcos A+ sin C=2sin B,则c的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列{}的前n项和为 ，且 数列 是公差为 的等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)设 记数列{}的前n项和为，求使得>120成立的最小正整数n的值. 16.(本小题满分15分) 甲、乙两人进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为 ，乙的命中率为 ，第1次射箭是甲. (1)求第3次射箭的人是甲的概率； (2)甲、乙一共射箭4次，用随机变量X 表示乙射箭的次数，求X 的分布列及数学期望. 17.(本小题满分15分) 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,BC=2 ，点 D是棱PA的中点，点E满足 点 F 是棱BP 上的一点(不包含端点). (1)若EF∥平面ABC,求证:PF=2FB; (2)若直线 AF 与平面BCD 所成角的正弦值为 求三棱锥 P-FCD 的体积. 18.(本小题满分17分) 已知A，B是抛物线 上异于坐标原点O的两点. (1)若C的焦点恰好是△OAB 的垂心,求|AB|; (2)若直线OA 与直线OB 的斜率之积为-4. (j)求证：直线AB恒过定点； (ii)已知点G是线段AB的中点，点M(-2，0)关于直线AB的对称点 N在C上，求△GMN的面积. 19.(本小题满分17分) 已知函数 (1)若a=-2,求 f(x)的图象在x=0处的切线方程; (2)若f(x)≥0对任意的 恒成立，求a的取值范围； (3)若a=1,设xₙ是f(x)=0在区间( 内的根，求证： 学科网（北京）股份有限公司 $