专题11 离散型随机变量分布列及数字特征（5大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦离散型随机变量分布列及数字特征，通过5类题型系统覆盖分布列构建、期望方差计算及性质应用，强化数学建模与数据分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|---------|---------|---------| |分布列及期望|5题|结合独立事件、竞赛/购物情境|从概率计算到分布列构建，再到期望求解的完整逻辑链| |分布列性质|8题|选择/多选题，含参数求解|分布列规范性与期望公式的逆向应用| |均值应用|7题|方案优化、抽奖决策问题|以期望为核心的实际问题建模与决策分析| |方差及性质|6题|方差计算与性质应用|方差定义、性质及与期望的关联推导| |求方差|6题|含放回/不放回抽样情境|从分布列构建到方差计算的综合应用|

专题11 离散型随机变量分布列及数字特征 题型1 离散型随机变量分布列及数学期望（常考点） 题型4 离散型随机变量的方差及其性质 题型2 离散型随机变量分布列及其性质（常考点） 题型5 求离散型随机变量的方差（重点） 题型3 离散型随机变量均值的应用（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 离散型随机变量分布列及数学期望（共5小题） 1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）某班级有甲、乙两名同学参加数学竞赛，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.5，且两人是否获奖相互独立． (1)求两人都获奖的概率； (2)设为两人中获奖的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式列式计算即得. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）两人都获奖概率． （2）依题意，的可能值为：0，1，2， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 0.2 0.5 0.3 期望． 2．（24-25高二下·河北石家庄·期末）某班组织知识竞赛，分抢答和必答环节.抢答环节有一道题目.在抢答环节中，甲乙两人每人抢到题目的机会相等，且题目必被一名同学抢到.抢到题目且回答正确者得3分，同时没抢到者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，同时对方得3分.必答环节每人一题，答对得5分，答错得0分.甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，两个环节相互独立，两人回答问题是否答对互不影响. (1)记抢答环节甲同学累计得分为，求的分布列； (2)记两个环节结束甲同学累计得分为，求. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由题意，的所有取值为，进而求得所有取值对应的概率即可求解； （2）由题意，的所有取值为，进而求得所有取值对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】（1）由题意，的所有取值为， 则， ， 所以的分布列为： 0 3 （2）由题意，的所有取值为， 由（1）知，抢答环节甲同学累计得分为0的概率为，得分为3的概率为， 则，， ，， 则. 3．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意分析出甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，即可求解； （2）根据题意可取，分别计算出概率，即可求解分布列及数学期望． 【详解】（1）甲队以获胜，已知甲队在第一场比赛中获胜，则甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，则甲队以获胜的概率为． （2）根据题意可取， 当时，即甲再连胜2场，所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 所以的分布列为： 3 4 5 所以数学期望． 4．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）结合组合数的应用，利用古典概型概率公式求解即可. （2）先求出随机变量X的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，最后代入期望公式求解即可. 【详解】（1）记小亦选择Y个省外景点，则， 即小亦省内、省外景点都选择的概率为． （2）X的可能取值为4000，8000，12000， 则， 所以X的分布列如下表所示： X 4000 8000 12000 P 所以． 5．（24-25高二下·河北邯郸·期末）甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件， 由题设可知，所以. （2）由题设可知，，，，， 又，所以， 故. （3）根据题意，， 分析可得，1，2，3， ，， ，， 可得的分布列为 0 1 2 3 0.08 0.36 0.44 0.12 数学期望. 题型二 离散型随机变量分布列及其性质（共8小题） 6．（24-25高二下·北京房山·期末）随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解. 【详解】由题意，故， 而，从而. 故选：A. 7．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 8．（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求得，再由方差公式求方差即可. 【详解】由，得． 所以． 故选：D 9．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【详解】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A 多选题 10．（24-25高二下·广东广州·期末）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质求得，再根据期望、方差的计算公式以及性质逐一验算即可求解. 【详解】对于AB，由题意，所以， 所以，故AB都正确， 对于CD，， ，故C正确，D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】AB，根据概率之和为1得到，且，进而判断AB选项，C，根据期望公式计算即可；D选项，利用方差的性质计算得到，故D错误. 【详解】AB选项，由题意，且， 而，大小不确定，故A正确，B错误； C选项，，故C正确； D选项，由， 所以， 与的大小有关，不一定小于1，故D错误； 故选：AC 12．（24-25高二下·河北保定·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用分布列的性质即可求进而判断A，计算数学期望即可判断B，利用数学期望的性质即可判断C，计算方差即可判断D. 【详解】由题意有，故A正确； 由，故B错误； ，故C正确； 由，故D错误； 故选：AC. 13．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表： 0 2 3 则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C．当时，取最大值 D． 【答案】BC 【分析】根据分布列的性质，得到，可判定A错误；求得期望，可判定B正确；结合基本不等式，可判定C正确；由方差的性质得到，结合二次函数的性质，可得判定D错误. 【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，无法确定与之间的大小关系，所以A错误； 对于B中，因为，所以B正确； 对于C中，因为均为正数，所以，即， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由方差的性质，可得， 因为，可得，所以，所以D错误. 故选：BC. 题型三 离散型随机变量均值的应用（共7小题） 14．（24-25高二上·江西南昌·期末）为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】(1) (2)丙选择方案一更划算 【分析】（1）先求出选择方案一时每次摸出两个红球的概率，即为每人享受6折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解； （2）分别求出两种方案下丙需要支付的金额的分布列，进而得数学期望，通过比较两种方案下的数学期望，即可判断哪种方案更划算. 【详解】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 15．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 【答案】(1)①均值为，方差为；② (2)2 【分析】（1）①由题可得抽得的面值可能为15元，10元，5元，分别计算其概率，据此可得期望与相应方差；②分别计算抽取的数的情况下，抽得15元的概率，相加可得答案； （2）设5张代金券面值为1元，2元，3元，4元，5元，由题可得，，分别计算，1，2，3，4情况下，抽得5元的概率，比较后可得答案. 【详解】（1）①设最后抽得代金券的面值为，则可能取值为5,10,15. 先抽取的代金券面值为5的概率为，此种情况下最后抽得10元或15元的概率均为； 先抽取的代金券面值为10的概率为，此种情况下最后抽得15元的概率为； 先抽取的代金券面值为15的概率为，此种情况下最后抽得10元或5元的概率均为. 综上可得，，，. 则抽得代金券的面值的均值为. 方差. ②抽取的数的概率为，此种情况下抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此种情况下由①分析可得抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此时先抽取的两张代金券面值为的概率为，此种情况下抽得15的概率为； 先抽取的两张代金券面值中含有15的概率为，此种情况下抽得15的概率为0. 综上可得：抽得15元代金券的概率为. （2）不妨设张代金券面值为元，元，元，元，元， 由题可得， 当抽取的数，则抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中元，概率为， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中元， 对应的概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有5在4前面时，才能抽中元， 总情况有种，5在4前面和5在4后面的情况相同，均为12种，对应概率为； 参考面值为时，概率为， 此时因剩余代金券中只有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时抽到的概率为； 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，剩余张代金券的全排列数为， 第张抽到的情况有种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值中有，但是没有时，情况有种， 又总情况有种，则概率为， 此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有时，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，因剩余张代金券排列方式有种，则对应概率为； 参考面值中有，但没有，有种情况， 又总情况有种，概率为，此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值有种情况， 当且仅当参考面值为时，可抽到，对应概率为； 综上，抽得最高面值的代金券的最大概率为， 则当时，抽得最高面值的代金券的概率最大. 16．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 【答案】(1) (2)选择第二种抽奖方案，理由见详解 【分析】（1）根据题意结合独立重复性实验的概率公式运算求解； （2）根据题意结合二项分布以及期望的性质分别求两种方案的期望值，比较大小分析判断. 【详解】（1）若选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 每一次摸到白球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，所以. （2）因为每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为， 设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，则，可得， 若按方案一抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 若按方案二抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 因为，所以应选择第二种抽奖方案. 17．（24-25高二下·福建厦门·期末）某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． (1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； (2)已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 【答案】(1) (2)若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件 【分析】（1）由全概率公式即可求解； （2）算出，根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）设从待装箱的产品中随机抽取一件，其为甲、乙两条生产线的产品分别记为事件A和事件B，记其为一等品的为事件C， 依题意可得，且互斥， 故， 所以抽取到的产品为一等品的概率． （2）由（1）从混合后的产品中随机抽取一件，抽到一等品的概率为， 设每箱中3件产品中一等品的数量为随机变量，则， ， 设每箱产品销售额为随机变量，一等品定价为元/件， 则， 所以， 依题意，，解得， 所以若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件． 18．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某学校举行了一场知识竞赛，有两类题型，每道类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为、，两道小题全对可得50分，否则得0分.类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题. (1)若，对于方案二，试探究取何值时，满分的概率最高； (2)若，求选择方案一学生得分的分布列； (3)若，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题. 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3)应选择方案二，理由见解析 【分析】（1）表达出选择方案二满分概率为，由基本不等式求出最值，得到答案； （2）设选择方案一学生得分为，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）方法一：记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件，表达出，由可得，从而，得到答案； 方法二：若选择方案一，求出可能的取值和对应的概率，求出，若选择方案二，求出可能的取值和对应的概率，求出，相减得，由可得，从而，得到答案； 【详解】（1）记选择方案二学生的得分为， ， ，当且仅当时取等， 此时满分概率为； （2）在方案一中，记A类题得分为，B类题得分为，选择方案一学生得分为， ， ， 由题可知可能的取值为0、25、50、75、100， ， ， 的分布列为 Z 0 25 50 75 100 P （3）应选择方案二，理由如下： 方法一：记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件， 由可得，解得， ， 故， 其中， ， 所以 ， 所以，应选择方案二； 方法二：由可得，解得， 若选择方案一，学生得分可能的取值分别是0、25、50、75、100， ， ， ， 所以 ， 若选择方案二，学生得分可能的取值分别是0、50、100， 其中， ， 所以 ， 所以 ， 所以，应选择方案二. 19．（24-25高二下·海南海口·期末）高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． (1)若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； (2)假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 【答案】(1) (2)（i）；（ii）建议作答时选择2个或者3个选项 【分析】（1）按照古典概型公式计算； （2）（ⅰ）按照全概率公式计算；（ⅱ）分别按照选1个选项、选2个选项、选3个选项得分的所有可能结果，然后求出对应的概率，分别计算这3种情况的学期望进行比较即可. 【详解】（1）记“随机选择2个选项得6分”为事件A． 从4个选项中任选2个选项，样本空间共种等可能结果， 正确选项1种可能，所以，即随机选择2个选项得6分的概率为． （2）（ⅰ）记“四个选项中有i个选项符合题目要求”为事件， “选择1个选项时得0分”为事件B． 则有，， ，， ，即选择1个选项时得0分的概率为． （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下． 选1个选项时，得分X的可能取值为0，2，3， ，，， 所以得分期望， 选2个选项时，得分Y的可能取值为0，4，6， 同理可得，，， 所以得分期望为， 选3个选项时，得分Z的可能取值为0，6， 同理可得，， 所以得分期望为， ，建议作答时选择2个或者3个选项． 20．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． (1)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； (2)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)应选择诗词基础知识题库． 【分析】（1）（i）法1：应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；法2：利用对立事件的概率求法求概率；（ii）应用独立重复试验的概率求法求甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率，结合（i）及乘法公式求概率； （2）根据已知分别求出甲选择不同题库得分的期望，比较它们的大小，即可得结论. 【详解】（1）（i）方法1：若甲通过第一阶段，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为3或2， 甲通过第一阶段的概率为． 方法2：若甲第一阶段被淘汰，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为0或1， 甲第一阶段被淘汰的概率为． 甲通过第一阶段的概率为． （ii）若甲的比赛成绩为10分，则甲通过第一阶段并在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目， 由（i）可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率为， 又各次答题是否正确相互独立，则甲的比赛成绩为10分的概率为． （2）若甲第一阶段选择诗词基础知识题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 则，， ，， ． 若甲第一阶段选择诗词的鉴赏与解读题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 由题意可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲第一阶段被淘汰的概率为， ，， ，， ， ， 为使得甲最终得分的数学期望最大，甲第一阶段应选择诗词基础知识题库． 题型四 离散型随机变量的方差及其性质（共6小题） 21．（24-25高二下·福建·期中）已知随机变量满足，，.若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可. 【详解】∵，， ∴， ∵，，， ∴. 故选：B. 22．（24-25高二下·山东济南·期末）甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值. 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 23．（2026·广东茂名·二模）设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 【答案】B 【分析】由分布列性质建立的关系式，推导期望的一次函数单调性，利用方差简化公式推导方差的二次函数，结合二次函数单调性分析方差变化规律. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质得，可得， 结合，得. ， 代入，得， 因此，为关于的一次增函数，当增大时，增大. ， 代入、，得， 展开得， ， ， 是开口向下的二次函数，对称轴为，且， 因此，时单调递增，时单调递减，即增大时，先增大后减小. 24．（24-25高二上·吉林四平·月考）随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，然后由来求得正确答案. 【详解】首先，根据随机变量的概率分布性质，， 即，所以. 已知期望. 将代入期望公式可得： . 因为，所以. 然后求： . 同样将代入可得： . 已知，且，即. 用减去可得： . ，即. 又因为，两式相减得： ，即. 所以，则， 把变形为， 将和代入得：，则， 所以. 根据方差公式. 故选：D 25．（24-25高二下·广东揭阳·月考）某质地不均匀的正四面体骰子各面上分别有1，2，3，4的编号，随意抛掷该骰子，记该骰子落下后朝下的一面编号为.若数列为等差数列，且的期望，则的方差_______________. 【答案】 【分析】先根据题意设出数列的首项，公差，写出随机变量每一个取值下对应的事件的概率；再根据概率和为，，列出方程组求解和，得出；最后根据方差公式即可求解. 【详解】由题意可知的所有可能取值有：. 因为数列为等差数列， 所以设该数列的首项为，公差为， 则，，，. 根据概率和为，， 可得：，解得：. 所以，，，. 所以. 故答案为：. 26．（25-26高二下·浙江·期中）已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（   ） A．增大，增大 B．增大，减小 C．减小，增大 D．减小，减小 【答案】B 【详解】随机变量服从两点分布，其分布列为：， ， 当增大时，减小，因此增大， 两点分布的方差公式为，其中，故： ， 由对勾函数性质，当时，随增大而递增，因此分母增大，减小． 综上，增大，减小． 题型五 求离散型随机变量的方差（共6小题） 27．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 【答案】(1)分布列见解析 (2)乙班目测的数据更接近教科书的真实长度，理由见解析 【分析】（1）通过题干已知概率即可列出随机变量、的分布列； （2）先计算两个班的期望，可反应平均误差，如果期望一样，再计算方差比较大小即可. 【详解】（1）根据已知条件，的分布列是： 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的分布列是： 0 1 2 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 （2）直观观察的分布离散程度较大，所以乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 由（1）知，，， ，， 即要通过两个班数据的方差比较，说明哪个班更接近教科书的真实长度． 所以，， ， 则，故乙班的情况波动情况小， 所以，乙班目测的数据更接近教科书的真实长度． 28．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析；； 【分析】（1）先求出从个球中不放回抽取个球的所有情况数，再求出既抽到白球也抽到黑球的事件的情况数，进而求出既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）先确定积分的可能取值，再分别求出每个取值的概率，列出分布列，最后根据期望和方差的公式计算的期望和方差. 【详解】（1）既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）记抽到红球的次数为， ， 由题知，，， 的分布列为                                         ， . 29．（24-25高二下·山东淄博·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本. (1)设采用不放回摸球和有放回摸球得到的样本中红球的个数分别为，，求出的分布列以及，，，； (2)若从中不放回地依次取出3个球，设表示“第次取出的是红球”，分别求出和 【答案】(1)分布列见解析，，；，. (2)， 【分析】（1）对于不放回摸球，先判断其试验结果不独立，再求出对应事件的概率，进而列出分布列，利用期望公式求解期望，法一利用方差的定义式求解方差，法二利用方差的性质求解方程，对于放回摸球，先判断其试验结果相互独立，进而确定其服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解期望，利用二项分布的方差公式求解方差即可. （2）法一结合题意求出，再求出，最后求出，法二先利用排列数性质求出，，再结合排列数性质求解即可. 【详解】（1）由题意得对于不放回摸球，各次试验之间的结果不独立， 且的取值为，而， ，， ， 故分布列如下： 0 1 2 3 则由期望公式得， 法一：由方差的定义式得； 法二：由方差的性质得， 故， 对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.4，且每次试验之间的结果是独立的， 则，由期望公式得， 由方差公式得. （2）法一：采用不放回摸球，且表示前两次摸到红球的概率， 可得， 而，， 得到， 法二：由排列数性质得，， 我们采用不放回摸球，得到，故. 30．（24-25高二下·四川达州·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)均值为，方差为 【分析】（1）的可能取值为6,7,8,9,10，求出相应的概率，得到分布列； （2）的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，利用期望和方差公式进行求解. 【详解】（1）的可能取值为6,7,8,9,10， ，， ，， ， 题目数的分布列如下： 6 7 8 9 10 （2）的可能取值为0,1,2， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且没有正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且正确解答其中的1道， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题目，且这道题目没能正确解答， 故， ，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均正确解答， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题， 且这道题目正确解答， 或抽到的2道题均来自能正确解答的6道题目， 故， 所以该生答对的题目数的均值为， 方差为. 31．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 【答案】(1)分布列答案见解析，均值为 (2)甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定，理由见解析 【分析】（1）由题意可知乙同学答对问题的个数为的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）计算出甲、乙回答问题得分的期望和方差，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）乙同学答对问题的个数为，由题意可知随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （2）甲同学答对问题的个数为，则， 由二项分布的期望和方差公式得，， 甲回答问题得分为， 所以，甲得分的均值为， 方差为， 由（1）知，， 所以乙同学回答问题得分为， 所以乙得分的均值为， 方差为， 因为，， 所以，甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定. 32．（24-25高二下·天津·月考）某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据全概率公式可求出结果； （2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）根据方差公式计算可得. 【详解】（1）设事件为“乙在第一局中获得胜利”，设事件为“甲先发球”，事件为“乙先发球”，则， 由全概率公式可知： ； （2）依题意的可能取值为，，， 时，比赛的结果为：乙连胜两局，∴； 时，比赛的结果为：“乙胜甲胜乙胜”，“甲胜乙胜乙胜”， ∴； 时，比赛的结果为：“甲胜甲胜”，“甲胜乙胜甲胜”，“乙胜甲胜甲胜”， ∴； 所以的分布列为： X 0 1 2 P 则； （3）由（2）可得， 即随机变量的方差. $专题11 离散型随机变量分布列及数字特征 题型1 离散型随机变量分布列及数学期望（常考点） 题型4 离散型随机变量的方差及其性质 题型2 离散型随机变量分布列及其性质（常考点） 题型5 求离散型随机变量的方差（重点） 题型3 离散型随机变量均值的应用（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 离散型随机变量分布列及数学期望（共5小题） 1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）某班级有甲、乙两名同学参加数学竞赛，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.5，且两人是否获奖相互独立． (1)求两人都获奖的概率； (2)设为两人中获奖的人数，求的分布列和数学期望． 2．（24-25高二下·河北石家庄·期末）某班组织知识竞赛，分抢答和必答环节.抢答环节有一道题目.在抢答环节中，甲乙两人每人抢到题目的机会相等，且题目必被一名同学抢到.抢到题目且回答正确者得3分，同时没抢到者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，同时对方得3分.必答环节每人一题，答对得5分，答错得0分.甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，两个环节相互独立，两人回答问题是否答对互不影响. (1)记抢答环节甲同学累计得分为，求的分布列； (2)记两个环节结束甲同学累计得分为，求. 3．（24-25高二下·安徽亳州·期末）在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 4．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 5．（24-25高二下·河北邯郸·期末）甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列和数学期望. 题型二 离散型随机变量分布列及其性质（共8小题） 6．（24-25高二下·北京房山·期末）随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 7．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 8．（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 9．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 多选题 10．（24-25高二下·广东广州·期末）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表，则下列结论一定成立的是（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 12．（24-25高二下·河北保定·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·甘肃白银·期末）已知，均为正数，随机变量的分布列如下表： 0 2 3 则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C．当时，取最大值 D． 题型三 离散型随机变量均值的应用（共7小题） 14．（24-25高二上·江西南昌·期末）为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 15．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 16．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 17．（24-25高二下·福建厦门·期末）某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． (1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； (2)已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 18．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某学校举行了一场知识竞赛，有两类题型，每道类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为、，两道小题全对可得50分，否则得0分.类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为，且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：方案一：选择答一道A类题两道B类题；方案二：选择答两道A类题. (1)若，对于方案二，试探究取何值时，满分的概率最高； (2)若，求选择方案一学生得分的分布列； (3)若，为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题. 19．（24-25高二下·海南海口·期末）高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． (1)若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； (2)假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 20．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． (1)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； (2)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 题型四 离散型随机变量的方差及其性质（共6小题） 21．（24-25高二下·福建·期中）已知随机变量满足，，.若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 22．（24-25高二下·山东济南·期末）甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 23．（2026·广东茂名·二模）设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 24．（24-25高二上·吉林四平·月考）随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 25．（24-25高二下·广东揭阳·月考）某质地不均匀的正四面体骰子各面上分别有1，2，3，4的编号，随意抛掷该骰子，记该骰子落下后朝下的一面编号为.若数列为等差数列，且的期望，则的方差_______________. 26．（25-26高二下·浙江·期中）已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（   ） A．增大，增大 B．增大，减小 C．减小，增大 D．减小，减小 题型五 求离散型随机变量的方差（共6小题） 27．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）甲、乙两个班级的同学进行目测数学教科书长度的游戏，令甲班同学目测的误差为（单位：），乙班同学目测的误差为（单位：）．根据游戏记录，统计结果为，，，，；，，，， (1)分别列出随机变量、的分布列； (2)哪个班目测的数据更接近教科书的真实长度？解释你的理由（可以通过观察给出答案，但必需包含必要的计算过程）． 28．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 29．（24-25高二下·山东淄博·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本. (1)设采用不放回摸球和有放回摸球得到的样本中红球的个数分别为，，求出的分布列以及，，，； (2)若从中不放回地依次取出3个球，设表示“第次取出的是红球”，分别求出和 30．（24-25高二下·四川达州·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 31．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 32．（24-25高二下·天津·月考）某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. $