精品解析：湖南长沙铁路第一中学2026届高三普通高中学业水平合格性考试模拟(二)数学试题

2026年普通高中学业水平合格性考试模拟（二） 数学 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是纯虚数，则实数的值是（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】由是纯虚数，得，所以实数的值是0. 2. 已知元素，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 3. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，解得，即不等式的解集为， 选项A：因为与解集完全相等，所以是不等式成立的充要条件； 选项B：因为，所以是不等式成立的必要不充分条件； 选项C：因为，所以是不等式成立的充分不必要条件； 选项D：因为与为交叉关系，所以是既不充分也不必要条件. 4. 下列命题中，是存在量词命题的是（ ） A. 正方形的四条边相等 B. 有三个角是的三角形是等边三角形 C. 正数的平方根不等于0 D. 至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【解析】 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 5. 在中，若且，是中点，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积为0向量垂直判断三角形形状，再结合已知条件判断即可. 【详解】因为所以，所以是直角三角形， 又因为，所以是等腰三角形，所以是等腰直角三角形， 因为是斜边的中点，所以且，因此是等腰直角三角形. 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 7. 函数必经过（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，所以函数必经过点，故A正确； 因为无意义，所以函数不经过点，故B错误； 因为无意义，所以函数不经过点，故C错误； 由，所以函数不经过点，故D错误. 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式，得或， 所以不等式的解集为或. 9. 函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是(　　) A. B. C. D. π 【答案】B 【解析】 【详解】函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是.选B. 10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为匀速骑车，所以时间与路程的关系是线性关系，又中间阻塞，故一段时间内路程不增加，符合题意的图象只能选A. 11. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二倍角的余弦公式运算即可. 【详解】因为，， 故选：D. 12. 甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 人，人，人 B. 人，人，人 C. 人，人，人 D. 人，人，人 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 13. 函数的定义域为（ ） A. R B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数真数恒大于0的性质，列不等式求解即可得到函数定义域. 【详解】对于对数函数（且），其真数必须满足, 因此要使有意义，需满足真数大于0，即  ，解得， 故函数的定义域为 14. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）. A. B. 3 C. － D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据向量的数乘运算求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示，属于基础题． 15. 设，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知， 所以. 16. 某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为个除颜色外其他都相同的球中，有个红球，个白球， 所以从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为. 17. 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数，正弦函数单调性判断各个选项. 【详解】在上单调递减，A选项正确； 在上单调递增，B选项不正确； 在上单调递增，C选项不正确； 在上单调递增，所以在区间上不是减函数，D选项不正确； 18. 已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 19. 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，代入已知数值可求. 【详解】根据正弦定理知，， 又，，， 所以. 20. 已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【答案】 27 【解析】 【分析】根据零点定义结合对数运算求值. 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． 21. 已知函数在一个周期内的图像如图所示，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数图象，可得到函数的周期，根据三角函数的周期公式，可得答案. 【详解】根据函数图象可知，，所以周期，又，所以， 故答案为：2. 22. 在矩形中，，E，F分别是，的中点，现在沿把这个矩形折成一个直二面角，则直线与平面所成的角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质及线面角的定义求解. 【详解】依题意，，平面平面，平面平面， 平面，则平面，是直线与平面所成的角， 而，因此， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 三、解答题：共3道小题，满分30分． 23. 某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． （1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； （2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 【答案】（1） ，众数为，平均数为 （2） 人 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，根据最高矩形底边中点估计众数，利用各组中点值乘以频率之和估计平均数； （2）计算日平均费用不超过元的频率，再乘以总人数即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， ， 解得. 由图可知，最高矩形的组为，故众数的估计值为该组底边的中点值，即. 平均数为：    故，众数为，平均数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，午餐日平均费用不超过元的频率为：  . 已知该公司共有名职员， 则估计该公司午餐日平均费用不超过元的职员人数为： （人）. 故估计该公司有名职员午餐日平均费用不超过元. 24. 如图，底面是正方形的直棱柱中，，． （1）求直线与所成角的正弦值； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求即可； （2）利用直棱柱性质及正方形性质证明线面垂直，进而证得线线垂直. 【小问1详解】 设与的交点为， 直线与所成角为， 由已知，同理可得， 所以， 所以， 因为 ， 所以 . 即直线  与  所成角的正弦值为 . 【小问2详解】 证明：因为  是直棱柱， 所以  平面 . 又因为  平面 ， 所以 . 因为底面  是正方形， 所以 . 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以  平面 . 因为  平面 ， 所以 . 25. 已知函数． （1）求函数的单调性； （2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在上单调递增； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义结合复合函数单调性求解； （2）利用零点存在定理列式结合对数运算及一元二次不等式求解； （3）利用基本不等式和函数的单调性分类求函数的最小值，确定结论. 【小问1详解】 因为，所以解得，所以函数的定义域为； 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增； 【小问2详解】 由已知，是增函数， 因为函数在上有且仅有一个零点， 所以，解得， 所以的范围是； 【小问3详解】 假设存在正实数满足题意， ，则，， 设，则， ， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 若，则，此时满足题意， 若，即， 设，， ， 因为，所以，， 所以时，，，是增函数，时，，，不合题意； 当时，，，是减函数，时，，，不合题意； 综上，存在正实数，使得函数在内的最小值为6，满足条件时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中学业水平合格性考试模拟（二） 数学 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是纯虚数，则实数的值是（ ） A. 2 B. C. D. 0 2. 已知元素，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是存在量词命题的是（ ） A. 正方形的四条边相等 B. 有三个角是的三角形是等边三角形 C. 正数的平方根不等于0 D. 至少有一个正整数是奇数 5. 在中，若且，是中点，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数必经过（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是(　　) A. B. C. D. π 10. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是 A. B. C. D. 11. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 人，人，人 B. 人，人，人 C. 人，人，人 D. 人，人，人 13. 函数的定义域为（ ） A. R B. C. D. 14. 已知向量，，若，则实数的值为（ ）. A. B. 3 C. － D. －3 15. 设，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 16. 某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 17. 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 18. 已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 19. 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 20. 已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 21. 已知函数在一个周期内的图像如图所示，则的值为______． 22. 在矩形中，，E，F分别是，的中点，现在沿把这个矩形折成一个直二面角，则直线与平面所成的角的大小为________． 三、解答题：共3道小题，满分30分． 23. 某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． （1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； （2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 24. 如图，底面是正方形的直棱柱中，，． （1）求直线与所成角的正弦值； （2）求证：． 25. 已知函数． （1）求函数的单调性； （2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $