专题07 导数中的极值点偏移问题（7大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦导数中极值点偏移的7类细分题型，通过分类训练构建从基础到复杂的问题解决路径，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |和型极值点偏移|10题|含双零点和的证明，涉及单调性分析|基于导数研究函数单调性，通过对称构造转化不等式| |积型极值点偏移|5题|围绕零点乘积关系证明，需对数转化|承接和型思路，强化变量代换与函数构造| |平方型极值点偏移|5题|含零点平方和/差证明，综合二次转化|整合函数性质与不等式证明，提升代数变形能力| |分式型极值点偏移|3题|涉及分式结构零点关系，需分式化简|深化代数式变形，培养数学抽象能力| |三极值点三零点型|9题|含三个零点关系证明，需分类讨论|拓展至多极值点场景，强化逻辑推理严密性| |复杂指对型|6题|融合指数对数函数，需指对互化|综合指对函数性质，提升数学语言表达能力|

专题07 导数中的极值点偏移问题 题型1 和型极值点偏移（难点） 题型5 分式型极值点偏移（难点） 题型2 和型极值点偏移（难点） 题型6 三极值点三零点极值点偏移（难点） 题型3 积型极值点偏移 （难点） 题型7 复杂指对型极值点偏移（难点） 题型4平方型极值点偏移（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 和型极值点偏移（共8小题） 1．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，，则，           令，得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，，所以， 所以恒成立， 即在上单调递增； 故单调递增区间为，无单调递减区间． （2）（ⅰ）当时，若函数有2个不同的零点，， ∴恰有2个正实数根，， 令，则与有两个不同交点， ∴，           ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又，           当x从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当x无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为．           （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证，           ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立，           令， ∴，           ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【点睛】与2025年新课标Ⅱ卷数学真题第18题同步考查函数的单调性、零点及不等式证明；真题卷第18题考查含三次项的函数性质；本题考查指数函数与二次函数结合的函数，分析其单调区间、零点的取值范围及证明零点之和的不等式，零点问题通常转化为函数图象交点的问题；构造函数是解决极值点偏移问题的方法之一. 2．已知函数，. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求在内的极值； (3)设，若有2个零点，，且，求证：. 【答案】(1) (2)有极大值，无最小值 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，求出，，，再由导数的几何意义求解即可； （2）当，对求导，求出的单调性，结合极值点的定义即可得出答案； （3）对求导，研究单调性和极值可知要使有2个零点，则需，由此求出的范围，要证，只需证，由此构造，，对求导，证明即可. 【详解】（1）当时，，则， 因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，，有， 由可得，即， 当时，，，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 有极大值，无最小值. （3），则. 若，则，单调递增，不可能有两个零点. 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以为的极小值点， 要使有2个零点，则需，即. 因为的2个零点为，，，所以. 要证，只需证， 因为，在上单调递增， 所以只需证， 因为，所以只需证， 即只需证，， 令，， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，即在上单调递减， 又因为，所以， 即，， 所以原命题得证. 3．已知函数 (1)令对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 【答案】(1)1 (2)，证明见解析 【分析】（1）求导，因式分解，即可分离参数，构造函数，，由导数求解函数的最值即可得解， （2）对讨论，结合函数的单调性可得的范围，构造函数，有导数求解函数的单调性，即可求证. 【详解】（1）由可得， 故由可得对恒成立， 故对恒成立， 由于得，故对恒成立， 进一步可得对恒成立， 记，，则， 当在单调递增，当在单调递减， 故， ，故， 因此，即，故的最大值为1， （2）由于， 由于， 当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增， 且当， 要使有两个零点，则，则 记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于， 因此时，， 故， 记函数，则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即 4．已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值； ②由①可知，令，从而得到，再结合等差数列求和公式即可证明； （2）求出函数的导函数，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，不妨设，利用分析法可得只需证，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. （2）函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 5．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)1； (3)证明见解析. 【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后根据的取值范围讨论导数的正负，从而确定函数的单调性. （2）将恒成立转化为恒成立，通过构造函数求其最大值，进而得到的最小值. （3）先求出的表达式，根据有两个零点得到相关等式，然后通过构造函数利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为恒成立， 所以,即的最小值为1. （3）. ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足. 因为，解得， 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到. 所以位于的递增区间内. ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间内， 所以有，即. 6．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论研究函数单调性； （2）将题干恒成立问题转化为，设，利用导数法求得在上单调递增，从而转化为在上恒成立，设，，利用导数法求得，即可求解； （3）将证明转化为证，设，，利用导数法求得单调递减，则有，即可得证. 【详解】（1）函数，其定义域为，∴.     当时，恒成立，∴在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增.     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意，∴即.     ∵，∴不等式可化为，即.     设，则当时，；当时，；当时，. ，当时，，在上单调递增. 当时，，，故， 当时，，，，在上恒成立， 即在上恒成立. 设，，则， 在上单调递增，， ∴， 综上实数a的取值范围是. （3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 函数有两个零点，，不妨设，则. 要证，只要证，，，只要证. 又∵，∴只要证.     设，， 则. 当时，，，， ∴，∴单调递减，∴.     ，即， ∴. 7．已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分析单调性，确定极值． （2）分类讨论不同取值下需满足的条件，最后取并集. （3）利用函数对称性，将转化为证明，构造函数，求导分析单调性和极值，最终证得． 【详解】（1）， 令，所以，解得， 当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在的极小值为，无极大值． （2）在上恒成立， 即在上恒成立， ①当时，由，得，因此，满足题意. ②当时，令， 则， 令，则． 由，得，， 因此，则在上单调递增， 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则，， 因此在上存在唯一的零点， 且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，不满足题意. 综上，实数的取值范围为． （3）当时，即， 不妨设，由（1）可知， 要证明，即证， 因为，且在上单调递增，所以只需要证， 又因为， 所以只需要证，即证， 即证， 两边同时除以，得， 化简为， 因为，所以只需证， 即证， 令， 则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以． 故，即， 所以． 【点睛】规律总结  极值点偏移问题的解法： （1）（对称化构造法）构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性证得不等式． （2）（比值代换法）通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 8．设函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导得，分为，，和四种情况，分别讨论的符号，从而得到函数的单调性； （2）①分为，，，和五种情况，结合函数的单调性分别讨论，即可求出答案；②由①知，，即，要证，只需证，通过构造函数，判断在上单调递增，从而证明，继而得到，再结合函数的单调性即可证明. 【详解】（1）， （ⅰ）当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； （ⅱ）当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； （ⅲ）当时，，在上单调递增； （ⅳ）当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时 ，在上单调递减，在上单调递增. （2）①， （ⅰ）当时，，令，解得， 此时函数只有一个零点，不符合题意，舍去； （ⅱ）时 ，在上单调递减，在上单调递增， 则， 又， 取且， 则， 所以有两个零点，其中，，符合题意； （ⅲ）当时， 在上单调递增， 当时，， 所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅳ）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅴ）当时， 当时，， 又在上单调递减，在上单调递增，， 所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围为. ②由①知，，，所以， 要证，即证， 令， 则， 当时，，在上单调递增， 因为，所以， 即，即， 又因为，所以， 又因为且在上单调递减， 所以，即， 原命题得证. 题型二 和型极值点偏移（共2小题） 9．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，结合得到，即在内恒成立，所以在内单调递增； （2），求导，得到函数单调性，得到，构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到，两式结合得到答案. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， ， 令，可得，当时，即， ，可知在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增. （2）当时，可得， ， 或 故在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在上单调递增， 则，可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递减 则，即； 令， 则， 可知在上单调递增，则， 可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递增， 则，即； 由和可得. 【点睛】关键点点睛：构造两次差函数，解决极值点偏移问题，即构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到. 10．已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性和最值，求实数的取值范围，再结合函数的单调性和零点存在性定理，说明零点的情况； （2）构造新函数，并利用导数判断函数的单调性，并结合，即可证明； （3）设，并求导，可证明，即可证明，设 ，设，并求导，证明. 【详解】（1）， 又因为函数单调递增，且， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， ， ， 所以在和上各有一个零点， 当时，的最小值为，且， 所以在内至多只有一个零点， 综上，实数的取值范围是； （2）设，， ， ， 当时，， ， 所以， 所以在上单调递增， 当时，， 即当时，， 又因为函数有两个零点， 由（1）知，，， 所以， （3）设， ， ，当时， 因为， 令，， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以, 所以恒成立，显然， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 设的零点为，， 易知， 所以， 设， 设，， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立，即， 设的零点为，， 易知，， 所以， 所以， 所以 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式有如下方法， 方法一，等价转化是证明不等式的常见方法，其中利用函数的对称性，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略； 方法二，比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可， 方法三，利用不等式 的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立. 题型三 积型极值点偏移（共5小题） 11．已知函数有两个不同的零点，且满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由是两个零点，可解得，接着构造函数证，即，根据函数单调性即可证明. 【详解】由题意知， 由得 从而，， 即． 又，令, ， ， 所以在单调递增，则， 因为当时，，所以， 所以，即， 所以． 令，，易知其单调递增， 又， 所以，即， 所以，即． 12．若是函数的两个零点，且，求证：且． 【答案】证明见解析 【分析】方法一：根据题意，得，令，对于，其等价于，构造函数，即可得证；令，则，构造函数，即得证； 方法二：由函数单调性，知，有，，则，且，，令，利用导数可证；令，利用导数可证. 【详解】方法一：比值代换 因为，由题意结合可知，，， 所以． 令，则，，代入上式得， ．对于，其等价于，即． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即得证． 对于，其等价于，即，即． 令，则，构造函数，则， 在上单调递减，所以，即得证． 方法二：差值代换 由可得． 设函数，则， 当，，则函数在上单调递减， 当，，则函数在上单调递增， 所以，则有，，则，且，． 对于，即，即，即， 令，则，则只需证． 令，则，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，则，即成立． 对于，其等价于，即，即． 左边分子、分母同时除以，得，令，则， 则只需证，即． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以在上单调递减，所以，即成立． 13．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 14．已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 15．已知函数，记． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； (3)已知，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1），对其求导，对实数进行分类讨论进行求解； （2）令，由对任意，存在，使得，得，进行求解； （3）由（1）知，，由，得，要证，即证，即证，即证，令，即证，令，利用导数判断单调性进行证明． 【详解】（1）， 则， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 综上知， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，， 令，则， 则， 由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 得， 由对任意，存在，使得， 得， 即， 得， 因为，所以， 故实数的取值范围为： （3）已知，且，由（1）知，， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 得， 得， 得， 要证，即证， 即证， 即证， 因为，所以， 即证， 即证， 即证， 令， 即证， 令， 得， 则函数在上单调递增， 得， 即得证， 故命题得证． 题型四 平方型极值点偏移（共5小题） 16．已知函数 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若，且，证明: . 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分，两种情况，分别研究的正负，即可得到的单调性；（2）将已知的方程两边同时取对数，得到，由进行分析，利用（1）中的结论，不妨令，分或两种情况求解，构造函数，利用导数研究其性质，结合不等式的性质及基本不等式，即可证明. 【详解】（1）   当时，， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减； 当时，， 所以单调递减；， 所以单调递增； （2）证明： ， ∴ ， 即当时， 由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令 要证，即证： ①当时，成立； ②当时 先证 此时   要证，即证：，即，即 即： ① 令 ， ∴ ∴在区间上单调递增 ∴，∴①式得证. ∴ ∵， ∴  ∴   ∴ 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答. （2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增，因此，即， 又，则有，则， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 18．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【详解】（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19．已知，，（其中e为自然对数的底数）. （1）求函数的单调区间； （2）若，函数有两个零点，，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导函数，讨论参数的取值范围即可求解单调区间； （2）解法一：先证：，即证：，令函数，通过求导判断单调性可证明，从而得；解法二：由，令利用导数判断单调性，再构造，求导分析单调性即可证明，从而有． 【详解】（1）解： ∵，∴时，， ∴时，增区间为：，减区间为：； 时，，∴时，增区间为：； 时，，， ∴时，增区间为：，减区间为：； （2）解法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：； 且时，，，函数的大致图像如下图所示 因为时，函数有两个零点，，所以，即， 不妨设，则；先证：，即证： 因为，所以，又在单调递增，所以即证： 又，所以即证：， 令函数，， 则 因为，所以，，故 函数在单调递增，所以 因为，所以，，即 所以． （2）解法二：因为时，函数有两个零点，， 则两个零点必为正实数，（） 等价于有两个正实数解； 令（） 则（），在单调递增，在单调递减，且 令，，则 所以在单调递增， 又，故， 又，所以， 又，所以，， 又在单调递增，所以 所以． 【点睛】关键点点睛：本题的第二问关键在于构造新函数，通过求导，层层地分析单调性，从而证明，再结合均值不等式求得结果． 20．已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到不等式，求出答案； （2）先证明对一切不相等的正实数，都有，进而得到，则，由基本不等式得，进而求出. 【详解】（1）定义域为， 由题意可得. 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，，且， 则，解得，即的取值范围为； （2）证明：先证明对一切不相等的正实数，都有. 不妨设，要证，即证 设， 则， 所以在上单调递增，所以，即当时，有， 故，即. 因为是的两个零点，所以 所以，则， 所以，则. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，所以，即. 题型五 分式型极值点偏移（共3小题） 21．已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)若有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1)最大值为0，最小值为. (2)证明见解析 【分析】（1）将带入原函数中求得函数的解析式，确定函数的定义域，再对原函数求导， 判断在区间上的单调性，即可求得函数在区间上的最值； （2）对原函数求导，并对参数，分类讨论，得出函数在两种情况下的单调性，由单调性求得函数有两个不同的零点时两根与参数的关系，再利用比值换元法即可证明. 【详解】（1）当时，， . 由，得；由，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为， ， 所以在区间上的最大值为0，最小值为. （2）. 当时，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去； 当时，所以， 由，得，所以在上单调递增； 由，得，所以在上单调递减. 所以当时，取得极大值，极大值为， 为满足题意，必有，得. 因为是的两个不同的零点， 所以， 两式相减得. 设，要证， 只需证，即证. 设，只需证， 设，则， 所以在上为增函数，从而， 所以成立，从而 【点睛】关键点睛：本题（2）关键在于构造函数，转化为求新函数的单调性，再由单调性求最值，即可证明. 22．已知函数. (1)若f（1）=2，求a的值； (2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明： ①； ②. 【答案】(1)2； (2)证明过程见解析. 【分析】（1）代入f（1）=2即可求出a的值；（2）①分情况讨论，得到时满足题意，根据函数单调性，不妨设，构造差函数，证明极值点偏移问题；②在第一问的基础上进行放缩即可证明.. 【详解】（1）由，化简得：，两边平方，解得：. （2）不妨令， ①当时，在上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去； 当时，为定值，不合题意； 当时，，由对勾函数知识可知：当时，在上单调递增，在上单调递增，两个分段函数在处函数值相同，故函数在上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，即分段函数在处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数，满足，则有三种类型，第一种：，显然，令，则，当时，，即在单调递增，所以，即，由于，所以，又因为，所以，因为，而在上单调递减，所以，即，综上：；第二种情况：，显然满足， 接下来证明，令，则，当时，，即在单调递增，所以，又，所以，又，所以，因为，，在上单调递增，所以，即，综上：；第三种情况：，由第一种情况可知满足，由第二种情况可知：，则， 综上：，证毕. ②由①可知：当时，由得：，整理得：，即； 当时，，整理得：，整理得：，因为，所以，综上：，证毕. 【点睛】极值点偏移问题，是比较有难度的题目，一般处理思路有构造差函数，对数平均不等式，多元化单元等方法. 23．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，且，证明：． 【答案】(1)的增区间是，减区间是. (2)证明见解析 【分析】（1）直接求导，求得导函数的零点，即可讨论出的单调性； （2）先把等式变形为题干函数的形态得，再分别证明左右两个不等式，注意构造函数的技巧以及多次求导. 【详解】（1）由题可知，而在上是减函数，是增函数， 在上单调递减，又， 时，单调递增；时，单调递减． 所以的增区间是，减区间是. （2）由题意得， 即，亦即． 设，则由，得，且． 不妨设，则即证， 先证：. 由及的单调性知，． 令， 则． ， ，即在上单调递增，故， ，取，则． 又，则． 又，且在上单调递减， ，即． 下证：． （ⅰ）当时，由，得； （ⅱ）当时，令， 则 ． 记，则． 又在上为减函数， 在上单调递减，在上单调递增， 单调递减，从而，在单调递增． 又， 对于，则， 所以时，，故在上单调递增，， 故时，，． 又， 从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以． 又， 对函数，， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 由，所以． 显然， 所以，即． 取，则． 又，则． 结合，以及在上单调递增， 得到，从而． 综上所述，. 【点睛】方法点睛：处理双变量问题首先是根据问题所给的等式变形为题干中函数的形态，找出两个变量的联系，再分别构造出函数去证明不等式，并转化为极值点偏移问题，有时还需结合隐零点方法综合使用. 题型六 三极值点三零点极值点偏移（共9小题） 24．已知函数. (1)求的极值. (2)若，，证明：. 【答案】(1)极大值为，的极小值为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性即得解； （2）由（1）可知，设，，证明在上恒成立，即得解. 【详解】（1）（1）由题意可得. 当或时，；当时，. 所以在与上单调递增，在上单调递减. 故的极大值为，的极小值为. （2）证明：由（1）可知. 设，， 则 . 设，则. 因为，所以在上恒成立，即在上单调递增， 因为，所以在上恒成立，即在上单调递增， 因为，所以在上恒成立. 因为，所以， 因为，所以. 由（1）可知在上单调递增，且，， 则，即. 25．已知函数，其中. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）由恒成立，分参配方即可求解； （2）（i）由题意列出方程组，消去得，求导分析的整数零点，即可求； （ii）求导分析单调性，得出，构造函数证明，构造函数证明，由不等式的性质即可证明. 【详解】（1）， 由题意恒成立，则， 则. （2）（i）由题意，存在使得， 消去得， 设， 则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值，当时， 极小值， ， 则在存在1个零点， 综上的整数零点只有0， 则. （ii）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 设， 则， 由基本不等式，则，单调递增， 则时，， 则， 由于，在单调递增， 则， 设， 则 则，单调递增， 当时，， 则， 即， 由于，在单调递增， 则， 由，可得， 则， 即. 26．已知函数，． (1)求证：； (2)若函数有三个不同的零点，，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ）见解析 【分析】（1）代入计算即可求解， （2）（ⅰ）分类讨论的取值范围即可求解， （ⅱ）结合函数有三个不同的零点，可得，，进而结合，，可将问题转化成，构造函数，即可利用导数求解. 【详解】（1）由得， 所以，故， （2）（ⅰ）由于，且当时，，故， 又，所以，所以， 当时，令，所以， 当时，,当时，,所以在单调递减，在单调递增，故， 又,, 所以存在，使得， 因此在,上单调递增，在单调递减， 又当当， 所以此时有3个零点，符合题意，故， 当时， 令，则， 故当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故，此时恒成立，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意， 综上可知：， （ⅱ）由（ⅰ）以及可知，，又，，故也是的根，故， 设 所以在单调递增，故, 即,() 又因为， 所以， 所以 【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 27．已知函数，，. （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）若函数有3个不同的零点，，. （ⅰ）求证：； （ii）求证：. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】(1)把等价变形成，构造函数，再求其最大值即可； (2)(ⅰ)探求的范围，构造函数，，利用极值点偏移即可作答； (ii)利用(1)的结论可得，并作出函数与的图象，探求它们与直线交点横坐标的关系即可作答. 【详解】（1），， 令，，当且仅当时取“=”， 于是得在上单调递减，则，从而有， 所以的取值范围为； （2）（ⅰ），而，当时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减，而，，x趋近于0时，的值趋近于0， 函数图象如图，由图可得，，即，且， 令，，于是得在上递增，在上递减， 令，，即，， ，､ 当时，，于是得，从而有在单调递增， 则当时，，而，则， 又，即，显然，因在上递减，则， 所以； （ii）由（1）知，当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，即，于是得， 从而得，，即，当且仅当时取“=”， 在同一坐标系中作出函数与的图象，如图，    设直线与在时的交点的横坐标为，， 观察图象知，即， 由得，，， 所以. 28．已知函数，函数有3个不同的零点，， (1)求证：； (2)求证：（是自然对数的底数）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用证明极值点偏移的方法证明，再结合基本不等式证明；（2）根据证明，结合切线方程证明. 【详解】（1）， 当 在 上单调递增，在 单调递减， 当 在上单调递增， 又函数有 3 个不同的零点 ， 所以，， 令 ， ，在上单调递增， 又 ， ， 又 在上单调递减， ，即 （2）在处的切线方程与交点的横坐标， 过点 和的直线方程 与交点的横坐标 ， ， 令， 则与在轴右侧交点横坐标为 ， 即的两个根为， 接下来证明， ①当 ，即证 ， 令 ， 令 ，则当时，所以在上单调递减， 则有当时，所以在上单调递减， 所以当， 成立 ②当 时，，即证 ， 令 设，则，所以在上单调递增， 且，所以， 所以， 在上单调递减，，即 ， 综合①②可知， ， 综上: . 29．已知函数（其中为常数）． (1)当时，对于任意大于的实数，恒有成立，求实数的取值范围； (2)当时，设函数的个极值点为、、，且，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）构造函数，分析可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，验证能否在上恒成立，即可得解； （2）分析可知、是函数的两个零点，可得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，再构造函数，其中，利用导数分析函数在的单调性，通过比较与的大小关系，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）解：当且时，，即成立， 令，则， ，则. ①当，，在上是增函数， 即当时，，满足题意； ②当时，令，解得，， 当时，，函数在上是减函数，此时，不合乎题意. 综上所述，. （2）证明：因为，其中且， 则， 对于函数，有， 因为，当时，，函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 因为函数有个极值点、、，且， 所以，，解得， 当时，，，所以，， 当时，，，则，函数单调递减， 当时，，，则，函数单调递增， 当时，，，则，函数单调递减， 当时，，，则，函数单调递减， 当时，，，则，函数单调递增， 所以，函数的单调递增区间有：、，单调递减区间有：、、，故， 当时，、是函数的两个零点， 即有，消去有， 令，其中，则，令可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，且，且， 构造函数，其中， 则 ， 所以，函数在上单调递减， 因为，则，即， 即，因为，则， 函数在上单调递增，故，即. 【点睛】思路点睛：利用对称函数法证明（或）型极值点偏移的相关问题，步骤如下： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题. 30．已知函数有三个极值点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将函数有三个极值点转化为导函数有三个变号零点，然后构造函数，利用函数的奇偶性、单调性等研究函数的零点即可； （2）先根据第（1）问得到之间的关系，将多元不等式问题转化为一元不等式问题，然后换元，构造函数进行证明即可． 【详解】（1）由题意知有三个变号零点，且， 易知，故为定义在上的奇函数，     又，所以在上恰有一个变号零点． 令，则， 令，则， 当时，，，单调递增． 又，当时， 所以当时，． 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增，，不符合题意．     故，此时，在上存在唯一零点， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 由，时可知，在上恰有一个变号零点． 综上，实数的取值范围为． （2）不妨设，则由（1）的讨论可知，，，     故只需证明， ，解得，     故只需证明， 整理后，只需证明．     设，则只需证明， 即证， 即证，即证， 故只需证明在时恒成立．     记，， 则，故在上单调递增， 所以，即在时恒成立， 所以． 【点睛】方法点睛： 对于多元不等式的证明，通常采取多元化一元，然后构造函数，利用导数讨论单调性，利用单调性进行证明，多元化一元时可采取换元，或寻找各元之间的联系进行代换. 31．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断函数单调性； （2）根据题意分析可知：在内单调递增，在内单调递减，，利用极值点偏离证明和，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，， 且，令，可得， 当，即时，可知在内恒成立， 即在内恒成立，所以在内单调递增； 当，即时，由解得或， 由可知， 若，；若，； 所以在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，可得，， 由（1）可知：在内单调递增，在内单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递减， 则，即； 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递增， 则，即； 由和可得. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 32．已知函数，若方程有三个不同的实数根. (1)求的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到函数单调性和极值，结合时，，得到； （2）先得到的对称中心为，先由得，再证时，恒成立，结论成立； （3）由（1）知.先利用构造差函数法证明出，再由题意知，又，故，解得，所以成立． 【详解】（1）， 令得或，令得， 故在内单调递增，在内单调递减，内单调递增， 的极大值为的极小值为，且时，， 方程有三个不同的根，所以； （2）设，则， 故的对称中心为，恰好是点和点所连线段的中点. 对，都有， 由可得，，解得，需要满足. 下证时，恒成立，即证. 即证，即， 即证， 设，令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， ，从而成立， 所以当且仅当时，恒成立； （3）由（1）知.先证，即证明：， 由于在内单调递增，即证，又， 即证， 设， ， 设，， 在区间内存在零点，设为在区间上单调递减， 在区间上单调递增，，. 所以在上存在零点，在， 在所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以时，，即有对恒成立. 成立． 下证，由题意知，又， 故，解得， 所以成立． 题型七 复杂指对型极值点偏移（共6小题） 33．已知函数（其中e为自然对数的底） (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，是的极值点且.若，且. 证明：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）在上单调递增即在恒成立，令，分类讨论的单调性，证明即可. （2）求出，要证明，即证明， 即证明.令，对求导，得出的单调性，即可证明. 【详解】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立， 所以在恒成立， 令，， ①当时，在恒成立，在上单调递增， 所以，所以满足题意. ②当时，令，则. (i)，所以，在单调递增， 所以，所以满足题意. （ii），在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，， 所以在恒成立，所以在上单调递减， 而，所以不成立. 所以实数a的取值范围为：. （2），， 因为是的极值点，所以满足， 令，则若，解得， 所以当时，，当时，， 所以，， 所以是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减， 要证明，即证明， 化简得，由于在上单调递增， 且由，，可知. 故， 从而可推得，而， 因此. 令， 则， ， 而，所以， 故单调递增，从而，即， 从而，即证得. 34．已知函数，其中． (1)若，求的极值： (2)令函数，若存在，使得，证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）依题意可得，令，则上述函数变形为，利用导数说明的单调性，即可得到存在、，使得，再根据的单调性，可得，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明； 【详解】（1）解：当时，， 所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）证明：， 令，则上述函数变形为， 对于，，则，即在上单调递增， 所以若存在，使得，则存在对应的、， 使得， 对于，则，因为，所以当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的唯一极小值点， 所以，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 即，又，所以， 又的单调性可知，即有成立， 所以. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 35．已知函数． (1)若恒成立，求实数的值： (2)若，，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，由可知函数单调递增，通过反例可说明不合题意；当时，可得单调性，知；构造函数，利用导数可求得，由此可得，知； （2）将已知不等式化为，令，利用导数可求得单调性，易知时成立，当时，采用分析法可知只需证得即可，构造函数，，利用导数可说明，由此可得结论. 【详解】（1）由题意得：定义域为，； ①当时，，在上单调递增， 若，则，时，，不合题意； 若，则，不合题意； ②当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增，； 若恒成立，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 又，； 则当时，符合题意； 综上所述：. （2）由得：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 由得：； ，， 当时，由得：，； 当时，要证，只需证， ，，则只需证， 又，只需证； 令，， 则， 在上单调递减，，， 即，即得证，； 综上所述：成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明，从而通过构造函数来进行证明. 36．设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【答案】(1)无最小值，最大值为 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解. （2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明. 【详解】（1）由题意得，则. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为. （2），则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①. 由，得，则②. 由①②可知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即. 【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系； 通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数， 利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立. 37．已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 38．已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【答案】(1)无最大值，最小值为； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数知识可得函数的最值； （2）由题可得，要证，即证，然后通过研究：单调性可完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为． 令，解得；令，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以无最大值，最小值为； （2），． 因为有两个不同的极值点，所以，． 欲证，即证，又， 所以原式等价于①. 由，, 得②. 由①②知原问题等价于求证， 即证． 令，则，上式等价于求证． 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即． 【点睛】关键点睛：对于涉及双变量不等式的证明，常利用两变量的差或者商，将双变量问题转变为单变量问题. $扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07导数中的极值点偏移问题 题型归纳·内容导航 题型1和型极值点偏移（难点) 题型5分式型极值点偏移（难点) 题型2和型极值点偏移（难点） 题型6三极值点三零点极值点偏移（难点） 题型3积型极值点偏移（难点） 题型7复杂指对型极值点偏移（难点） 题型4平方型极值点偏移（难点） 题型通关·靶向提分 题型一和型极值点偏移（共8小题） 1.已知函数f(x)=e-ax2(a∈R). a当a时，求函数f)的单调区间： (2)当x>0时，若函数f(x)有2个不同的零点x1,x2· (i)求a的取值范围； (ii)证明：x1+x2>4. 2.己知函数f(x=e(cosx+l-ax,aeR. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=π处的切线方程； (2)若a=0,求y=f(x)在(0，π)内的极值： (3)设gx=f(x-e'cosx,若gx)有2个零点x,x,且x<x2,求证：x+2<2lna. 3.己知函数f(x)=ae2+(a-2)e-x =e+对e[0 恒成立，求a的最大值. 2)若f(,有两个零点x,x,求a的范围，并证明：x+x,<21n」 4.已知函数f(x=x-a)lnx-x· (1)当a=0时， 1/7 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求f(x)的最小值； ②设n∈N,求证：nl+n2+n3+…+Insnn-l； 十…+ 234 n+14 2)设x,西，(：<)是的两个极值点，求证：5+5>2 5.已知函数fx=lnx+a-1(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若fx≥0对所有x>0成立，求a的最小值； 3)设gx=f(x+x-1,若gx有两个零点x,x2(x<x2),求证：x,+x2<2, 6.已知函数f国=是+n (1)讨论函数∫(x的单调性； 2)设g(x)=fx)-n ,若对任意x∈[c,+o),elnr-gx)≥0恒成立，求实数a的取值范围： 3)当a=2时，函数y=fx-m有两个零点x,x,求证：x+x2>4. 7已知函级小网-号 (1)求f(x)在(0，+o)上的极值： (2)若xfx)>asinx在(0，π上恒成立，求实数a的取值范围； (3)若存在实数m使得函数gx=f(x-m在(0，+0）上有两个不同的零点，x2,证明：x+x2>4. 8.设函数f(x)=（x-1)e-ax2. (1)讨论∫(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点x,x2,且x<x2 ①求实数a的取值范围； ②证明： L+1>0 X1 X2 题型二和型极值点偏移（共2小题） 9.已知函数fx=3lnx+ax2-4x(a>0). 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)当a=1时，讨论f(x的单调性： 2当a=方时，若方程f到=6有三个不相等的实数表，，且写<<，证明：写一<4。 10.已知函数f=r2+-血x-a有两个零点，(x<x. (1)求实数a的取值范围； 3)求证：x2-x<Va2-4<x号-子. 题型三积型极值点偏移（共5小题） 11.已知函数f(x)=2r-x2-ax有两个不同的零点x,,且满足0<<，求证：>2 、3 12.若x,x2是函数f(x)=e-ax(x>0)的两个零点，且x<x2,求证：x+2>2且xx2<1. 13.已知函数fx=2x+ax2+xlnx,a∈R. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=C处的切线方程； (2)若f(x有两个零点x,x2,且x2>3x,证明：xx2> 14.己知函数fx=x2-(a+2)x+alnx,其中aeR. (1)讨论f(x)的单调性. (2)若函数g(x=∫(x-x2有两个不同的零点x,x2· ①求实数a的取值范围； ②证明：xx2>e2. 5已知函或f到=lr受aeR,记F到-2到 (1)讨论函数F(x)的单调性； (2)已知m>0,对任意x>0,存在a>0,使得m-fa)≤F(x),求实数m的取值范围； 3)已知0<x<x2,且F(x)=F(x2),求证：xx2>m2 题型四平方型极值点偏移（共5小题） 16.已知函数f(x)=1+nx ax 3/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)讨论)的单调性： 2)若(ex)=(ex,),且x>0,>0,x≠，证明：√2+>2. 17.己知函数f(y)=mr+1 ax (1)讨论f(x的单调性： (2)若(ex)=(ex,)(e是自然对数的底数)，且x>0,x2>0,x≠x,证明：x+x>2. 18.已知函数fx=1+血x,其中e为白然对数的底数. ax (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x,x2· (i)求a的取值范围； (i)证明：x2+x3>2. 19.已知aeR,f(x)=xear,(其中e为自然对数的底数)· (1)求函数y=f(x)的单调区间； (2)若a>0,函数y=f()-a有两个零点x,x,求证：x+x>2e 20.已知函数f(x)=nx-x-a,且f(x)有两个零点x,x2: (1)求a的取值范围； (2)证明：x2+xx2+x>3. 题型五分式型极值点偏移（共3小题） 21.已知函数f=-2血r号+1. (1)当a=1时，求f(x)在区间 上的最值： 2若f(有两个不同的零点，，证明：文+ā 1.12 十2 > 22.已知函数f)=k-a-1+a,a∈R. (1)若f(1)=2,求a的值； (2)若存在两个不相等的正实数x,x2,满足f(x)=f(x2),证明： ①2<x1+x2<2a; 4/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②点<a2+1. 23.己知函数f(x)=(2e-x)nx,其中e=2.71828…为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性； 2若4e(0,l,且x,nx-xnx,=2ex,(n-lnx,小，证明：2e<+1<2e+1. x X2 题型六三极值点三零点极值点偏移（共9小题） 24.已知函数f=e2-e+小e+ex+号 ,1 (1)求(x)的极值. (2)若fx)=f(x2=fx,x<x2<x,证明：x2+x<2. 25.己知函数f(x)=e2r-3e+ar+2,其中aeR, (1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围； (2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线y=f(x)与x轴相切， 且切点为格点. (i)求a的值； (ii)若f(x=f(x2=f(x),且x<x3<,证明：2x3+x2-x<2ln2. 26.已知函数f(x=x2-axInx-1,a∈R. (1)求证：f(x)+x2) =0； (2)若函数f(x有三个不同的零点x,x2,x<x2<x), (i)求a的取值范围； (i)求证：x+x3>2a-2. 27.己知函数fx)=2xlnx,gx)=x2+axr-1,aeR. (1)若对任意x∈[1，+∞)，不等式fx)≤gx)恒成立，求a的取值范围； (2)若函数h(x)=f(x-2a有3个不同的零点x,x,x(:<x<: （1)求证：x+5> e (ii)求证：x3-x2>V1+2a-V1-2a, 5/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 28.己知函数f(x)=xnx,函数h()三f(x)川-b有3个不同的零点x,x2,x,x,<x,<x) a求证：+写>。： .2 (2)求证：√+2b-V-2b<x,-x,<be(e=2.71828…是自然对数的底数)· 29.已知函数f=x-a(其中a为常数). Inx (1)当a=1时，对于任意大于1的实数x,恒有∫x)≥k成立，求实数k的取值范围： 2当0<4<1时，设函数x)的3个极值点为x、、书，且<<，求证：+> 2 30.已知函数f心)=e+e-受r有三个极值点x,喝 (1)求实数a的取值范围； (2)求证：e+e+e>2a-1. 31.已知函数f(x=3lnx+ax2-4xa>0) (1)讨论函数f(x)的单调性： 2当a=时，若方程f升到=b有三个不相等的实数银出，且x<名<写证明：怎-<4。 32.已知函数f(x)=(x-1)e+1,若方程f(x)=a(a∈R)有三个不同的实数根x,x2,x (1)求a的取值范围； (2)若x∈R,fx≥x3+x+2,求实数t的值； (3)证明：x+x2+x< e 题型士复杂指对型极值点偏移（共6小题） 33.已知函数f(x)=e2r-ar2-2x(其中e为自然对数的底) (1)若f(x)在(0，+o）上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若a=1,是(x的极值点且x。<0.若f(x)=f(x2）,且x2<x1<0.证明：n(x+x2+2>2x+ln2. 34.己知函数fx)=xe-alnx-a,其中a>0. (1)若a=2e,求f(x)的极值： 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)令函数gx=f(x-ax+a,若存在x1,x2使得gx)=g（x2),证明：x,e+xe>2a. 35.已知函数f(x=x-alnx. (1)若f(x)≥1恒成立，求实数a的值： (2)若x>0,x2>0,e+lnx2>x+x2,证明：e+x2>2. 36.设函数f(x=lnx-ax(aeR) (1)若a=3,求函数f(x的最值； (2)若函数gx=f(x-x+a有两个不同的极值点，记作x,x2,且x<x2,求证：lnx,+2lnx2>3. 37.已知函数/d小=血x-m2-meR。 (1)若函数fx在(0，+0)上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数f(x在(0，+0)上存在两个极值点x,x2,且x<x2,证明：nx,+nx2>2. 38.已知函数f(x)=xlnr-x. (1)求函数f(x)的最值： (2)若函数gx=f(x-axr2+a有两个不同的极值点，记作x,2,且x<x2,求证：lnx1+2lnx2>3. 7/7