精品解析：湖南株洲市第一中学2026届高三普通高中学业水平合格性考试练习卷数学试题

2026年普通高中学业水平合格性考试练习卷 数学试题 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“ ”的否定是（　　） A. B. C. D. 6. 气象局预报，今天武汉的降雨概率是80%，长沙的降雨概率是20%，下列说法正确的是（ ） A. 武汉今天一定降雨，而长沙一定不降雨 B. 武汉今天可能降雨，而长沙可能没有降雨 C. 武汉和长沙都会降雨 D. 长沙降雨的可能性比武汉大 7. 某中学七年级有200人，八年级有220人，九年级有180人，用简单随机抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，若每个学生被抽到的概率为0.3，则（ ） A. 180 B. 200 C. 240 D. 260 8. 设，是两个不同的平面，则“内至少有一条直线与平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数的最小正周期是（　　） A. B. C. D. 10. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 14. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 15. 从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ） A. 全是红球 B. 至多有1个红球 C. 全是白球 D. 1个红球，1个白球 16. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 17. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 18. 在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（ ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A. 小组A打分的分值的平均数为48 B. 小组B打分的分值的中位数为66 C. 小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D. 小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 19. 设幂函数的图象经过点，则___________. 20. 已知，则______. 21. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的概率为________． 22. 高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，当时，函数的值域为________． 三、解答题：满分30分．解答时应写明解题步骤及解答过程． 23. 已知向量，． （1）当时，求向量的坐标； （2）若，求实数的值； （3）求的最大值． 24. 在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． （1）求与面所成角的余弦值； （2）证明：． 25. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）求的单调性； （3）当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中学业水平合格性考试练习卷 数学试题 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用共轭复数的概念进行求解. 【详解】共轭复数, 故选:D 2. 已知集合，，若，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知 ， ，说明只有是和的公共元素， 则，又因为 ，元素 ， 因此. 3. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数的基本性质，通过变量代换即可求出的值域 【详解】因为，令，由正弦函数的图像性质得的值域为， 则的值域为. 5. 命题“ ”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定形式为全称命题，可得答案. 【详解】命题“ ”为特称命题， 它的否定是全称命题形式：即， 故选：A 6. 气象局预报，今天武汉的降雨概率是80%，长沙的降雨概率是20%，下列说法正确的是（ ） A. 武汉今天一定降雨，而长沙一定不降雨 B. 武汉今天可能降雨，而长沙可能没有降雨 C. 武汉和长沙都会降雨 D. 长沙降雨的可能性比武汉大 【答案】B 【解析】 【详解】武汉降雨概率80%仅说明其降雨可能性较高，并非一定降雨；长沙降雨概率20%仅说明其降雨可能性较低，并非一定不降雨，故A错误； 武汉、长沙降雨均为随机事件，因此武汉可能降雨、长沙可能未降雨，该表述符合随机事件的性质，故B正确； 两地降雨均为随机事件，无法确定必然同时发生，故C错误； 武汉降雨概率80%大于长沙的20%，因此武汉降雨的可能性比长沙大，故D错误. 7. 某中学七年级有200人，八年级有220人，九年级有180人，用简单随机抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，若每个学生被抽到的概率为0.3，则（ ） A. 180 B. 200 C. 240 D. 260 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，该中学学生总数为 ， 因每人被抽到的可能性都为0.3，则抽取的样本容量 . 8. 设，是两个不同的平面，则“内至少有一条直线与平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由“内至少有一条直线与平行”，可得平面与平面平行或相交，即充分性不成立； 反之：若“”，则“平面内任一条直线与平行”，即必要性成立， 所以“内至少有一条直线与平行”是 “”的必要不充分条件. 9. 函数的最小正周期是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的最小正周期求解即可. 【详解】函数的最小正周期是：. 故选：C. 10. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先依据奇函数定义判断各函数的奇偶性，排除奇偶性不符的选项，再验证剩余函数的单调性，选出同时满足两个条件的选项 【详解】对选项A：，满足 ，是偶函数，且在上单调递增，上单调递减，不符合要求，故A错误； 对选项B：设，满足，是奇函数，且在上单调递增，故B正确； 对选项C：设，满足 ，是奇函数，其斜率，故在上单调递增，故C正确； 对选项D：，满足 且 ，是非奇非偶函数，不符合要求，故D错误。 11. 如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】为圆锥底面直径,且，则是圆锥底面的圆心. 是圆锥的高，即圆锥底面，因此在底面的射影为， 所以与圆锥底面所成角为 . 由题设，且，则 是等腰直角三角形， 可得 ，即与圆锥底面所成角为 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用诱导公式化简计算即可. 【详解】. 故选：C. 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理将角的余弦转化为边的表达式，化简后得到两边相等即可判断三角形形状. 【详解】由余弦定理得，由题意得， 即，因为，整理得， 即，即，故一定是等腰三角形. 14. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数性质与指数幂运算比较大小即可. 【详解】因为且，，， 所以. 15. 从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ） A. 全是红球 B. 至多有1个红球 C. 全是白球 D. 1个红球，1个白球 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 16. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】  ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 17. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据幂函数运算规则可得, 易知 ，因此A正确，B错误； 则，可得C错误，D错误. 18. 在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（ ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A. 小组A打分的分值的平均数为48 B. 小组B打分的分值的中位数为66 C. 小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D. 小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数公式判断A，将小组打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差判断C，根据数据的分布情况判断D. 【详解】由图可知，小组打分的平均数为，故A正确； 将小组打分从小到大排列为、、、、、、、、，所以中位数为，故B正确； 小组打分的分值的极差为，小组打分的分值的极差为，故C错误； 小组打分的分值相对更集中，所以小组打分的分值的方差小于小组打分的分值的方差，故D正确； 故选：C 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 19. 设幂函数的图象经过点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，求出的值即可. 【详解】解：幂函数的图象经过点，，解得， 故答案为：. 20. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化弦为切齐次化计算即可. 【详解】. 故答案为： 21. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】从4张不同的卡片中无放回地随机抽取2张有种不同的抽法， 抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的抽法有种抽法， 所以抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的概率为. 22. 高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，当时，函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据高斯函数定义分类讨论求函数值． 【详解】，则， 当时，， 当时，， 当时，， ∴值域为． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义函数，解题关键是理解新函数，利用新函数定义分类讨论求解． 三、解答题：满分30分．解答时应写明解题步骤及解答过程． 23. 已知向量，． （1）当时，求向量的坐标； （2）若，求实数的值； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由特殊角三角函数的计算和平面向量加法的坐标运算可得结果； （2）由向量平行的坐标关系列式求解即可； （3）先根据向量数量积的坐标公式化简函数，再根据二倍角公式化简，最后根据正弦函数性质可得最大值. 【小问1详解】 当时，向量，， 所以； 【小问2详解】 若，又向量，，所以， 所以，所以； 【小问3详解】 ， 当时，等号成立， 所以的最大值为． 24. 在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． （1）求与面所成角的余弦值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证面，可得为与面所成的角，求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值； （2）由（1）知面，即可得到线线垂直. 【小问1详解】 解：由直四棱柱可知平面， 因为平面，所以， 四边形为菱形，则，又，所以， 又因为，平面，所以平面， 则为与平面所成的角， 由，， 由余弦定理可得 ， 所以，则， 在中，，所以， 在 中，， 在中，， 所以在 中，， 即与平面所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，所以. 25. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）求的单调性； （3）当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为 （2）当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）先根据对数式要求真数大于 0，列出不等式组，再求解交集即可得到函数定义域； （2）先利用对数运算公式合并解析式，拆分内外层函数，再根据复合函数同增异减规律，按底数范围分类讨论，最后判定区间增减性即可； （3）先把函数零点转化为对应方程解的个数，再结合函数值域与图像交点关系，数形结合确定参数取值边界即可得解. 【小问1详解】 由题意知， 解得：，即 ， 所以函数 的定义域为 . 【小问2详解】 ， 定义域为 ， 令 ，则 ， 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 单调递增， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 单调递减， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上： 当 时， 在上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 【小问3详解】 当 时， ，定义域为 ， 因为 有两个零点，则 在 上有两个不同的解， 即： ， 令 ，，则 ，因此： ， 要使方程 有两个不同解， 即直线 与函数 的图像有两个交点， 则，即 ， 所以实数 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $