专题12 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布（4大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦概率分布核心模块，以题型分层覆盖两点分布、二项分布（重点）、超几何分布、正态分布（重点），通过各地期末真题构建从基础计算到实际应用的知识网络，培养数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两点分布|8小题|基础概率、期望计算|离散型分布入门，为二项分布铺垫| |二项分布|15小题（重点）|期望方差、最值、应用大题（射击/打卡）|n次独立重复试验模型，连接两点分布与实际场景| |超几何分布|8小题|不放回抽样概率、分布列|对比二项分布，体现抽样方式差异| |正态分布|14小题（重点）|3σ原则、图像特征、应用（成绩分析）|连续型分布核心，培养数据分析与推理能力|

专题12 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 题型1 两点分布 题型3 超几何分布及其应用 题型2 二项分布及其应用（重点） 题型4 正态分布及其应用（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两点分布（共8小题） 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照两点分布的性质计算. 【详解】依题意可得，解得. 故选：C 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 【答案】0.6/ 【分析】根据两点分布的性质可求得，进而由得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，且，则， 若，可知，则. 故答案为：0.6. 3．（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合题目条件得到方程，求出答案. 【详解】且，解得. 故选：D 4．（24-25高二下·广东揭阳·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与是对立事件可列方程求出、，再根据离散型随机变量的均值公式求出，最后利用公式进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以. 故选：B 5．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. 7．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 8．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A. 题型二 二项分布及其应用（共15小题） 9．（24-25高二下·天津·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（   ） A．39 B．65 C．50 D．63 【答案】D 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解. 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， . 故选：D 10．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 11．（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】，，， 若是唯一的最大值，则 所以 解得． 因为，， ，，． ． 故选：A． 12．（24-25高二下·河南周口·期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 【答案】/ 【分析】由题设，应用独立重复试验的概率求法求概率即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13．（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 【答案】9 【分析】题给条件符合n次独立重复试验的条件，即服从参数为n和的二项分布，根据二项分布公式计算即可. 【详解】已知，则 ，， 又，， 所以是9的倍数，的最小值为9. 故答案为：9. 14．（24-25高二下·山东泰安·期末）若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是________. 【答案】4 【分析】由题意得，然后根据解出即可. 【详解】由题意， 当取最大值时，， 即，其中， 化简得，解得， 所以取最大值时，. 故答案为：4. 15．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名工人进行维修． (1)若发生故障的车床数为，求的分布列； (2)车间至少安排多少名工人，才能保证每台机床在任何时刻同时出现故障时能及时维修的概率不低于？ (3)已知每名工人每月的工资为1万元，且1名工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该车间现有1名工人，求该车间每月获利的均值． 【答案】(1)答案见解析 (2)2名 (3)万元 【分析】（1）依据独立重复试验及二项分布求得概率，进而得到分布列； （2）利用（1）得到分别有名工人时机床同时出故障能及时维修的概率，从而得到要使得该概率不低于，需要的工人人数； （3）利用（1）得到有名工人时不发生故障或发生故障能及时维修的机床数，即得到产生的利润的分布列，从而得到每月获得利润的均值. 【详解】（1）可能取，且 所以，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）设车间有名工人，能同时维修机床的台数为台， 故当机床发生故障，需要维修的台数时，机床均能正常工作， 其概率如下表所示， 0 1 2 3 1 又， 所以至少要2名工人，才能保证所有机床不发生故障或发生故障后能及时维修的概率不少于. （3）设该车间每月能获利Y万元，则Y的取值可能为14，9，4， ， ，， 所以Y的分布列为： 14 9 4 则（万元） 故该车间每月获利的均值为万元． 16．（24-25高二下·重庆·期末）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)万元 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 17．（24-25高二下·河北沧州·期末）某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90分（含90分）以上算及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合放在一起，则及格率为88％． (1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比； (2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率； (3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）设甲学校参加考试的人数为m，乙学校参加考试的人数为n，根据及格率得到方程，求出； （2）设出事件，利用条件概率求解； （3）得到，进而利用二项分布的相关知识求出相应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）设甲学校参加考试的人数为m，因为及格率为80％，所以甲学校及格的人数为， 设乙学校参加考试的人数为n，因为及格率为90％，所以乙学校及格的人数为， 当两所学校参加考试的学生混合在一起后，总人数为，及格率为88％， 所以甲、乙两所学校及格人数为， 根据题意，， 化简得，即， 所以甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比为． （2）设事件“任取一份成绩，该成绩来自乙学校”， 事件“任取一份成绩，该成绩为及格”， 由（1）知，，％，％， 所以所求概率． （3）由（1）知，从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取一份成绩，该成绩来自甲学校的概率是， 根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望． 18．（24-25高二下·湖南郴州·期末）在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 【答案】(1)0.30 (2)0.68 (3)8次． 【分析】（1）由条件可得，记事件“小张恰好击中8次目标”，结合二项分布概率公式求结论； （2）记事件“小张至少击中8次目标”，结合二项分布概率公式求； （3）设击中k次概率最大，列不等式组求其解即可. 【详解】（1）记击中目标的次数为，则， 则，其中，1，2，…，10 记事件“小张恰好击中8次目标”，则 （2）记事件“小张至少击中8次目标”， 则 （3）设击中k次概率最大，则 ，即 化简得，解得， 小张在10次射击中，最有可能击中目标8次． 19．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 20．（24-25高二下·贵州安顺·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束． (1)若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率； (2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由； (3)设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． 【答案】(1) (2)采用五局三胜制甲获胜的概率更大，理由见解析 (3)10 【分析】（1）根据独立事件的概率计算公式进行计算. （2）根据题意，分别求出采用五局三胜制和三局两胜制甲最终获胜的概率，列式运算得解. （3）根据二项分布得，，记，分析的单调性，可得最大时，对应的值. 【详解】（1）设事件为“比赛采用三局两胜制乙获胜”． 因为每局比赛乙获胜的概率为， 所以． （2）在五局三胜制中甲获胜的概率． 在三局两胜制中甲获胜的概率． ． 当时，，故采用五局三胜制甲获胜的概率更大． （3）根据二项分布得，可知． 令，则． 令，解得，当时，可得； 令，解得，当时，可得． 故当时，最大，即时，的值最大，所以的估计值为10． 21．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，； (2),理由见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 22．（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意知，的可能取值有，，，，根据超几何分布列列出分布列计算期望即可； （2）（i）由题知甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，然后计算取胜的概率； （ii）由，令，，然后求最值即可. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 23．（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，； (2)，理由见解析. 【分析】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 题型三 超几何分布及其应用（共8小题） 24．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 25．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 26．（24-25高二下·天津和平·期末）现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. (1)求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； (2)设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式结合对立事件概率公式求解； （2）应用超几何分布写出概率及分布列，再应用公式求解数学期望. 【详解】（1）由题意可知，选出的4名同学全是男生的概率为， 所以选出的4名同学中至少有1名女生的概率为； （2）根据题意，的可能取值为，则 ， . 所以的分布列为： 1 2 3 4 . 27．（24-25高二下·北京丰台·期末）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”． (1)从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率； (2)现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用古典概率求解即可； （2）利用超几何分布和期望的公式求解即可. 【详解】（1）设事件为 “从参赛作品中随机选取1部，恰好选到入围佳作”， 则． （2）由题意知，的可能取值为0，1， 的分布列如下表所示： 0 1 的均值为． 28．（24-25高二下·四川成都·月考）甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. (1)求m的值； (2)若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为1. 【分析】（1）首先求出掷一枚骰子，点数为1或2的概率和点数为3、4、5、6的概率，然后根据掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是这一条件求出的值. （2）首先确定的可能取值，然后针对每个取值求对应的概率，然后列出分布列，最后利用数学期望公式求出期望值. 【详解】（1）由题意可知，掷一枚骰子，点数为1或2的概率为，点数为3、4、5、6的概率为. 由于掷一枚骰子后摸出的球都是红球的概率是， 则，化简得， 解得或者（舍去）. 所以. （2）由题意可知，随机变量可能取值为0，1，2. 则； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 29．（24-25高二下·江苏连云港·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列 ； （2）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列. 【详解】（1）若有放回摸球，每次摸到红球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的， 因此. 所以. 即， ，. 则的分布列为： 0 1 2 （2）若不放回摸球，则服从超几何分布， 故， ， ，. 则的分布列： 0 1 2 30．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队，利用条件概率公式可求得的值； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）记事件一次抽取的个团队类型相同，记事件一次抽取的个团队都是跟团游团队， 由条件概率公式可得. （2）由题意知，随机变量的所有可能取值为、、、， ，，， . 故的分布列为 故. 31．（24-25高二下·河北承德·期末）作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． (1)若，求的概率； (2)当为何值时，的概率最大？ 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）利用超几何分布概率公式求解即可； （2）由题意先把的表达式写出来，利用函数以及不等式分析求解即可. 【详解】（1）记“抽取的产品中次品数不超过1”为事件， 则 ， 即的概率为． （2）由题可知， 设， 则． 令， 得， 解得． 故当时，， 当时，， 又，故当时，取得最大值． 所以当时，的概率最大． 题型四 正态分布及其应用（共14小题） 32．（24-25高二下·山东菏泽·期末）两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【详解】由正态分布和的密度函数图象， 的对称轴在的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的数据的集中程度相比更加分散， 根据方差的意义可得， 故选：C . 33．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 34．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】由题意可知，随机变量的密度曲线关于对称， ，所以. 故选：A. 35．（24-25高二下·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 36．（24-25高二下·广东广州·期末）已知连续型随机变量，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合函数的单调性，和必过的点，再通过函数的中心对称性进行证明，即可作出判断. 【详解】由连续型随机变量，根据正态分布密度函数曲线关于直线对称， 但函数，即表示正态分布密度函数与及轴围成的面积， 显然有，且函数是递增函数，故AC错误； 由于，可猜想的图象关于点对称， 再进行证明，即证， 所以的图象关于点对称，故B正确，D错误； 故选：B． 37．（24-25高二下·吉林长春·期末）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 【答案】D 【分析】应用正态分布性质及对应概率计算求解. 【详解】由题设，若X表示数学考试成绩，则，而， 所以，故参加本次联考的总人数约为． 故选:D． 38．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 多选题 39．（24-25高二下·广东广州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【答案】BD 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以A错误； 对于B中，根据正态分布密度曲线图像，可得时， 随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以， 所以B正确； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像， 可得， ， 即，所以C错误； 对于D中，因为， 所以， 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间，所以D正确； 故选：BD. 40．（24-25高二下·四川绵阳·期末）体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态曲线的特点判断AB，根据正态曲线的对称性判断CD. 【详解】由可知，故A正确； 因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 由可知，， 故C不正确， 由可知， 所以，故D正确． 故选：BC 41．（24-25高二下·云南曲靖·期末）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 42．（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 43．（24-25高二下·河南·阶段检测）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）由正态分布概念可确定，； （2）注意到，由题利用可得答案； （3）由，结合题意可得答案. 【详解】（1）, 则，； （2）， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； （3）， 因，， 则， ， 则. 44．（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)少于40件 【分析】 （1）由分层抽样中样本均值与总体均值关系求；设甲的均值，方差，乙的均值，方差，根据方差公式及已知有，即可得； （2）根据正态分布的对称性及特殊区间概率估计尺寸小于的零件数. 【详解】（1）由题设，，， 所以； 由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （2）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件少于40件. 45．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. $专题12 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 题型1 两点分布 题型3 超几何分布及其应用 题型2 二项分布及其应用（重点） 题型4 正态分布及其应用（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两点分布（共8小题） 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 3．（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东揭阳·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 题型二 二项分布及其应用（共15小题） 9．（24-25高二下·天津·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（   ） A．39 B．65 C．50 D．63 10．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 11．（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 12．（24-25高二下·河南周口·期末）某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 13．（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取次，用表示抽到的一等品的件数，若，，则满足条件的的最小值为_____. 14．（24-25高二下·山东泰安·期末）若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是________. 15．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名工人进行维修． (1)若发生故障的车床数为，求的分布列； (2)车间至少安排多少名工人，才能保证每台机床在任何时刻同时出现故障时能及时维修的概率不低于？ (3)已知每名工人每月的工资为1万元，且1名工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该车间现有1名工人，求该车间每月获利的均值． 16．（24-25高二下·重庆·期末）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 17．（24-25高二下·河北沧州·期末）某地区进行了一次数学联考，现分析成绩，我们假定90分（含90分）以上算及格，对甲、乙两所学校进行统计，甲学校及格率为80％，乙学校及格率为90％．若将两所学校的学生成绩混合放在一起，则及格率为88％． (1)求甲、乙两所学校参加这次考试的学生人数比； (2)从甲、乙两所学校及格的学生成绩中抽取一份，求该份成绩来自乙学校的概率； (3)从甲、乙两所学校的学生成绩中随机抽取3份，用频率估计概率，记这3份成绩来自甲学校的份数为X，求X的分布列和数学期望． 18．（24-25高二下·湖南郴州·期末）在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行10次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分．根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为．小张在这10次射击考核中，求： (1)恰好有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (2)至少有8次击中目标的概率是多少？（精确到0.01） (3)最有可能击中目标多少次？ （参考数据：） 19．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 20．（24-25高二下·贵州安顺·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束． (1)若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率； (2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由； (3)设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． 21．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 22．（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 23．（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 题型三 超几何分布及其应用（共8小题） 24．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 26．（24-25高二下·天津和平·期末）现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. (1)求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； (2)设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 27．（24-25高二下·北京丰台·期末）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”． (1)从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率； (2)现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望． 28．（24-25高二下·四川成都·月考）甲、乙两个箱子中，各装有6个球，其中甲箱中有3个红球和3个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后，摸出的球都是红球的概率是. (1)求m的值； (2)若不掷骰子，直接从甲箱摸出2个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 29．（24-25高二下·江苏连云港·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 30．（24-25高二下·河北保定·期末）昆明是全国十大旅游热点城市，有石林世界地质公园、滇池、安宁温泉、九乡、阳宗海、轿子雪山等国家级和省级著名风景区，还有世界园艺博览园和云南民族村等多处重点风景名胜，多条国家级旅游线路，形成以昆明为中心，辐射全省，连接东南亚，集旅游、观光、度假、娱乐为一体的旅游体系.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从个跟团游团队和个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查. (1)若一次抽取个团队，在抽取的个团队是同类型团队的条件下，求这个团队全是跟团游团队的概率； (2)若一次抽取个团队，设随机变量为这个团队中私家游团队的个数，求的分布列和数学期望. 31．（24-25高二下·河北承德·期末）作为低空经济的主导产业，我国无人机产业近年来呈现出高速发展的态势．某无人机生产厂家的某批次的20件产品中含有件次品，从中一次性随机抽取10件，设这10件产品中的次品数为． (1)若，求的概率； (2)当为何值时，的概率最大？ 题型四 正态分布及其应用（共14小题） 32．（24-25高二下·山东菏泽·期末）两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 33．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 34．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高二下·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 36．（24-25高二下·广东广州·期末）已知连续型随机变量，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 37．（24-25高二下·吉林长春·期末）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 38．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 多选题 39．（24-25高二下·广东广州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 40．（24-25高二下·四川绵阳·期末）体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 41．（24-25高二下·云南曲靖·期末）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 42．（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 43．（24-25高二下·河南·阶段检测）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 44．（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 45．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. $