专题16 解析几何（直线与圆及椭圆双曲线抛物线）（12大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解析几何核心内容，以直线与圆、圆锥曲线为体系，通过12类题型实现从基础计算到综合应用的逻辑递进，强化数学思维与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆|32题|涵盖方程求解、位置关系判定，突出距离公式、相切条件应用|从直线方程到圆的方程，再到位置关系，构建平面几何基础模型| |圆锥曲线|62题|包含椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、离心率、焦点弦等，重点突破轨迹方程、定点定值及最值问题|以标准方程为起点，通过离心率等性质深化概念，综合应用体现代数推理与几何直观结合|

专题16 解析几何（直线与圆及椭圆双曲线抛物线） 题型1 直线方程 题型7 离心率（难点） 题型2 圆的方程 题型8 抛物线标准方程（重点） 题型3 直线与圆的位置关系（重点） 题型9 抛物线焦点弦的性质（重点） 题型4 圆与圆的位置关系 题型10 轨迹方程（重点） 题型5 椭圆的标准方程（常考点） 题型11 定点定值定直线（难点） 题型6 双曲线标准方程（重点） 题型12 最值与范围问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线方程（共8小题） 1．（24-25高二下·四川泸州·期末）直线在轴上的截距为（   ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【分析】直线方程中令求得值即得. 【详解】在中令得， 故选：A. 2．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】直接令计算即可求解. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为. 故选：A 3．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 4．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 5．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 6．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 7．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值. 【详解】由题可知，曲线为， 则，设， 当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值， 令，，即， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 此时的距离最小值为直线与直线的距离：. 故选：B. 8．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 题型二 圆的方程（共8小题） 9．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 10．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 11．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 12．（24-25高二下·四川成都·期末）圆心为点，且过点的圆的标准方程是________． 【答案】 【分析】由两点之间的距离公式，求出圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程. 【详解】因为，，所以圆半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 13．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是______． 【答案】 【分析】设圆的方程为，由条件列方程求可解. 【详解】因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为． 故答案为： 14．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 15．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程； （2）设点，可得，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. 【详解】（1）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 16．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； （2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 题型三 直线与圆的位置关系（共10小题） 17．（24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的相关知识即可求得弦长 【详解】由已知圆，圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 所以 故选： 18．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 19．（23-24高二下·广西南宁·期中）若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值，即而得出圆心到直线的距离及弦长，求出面积即可. 【详解】由可得， 故圆心，半径， 直线的方程可化为， 所以直线恒过定点， 因为 所以点在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又， 所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离， 所以， 所以， 故选：B 20．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 21．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 22．（24-25高二下·河南商丘·阶段检测）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 23．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 24．（24-25高二下·河南洛阳·期末）已知圆，直线，则下列结论错误的是（    ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．恰有三条直线与圆C和圆都相切 D．直线l与直线垂直 【答案】B 【分析】对于A项，求出直线经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B项，代入，得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C项，根据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，圆可化为， 圆心为，半径为. 因为，所以两圆外切， 即恰有三条直线与圆C和圆都相切，故C正确； 对于D项，因为， 所以直线l与直线垂直，故D项正确. 故选：B 25．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 26．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 题型四 圆与圆的位置关系（共6小题） 27．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 28．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 29．（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可得出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，所以， 故圆与圆相交. 故选：B. 30．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 31．（24-25高二下·河南周口·期末）已知圆C：，若圆心在圆O：上且半径为1的圆与圆C相交于M，N两点，则最大时，=（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据已知判断圆与圆C可能位置情况，数形结合判断最大对应长度，在应用几何法求即可. 【详解】由题设，则，故， 由圆半径为1，易知圆与圆C可能内切、相交、外切，三种情况， 要使最大，只需弦最长，如下图， 最长是圆的直径，即时，最大，此时. 故选：B 32．（24-25高二下·甘肃定西·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】先根据圆的面积被直线平分得出直线过圆心，从而求出圆的参数 ，确定圆的圆心和半径，再结合已知圆的圆心和半径，通过计算圆心距并与两圆半径的和差关系作比较，判断两圆位置关系. 【详解】圆可整理为，其圆心. 由题可知，直线经过圆心，即，解得， 因此圆，圆心，. 圆，圆心，. 圆心距，，， ，两圆相交. 故选：A. 题型五 椭圆的标准方程（共5小题） 33．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 34．（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 35．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2． (1)求C的方程； (2)过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及短轴长的概念，由的关系式，建立方程组，可得答案； （2）设出直线方程，联立写出韦达定理，利用点到直线距离公式以及弦长公式，根据三角形面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题设知：，解得， 所以C的方程为 （2） ∵，设直线的方程为，， ∵  ∴ ∴，整理得， 可得，∴， ∴， ∴，∴. 36．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，结合韦达定理及题设列方程求解即可； （ⅱ）假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）由题意，直线的方程为，设，， 联立，得， 则， 且. 因为线段的中点横坐标为1，则，解得. （ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以点， 若在轴上存在定点，使三点共线，则． ， 由于，则． 则， 则，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 37．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 【答案】(1) (2)①;②. 【分析】（1）根据题意得出关于的方程，解得答案即可得到椭圆方程.（2）①根据两个椭圆的离心率相等设椭圆方程为，化简即可的答案;②根据条件可得且，，设，分别求得，，，，直线的方程为，代入计算结合，可解得，因为位于上，求，为上任一点，化简得，联立有解，求得长轴长取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的长、短轴长之比为，且经过点，所以， 解得，，所以的方程为. （2） ①因为的方程为，的中心在坐标原点，焦点在轴上， 又与的离心率相等，所以可设的方程为， 即的方程为. ②因为，，所以且，， 设， 所以，， 设，所以，， 直线的方程为，即， 所以，代入得， ， 因为，所以， 不妨设，代入的方程可解得， 因为位于上，所以， 为上任一点，所以，化简得， 设，因为为上任一点，即有解， 整理得，， 解得，所以， 所以的长轴长. 题型六 双曲线标准方程（共6小题） 38．（24-25高二下·广西崇左·期末）已知双曲线：（，）的焦距为，，且点在上． (1)求的方程； (2)若直线：与的右支交于点（），求的取值范围； (3)若，是上不同的两点（异于点），的平分线垂直于（为坐标原点），证明：直线的倾斜角为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意列出方程组，解方程组即可得到的方程； （2）由点在上，可得，又点在直线上，可得，化简再根据即可求得范围； （3）设直线的方程，，联立得到，利用的平分线垂直于，得到直线的斜率互为相反数，即，再化简即可得到斜率为定值，即直线的倾斜角为定值. 【详解】（1）由题知， 则的方程为. （2）因为直线：与的右支交于点（）， 所以， ， 则的取值范围为. （3）证明：根据题意直线斜率存在， 设，， ， ， ， ， 由（1）知，又的平分线垂直于， 所以直线的斜率互为相反数， 即 ， ， 异于点，点不在直线上， 即， 所以， 即直线的倾斜角为定值. 39．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线的方程为，由已知可得，进而求解即可得的方程； （2）求得，设，，与双曲线联立方程组可得，，根据，可求面积. 【详解】（1）由题可知，设. 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为，与的方程联立得， 由，可知是等腰直角三角形，所以， 即，解得（负值舍去），所以， 所以的方程为. （2）由（1）可得，， 由得， 设，，且，则，. 所以. 由（1）可得，， 又， 所以. 40．（24-25高二下·江西新余·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点，定值为1 【分析】（1）由的面积求出，点坐标为，代入椭圆方程求解即可； （2）设直线的方程为，即，整体代入双曲线方程，利用齐次化，结合韦达定理求解即可； （3）设直线：，则，同理可得，假设存在点满足题设，求出为定值即可． 【详解】（1）因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． （3）设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 41．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程. (2)过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B. （i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）不存在，理由见解析；（ii） 【分析】（1）根据题干中的条件求出长轴长与短轴长即可得到答案. （2）（i）利用点差法求出直线方程再与双曲线联立即可得到是否存在. （ii）联立直线与双曲线得到直线的弦长，即可化简原式即可求出取值范围. 【详解】（1）设，由于两条渐近线为，则有 到两条渐近线为的距离之积为 则解得 所以双曲线C的方程为 （2）（i）设，且， 因为在双曲线上， 所以，两式相减可得 所以， 若点为线段AB的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率 所以直线l的方程为，即 将直线l与双曲线联立，可得，. ，故方程无解. 所以不存在这样的直线l，综上，点不能是线段PQ的中点. （ii）设切点，则切线的方程为，且 由，解得，所以 设， 由，消去得，所以, 由，消去y得，所以； 所以， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即 42．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知点，为双曲线C：（，）上两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程列出方程组求解即可. （2）联立直线和双曲线方程组，消元，利用韦达定理可求出线段中点坐标，然后利用垂直关系可列出之间的关系式，最后根据的范围即可求出的范围. 【详解】（1）将，的坐标代入双曲线C的方程，可得，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设，，线段的中点， 联立，消去整理得， 所以，即且①， 所以，， 所以，. 因为，所以， 所以， 所以②. 又③， 由①②③得或， 所以实数m的取值范围是. 43．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的渐近线求出双曲线方程； （2）根据题意，计算出与轴垂直时，四边形面积为；与轴不垂直时，设直线的方程为，联立曲线方程得出新方程，得出，的关系；根据，的平行关系确定四边形为平行四边形，数形结合得出平行四边形和三角形间的面积关系，联立双曲线渐近线方程和直线的方程得出交点坐标表达式，根据面积公式算出四边形面积为，从而证明四边形的面积为定值. 【详解】（1）当且仅当与轴垂直时，，此时， 即， 则双曲线的方程为． （2）（2）证明： 当直线与轴垂直时，，四边形是矩形，面积为； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 联立消去可得： ， 此时，并且， 故； 设与轴交于点， 由及双曲线的对称性，可知四边形ADEB是平行四边形， 面积， 双曲线两条渐近线方程为， 联立， 同理可得， 则． 所以，四边形的面积为定值． 题型七 离心率（共15小题） 44．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，，进而求离心率. 【详解】由椭圆的定义及题意，得，所以． 因为，所以，所以， 所以离心率． 故选：B． 45．（24-25高二下·河南·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题可得，然后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题设得，所以. 故选：B． 46．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可得，进而求出双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 由两条渐近线的夹角为，且， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 47．（24-25高二下·甘肃定西·期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 则，所以的离心率为， 故选：D. 48．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，，由，求得，进而得解. 【详解】不妨设，， 该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故选：C.    49．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率. 【详解】如图，    由，得，， 其中，所以， 可得为直角三角形， ，且， 解得，， 再由勾股定理可得： 得，． 故选：D． 50．（24-25高二下·广东广州·期末）设，，点，是坐标原点，，是双曲线：的左焦点，若直线：经过点，且能与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用点到直线的距离公式判断，从而知直线的斜率为，再利用点斜式写出直线的方程，并与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的交点情况，结合韦达定理，求解即可． 【详解】由，知， 因为直线， 所以点到直线的距离为， 所以， 由题意知，， 所以，，即直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 联立， 由题意知，直线与双曲线的左右两支各有一个交点， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率， 对比选项可知，只有选项D符合题意． 故选：D． 51．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据条件，确定的形状以及边长之比，结合椭圆的定义，求其离心率的值. 【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图．由题意可得， 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以，故为直角三角形，由题意，，设， 则，解得或（舍）， 所以，． 故选：B 52．（24-25高二下·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、的夹角为，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用已知条件和双曲线的定义求出、，再利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 设、的夹角为，则，解得， 因为，由双曲线的定义可得，故， 由余弦定理可得， 即，可得，故. 故选：D. 53．（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解. 【详解】 根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知， 由椭圆的定义可得，所以， 所以，由是的中位线， 可得，所以，解得， 所以的离心率为. 故选：B. 54．（24-25高二下·浙江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，射线是的角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线定理得到线段比例关系，结合椭圆的定义可得结果. 【详解】 如图，连接. 因为三角形的三条角平分线交于一点，所以射线是的角平分线. 因为，所以. 由角平分线定理得，. 设，则， 所以，， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 55．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为第一象限的交点，，，由椭圆、双曲线定义可得，，结合余弦定理、离心率公式可得，由不等式及其取等条件即可求解. 【详解】设为第一象限的交点，，， 则，，解得，， 在中，由余弦定理得， ，， ，，， ，即， 当且仅当，即，时等号成立，此时， 故选：D． 56．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可. 【详解】延长交的延长线于，连接， 由题意知：，， 所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以， 则. 故选：C. 57．（24-25高二下·广东汕尾·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出对应点，作出符合题意的图形，利用求出，进而结合题意求出，再利用向量垂直的坐标表示得到，再将点坐标代入方程得到，再代入中化简得到，最后求解离心率即可. 【详解】由题意得椭圆的参数方程为， 如图，故设，，， 则，， 因为，所以，， 解得，故， 因为点B关于原点O的对称点为，所以， 则，， 因为，所以， 故， 化简得， 则， 将代入椭圆方程， 得到，化简得， 把代入中， 得到，同除可得，解得或（舍去）. 故选：B 58．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示. 由切线长定理可得， 则 . 因为，所以， 由圆的几何性质可得，故四边形为正方形， 且其边长为. 由对称性可知，由椭圆定义可得，① 又因为，所以，② 联立①②可得. 由勾股定理可得，即， 整理可得，即， 即，整理可得， 因此，. 故选：B. 题型八 抛物线标准方程（共4小题） 59．（24-25高二下·广西贵港·期中）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，． (1)求的方程； (2)求以为直径的圆的标准方程； (3)设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算求出椭圆的焦点，再结合抛物线的焦点得出抛物线方程； （2）根据为直径得出圆心及半径即可得出圆的方程； （3）先联立方程组，再应用弦长公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． （2）依题意得的坐标为， 所以线段的中点坐标为． 因为以为直径的圆的半径， 所以以为直径的圆的标准方程为． （3）依题意可得直线的方程为． 由得． 设，，则，，， 则． 60．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知抛物线，点为抛物线的焦点. (1)若点在抛物线上，求； (2)过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，结合抛物线焦半径公式可求得的值； （2）设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，以及原点到直线的距离，结合三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，故. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 依题意，设直线的方程为， 将直线与抛物线方程联立得得， 设点、，， 由韦达定理可得，， ， 又因为原点到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为，即或. 61．（24-25高二下·山西·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)，的方程为 (2)6. (3)证明见解析，定点. 【分析】（1）根据抛物线的定义求出抛物线的标准方程，写出焦点，根据焦点坐标和椭圆上一点，求出椭圆标准方程即可； （2）根据圆锥曲线和直线的位置关系，设出坐标，联立方程组，根据韦达定理，表示出线段的长度，根据方程组有解情况下判别式的范围，求出参数范围，求得线段最小值； （3）根据圆锥曲线和直线的位置关系，解决直线过定点的方法，联立方程组，根据韦达定理，证明直线过定点. 【详解】（1）因为，且，所以，解得， 所以抛物线，， 设的半焦距为，则由题意得解得 所以的方程为. （2） 设，，， 因为A，R，P三点共线，所以， 又，，所以， 所以，同理， 所以. 因为点在，所以，所以， 所以， 令，则， 代入并整理，得， 所以， 解得，所以，即的最小值为6. （3） 设，， 联立消去并整理，得， 所以，化简得， 由韦达定理得，， 所以， 此时，即， 因为，，所以， 所以，因为，所以， 所以直线过定点. 62．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． (1)求轨迹的方程． (2)直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为． （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）18 【分析】（1）根据题意可知动点的轨迹为抛物线，即可求解； （2）（ⅰ）写出直线，的方程，利用即可得到，再写出直线，的方程，得出直线与的交点和直线与的交点重合，即为点，得证；（ⅱ）利用，可得，可求出，进而利用比例关系将四边形的面积用表示即可求解. 【详解】（1）动点到点的距离比它到直线的距离小， 点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为． （2）（ⅰ）设，，，， 则直线的斜率为，， 直线的方程为，即， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即， ，，，即，故． 又直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点． 所以三点共线； （ⅱ），， ，，得， ， ， 上面两式相减得， 由（ⅰ）知，即，， 过点作交于点， ，，，，， 则，， 又，不妨设，则， 四边形是平行四边形，， 分别是的中点，，， ，， 设的边上的高为，的边上的高为，则， ，， ， ，，， ．    题型九 抛物线焦点弦的性质（共6小题） 多选题 63．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．线段AB的中点到x轴的距离为3 C． D． 【答案】ABD 【分析】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点， 则过点F且斜率为1的直线方程为， 联立方程组，整理得，， 设，则， 对于A，由抛物线的定义，得，故A正确； 对于B，线段的中点的到轴的距离为，故B正确； 对于C，因为 ， 所以与不垂直，故错误； 对于D，由，可得， 由抛物线定义，得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 64．（24-25高二下·重庆·期末）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，过焦点的直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出；B选项，由焦点弦长公式得到方程，得到，不妨设，解得，，求出，，；C选项，求出的中点坐标为，计算出到准线的距离为，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确；    D选项，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 65．（2025·山西·三模）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（     ） A．的最小值是4 B． C．直线平行于轴 D．的面积的最大值为 【答案】AC 【分析】设过的直线为，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，设点坐标为，推导出，即可判断C，由面积公式，再构造函数，利用导数求出面积最小值，即可判断D. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设过的直线为， 将其与抛物线联立可得，消去整理得， 所以，， 对于A：，当且仅当时取等号，即的最小值是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：设点坐标为，则， 因为，故，故直线平行于轴，故C正确； 对于D：， 设函数，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，即的面积的最小值为，故D错误， 故选：AC． 66．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 67．（24-25高二下·广东深圳·期末）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（    ） A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 【答案】ACD 【分析】对于A，设出直线方程，联立结合韦达定理证明；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得，，判断C，对于D，联立直线方程和抛物线方程，分别表示即可证明. 【详解】 对于A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立，消去，得， ，则， 因为，， 所以， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 所以， 过垂直于的直线方程为 当时，代入，， 所以， 所以， 因为， 所以，故A正确； 对于B，由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 所以存在直线，使得，故C正确； 对于D，，，所以， 所以， 因为，，所以，因为，所以， ，所以， 同理， 令，则，因为，则，所以， 所以， 所以，其中， 所以， 其中 ， 同理， 所以，故D正确， 故选：ACD. 68．（24-25高二下·云南曲靖·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．以为直径的圆与直线相切 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题目条件和抛物线的性质，逐一判断选项，即可得出结果. 【详解】根据题意抛物线为开口向右的抛物线，，焦点，准线为，设. 对于A，直线过最短的弦为通径，所以A错误； 对于B，以为直径的圆，圆心为的中点，半径， 圆心到准线的距离，又，即， 故圆与直线相切，所以B正确； 设直线的方程为，且有， ，联立得， 则， ，所以，所以C正确； 设直线的倾斜角为，若， 因为，所以，所以， 同理若，则， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 题型十 轨迹方程（共6小题） 69．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)，其中或 【分析】（1）根据实轴长得，利用点到直线的距离结合求解即可； （2）设，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y，得，且，得且，由韦达定理，得，从而得，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得解. 【详解】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则， 因为双曲线：（，）的一条渐近线为， 点到双曲线的渐近线的距离为，所以， 所以，所以，所以双曲线的方程是； （2）易知直线的斜率存在设为，设、、， 联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得． 由且，得且． 由韦达定理，得． 所以，． 由消去k，得． 由且，得或． 所以，点M的轨迹方程为，其中或． 70．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）设出，根据题意列出等量关系，化简后得到轨迹方程； （2）先假设存在这样的定点，设直线方程，和曲线方程联立，利用韦达定理化简，对表达式是否可以为定值进行分析即可判断. 【详解】（1）设点，故，而点到直线的距离为， 由已知得，化简得， 所以动点的轨迹的方程为． （2） 若存在定点满足题意， 当直线斜率存在时，设过点的直线方程为， 联立方程，消去化简得， 则，则， 又，所以， 将代入化简得： ，若为定值，不妨设为， 则，即， 亦即有，， 解得，所以存在定点，使得． 当过的直线垂直轴时，此时，则，满足条件． 所以在轴上存在定点，使得为定值． 71．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意可列出方程，化简，即可得答案； （2）设直线方程并联立迹的方程，可得根与系数的关系式，进而表示出的面积的表达式，利用导数可求得其最值，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）因为点到点的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）由题意可知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为． 联立，得．直线l过点F，必有， 由韦达定理可得，， 所以的面积， ． 令，则，所以． 令，则在上单调递减， 所以，即面积的最大值为． 因为，所以不存在直线，使得面积为． 72．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件得到和，再结合，即可求解； （2）（i）当当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，通过消得到，从而得到，结合条件得到，再利用直线与圆的位置关系，即可求解；（ii）利用弦长公式，结合（i）中结果，得到，令，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，由，得到，当时，由，得到， 又，得到，整理得到， 当时，，满足，所以点的轨迹的方程为. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，且， 又， 因为以线段为直径的圆经过坐标原点，则，得到， 所以，即，整理得到， 又原点到直线的距离为，此时直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由， 得到，只有一个交点，不合题意， 综上，直线与圆相切. （ⅱ）因为，由（ⅰ）可得， 又，得到， 所以面积为， 令，则，所以， 当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以面积的最小值为. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的（i）问，利用韦达定理，结合条件得到，再利用间的关系，结合条件，即可求解. 73．（24-25高二下·河南开封·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点A在C上，垂直于x轴，且． (1)求C的方程； (2)若B为椭圆C的右顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，且． （i）求证：直线与直线的斜率之和为定值； （ii）过M与x轴垂直的直线交直线于点H，求中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用椭圆的定义和勾股定理即可求，又由即可求解； （2）（i）由题意可设过的直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，代入即可求解； （ii）设中点为，，则，直线的方程为，令得，利用中点坐标有，化简整理即可求解. 【详解】（1）由题意有，解得，又，解得， 又由， 所以椭圆的方程为； （2）（i）由题意可设过的直线的方程为， 所以，消去化简整理有， 所以，解得， 所以， 又， 所以 ； （ii）设中点为，，则，又直线的方程为， 令有，所以， 所以 ， 又因为 ， 所以， 又过点的直线与椭圆的切点分别为， 所以中点的轨迹为除去两端点的线段，轨迹方程为. 74．（24-25高二下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，从上任取一点向轴作垂线段，为垂足.当点在上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.（当为轴上的点时，规定与重合） (1)求的方程； (2)若在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标； (3)已知，两点在曲线上，，，三点不共线，且直线，均与以为圆心、为半径的圆相切.若在轴上的射影为，关于直线的对称点在轴上的射影为，求证：线段的中点在定圆上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用相关点法求解动点轨迹方程即得； （2）解法一：根据与的面积相等结合图形推出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，即可求出点坐标；解法二：设，列出直线的方程，令求得，分别表示出和的面积，利用面积相等推得，将其代入椭圆方程即可求得点坐标. （3）设，，，当或斜率不存在时，易推出，当或斜率存在时，设，，利用直线与圆相切可推得，将直线与椭圆方程联立，求得，同法，即得，由条件求出和，可得，设线段的中点为，由，即得线段的中点在定圆上. 【详解】（1）依题意，设，则， 因为在上，则有，即， 所以曲线的方程为. （2）    解法一： 设，则，， 因为与的面积相等，则与的面积相等，则有， 又，，所以，故直线的方程为. 由解得，即，， 则点的坐标为. 解法二：设，则，，则直线的方程为， 令，得，即， 则的面积为， 的面积为， 所以， 即，即，即， 由，解得，所以，， 则点的坐标为. （3）    如图，设，，， 则当或斜率不存在时，的半径. 又因为，所以， 从而与轴相切，故，必分别为的长轴和短轴的一个端点，所以. 当且斜率存在时，设，， 则，即. 同理，. 所以. 由得. 同理，.又，所以. 设关于直线的对称点为，则所以，， 所以，又易知，所以. 设线段的中点为，则因为，所以， 所以线段的中点在定圆上. 题型十一 定点定值定直线（共13小题） 75．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 76．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据数量积的坐标公式可求出，然后根据离心率求出，进而可得到椭圆的标准方程. （2）（i）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理，将直线的方程表示出来，进而可求得定直线的方程；（ii）根据直线的斜率将表示出来，然后利用基本不等式的性质求出最大值. 【详解】（1）由题意知，，， 所以，即. 又，所以，. 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为. 由，得， 设，，则，， 所以. 因为椭圆的左，右顶点分别为，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 所以， 解得，所以点在定直线上. （ii）设直线的倾斜角分别为，则， 由（i）知， 所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 77．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合抛物线的定义与其标准方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由切点设出切线方程，根据根的判列式为零，求得切线方程，联立求交点，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为 （2）设，，联立方程组，得， 可得，则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为，同理可得，的方程为. 由，解得，即点，即为 又因为若点在直线上，所以，解得. 78．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及的值，求出的值，代入双曲线方程即可. （2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和和两根之积，根据进行化简，进而求出定点坐标. 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为. （2）证明：设直线的方程为，，. 由，得， 则，，， 又，则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，则直线过定点. 综上，直线过定点． 79．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、.    (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）求出点关于直线的对称点，由椭圆的性质得出，进而得出椭圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，求出的坐标，由数量积公式得出， 当直线的斜率存在时，设出方程，并联立椭圆方程，由韦达定理求出，再由数量积公式得出，再结合的范围求出的取值范围； （3）设出直线，直线的方程，联立两直线方程求出点的纵坐标，再结合，从而可求解. 【详解】（1）因为点关于直线的对称点为，且在椭圆上， 所以，又因为又，故，则， 则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消去整理得， 由题意可得，化简得， 则由根与系数关系得， 所以 ， 又因为，所以， 综上所述:. （3）点的纵坐标为定值，证明如下： 由题意得，：， 将两直线方程联立，消去得， 由（2）可得， 从而得， 故点的纵坐标为定值. 80．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，离心率，过E的右焦点F且不与y轴垂直的直线与椭圆E相交于A，B两点． (1)求E的标准方程； (2)若点，设直线的斜率分别为，求证：； (3)若点C，D分别为E的左、右顶点，直线与的交点为Q，求点Q的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程组，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合直线斜率公式，进行化简，即可求解； （3）设点，得到直线和的方程为和，消去y得，结合，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆的长轴长为4，离心率， 可得，解得，又由，可得， 所以椭圆E的标准方程为． （2）解：由题意知，直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为， 且，联立方程组，整理得， 则有且， 故． （3）解：设点，由题意知点A和点B均不在x轴上，所以， 则直线的方程为，①  直线的方程为，② 由①②消去y得， 即， 又由，代入可得， 解得，所以点点的轨迹方程是. 81．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方）且与轴交于点. (1)若直线的斜率为，求点的坐标. (2)设，.求证：为定值，并求出该值. (3)若椭圆的右焦点为，内切圆的半径为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）由题意得直线方程为，与椭圆方程联立即可求解； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，由韦达定理得，由由，得，，即，代入即可求解； （3）先求的周长，进而得，又，进而解得，即可求解. 【详解】（1）（1）由题意有椭圆左焦点坐标为，则直线方程为， 所以解得或 ， 所以的坐标为. （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，且设为，设直线的方程为：， 所以 ，消去得， 设，，则 由，，且点的横坐标为0，得，， 从而 ，为定值，且. （3）设直线，则的内切圆的半径为，又，为椭圆的焦点， 故的周长为，从而， 设，，则， 即， 由（2）两方程联立得， 得，化简得，解得或（舍去），故， 即存在直线满足题意. 82．（24-25高二下·广东广州·期末）已知椭圆：（）的离心率为，且过点．设点处的切线为． (1)求的方程； (2)求直线的方程； (3)直线过点，且，点，在上，且，问：直线与的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标;若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线与的交点是为定点，定点坐标为 【分析】（1）由待定系数法及离心率公式即可求得结果； （2）设出直线方程，运用直线与椭圆相切时，联立直线方程与椭圆方程消元后令即可； （3）分两大类进行讨论：①当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，消去，写出韦达定理，结合可得或，分别找出两种情形下直线所过的定点，确定与直线的交点坐标；②当直线的斜率不存在时，设其方程为，求解直线方程得交点坐标即可得结论． 【详解】（1）由题意，得，则， 故椭圆． （2）由题意可得，直线的切线斜率一定存在． 令直线，联立， 整理得， 所以， 即，所以， 故直线，即直线． （3）因为直线过点，且，所以直线， ①当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立，得， 由，知， 设，，则，， 由于，所以， 即， 所以， 化简整理得，， 所以或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点，点在直线上， 即直线与的交点是为定点； ②当直线的斜率不存在时，设其方程为，，，且， 因为，所以， 解得或2（舍2），则直线：与直线的交点坐标为； 综上所述，直线与的交点是为定点，定点坐标为． 83．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据可求出的值，即可得出椭圆方程； （2）（i）根据题意设直线，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理计算的面积可解得的值，即可得直线方程； （ii）分别写出直线与直线的方程，联立方程组，利用韦达定理化简可得，由此可证明交点在定直线上. 【详解】（1）由题意，，即，解得，则， 所以，椭圆的方程为. （2） 由题意，直线不与轴重合，且过点，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. （i）因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以，， 所以直线的方程为,即或. （ii）由题意，， 所以直线，直线， 联立两直线方程，消去可得，即， 整理得，即， ， 即，解得， 所以，直线与直线的交点在定直线上. 84．（24-25高二下·重庆·期末）已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据椭圆定义得到，，故C的方程为； （2）（ⅰ）设直线l方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，直线PM的方程为，代入两根之和，两根之积求出，故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）计算出，得到的取值范围为. 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 85．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点. （i）若的中点为，求的方程； （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）（i）设、，则，，利用点差法可求得直线的方程； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，可求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可化简得出的表达式，根据为定值可求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设、，， 若的中点为，则，. 又，两式相减可得， 即， 所以，所以，故的斜率为. 因为点在上，所以的方程为，即； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线， 由得， 即， 则，得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，, 令可得，即点， 同理可得点，， 则，， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍去）时，， 故当或时，为定值. 86．（24-25高二下·安徽滁州·期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．点在线段上，且满足．当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的标准方程． (2)过点的直线交曲线于两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设点是所求曲线上的一点，且，由，得到，将其代入圆的方程，即可求得曲线的标准方程； （2）（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，联立方程组，求得，由直线的方程为，联立方程组，求得，求得直线的方程，得到过定点；当直线的斜率不存在时，求得直线过定点，即可求解； （ii）由（i），结合得到，令，结合的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：设点是所求曲线上的一点，且， 由轴于，则，因为，可得， 因为点是圆上任意一点，则，即， 即曲线的标准方程为. （2）解：（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 因为直线与直线垂直，所以直线的方程为， 设， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 则直线的斜率为 ， 所以直线的方程为， 即， 令，解得，所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，则， 直线的方程为，可得，则，直线过定点， 综上可得，直线过定点. （ii）由（i）知，直线过定点，且， 可得，则 ， 令，则，则， 令在上为单调递增函数，当时，， 即时，面积取得最大值，最大值为. 87．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，动点满足， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，， （i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程； （ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析； （ii）存在点使成立，点横坐标为，理由见解析 【分析】（1）由双曲线的定义可求得双曲线的方程； （2）（i）联立直线方程与双曲线方程，由题意可得，进而可求得，结合，可得直线的方程，联立直线的方程可得点在定直线上；（ii）根据题意利用夹角公式得到关于的表达式，进而求得，从而可求得点的横坐标，由此得解. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线中靠近点的一支， 且，解得，所以， 所以双曲线的方程为； （2）（i）联立方程组，消去，得， 整理可得①， 因为直线与曲线相切，所以， 所以，所以， 将，代入①可得：， 解得，代入直线可得，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以直线的方程为， 联立方程组，所以， 所以，解得； 所以点在定直线上，该定直线方程为； （ii）由（i）可知，， 因为，所以，， 所以 ， 解得或，又因为不符合题意，所以（舍去）， 所以点横坐标为， 存在点使成立，此时点横坐标为， 【点睛】关键点点睛：第二问的第2小问的解决关键在于，利用夹角公式化简得关于的表达式，从而得解. 题型十二 最值与范围问题（共7小题） 88．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得，则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，求出，当直线的斜率不为时，设直线方程为，联立方程可得，满足题意时，应用平面向量数量积公式及韦达定理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【详解】（1）因为原点到直线的距离为， 所以（），解得. 又，得 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 当直线的斜率不为时，设直线：，，， 联立方程组，得， 由，得， 所以，， ， ， 由，得，所以. 综上可得：，即. 89．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入抛物线方程可得答案. （2）由题可得，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及题意可得关于t的不等式，据此可得答案. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为． （2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”． 设，，则，记为① 由题意，过点且斜率为1的直线方程为．于是有和，将其代入①式，得 ，记为② 由联立消去，整理得．于是有，即且，记为③ 再将③代入②，整理得 ． 要成立，只要在上恒成立即可． 解不等式得，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为． 90．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知椭圆的离心率为，上顶点为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，点在第二象限，点在轴的下方，直线分别与轴交于点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据已知条件结合可求得，即得答案； （2）（ⅰ）设直线的方程并联立椭圆方程，利用韦达定理化简后可得故的中垂线过即；（ⅱ）利用韦达定理化简，由基本不等式可求最大值. 【详解】（1）由已知，，结合，∴，， 故椭圆的方程为. （2） （ⅰ）由过点的直线与椭圆交于不同的两点， 可知直线的斜率一定存在且不为零， 设直线的方程为，即，设，， 联立方程组，可得， ，即， 又， 又，同理， 故 ， 所以中点的横坐标为，故的中垂线过，则. （ⅱ）故 ， 当且仅当即时，等号成立， 故四边形面积的最大值为4. 91．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知椭圆的离心率为，且长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及长轴列方程组求，即可得方程； （2）设直线l：，，联立方程利用韦达定理可得，进而可得，换元令，结合函数单调性求最值即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意可知：，直线l的斜率可以不存在，但不为0，且直线l必与椭圆相交， 设直线l：，， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， 则三角形面积， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以角形面积的最大值为. 92．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，，且的面积为1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点A的直线l分别交圆E、椭圆C于M，N两点（异于点A），若直线l的斜率存在． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时直线l的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】 （1）以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，得到虚轴长等于焦距再根据题干中三角形的面积即可求出结果. (2) （ⅰ）利用直线与椭圆方程联立，求出点M,N点的坐标，用斜率公式表示出，即可证明结论. （ⅱ）由（ⅰ）的结论，求出弦长，再利用不等式即可求得结果. 【详解】（1）因为以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，． 所以 解得，所以， 故椭圆C的方程为． （2）（ⅰ）    设直线，，， 直线l与椭圆C联立得，得， 所以，即，所以． 直线l与圆E联立得得， 所以，即，所以． ，为定值． （ⅱ）由于，． 所以． ． 从而，当且仅当时，取等号． 此时直线l的方程为． 93．（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可. （2）按是否为顶点分类，当直线斜率存在且不为0时，求出长，并求出三角形面积的函数关系，进而求出范围. （3）按直线的斜率存在与否分类，把直线的方程与圆、椭圆方程联立求出即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的标准方程是. （2）当点不是椭圆的顶点时，由，得点不是椭圆的顶点， 设直线方程为，点，则直线方程为， 由得，，同理， 面积， 而，因此，当且仅当时取等号， 点是椭圆的顶点时，点也是椭圆的顶点，， 所以面积的取值范围是. （3）依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或，则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 则，即，设， 由消去并整理得：， ，， 则 ， 所以为定值. 94．（24-25高二下·四川泸州·期末）设椭圆的两个焦点坐标分别为，且过点. (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与交于G，S两点，直线SA与交于点（异于）. ①证明：； ②若点是的外心，求的最大值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）设出椭圆标准方程，结合所过点与焦点坐标计算即可得； （2）①设出直线的方程，联立椭圆方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合点坐标计算可得，则点与点关于轴对称，即可得证；②利用外心的性质可计算出点的坐标，再利用两点间距离公式、点到直线距离公式及面积公式可表示出，再借助基本不等式计算即可得解. 【详解】（1）设椭圆标准方程是， 由，解得， 所以椭圆方程为； （2）①设，、， 联立，消去有， ，则或， 则，， 由，则，， 则 ， 即，则与关于轴对称， 则点与点关于轴对称，故； ②由点与点关于轴对称，则， ， ，则线段的中点为， 则线段的垂直平分线为， 又线段的垂直平分线为轴，则， 令，则，即， 则， ， 则， 令，由或，则，， 则， 当且仅当，即，即时，等号成立， 即的最大值为. $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题16解析几何（直线与圆及椭圆双曲线抛物线） 题型归纳·内容导航 题型1直线方程 题型7离心率（难点） 题型2圆的方程 题型8抛物线标准方程（重点） 题型3直线与圆的位置关系（重点） 题型9抛物线焦点弦的性质（重点） 题型4圆与圆的位置关系 题型10轨迹方程（重点） 题型5椭圆的标准方程（常考点） 题型11定点定值定直线（难点） 题型6双曲线标准方程（重点） 题型12最值与范围问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一直线方程（共8小题） 1.(24-25高二下.四川泸州期末)直线3x+2y-1=0在y轴上的截距为() A月 B2 1 C.-1 D.1 2.(24-25高二下河南期末)直线x-√5y+3=0在x轴的截距为（) A.-3 B.-V5 C.5 D.3 3.(24-25高二下.安徽芜湖期末)直线3x-4y=1与直线6x-8y=1间的距离是() A B. 1 c D.1 10 4.(24-25高二下.广西南宁期末)若aeR,直线4：x+2ay-1=0,直线2：3a-1)x-ay-1=0,则 “1∥1，"的充分不必要条件是() A.a=0 B.a=- C.a=1 1 D.a= 6 5.(24-25高二下河南南阳·期末)已知直线ax+y-2=0与直线x+a-1)y-2=0垂直，则实数a的值为() A.1-V5 B.Z c.1+5 2 2 0月 6.(24-25高二下·云南玉溪期中)若点A3,4),B(5,3)到直线：2x+y+1=0的距离相等，则a=() 1/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4 B.-4 C酸鸟 0.-4或8 7.(24-25高二下·安徽毫州期末)己知点P在曲线E:xy=1(x>0)上，点Q在直线2x+y=0上，则P,2两 点距离最小值为() A.10 B.2v10 c.5 D.2V5 5 5 5 5 8.(25-26高二上广西桂林.期中)若直线1：2x+y+1=0关于直线x+y-3=0对称的直线经过点A(-2,1), 则a=() A.-1 B.1 0.2 题型二圆的方程（共8小题） 9.(24-25高二下.甘肃白银期末)圆心在直线y=x上，且经过点P(3,1),Q1,-1)的圆的方程为() A.x2+y2-2x-2y-2=0 B.x2+y2-4x-4y-2=0 C.x2+y2-2x-2y-1=0 D.x2+y2-4x-4y-1=0 10.(24-25高二下河南南阳·期末)已知点A-2,6),B(6,0),则以AB为直径的圆的方程为() A.(x+2)2+y+3)2=25 B.(x-22+(y-32=25 C.（x+2)2+(y+3)=1000 D.(x-2)2+(y-3)2=100 11.(2025江苏连云港模拟预测)已知线段AB的端点B的坐标是(5,3)，端点A在圆x2+y2=4上运动，则 线段AB的中点M的轨迹方程为() (-1 a(+-= c(旷*- (=1 12.(24-25高二下.四川成都期末)圆心为点M(-5,3),且过点A(-8,-)的圆的标准方程是 13.(24-25高二下.河南商丘期末)已知圆C的圆心在直线x+y=4上，且圆C经过点(-2,0)，(0,6)，则 圆C的标准方程是 14.(24-25高二下·陕西西安·期末)已知M(-1,0),N(2,0),平面内一动点P满足PN=√2PM,设动点 P的轨迹为2. 2/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求2的方程： (2)若斜率为-1的直线1与2交于A,B两点，且AB=8,求直线1的方程. 15.(24-25高二上江苏苏州期末)己知圆C:x2+y2=4,直线1过点A(-2,1) (1)当直线1与圆C相切时，求直线1的方程； (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程 16.（24-25高二下.上海崇明期末)已知圆C:x2+y2-2x+1=0,直线1：2x+y=0. (1)若直线1与圆C相切，求实数t的值： (2)直线1与圆C相交于A、B两点，且OA.OB=-1,求圆C的半径r. 题型三直线与圆的位置关系（共10小题） 17.（24-25高二下广西桂林期末)直线y=x+1与圆x2+y2=4交于A,B两点，则4B=() A.2 B.√7 C.√14 D.32 18.(24-25高二下·湖北荆门期末)设直线1：x+2y+a2=0,圆C:x-12+y-2=4,则1与圆C() A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能 19.(23-24高二下广西南宁期中)若直线1：kx-y+2-k=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0交于A,B两点， 且直线I不过圆心C,则当ABC的周长最小时，ABC的面积为() A.2 B.2 C.4 D.32 20.(2025·全国一卷高考真题)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=√5x+2的距离为1的点有且仅 有2个，则r的取值范围是() A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+o) D.(0,+o) 21.(24-25高二下.安徽芜湖期末)已知直线1：y=c+b与圆C:x2+y2=1和圆C2:x2+(y-6)2-1都相切， 则k的值为() A.√2 B.±√2 C.±2V2 D.2W2 22.（24-25高二下.河南商丘阶段检测)直线mx+y-m-1=0被圆x2+y2+2x-8=0截得的最短的弦长为 () A.√10 B.25 C.4 D.9 2 23.(24-25高二下贵州毕节期末)若直线y=k(x-2)与曲线C:y=V-x2恰有两个公共点，则实数k的 3/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 取值范围为() A.[0,5 0, 3 B. c.(-5,0 24.(24-25高二下河南洛阳·期末)已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线：(m+1)x+2y-1+m=0(meR)，则 下列结论错误的是() A.直线1与圆C不可能相切 B.当m=0时，圆C上恰有三个点到直线1的距离等于1 C.恰有三条直线与圆C和圆x2+y2-2x+8y+8=0都相切 D.直线1与直线2x-(m+1)y=0垂直 25.（24-25高二下.上海宝山期末)已知直线y=x+m和曲线y=V1-x2有两个不同的交点，则实数m的 取值范围是() A.(-2,2) B.「-l,V2 c.[l,2 D.[l,2 26.（24-25高二下·安微滁州期末)圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y-2=0距离的最小值是（) A.√2-1 B.1 c.√2 D.√2+1 题型四圆与圆的位置关系（共6小题） 27.(24-25高二下·安徽安庆期末)已知圆C:x2+y2-4=0,圆C,:x2+y2-4x+4y-8=0,则两圆的位 置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 28.(24-25高二下河南濮阳·期末)己知圆C,:x2+y2=1与圆C2:(x-3)+y2=4,若圆C完全覆盖圆G, C2,则圆C的半径的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 29.(24-25高二下·上海浦东新·期中)圆C:x2+y2-4x=0和与圆C,:x2+y2+2y=0的位置关系为() A.内含 B.相交 C.外切 D.外离 30.(24-25高二下.安徽阜阳期末)圆C1:x2+y2=4与圆C,:x2+y2-4x+4y=a的公共弦长为2√2，则a 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的值为() A.12或4 B.12或-4 C.16或4 D.16或-4 31.(24-25高二下河南周口期末)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=13,若圆心在圆O:x2+y2=1上且半径 为1的圆C与圆C相交于M,N两点，则∠MCW最大时，CC=() A.4 B.25 C.2W2 D.2 32.(24-25高二下.甘肃定西期末)已知圆C:x2+y2-6x-4y=0的面积被直线x+y-7=0平分，圆 C(x+)2+(y-22=1,则圆G与圆C,的位置关系是（) A.相交 B.内切 C.外切 D.相离 题型五椭圆的标准方程（共5小题） 33.(24-25高二下云南昭通期中)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0)，并且经过点 引 则它的标准方程为() C.2 610 34.(24-25高二上湖北武汉期末)阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼 近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦 直椭圆C的离心率为面积为5，则椭圆C的标准五 B. -=1 2516 259 c.+=l 259 2516 35. 2425高三下黑龙江齐哈尔末)已知椭因C名+片(Q>6>0少的离心率为2 2 2,短轴长为 2. (1)求C的方程； (2)过左焦点F的直线1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，若△0AB的面积为 求 6.2425商南驻店期末)已知脂圆E千+（口>6>0）的长轴长为42，以椭圆E的 焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8。 (1)求椭圆E的方程； 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)过点(2,0)且斜率为k(k≠0)的直线与椭圆E交于A,B两点. (i)若线段AB的中点横坐标为1，求k: (i)点C与点B关于x轴对称.在x轴上是否存在定点D(m,O),使A,C,D三点共线？若存在，求实 数m的值，若不存在，说明理由. 37.（2425商二下云南站期末)已知裤图C:若+发-o>0>01的长、气轴长之比为5：1，且G经 过点 ”3 (1)求G的方程； (2)设椭圆C,的中心在坐标原点，焦点在y轴上，又C,与C的离心率相等. ①用一个正的参数2写出C,的方程： ②已知A为G的右端点，若B,C分别为G、C,上的点，满足：AB.AC=0,AB=4C,求C,的长轴长 的取值范围 题型六双曲线标准方程（共6小题） 3强.（2425商二下广西架左期未)已如双曲线n:若-1a>0,6>0)的焦距为26,8106。 bb 且点A 2'2 在2上。 (1)求2的方程： (2)若直线1：y=1(x+1与2的右支交于点E(xE,yE)(xE>2),求t的取值范围： 3)若M,N是2上不同的两点（异于点A),∠MAN的平分线垂直于OB(0为坐标原点），证明：直线 MN的倾斜角为定值. 39.（24-25商二下河南鹤壁，期未已如双曲线E:-片=1b>0)的左顶点为4，右焦点为F过点F且 垂直于x轴的直线与E交于B,C两点，其中B位于第一象限，且AB⊥AC. (1)求E的方程； 2过点F且斜率为三的直线1与E交于M,N两点，求aBMv的面积 0。（2425高二下江西新余期未)已知双曲线r:答若=口>06>0)的左顶点为4，离心*为 2 过点-2，-2)作直线1与「交于B,C两点，当直线1的斜率为0时，ABC的面积为45. 6/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求双曲线Γ的标准方程； (2)若AB⊥AC,求直线I的方程； B)若直线AB,AC分别与直线x=2交于D,E两点，试探究在直线x=2上是否存在定点P,使得P 为 定值？若存在，求出定点P的坐标和定值；若不存在，请说明理由。 41.（2425商二下安餐合阳期未)已知双曲线C:若茶-a>0>0,P是双曲线C右支上的个动点， 且P到双曲线C的两条渐近线y=±2x的距离之积为？ 3 (1)求双曲线C的标准方程. (2)过点P作直线1交双曲线C的左支于点Q,分别交两条渐近线于点A,B. ()是否存在直线1，使得RL,)为PQ的中点？若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由. (i)当0P卜√2时，直线1与圆0：x2+y2=2相切，求 P四的取值范围。 1AB 42.(24-25高二下广东深圳期末)已知点A(2,3), 为双商线C:芳=1(>0,60 上两点。 (1)求双曲线C的方程； (2)若P(0,V5,直线：y=kx+m(km≠0)与C交于M,N两点，且PM=PN,求实数m的取值范围. 48.（2425商二下云商期未)已知两条平行直线4.么分别与双曲线C:号若=0>06>0的左、右 两支相切，且交C的两条渐近线于A,B两点，马交C的两条渐近线于D,E两点，点A,D都在x轴上 方，当且仅当4与x轴垂直时，AD=√2AB=4. (1)求双曲线C的方程； (2)证明：四边形ADEB的面积为定值8√2. 题型七离心率（共15小题） 44.(2425高二下河南商丘期末)已知椭圆C:￡+ a+9 =1的左、右焦点分别为F,,P是椭圆C上任 意一点.若PF+PF=10,则椭圆C的离心率为（)· 3 A:5 :5 4 c D. 16 25 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 45.(24-25高二下.河南期末)己知双曲线C: 若-C0>0,b>0)的一条海近线方程为 √7x-√2y=0,则C的离心率为() A.6 8.32 C.2 D.5 2 2 6.2425商二下员州六盘水期未)已奥双自发C:号是-川口>6>0的两条海近线的夹角为60，则 C的离心率为() A.3 B.2 C.5 D.2V5 3 7.(2425商二下-甘肃定西期末)若双曲线C:若茶=川口>0，b>0)的一条新近线方程为)：5x,则 C的离心率为() A.2W6 B.V6 C.2 D.6 6 48.（24-25高二下.湖南衡阳·期末)己知PA1PB,PA>PB,，以A,B为焦点的椭圆经过点P,且该椭圆 的离心率大于0 4 2,则tan ZABP的取值范围是() A.(1,3 B.（3,4 C.(3,+o】 D.（4,+oj 空(24-25高下测南水州期末)已知椭腹E瓷+广@>力>0)的左、右焦点分别为、乃，点P为 椭圆E上位于第一象限内的一点，若PF=3PF,,1OP=OF,(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为() A.5 B.V6 C.② D.V10 4 4 2 4 50.(24-25高二下广东广州期末)设a>0,b>0,点M(x,y),0是坐标原点，OM=a,F是双曲 线r: x2 y2 a2 b2 =1的左焦点，若直线I:xx+yy=a2经过点F,且能与双曲线厂的右支在第一象限内交于 P点，则双曲线Γ的离心率的一个可能的值是() A.7 c.5 D.5 3 B.√2 51.(2425商二下才东深圳期)已知F是双曲线C:等若-10a>0b>0的右焦点，直线：-3y=0与 C交于P,Q两点，若以P⑨为直径的圆经过点F,则C的离心率为() A.2 B.5 C.3 D.√10 52245离二下演商周口期未)已组双自线C:号云-〔a>00>0的左、右矣点分别为、万，C 8/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 的右支上一点P满足PF=2PF引，且PF与P的夹角的正切值为等，则C的离心率为() 3 A.√2 B.V10 c.3 D.V65 2 5 5 2425高=下云南期末)已知椭圆C+2a>23的左，右焦点分别是人，R,0是坐标原点 A是C上第一象限的点.若AF=6,∠FAF,的角平分线上一点P满足PA·PE=0,且OP=2,则C的离心率 为() A. B c.3 2 D.V5 3 54.(24-25高二下浙江期末)已知椭圆C:+ Σ+2=1a>≥0，b≥0的左、右焦点分别为，E,点P 圆上一点，射线PA是∠FPF的角平分线，其与x轴的交点为点A,∠PFF的角平分线与直线PA交于点B ，若PB=P,则椭圆C的离心率为《) 1 A.1 4 8. 3 C. 3 D.3 4 5.2425商下湖商期术：已为周G营+若-a>4>0与欢线G:兰发 +少 g=1(0,>0,6>0)有 相同的焦点F,E,椭圆C的离心率为e,双曲线C,的离心率为e2,点P为椭圆C与双曲线C,的交点，且 PET则当+5取最大值时+6的值为()， ee, A.3 B.4+V5 C.2√2 D.2+V6 2 56.（2425商二下河南南阳：期未)已知R,5是脑圆号+卡=口>6>0的东、右然点，P是稍圆上任 3 意一点，过厂引∠FP所，的外角平分线的垂线，垂足为Q,且Q与短轴顶点的最短距离为则椭國的离心 率为() 5 B. 3 4 C. 4 5 D. 6 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 57.（2425商二下广东油尾期未)在平面直角坐标系中，精国C:三+若=1口>>0的右焦点为R,点 AB在椭圆上，BF=2FA,点B关于原点O的对称点为M.若MF⊥AB,则C的离心率为()， A.2 B. V5 C.v2 D.5 3 3 6 6 58.（24-25商二下河南南阳期未)已知R,E分别为椭图r号+茶=a>b>0的左右焦点，点P心作 椭圆T的外部)为y轴上一点，线段PF与椭圆T交于点Q,F,Q·PF=0,△PQF,内切圆的直径为b,则椭圆T的 离心率为() A.6 B.5 C.V10 D.3 3 3 4 题型八抛物线标准方程（共4小题） 59.(24-25高二下广西贵港期中)已知抛物线M:y=2px(p>0)的焦点F为椭圆N:) +上=1的右焦 +5 点，且N的左、右顶点分别为C,D. (1)求M的方程； (2)求以C℉为直径的圆的标准方程： (3)设过点D且倾斜角为135的直线1与M交于A,B两点，求AB. 60.(24-25高二下.贵州遵义·期末)己知抛物线C:y2=4x,点F为抛物线C的焦点. (1)若点M(m,4)在抛物线C上，求MF: (2)过点(2,0)的直线1与抛物线C相交于A、B两点，0为坐标原点，若A0B的面积为4√5，求直线1的方 程 61.（24-25高二下山西·期末)已知抛物线C,:y2=2px(p>0)的焦点为F,D(2,d)是C上一点，且 3圆C名+Q>h>0的宏、有顶点分别为A,B,右焦五 E12 是C,上一点 (1)求G,C,的方程； (2)已知R为C,上的一点（异于A,B两点），直线AR,BR分别与直线x=4相交于P,Q两点，求PQ的 最小值； (3)已知直线l:x=my+t(m≠0)与C,交于M,N两点，直线FM和FN的斜率分别为k,k,且k+k2=0, 证明：直线1过定点，并求出该定点的坐标 10/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 62.(24-25高二下湖南长沙.期末)已知动点P到点(0,1)的距离比它到直线y+2=0的距离小1，记动点P 的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程. (2)直线1与马分别与轨迹E交于点A,B和点C,D(AB与DC同向)，且l川2，线段AC与BD交于点H,线 段AB与CD的中点分别为M,N. (i)求证：M,H,N三点共线； (i)若HM=1,HN=2,求四边形ABCD的面积. 题型九抛物线焦点弦的性质（共6小题） 多选题 63.（24-25高二上贵州毕节期末)已知点O为坐标原点，抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F且斜率 为1的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列选项正确的是() A.AB=8 B.线段AB的中点到x轴的距离为3 11 C.0A⊥0B D.M丽+丽 64.(24-25高二下.重庆期末)已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线与抛物线交于Ax,),B(x2,y2 两点，A在第一象限，抛物线的准线与x轴交于点P,则() A.xX2=1 B.AB=6时，AF=2BF C.以AB为直径的圆与准线相切 D. 1+1=0 65.(2025山西三模)已知抛物线M:y2=4x,焦点为F,过F的直线交M于点A,B,其中A(x,,)在 第一象限，B(x2,y2)在第四象限，O为坐标原点，连接BO交抛物线的准线于点C,则下列说法正确的是() 1 A.AB的最小值是4 C.直线AC平行于x轴 D.ABC的面积的最大值为165 9 66.(2025全国一卷高考真题)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点， 过A作直线&x=的垂线，垂足为D,过F且与直线4B美直的直线交1于点E,则《) A.AD=AF B.AE =ABI C.AB26 D.AE BE 218 11/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 67.(24-25高二下广东深圳期末)设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的直线m交C于A、B,过F且 垂直于m的直线交1：x=-?于E,过点A作1的垂线，垂足为D,过点B作1的垂线，垂足为P,则正确的 2 结论是() A.DE=PE B.AE =AB C.存在直线m,使得AEBE=18 D.对任意直线m, 68.(24-25高二下·云南曲靖·期末)过抛物线C:y2=8x焦点F的直线1交抛物线C于A,B两点，自A,B 两点向准线1作垂线，垂足分别为A,B,，则下列说法正确的是() A.AB的最小值为82 B.以AB为直径的圆与直线x=-2相切 C.FA⊥FB, D,若AF=3BF,则k,=±5 题型十轨迹方程（共6小题） 69.(2425商二上重庆九2技期未)已知双情线C:号若-1(0>0,6>0)的实辅长为2，点 P(0,1到双曲线C的渐近线的距离为 5 (1)求双曲线C的方程； (2)过点P(0,1)的动直线I交双曲线C于A、B两点，设线段AB的中点为M,求点M的轨迹方程. 70.(24-25高二下·贵州毕节·期末)己知点F(1,0),动点M到直线1：x=4的距离等于2MF,记动点M的 轨迹为C. (1)求C的方程； (2)过点F的直线与C交于AB两点，在x轴上是否存在定点N,使得NA.NB为定值？若存在，求出点N的 坐标；若不存在，说明理由. 71.(24-25高二下.贵州安顺期末)已知平面内一动点P(x,y)到点F(1,0)的距离与它到直线x=4的距离之 比为)，过点F的直线1与动点P的轨迹C相交于AB两点. (1)求动点P的轨迹C的方程. 12/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)是否存在直线1，使得A0B的面积为√？若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由. 72.（24-25高二上·贵州六盘水期末)己知直线l:y=k（x-1)与l2:y=k,x+1相交于点M,且 k+k2=2 (1)求点M的轨迹C的方程； (2)若直线1与C交于A,B两点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O. (i)证明：直线1与圆x2+y2=1相切： (i)求△0AB面积的最小值： 及.（2425商二下河商升封期未)已灯，5分别为额C:号+若=a>b>0的左、右焦点，点A在C 上，A套直于铺，且4-- (1)求C的方程； (2)若B为椭圆C的右顶点，过(2，)的直线与椭圆交于不同的两点M(x,),N(x2,y2),且x>x2· (i)求证：直线BM与直线BN的斜率之和为定值； (i)过M与x轴垂直的直线交直线BN于点H,求MH中点的轨迹方程. 74.(24-25高二下.重庆期末)在平面直角坐标系x0y中，从⊙0：x2+y2=4上任取一点A向x轴作垂线段 AB,B为垂足.当点A在O0上运动时，线段AB的中点P的轨迹为曲线C.(当A为x轴上的点时，规定A与 P重合) (1)求C的方程： (2)若P在第四象限，点A,(2,0),B,(0,1,直线B,P交x轴于点D,若△OB,D与△A,PD的面积相等，求点 P的坐标； )已知Q,R两点在曲线C上，O,Q,R三点不共线，且直线OQ,OR均与以P为圆心、 25为半径的 圆相切.若Q在x轴上的射影为M,R关于直线y=x的对称点在y轴上的射影为N,求证：线段MW的中点 在定圆上 题型十一定点定值定直线（共13小题） 5.《2425商二下云南浴期未)已知双线C:-芳=1>0)的左顶点为M,离心率为3，么B是 C上的两点， (1)求C的标准方程： 13/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2)若线段AB的中点为7)： 18 求直线AB的方程； (3)若MA.MB=0(M不在直线AB上)，证明：直线AB过定点. 76.(24-25高二下安徽宣城期末)已知椭圆×+y 导+发=口>b>0的离心率为，4，B分别为精圆的左， 2 右顶点，C为椭圆的上顶点，且CACB=-3 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点E(1,0)作斜率不为0的直线交椭圆于M,N两点，直线MA与NB相交于点P. (i)证明：点P在定直线上： (i)求∠APB的最大值， 刀。(2425高=下江苏南京月考)已知动点M到点0引的距离比它到直线y+3=0的距离小}，记动 点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程。 (2)已知直线1：y=kx+3与轨迹C交于A,B两点，以A,B为切点作两条切线，分别为4，马，且4，☑相交 于点P.若点P在直线y=-x+3上，求k的值 78.（25-26商二上潮北襄用阶段检测)已知双曲线C:-若=1川b>0)的左顶点为M,离心率为3， A,B是C上的两点. (1)求C的标准方程： (2)若MA.MB=0(M不在直线AB上)，证明：直线AB过定点， 79.(24-25高二下上海期未)已知椭圆M：吉+方1(a>6>0)的焦距为25，上、下顶点分别为4 x y 、B,点P(0,2)关于直线y=-x的对称点在椭圆M上，过点P的直线1与椭圆M相交于两个不同的点C、 D B (1)求椭圆M的方程； 14/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求0C.OD的取值范围； 3)当AD与BC相交于点Q时，试问点Q的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值：若否，请说明理由. ,过E 80.(2425商=下湖南阳期末)已知椭圆：E:兰+茶=-1a>b>0)的长#长为4，离心率e=月 的右焦点F且不与y轴垂直的直线与椭圆E相交于A,B两点， (1)求E的标准方程； (2)若点P(4,O),设直线PA,PB的斜率分别为k,k2,求证：k1+k2=0; (3)若点C,D分别为E的左、右顶点，直线AC与BD的交点为Q,求点Q的轨迹方程. 81.(24-25高二下甘肃白银期末)已知椭圆：。+二-1，过椭圆的左焦点A的直线1与椭圆交于M, 32 N两点(M点在N点的上方)且1与y轴交于点E (1)若直线1的斜率为√2，求N点的坐标 (2)设EM=2AM,EN=μAN.求证：入+u为定值，并求出该值 )若椭圆E的右焦点为8，。MN8内切圆的半径为；，求直线的方程 82.(24-25高二下-广东广州期末)已知椭圆C:+ 21(a>b>0)的离心率为2，且过点A(2, 点A处C的切线为4. (1)求C的方程； (2)求直线1的方程； (3)直线Z过点A,且2⊥4，点M,N在C上，且AM⊥AN,问：直线马与MN的交点是否为定点？若是， 求出定点的坐标；若不是，说明理由 83.（2425有二下西桂林期末)已知椭圆C:三+是=a>6>0的右焦度为F10,右、右顶点分别 为A,B,且AF=3FB. (1)求C的方程； (2)设过点F的直线1与C交于P,0两点（不与A,B两点重合）· (i)若△APQ的面积为√15，求I的方程； (i)若直线AP与直线BQ交于点T,证明：T在一条定直线上 84.(24-25高二下·重庆期末)己知曲线C到两个定点(-1,0)和1,0)的距离和为定值4. (1)求C的方程： 15/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)过点F(1,0)的直线1（斜率存在且不为0）与C交于M,N两点，N关于x轴的对称点为P.已知Q(4,0). (i)证明：P、M、Q三点共线； (i)求MQ.NO的取值范围. 85.（2425商二下碳西汉中调末)已知小、B分别是瓶C:号+芳-口>6>0的左、右顶点，C的离 心率为3 ,且AB=4. (1)求椭圆C的方程； (2)己知D是线段AB上一点（异于A、B),过点D的直线I与椭圆C交于M、N两点（异于A、B),直 线BM、BN分别交直线x=3于E、F两点. (0)若MN的中点为22 11 求1的方程： ()是否存在点D,使得M正NF为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 86.(24-25高二下.安微滁州·期末)在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,垂足为D.点 Q在线段PD上，且满足D0=5DP,当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程. (2)过点F(1,0)的直线1交曲线C于A,B两点，过点F与1垂直的直线交曲线C于D,E两点，其中AD在x轴 上方，M,N分别为AB,DE的中点. (i)证明：直线MW过定点； (iⅱ)求aFMN面积的最大值. 87.(24-25高二上辽宁·期末)已知F(-2,0),F(2,0),动点P满足PF-PF=2W2, (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设在P点处曲线C的切线为：y=k+m,若M，N为I上两点，且满足OF.MF=0,PF.NF=0, ()证明：N点在定直线上，并求出定直线方程； (ii)是否存在点P使tanZPNF·tanZPFM=2成立，若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由. 题型十二最值与范围问题（共7小题） 88。(24-25高二下江苏南京期末)已知椭圆C:×+ 2+2I@>b>0的离心率e=3,直线x+V3y-1=0 被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√. (1)求椭圆C的方程； 16/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)过点M(3,0的直线1交椭圆于A,B两个不同的点，求MA.MB的取值范围。 89.(24-25高二下贵州铜仁期末)已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点M(2V5,3,焦点为F. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点D(0,)且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，若F在以AB为直径的圆内，求实数t的取值范 围 0,24-25高二下河南浪阳期未)已知椭圆E仁+a>6>0的离心率为y3 ,上顶点为M(0,1. 2 (1)求E的方程： (2)过点N(-2,1)的直线1与E交于AB两点，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线MA,MB分别与x轴 交于点C,D. (i)证明：NC=ND; (ⅱ)求四边形ACBD面积的最大值 2425下碳西西交期末)已知椭假c仁+a>6>0)的离心率为5，且长轴长入 (1)求椭圆C的方程： (2过椭圆C左焦点F的直线1与椭圆C交于A,B两点，求三角形0AB面积的最大值 92.（2425商二下湖南期未)已角圆C号+若-a>6>0的上、下顶点分别为4，.以B为吉名 的圆E过椭圆C的两个焦点F,E,且△FAF的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)过点A的直线1分别交圆E、椭圆C于M,N两点（异于点A),若直线1的斜率存在. kaM为定值： （(i)证明：kN （i)求M0的最大值，并求取得最大值时直线1的方程。 BM 2425高下严东期已知椭圆℃。+(a>6>0)的任意两条相互垂直的切线交点的翻 迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为「：x2+y2=a2+b2.已知椭圆C的两个焦点分别为 R(-5.0,5.0,0为坐标原点，点（一5，在椭题C上. (1)求C的标准方程： (2)己知直线1与C交于A,B两点，且OA⊥OB,求△OAB面积的取值范围： 17/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)过C的蒙日圆上一点M,作C的一条切线，与蒙日圆交于另一点N,若直线OM,ON的斜率存在，设 OM与ON的斜率分别为kow,koN,证明：koM 'koN为定值. 94.（24-25高=下四川泸州：期末)设椭圆C的两个焦点坐标分别为-5.05,0，且过点5， 24 (1)求C的方程； 2已知40 过点T(3,0的直线与C交于G,S两点，直线SA与C交于点H(异于S)· ①证明：AG=AH: Sg的最大值， ②若点M是aSGH的外心，求MT 18/18