专题07 高二下学期期末复习真题精选（压轴90题18类题型专练）（举一反三期末专项训练）高二数学下学期人教A版选择性必修第二册、第三册

**基本信息** 聚焦高二下期末压轴题，18类题型分类整合90道真题，覆盖数列、导数、排列组合、概率统计核心模块，通过典型真题强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|15题|含求和、不等式综合、新定义问题|从基础运算到综合应用，渗透数学抽象与逻辑推理| |导数|20题|涉及零点、恒成立、证明不等式及新定义|围绕导数工具性，构建函数性质研究的逻辑链条| |排列组合|20题|包括涂色、综合应用、多项式展开、杨辉三角|从计数原理到实际应用，培养数学建模能力| |概率统计|35题|涵盖条件概率、随机变量、回归分析、独立性检验|从数据处理到统计推断，提升数据分析与数学表达|

专题07 高二下学期期末复习真题精选（压轴90题18类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 数列求和（共5小题） 1．（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前n项和是，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据递推公式，求出数列奇数项和偶数项各自的性质，再根据等比数列求和公式，求出数列前2025项的和. 【解答过程】因为，所以， 又，所以数列是首项为3，公比为4的等比数列. 因为，， 所以数列是首项为24，公比为4的等比数列. 所以， 故选：C. 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 【答案】A 【解题思路】由得，令，即，进而求得，利用累加法即可求，即可得，最后利用裂项相消法即可求解. 【解答过程】由有，令，则， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故， 即，故 ，当时，符合题意，即. 又由有， 设数列的前项和为，. 故选：A. 3．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知数列满足，则数列前100项和为__________． 【答案】 【解题思路】首先用已知等式求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前100项和即可. 【解答过程】由题意得， ①， 当时，， 当时， ②， 用①减去②，得，化简得， 当时，也满足， ，即， 则， 设数列前项和为， ， 数列前100项和， 故答案为：. 4．（24-25高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以. 5．（24-25高二下·山东东营·期末）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】(1)，. (2). 【解题思路】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出； （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. 【解答过程】（1）为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因为，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. （2）由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 题型2 数列与不等式综合（共5小题） 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【解答过程】因为 ，① 当时，，∵，∴； 当时，，② ①②两式相减得，整理，得 ∴ ，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川南充·期末）若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解题思路】由已知数列的递推式，可得，将换为，两式相减求得，分离参数后利用基本不等式求解. 【解答过程】由于， 当时，，即， 当时，， 又， 以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 3．（24-25高二下·河北·期末）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解题思路】通过通项与前n项和的关系，求得通项公式，将恒成立转化为最值，构造新的数列求解. 【解答过程】因为为数列的前项和，且，，解得 ，当时，，化简得： ，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，可得， 若，即，所以， 因为若对任意正整数恒成立，所以， 令，因为，所以数列为递减数列，数列的最大值为，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，若，. (1)求； (2)记，数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由关系取可求，当时，用替换，与原式相减化简可得，由此可求结论； （2）由（1）可求，由此可得，利用裂项相消法求，再证明结论. 【解答过程】（1）因为，① 所以当时，，且，所以. 当时，，② 由①②得，，整理得到， 所以，故， 故当时，，而也符合， 综上，当时，. （2）由（1）知，则，即， 所以. 又因为为递增数列，所以， 故. 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【解题思路】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【解答过程】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 题型3 数列新定义问题（共5小题） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（   ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解题思路】先利用已知条件列出等式，然后利用等比数列的通项公式求出，最后利用等比数列的前项和公式求出结果. 【解答过程】根据题意可得：， 因为数列是等比数列， 则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·北京房山·期末）对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为___________. 【答案】①②③ 【解题思路】结合等差数列的性质判断①②，结合不等式判断③，举反例判断④即可求解. 【解答过程】对于①，若等差数列的公差，则显然存在，使得对任意，都有， 即该数列为“差有界数列”，故①正确； 对于②，若等差数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有，其中是等差数列的公差， 若，则对于任意给定的，当充分大时，总有，矛盾， 所有，故②正确； 对于③，若数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有， 因为， 所以，则为“差有界数列”，故③正确； 对于④，取，则存在，使得对任意，都有， 即此时数列为“差有界数列”， 而，这意味着对于任意给定的，当充分大时，总有， 所以此时不是“差有界数列”，故④错误. 故答案为：①②③. 3．（24-25高二下·广东江门·期末）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则________. 【答案】 【解题思路】由牛顿数列的定义可得与的关系式，代入可得，进而通过等比数列的通项公式即可求得结果. 【解答过程】根据题意，，则， 所以， ， 因为， 则， 所以，即， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 4．（24-25高二下·北京大兴·期末）若有穷数列，，，满足如下三个性质，则称Q为数列：①项数；②，；③令集合，对，，或． (1)判断数列0，2，4，6是否是数列，并说明理由； (2)若，，，为数列，求证：对，满足； (3)已知，，，为数列，求证：当时，Q是等差数列． 【答案】(1)数列0，2，4，6是数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据定义进行判断； （2）依据定义，①可知 满足；②，，然后进行判断； （3）依据定义可知，可得，；又，可得，，两式作差可得结果. 【解答过程】（1）由题意知，集合． 因为数列0，2，4，6共有4项，， 且，，，，，，，，， 都是集合的元素， 所以数列0，2，4，6是数列． （2）由题意知，集合． 已知，，，为数列． ①因为，所以，所以，． 故．因此． 所以满足． ②当时，因为， 所以，． 所以对于，满足，即． 所以对，满足 （3）因为，，，为数列， 所以， 且． 所以，，，，，． 即，．① 当时，， 所以，． 由， 且． 所以，，，，， 所以，． 因为时，，， 所以，且， 有，．② 将①②两式相减得，． 因此，当时，，，，是等差数列． 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列的通项公式，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②4 【解题思路】（1）求出和，求出即可求解； （2）①证明，分和两种情况即可求解； ②证明，证明，证明，结合反证法即可证明. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， 所以， 所以， 即，所以数列具有性质； （2）①由数列具有性质得， 又等比数列的公比为， 若，则， 解得，与为任意正整数相矛盾， 当时，， 而，整理得， 若，则， 解得，与矛盾， 若，则， 当时，恒成立，满足题意， 当且时，， 解得，与矛盾， 所以； ②由，得， 即，因此，当且仅当时取等号， 即，则有， 由数列各项均为正数， 得，从而，即， 若，则，与矛盾， 因此当时，恒成立，符合题意， 所以的最小值为4． 题型4 利用导数研究函数零点（方程根）（共5小题） 1．（24-25高二下·北京房山·期末）设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（   ） A．{或} B． C．{或 D． 【答案】C 【解题思路】利用导数分析函数单调性，在同一平面直角坐标系中画出的图象，结合已知即可求解. 【解答过程】当时，，求导得， ，， 所有在单调递增，在单调递减， 且当从0的右边趋于0时，趋于，当时，趋于0， 当时，在单调递减， 当时，，且， 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示， 由图可知，若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是{或. 故选：C. 2．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数研究的单调性，由此列不等式组求得的取值范围. 【解答过程】函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，且， 所以要使函数存在两个不同的零点， 则需，解得. 故选：B. 3．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】根据题意得，然后结合函数的单调性并化简得，令，利用导数研究其单调性，画出的大致图象，数形结合即可求解. 【解答过程】根据题意可得，所以． 因为在上单调递增，且，所以， 则．令，则与有三个交点， ， 当-3时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增．当时，， 画出的大致图象，如图所示，所以的取值范围为． 故答案为：. 4．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知函数（，为常数）． (1)若是偶函数，求的极值； (2)若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）根据偶函数的定义列等式求解参数a的值；再求的导函数，通过分析导函数的正负确定的单调性，进而求极值； （2）①确定的定义域，同时根据对数有意义的条件得到a的初步范围；求的导函数，分析的单调性求出最值，结合零点个数列不等式求得参数范围；②不妨设，将证明转化为，即证；构造辅助函数，利用函数单调性完成证明. 【解答过程】（1）由题意知的定义域为， 是偶函数，故，即， 即得，而不恒等于0， 故，即； 此时，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在时取得极大值，极大值为，无极小值； （2）①，定义域为， 且，则， ，由于，故， 令 ，则， 当时，，此时对恒成立， 则在上单调递增，此时至多有1个零点，不符合题意； 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当和时，， 则在时取极大值，也是最大值， 即， 要使有2个零点，．需 ， 解得，即的取值范围为． ②由题意可设，其中，， 由于，在上单调递减，可知， 若，则，此时成立， 若，且， 要证，即证，由于在上单调递增， 只需证， 又因为，所以只需证，即 ， 设， ， 因为，故，由，故，则， 故 ，即得 ， 由于，故，结合，得 ， 则可得此时成立， 综合可知. 5．（24-25高二下·广东江门·期末）已知函数，. (1)当，时，求在区间上的最值； (2)当时，若有三个零点，，， ①求的取值范围； ②判断与的大小关系，并给出证明. 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）先求出的解析式和导数，然后判断单调性，求得最值； （2）①通过构造函数，分析其导数，得出当时，有三个零点；②利用时零点关系，结合函数单调性进行推导即可． 【解答过程】（1）当时，， 所以. 求导得. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. （2）①当时，， 当时，即， 那么，且， 若有三个零点则等价于在上有且只有一个零点， 令，则，函数的零点与有相同的零点， 又在上零点情况等价于在上零点情况，， 当时，， 所以在上单调递减，所以，函数在上无零点，不符合题意， 当时，令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又，， 所以在有唯一零点，即在有唯一零点， 综上所述，有三个零点时，，即的取值范围是； ②，证明如下： 由①知，时，有三个零点其中， 考虑， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 即，所以，又函数在上为增函数， 所以 题型5 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（共5小题） 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【解答过程】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 2．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意当等价于，设函数，利用导数求出的最小值，再结合的图象可知当仅有两个整数解，则可求得，从而可求解. 【解答过程】由得：，令，则， 令，则在R上恒成立， 所以在R上单调递增，由，， 所以，使得， 当时，，即，所以单调递减， 当时，，即，所以单调递增， 所以，如图所示，因为不等式的整数解有且仅有两个，    即的整数解有且仅有两个，，，， 所以有：，解得．故B正确. 故选：B． 3．（24-25高二下·天津·期末）已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】指对同构后将不等式变形为，再设，利用导数分析单调性求出最小值，然后令，利用导数分析最大值可得. 【解答过程】因为，即，即在上恒成立， 设，则，易知时，， 在上单调递增，， 所以恒成立，即， 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】由题意知利用导数分别求出、的最大值得到不等式即可得解. 【解答过程】因为对任意的，总存在，使得， 所以，， 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故； ，则，因为， 所以在上恒成立， 则在上单调递减，， 所以，故. 故答案为：. 5．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】(1)极大值为：；无极小值. (2)2 【解题思路】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可得函数极值的情况. （2）先把不等式化为在上恒成立.在利用，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可求的取值范围，进而确定的最小值. 【解答过程】（1）当时，，. 所以，. 由 ；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数有极大值，为；无极小值. （2）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立. 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则 ，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以的最小值为. 题型6  利用导数证明不等式（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)0 (2)证明见详解 【解题思路】（1）由题，根据的解析式运算得解； （2）对求导，可得在上单调递增，分，，讨论结合（1）证明. 【解答过程】（1） ，因此. （2）， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，所以， 当时，，故， 当时，则，，由（1），， 所以，又此时，所以， 综上，. 2．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）对函数求导，利用分类讨论即可求出函数的单调性； （2）根据有两个零点得出的范围和函数的单调性，求出最小值的表达式，构造函数并求导得出单调性，即可求出实数a的取值范围； （3）写出函数并求导，得出导函数的单调性，求出函数的单调性，利用零点存在性定理，借助放缩法即可证明结论. 【解答过程】（1）由题意，，， 在中，， ①当时，，函数在单调递减， ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意及（1）得，，， 在中，， ∵有两个零点， ∴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． ∵当时，；时，， ∴要函数有两个零点，当且仅当． 在中，， ∴函数在单调递增． ∵， ∴当时，， ∴a的取值范围是． （3）由题意，（1）及（2）证明如下，，， 在中，， 在中， ，， ∵为指数函数单调递增，为反比例函数单调递减， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在使得，即，即，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为对勾函数函数在上单调递增， 所以， 所以. 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数为实常数，，其中. (1)时，讨论的单调性； (2)求的最值； (3)时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值是，无最大值 (3)证明见解析 【解题思路】（1）求得导函数，对进行分类讨论，根据导数的正负确定单调性即可； （2）求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出最值； （3）要证明，等价于．设，利用导数求的最大值，结合（2）知，证即可． 【解答过程】（1）时，，， 当时，，在上单调递减； 当时，由得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减；在上单调递增． （2）因为，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故的最小值是，无最大值． （3）时，， 要证明，需要证明，等价于①， 设，可得， 由得， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 则的最大值是，即， 由（2）知， 又因为，即， 所以①式成立，所以． 4．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【解答过程】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令， . 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【解题思路】（1）由可判断，解得值并验证； （2）①令，利用，结合的单调性和零点存在性定理，判断取值范围；②构造函数，证得，再将问题转化为证明，由不等式性质可得. 【解答过程】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则 ， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 题型7 导数新定义问题（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【解答过程】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为 ． 故选：B. 2．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，然后直接解方程可判断BCD；根据零点存在定理可判断A. 【解答过程】对于A选项，，， 令， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点， 所以，函数有“巧值点”； 对于B选项，，则， 由可得，即，矛盾， 所以，函数没有“巧值点”； 对于C选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”； 对于D选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”. 故选：B. 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“固点”．经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心．根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知三次函数． (1)当时，求的对称中心； (2)若函数存在极大值与极小值，，求的值域． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题设求出，令即可求解； （2）求并令，求出，根据已知条件确定的范围，从而可求解． 【解答过程】（1）时，， ∴，∴， 令得，，又， 对称中心； （2）， 令，得， ∵为极大值，为极小值，， 则，随x的变化如下： x 0 2 ＋ 0 － 0 ＋ 极大值 极小值 ∵，， ， 的值域为． 4．（24-25高二下·河南郑州·期末）定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”. (1)若是上的“好函数”，求的取值范围； (2)（i）证明：是上的“好函数”. （ii）设，证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）利用给定定义得到，令，结合二次函数的性质求解即可； （2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可； （ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可. 【解答过程】（1）由题可知任意，且，， 即，整理得， 令，则， 函数在上单调递增，且时，， 则，故，即的取值范围为． （2）（i）设，且， 则， 令，， 则，则在上单调递增， 得到，即， 故是上的“好函数”. （ii）由（i）可知，当时，且，有， 令， 则， 则， 故， 则． 5．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据二阶拟合函数定义即可得，构造函数，利用二阶导数讨论单调性即可得证； （2）构造函数证明，结合（1）可得，当时，通过放缩可得成立，当时，通过放缩可知，然后构造函数，利用导数证明不满足题意即可得解； （3）求出，根据二次函数性质可证其有两个零点，将目标不等式转化为，构造，利用导数即可得证. 【解答过程】（1）因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． （2）记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． （3）因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 题型8 涂色问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建·期末）在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种 【答案】D 【解题思路】先涂3区域，然后涂1区域，然后涂5区域，进而分若1和5区域同色与不同色两种情况求解即可. 【解答过程】先涂3区域，共有6种涂法，然后涂1区域，共有5种涂法， 然后涂5区域，若1和5区域同色，一共的涂法种数为； 若1和5区不同色，一共的涂法种数为 . 故一共的涂色总数为. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】按照②③①④分步进行即可，计算出每个区域的涂色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【解答过程】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种. 故选：D. 3．（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】C 【解题思路】先选择秀英区与龙华区，然后分别对琼山区，美兰区与秀英区是否同色进行讨论，然后计算可得结果. 【解答过程】秀英区有4种选择，龙华区有3种选择， 当琼山区与秀英区同色，则美兰区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区同色，琼山区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区不同色，琼山区有2种选择，美兰区有1种选择； 所以不同的着色方法的种数为. 故选：C. 4．（24-25高二下·安徽合肥·期末）现用3种不同的颜色给正六边形ABCDEF的六条边涂色，要求每种颜色都要使用，相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有__________种.    【答案】60 【解题思路】对三条边所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三条边所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果，注意去掉只有两种颜色的涂法数． 【解答过程】第一类，三条边用同一种颜色， 先涂有3种方法，再涂有2种方法，再涂有2种方法，再涂有2种方法，若颜色相同，方法数为，则不合题意，共有方法数为种； 第二类，三条边用2种颜色， 由三条边用2种颜色，可得必有2条边涂同一种颜色，先涂有种方法，再涂，有2种方法，共有方法数为种； 第三类三条边用种颜色， 先涂有种方法，再涂有1种方法，再涂有1种方法，再涂有1种方法，共有方法数为种； 由分类加法计数原理可得，共有方法数种． 故答案为：60. 5．（24-25高二下·山东聊城·期末）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有__________种． 【答案】420 【解题思路】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【解答过程】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：420. 题型9 排列组合综合（共5小题） 1．（24-25高二下·山东菏泽·期末）用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（   ） A．15个 B．18个 C．19个 D．27个 【答案】C 【解题思路】分三个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，三种情况讨论即可. 【解答过程】当三个不同数字各出现一次时，有个； 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现三次，则仅有数字符合条件，则有个； 综上所述，满足条件的三位数共有个. 故选：C. 2．（24-25高二下·广东深圳·期末）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，下列说法错误的是（   ） A．恰有一个空盒，有324种放法 B．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 C．有256种放法 D．每盒至多两球，有204种放法 【答案】A 【解题思路】对选项进行逐一分析，选项A先从4个盒子中选出一个空盒，再从4个球中选2个放入剩下3个盒子中的1个，再将剩余2球各1个放入剩余2盒中，据此得出放法总数；选项B先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．已知四个小球相同即没有顺序，属于组合问题；选项C根据分步乘法原理分析求解；选项D在选项C的基础上减去每盒至少3个球的情况可得. 【解答过程】选项A：先从4个盒子中选出一个空盒，再从4个球中选2个放入剩下3个盒子中的1个，再将剩余2球各1个放入剩余2盒中，故有种放法，故A错误； 选项B：先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．已知四个小球相同即没有顺序，属于组合问题，故共有种放法，故B正确； 选项C：每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法，故C正确； 对于D：由C分析，不考虑盒中球个数，共有256种放法， 若一个盒中放3个球，另外1盒放1球，则有种放法， 若1个盒中放4球，有4种放法，故每盒至少3个球的情况有种， 所以每盒至多两球，有种放法，故D正确. 故选：A. 3．（24-25高二下·山西·期末）某校选派了甲、乙等5名教师到三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，若甲、乙不去同一所学校，则不同的选派方法种数为（   ） A．108 B．114 C．162 D．225 【答案】B 【解题思路】用间接法. 先求出不考虑条件“甲、乙2名教师不去同一所学校”的不同安排方法，再求出甲、乙2名教师去同一所学校的不同安排方法，相减即可得到结果. 【解答过程】不考虑条件“甲、乙2名教师不去同一所学校”，则不同的安排方法有 （种）． 若甲、乙2名教师去同一所学校，则不同的安排方法有（种），所以满足题意的安排方法有（种）． 故选：B. 4．（24-25高二下·湖南永州·期末）近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是__________． 【答案】540 【解题思路】分三个景点安排的人数之比为、、进行讨论即可求解. 【解答过程】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法， 故不同的安排方法种数是． 故答案为：540. 5．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【解答过程】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 题型10 多项式积、三项展开式问题（共5小题） 1．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．14 C． D．9 【答案】A 【解题思路】先确定二项式展开式的通项，再根据分配律运算得的系数即可. 【解答过程】因为中二项式展开式的通项为， 所以的展开式中，的系数是． 故选：A． 2．（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【解题思路】先对目标式合理变形，再利用二项式定理多次展开求解系数即可. 【解答过程】由题意得， 由二项式定理得的通项为， 欲求的系数，则令，此时对应项为， 后续我们再从找到只含的项即可， 由二项式定理得的通项为， 令，解得，此时对应项为， 故的系数为，故A正确. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数是（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二项展开式的通项公式，讨论两种情况求解即可. 【解答过程】因为的展开式的通项公式为， 令，可得； 令，可得； 所以的系数是. 故选：C. 4．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为____________． 【答案】1 【解题思路】利用三项式展开式原理，可得含的项为含的项的系数，即可求解参数. 【解答过程】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为：. 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）设，且为整数. (1)求； (2)证明：； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据赋值法可求各系数之和； （2）根据多项式展开式的对称性可证； （3）令，可得，结合（1）中即可求. 【解答过程】（1）令，则， 所以. （2）由多项式的对称性知， 展开后，是的系数，是的系数， 由对称性的得，故得证. （3）由（1）知， 令，则， 两式相加得， . 题型11 杨辉三角问题（共5小题） 1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【解题思路】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【解答过程】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D. 2．（24-25高二下·广东广州·期末）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（    ）    A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【解题思路】根据“杨辉三角”的特点可知次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行，从而得到第行去掉所有为的项的各项之和为：；根据每一行去掉所有为的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第行结束，数列共有项，则第项为，从而加和可得结果. 【解答过程】由题意可知，次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行 则“杨辉三角”第行各项之和为： 第行去掉所有为的项的各项之和为： 从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为： 则：，即至第行结束，数列共有项 第项为第行最后个不为的数，即为： 前项的和为： 故选：A. 3．（多选题）（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【解题思路】根据由杨辉三角的规律直接写出第6、7行可判断AD；利用性质化简可判断B；由二项式系数性质可判断C. 【解答过程】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD. 4．（24-25高二下·宁夏·期末）如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则__________． 【答案】 【解题思路】由组合数的运算性质即可求解. 【解答过程】解：由“杨辉三角”性质，得： ． 故答案为：799. 5．（24-25高二下·广东中山·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2) 【解题思路】（1）由杨辉三角的性质以及二项式系数之和公式即可得解； （2）求出的每一项中含项的系数在杨辉三角中所处的位置，再结合杨辉三角的性质，即可得解. 【解答过程】（1）由杨辉三角的性质1可知，第8行就是的展开式的二项式系数， 由二项式系数之和公式可知，杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）的二项展开式的通项为， 其中的系数为，是杨辉三角第行中从左到右的第三个数， 因此中含项的系数， 分别为杨辉三角中第行中从左到右的第三个数， 首项为，且每一项均在平行于腰的一条线上，满足杨辉三角的性质， 其系数之和为最后一个数斜右下方的那个数， 因此，在的展开式中， 则含项的系数为. 题型12 条件概率与全概率公式综合（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【解答过程】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 2．（24-25高二下·福建泉州·期末）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【解答过程】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件，根据条件概率公式及全概率公式求解即可． 【解答过程】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件， 则，， 所以， ， . 故选：A． 4．（24-25高二下·吉林长春·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则____________. 【答案】 【解题思路】由对立事件的概率关系求出，再由全概率公式求得，利用条件概率公式求解. 【解答过程】，， 又， . 故答案为：. 5．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【解答过程】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； （2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得 ， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 题型13 离散型随机变量的均值与方差（共5小题） 1．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 2．（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由分布列的性质求得，再由方差公式求方差即可. 【解答过程】由，得． 所以． 故选：D. 3．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（   ） 0 1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据期望和方差的计算公式即可结合充分必要条件的定义求解. 【解答过程】由分布列可得，， 若，则，此时，故充分性成立， 若，则，解得或，故必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 【答案】(1)0.7 (2) (3)分布列见解析，数学期望为3，方差为8.5 【解题思路】（1）根据互斥事件的概率求解； （2）利用独立重复事件乘法公式计算； （3）分别得到的所有结果，并求出对应的概率，然后写出分布列并根据期望，方差公式计算. 【解答过程】（1）每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率为. （2）由独立重复试验的概率可知，这五张抽奖券恰有一张获奖的概率为. （3）依题意可得的可能取值为0，2.5，5，10， 的分布列为 0 2.5 5 10 0.3 0.4 0.2 0.1 则， . 5．（24-25高二下·山西吕梁·期末）甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析；期望为， 【解题思路】（1）求出的可能值，利用相互独立事件的概率公式求出对应概率，列出分布列. （2）求出的可能值，由（1）的信息求出对应概率，列出分布列并求出期望、方差. 【解答过程】（1）X的可能取值为：， ，，， X的分布列为 X 0 3 P 0.2 0.5 0.3 （2）Y的可能取值为：， 由（1）得，，， ，， ， Y的分布列为： Y 0 3 6 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 所以， . 题型14 二项分布与超几何分布的综合（共5小题） 1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二项分布和超几何分布的期望和方差的性质进行判断即可. 【解答过程】由题意可知服从二项分布，服从超几何分布，因此它们的期望相同， 又因为超几何分布更集中在均值附近，所以有， 故选：A. 2．（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，； (2)，理由见解析. 【解题思路】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【解答过程】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则 ， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【解答过程】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 4．（24-25高二下·云南红河·期末）2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，期望为9 (2) (3) 【解题思路】（1） 根据超几何分布计算概率及分布列进而得出数学期望； （2）应用独立重复实验概率公式计算求解； （3）应用独立事件概率乘积公式计算结合二项分布数学期望计算求解. 【解答过程】（1）由题知，的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以； （2）记“该同学仅答对道题”为事件， 则， 所以该同学在这次竞赛中仅答对道题的概率为； （3）设为该同学在类试题中只抽取道作答的总得分， 则的可能取值为，，，，，， 则， ， ， ， ， ， 所以， 设为该同学在类试题中抽取道作答答对的题数，为总得分， 则， 所以，， 因为，所以，解得， 所以的取值范围是. 5．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 【答案】(1)分布列答案见解析，均值为 (2)甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定，理由见解析 【解题思路】（1）由题意可知乙同学答对问题的个数为的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）计算出甲、乙回答问题得分的期望和方差，比较大小后可得出结论. 【解答过程】（1）乙同学答对问题的个数为，由题意可知随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （2）甲同学答对问题的个数为，则， 由二项分布的期望和方差公式得，， 甲回答问题得分为， 所以，甲得分的均值为， 方差为， 由（1）知，， 所以乙同学回答问题得分为， 所以乙得分的均值为， 方差为， 因为，， 所以，甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定. 题型15 随机变量与其他知识的交汇问题（共5小题） 1．（24-25高二下·北京房山·期末）习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析， (3) 【解题思路】(1) 有3个行业人工智能渗透度不低于，再由古典概率公式求解； (2)由可取，求出对应的频率，列出分布列，再求出数学期望即可； (3) 设，得，当且仅当，等号成立时，，再由中位数的概念进行求解． 【解答过程】（1）从上图2021年8个行业中，有3个行业人工智能渗透度不低于， 则所求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率为：． （2）从上图2022年8个行业中，有2个行业的人工智能渗透度高于， 2023年8个行业中，有4个行业的人工智能渗透度高于， 则可取， ， ， ， 得的分布列为： X 0 1 2 P 则的数学期望为：． （3）设，则， 则， 得， 当且仅当，等号成立时，， 从上图2023年8个行业中人工智能行业渗透度从小到大依次为： ， 则实数的取值范围为：. 2．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）下表为某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 米色内饰 3 5 (1)若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求，，并据此判断事件A，B是否相互独立． (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设： 假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰恰有一种同色； 假设2．一等奖为元，二等奖为元，三等奖为元； 假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望． 【答案】(1)，，A，B不相互独立； (2)一等奖：外观和内饰均异色；二等奖：外观和内饰均同色；三等奖：外观和内饰恰有1个同色，分布列见解析；期望为． 【解题思路】（1）根据古典概型的概率计算，结合条件概率的公式与独立事件的判断方法即可得； （2）典概型的概率计算与组合数的计算，可求得三种情况的概率，再得分布列及数学期望． 【解答过程】（1）因为汽车模型总共有个，即，事件A包含共个汽车模型，即， 且每个汽车模型被抽到的可能性相等，根据古典概率模型得，. 又因为事件B包含共个汽车模型，即 . 又因为事件包含3个汽车模型，即，， 由条件概率公式得， 所以，故事件A，B不相互独立． （2）①当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰均同色时，则在4款汽车模型中每款中抽2辆， 共有种结果，所以概率为. ②当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰均异色， 则只能从红色外观棕色内饰抽的汽车模型抽取1辆且从蓝色外观米色内饰的汽车模型抽1辆， 或者红色外观米色内饰的汽车模型中抽取1辆且从蓝色外观棕色内饰的汽车模型中抽取1辆，共有， 所以概率为. ③当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰恰有1个同色，则有以下四种情况： 2辆汽车模型的外观均为红色且内饰颜色不同的有种， 2辆汽车模型的外观均为蓝色且内饰颜色不同的有种， 2辆汽车模型的内饰均为棕色且外观颜色不同的有， 2辆汽车模型的内饰均为米色且外观颜色不同的有， 所以概率为. ∵，∴一等奖：外观和内饰均异色； 二等奖：外观和内饰均同色，三等奖：外观和内饰恰有1个同色． ∴，，， 其分布列为 X P ∴． 3．（24-25高二下·北京房山·期末）某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.    每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率. (1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率； (2)从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)0.6 (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）由互斥加法即可求解； （2）由二项分布的概率公式求得分布列，由期望公式计算期望即可求解. 【解答过程】（1）从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率为； （2）由题意可得，的所有可能取值为， 所以，，， ，， 所有的分布列为： 0 1 2 3 4 的数学期望为. 4．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）某知识闯关比赛分为预赛与决赛，预赛胜利后才能参加决赛，预赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加预赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行预赛闯关，，，，求该小组预赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使预赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)预赛胜利小组的三名队员都可以进入决赛，决赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某队员进入了决赛，他在决赛中第一道题答对的概率为，后两道题答对的概率均为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 【答案】(1) (2)先派出甲 (3) 【解题思路】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式来求解，或用对立事件来求解； （2）利用两类情况，通过概率分布列求解期望，再利用作差法来判断即可； （3）利用获一等奖的概率得到参数的相等关系，再利用获二等奖的概率结合消元变为函数问题，通过求导判断单调性来求最小值即可. 【解答过程】（1）解法一：设“该小组预赛胜利”，则， 所以该小组预赛胜利的概率为． 解法二：利用对立事件，； （2）由题意知，可分两类情况分别进行讨论，再比较他们期望的大小即可． 第一种情况，依次派出甲、乙、丙进行闯关，设派出的人员数目为，则的可能取值为1，2，3． 由题意可知，，，， 此时． 第二种情况，依次派出丙、乙、甲进行闯关，设派出的人员数目为，则的可能取值为1，2，3． 由题意可知，，，， 此时． 因为 而，即有，，所以． 故要使预赛派出人员数目的期望较小，应先派出甲． （3）由题意可得，于是． 则， 令，． 则，令得． 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上可知，当时，． 即的最小值为． 5．（24-25高二下·安徽宣城·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取50份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于30分的整数）分成七段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求出频率分布直方分图中的值，并估计这50份样本成绩的中位数； (2)在这50份样本答卷中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取11份，再从这11份中随机抽取3份，记为3份中成绩在的份数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）根据频率之和为1可得，即可利用中位数的计算公式求解， （2）利用超几何概率公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式求解. 【解答过程】（1）由. 又. 所以，估计这50份样本成绩的中位数为：. （2）因为三组的频率之比为，所以从三组中抽取的份数分别为. 由题意可取， 且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 题型16 相关系数的计算及应用（共5小题） 1．（24-25高二下·河北·期末）对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据散点图和相关性的关系，判断结果. 【解答过程】由散点图知，相关系数对应的散点图呈负相关， 且线性相关性比较强. 故选：B. 2．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低 C．相关系数变小 D．变量与呈负相关 【答案】A 【解题思路】根据数据的散点图，结合回归系数概念与含义，逐项判定，即可求解. 【解答过程】去掉点后，散点图中点的分布更接近一条直线，因此变量与的线性相关程度变强，故选项B错误； 由散点图，点的分布从左下角到右上角，故变量与呈正相关，故选项D错误； 因为变量与呈正相关，且相关性变强，所以相关系数变大，故A正确，C错误. 故选：A. 3．（24-25高二下·山西吕梁·期末）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最大的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据散点图中点的分布，即可判断答案. 【解答过程】由散点图可知，并且第一个图中的点更为集中，更贴近某条直线分布， 第三、四个图中的点的分布更为分散， 因此更接近于1，，的绝对值更接近于0，即最大的是. 故选：A. 4．（24-25高二下·广东中山·期末）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，， ，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）． 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 (1)求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (3)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 【答案】(1)可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 (2)需对当天的生产过程进行检查 (3)均值；标准差． 【解题思路】（1）由样本数据得相关系数，验证是否成立，然后得结论； （2）由求得，即可得到得结论； （3）剔除离群值，求剩下数据的平均值，即求得这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值.由得，即可求出剔除第13个数据，剩下数据的样本方差，即求得这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值. 【解答过程】（1）由样本数据得相关系数： ． ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． （2）∵，，∴，， 抽取的第13个零件的尺寸在以外， 需对当天的生产过程进行检查． （3）剔除离群值，即第13个数据， 剩下数据的平均数为， 即这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为； 由得：， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为， 样本标准差为， 即这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为． 5．（24-25高二下·湖北·期末）某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 【答案】(1) (2)，约为万元 【解题思路】（1）根据所给数据求出，，，，，即可求出相关系数； （2）根据（1）的结论，可判断选择模型②，令，求出关于的线性回归方程，即可求出关于的经验方程，再代入计算可得. 【解答过程】（1）因为， ， 所以， ， ， 模型①中，相关系数 ， （2）因为，所以选择模型②， 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 即， 当时，（万元）， 所以若投入经费万元，收益约为万元. 题型17 回归分析与其他知识交汇（共5小题） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】(1)，186 (2)分布列见解析，600 【解题思路】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【解答过程】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. 2．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与人校不同两门的概率各为．假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 相关系数． 【答案】(1)，回归方程为 (2)的分布列见解析； 【解题思路】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从2号门出校园的概率，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出的值. 【解答过程】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以y与x线性相关性很强， 可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从2号门出学校”为事件A，“甲从1号门进学校”为事件B， “甲从2号门进学校”为事件C， “甲从3号门进学校”为事件D， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式得： ，同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为， 为4人中从2号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 3．（24-25高二下·福建泉州·期末）随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 【答案】(1)更适合 (2)，8.1千万件 (3) 【解题思路】（1）根据散点图可判断，更适合； （2）对两边取对数可得，再结合表中数据，即可求解； （3）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【解答过程】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型. （2）由得：，即， 由表中数据得：， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为. 当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件. （3）因为，， 所以 ， 所以， 所以（元）. 4．（24-25高二下·重庆·期末）近年来，全国各地出现了多起电信诈骗案件，为了加强全国人民的防诈意识，构建和谐安全的社会环境，某市公安局组织宣传防诈小分队进行防诈法律法规宣传，该宣传小分队记录了10周以来普及的人数，得到下表： 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每周普及的人数y 85 105 130 150 185 195 220 230 320 380 并计算得，，． (1)从这10周的数据中任选3周的数据，以X表示3周中每周普及宣传人数不少于210的周数，求X的分布列和数学期望； (2)试用上表数据求出每周普及的人数y关于周数x的线性回归方程，并预测第18周大约能普及多少人？（、精确到0.1）． 附：线性回归方程中，． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1.2 (2)，570人 【解题思路】（1）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得数学期望； （2）求得线性回归方程，将代入回归直线方程，可得出结果． 【解答过程】（1）由题可知，每周普及宣传人数不少于210的有4周，可取， 则，，，， 则X的分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为． （2）， ， 所以线性回归方程， 当时，， 所以预测第18周大约能普及570人． 5．（24-25高二下·新疆喀什·期末）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； (2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据： 附：回归直线中. 【答案】(1) (2)0.7 【解题思路】（1）由数据求得回归方程系数，即可求解； （2）由全概率公式即可求解. 【解答过程】（1），， 由参考数据 所以 故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为. （2）设“在甲汽车店购买汽车”，“在乙汽车店购买汽车”， “购买的是新能源汽车”， ，，， 由全概率公式得，. 题型18 独立性检验与其他知识交汇（共5小题） 1．（24-25高二下·天津·期末）下列说法中，正确的是（ ） A．经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的 B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于1 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 【答案】C 【解题思路】根据回归方程、相关系数的意义、残差平方和、独立性检验的知识对选项逐一判断即可. 【解答过程】对于A，经验回归直线是通过最小二乘法，使所有样本点到直线的误差平方和最小来确定的， 并非由成对样本数据中的两点确定，所有A错误； 对于B，如果两个变量的相关程度越强，当是正相关时，相关系数越接近于1； 当是负相关时，相关系数越接近于，并非只接近1，所以B错误； 对于C，残差平方和是衡量回归模型拟合效果的一个重要指标，残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，所以C正确； 对于D，在独立性检验中，计算得到，而， 因为，所以不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，所以D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·广东广州·期末）为了解性别（变量x）与体育锻炼（变量y）是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值的独立性检验，附：，，下列结论不正确的是（    ） 锻炼 合计 不经常 经常 女生 15 5 20 男生 10 m n 合计 25 25 50 A． B．若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为 C．变量x与变量y独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 D．变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 【答案】C 【解题思路】AB选项，根据表中数据得到，概率为；CD选项，计算出卡方，与7.879比较后的结论. 【解答过程】A选项，根据表中数据可知，A正确； B选项，若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为，B正确； CD选项，，， 故变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005，C错误，D正确. 故选：C. 3．（24-25高二下·青海西宁·期末）某机构为了解科技工作者对deepseek的使用情况与年龄是否有关，从甲市科技工作者中抽取了200人进行调查，得到下表. 使用deepseek 不使用deepseek 总计 年轻人（40周岁及40周岁以下） 100 中老年人（40周岁以上） 30 80 总计 200 (1)补全表中数据，根据小概率值的独立性检验，是否可以认为科技工作者对deepseek的使用情况与年龄有关联？ (2)将样本中使用deepseek的频率作为甲市科技工作者中使用该软件的概率，从甲市科技工作者中随机抽取3人，记为这3人中使用deepseek的人数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，可以认为两者相关联 (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）先根据题意补全列联表，写出零假设，求得卡方值并与对应的小概率值比较即得结论； （2）先求出样本中使用deepseek的频率，依题可得，求出二项分布的分布列，利用随机变量的期望公式或二项分布的概率期望公式即可求得. 【解答过程】（1）依题意，补全列联表如下： 使用deepseek 不使用deepseek 总计 年轻人（40周岁及40周岁以下） 100 20 120 中老年人（40周岁以上） 50 30 80 总计 150 50 200 零假设为：科技工作者对deepseek的使用情况与年龄无关联， 由列联表中的数据，得. 根据小概率值的独立性检验，可以推出不成立，即可以认为科技工作者对deepseek的使用情况与年龄有关联. （2）样本中使用deepseek的频率为，由题意可知， 的可能取值为， ， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 或. 4．（24-25高二下·福建泉州·期末）近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人． 参考数据与参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中．    (1)求的值． (2)估计月消费金额的中位数 (3)依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？ 【答案】(1) (2)元 (3)有关． 【解题思路】（1）由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得答案； （2）由频率分布直方图估计中位数计算方式可得答案； （3）由题可得相关列联表，然后计算对应卡方进行独立性检验即可. 【解答过程】（1）由直方图知，各矩形面积之和为1， 则，解得； （2）由频率分布直方图知， 前3个矩形面积之和为：； 前4个矩形面积之和为： ， 设中位数为，∴， ∴，∴月消费金额的中位数为百元，即元； （3）故月消费金额超过2000元的大学生人数为人， 由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人， 由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为100人，由条件可以列出列联表： 男生 女生 合计 消费金额不超过2000元 500人 250人 750人 消费金额超过2000元 100人 150人 250人 合计 600人 400人 1000人 提出零假设：月消费金额在2000元以上的大学生与性别无关． 故， 所以在犯错的概率不超过的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关． 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取100名学生进行调查统计．数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 20 30 50 没有 10 40 50 合计 30 70 100 (1)依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； (2)在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关； (2)分布列见解析，期望为. 【解题思路】（1）先求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论即可； （2）由已知5人中有2人优秀，3人非优秀，则并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【解答过程】（1）零假设：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关联 由题设， 故依据小概率值的独立性检验，不能认为零假设成立， 故认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； （2）由分层抽样的等比例性质，5人中有2人优秀，3人非优秀， 所以优秀学生人数，且，，， 故分布列如下， 0 1 2 则. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 高二下学期期末复习真题精选（压轴90题18类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 数列求和（共5小题） 1．（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前n项和是，且满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 3．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知数列满足，则数列前100项和为__________． 4．（24-25高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 5．（24-25高二下·山东东营·期末）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 题型2 数列与不等式综合（共5小题） 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·四川南充·期末）若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25高二下·河北·期末）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为_________. 4．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，若，. (1)求； (2)记，数列的前项和，证明：. 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 题型3 数列新定义问题（共5小题） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（   ） A．31 B．63 C．127 D．255 2．（24-25高二下·北京房山·期末）对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为___________. 3．（24-25高二下·广东江门·期末）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则________. 4．（24-25高二下·北京大兴·期末）若有穷数列，，，满足如下三个性质，则称Q为数列：①项数；②，；③令集合，对，，或． (1)判断数列0，2，4，6是否是数列，并说明理由； (2)若，，，为数列，求证：对，满足； (3)已知，，，为数列，求证：当时，Q是等差数列． 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． (1)若数列的通项公式，求证：数列具有性质； (2)设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 题型4 利用导数研究函数零点（方程根）（共5小题） 1．（24-25高二下·北京房山·期末）设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（   ） A．{或} B． C．{或 D． 2．（24-25高二下·山东烟台·期末）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为__________． 4．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知函数（，为常数）． (1)若是偶函数，求的极值； (2)若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 5．（24-25高二下·广东江门·期末）已知函数，. (1)当，时，求在区间上的最值； (2)当时，若有三个零点，，， ①求的取值范围； ②判断与的大小关系，并给出证明. 题型5 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（共5小题） 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北·期末）已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津·期末）已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 5．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 题型6  利用导数证明不等式（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 2．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 3．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数为实常数，，其中. (1)时，讨论的单调性； (2)求的最值； (3)时，证明：. 4．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 题型7 导数新定义问题（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“固点”．经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心．根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知三次函数． (1)当时，求的对称中心； (2)若函数存在极大值与极小值，，求的值域． 4．（24-25高二下·河南郑州·期末）定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”. (1)若是上的“好函数”，求的取值范围； (2)（i）证明：是上的“好函数”. （ii）设，证明：. 5．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 题型8 涂色问题（共5小题） 1．（24-25高二下·福建·期末）在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．1450种 B．1480种 C．1520种 D．1560种 2．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 3．（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 4．（24-25高二下·安徽合肥·期末）现用3种不同的颜色给正六边形ABCDEF的六条边涂色，要求每种颜色都要使用，相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有__________种.    5．（24-25高二下·山东聊城·期末）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有__________种． 题型9 排列组合综合（共5小题） 1．（24-25高二下·山东菏泽·期末）用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（   ） A．15个 B．18个 C．19个 D．27个 2．（24-25高二下·广东深圳·期末）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，下列说法错误的是（   ） A．恰有一个空盒，有324种放法 B．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 C．有256种放法 D．每盒至多两球，有204种放法 3．（24-25高二下·山西·期末）某校选派了甲、乙等5名教师到三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，若甲、乙不去同一所学校，则不同的选派方法种数为（   ） A．108 B．114 C．162 D．225 4．（24-25高二下·湖南永州·期末）近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是__________． 5．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 题型10 多项式积、三项展开式问题（共5小题） 1．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．14 C． D．9 2．（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 3．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数是（   ） A．10 B．5 C． D． 4．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为____________． 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）设，且为整数. (1)求； (2)证明：； (3)求. 题型11 杨辉三角问题（共5小题） 1．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 2．（24-25高二下·广东广州·期末）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（    ）    A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．（多选题）（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 4．（24-25高二下·宁夏·期末）如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则__________． 5．（24-25高二下·广东中山·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 题型12 条件概率与全概率公式综合（共5小题） 1．（24-25高二下·辽宁·期末）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建泉州·期末）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·吉林长春·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则____________. 5．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 题型13 离散型随机变量的均值与方差（共5小题） 1．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量的分布列如下表，则“”是“”的（   ） 0 1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 5．（24-25高二下·山西吕梁·期末）甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 题型14 二项分布与超几何分布的综合（共5小题） 1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 4．（24-25高二下·云南红河·期末）2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 5．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 题型15 随机变量与其他知识的交汇问题（共5小题） 1．（24-25高二下·北京房山·期末）习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况： (1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率； (2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望； (3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明） 2．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）下表为某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 米色内饰 3 5 (1)若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求，，并据此判断事件A，B是否相互独立． (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设： 假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰恰有一种同色； 假设2．一等奖为元，二等奖为元，三等奖为元； 假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望． 3．（24-25高二下·北京房山·期末）某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.    每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率. (1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率； (2)从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为，求的分布列及数学期望. 4．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）某知识闯关比赛分为预赛与决赛，预赛胜利后才能参加决赛，预赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作预赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加预赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行预赛闯关，，，，求该小组预赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使预赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)预赛胜利小组的三名队员都可以进入决赛，决赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某队员进入了决赛，他在决赛中第一道题答对的概率为，后两道题答对的概率均为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 5．（24-25高二下·安徽宣城·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取50份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于30分的整数）分成七段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求出频率分布直方分图中的值，并估计这50份样本成绩的中位数； (2)在这50份样本答卷中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取11份，再从这11份中随机抽取3份，记为3份中成绩在的份数，求的分布列和数学期望. 题型16 相关系数的计算及应用（共5小题） 1．（24-25高二下·河北·期末）对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知10个成对数据的散点图如图所示，并对进行线性回归分析.若在此图中去掉点后，再次对进行线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数变大 B．变量与的线性相关程度变低 C．相关系数变小 D．变量与呈负相关 3．（24-25高二下·山西吕梁·期末）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最大的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高二下·广东中山·期末）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得，， ，，其中为抽取的第个零件的尺寸（）． 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸（cm） 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸（cm） 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 (1)求（）的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (3)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 5．（24-25高二下·湖北·期末）某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表： 4 6 8 10 12 27 42 55 56 60 为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②． (1)根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）； (2)若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）． 附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，， ii）参考数据：设，，，，，． 题型17 回归分析与其他知识交汇（共5小题） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 2．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与人校不同两门的概率各为．假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 相关系数． 3．（24-25高二下·福建泉州·期末）随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 4．（24-25高二下·重庆·期末）近年来，全国各地出现了多起电信诈骗案件，为了加强全国人民的防诈意识，构建和谐安全的社会环境，某市公安局组织宣传防诈小分队进行防诈法律法规宣传，该宣传小分队记录了10周以来普及的人数，得到下表： 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每周普及的人数y 85 105 130 150 185 195 220 230 320 380 并计算得，，． (1)从这10周的数据中任选3周的数据，以X表示3周中每周普及宣传人数不少于210的周数，求X的分布列和数学期望； (2)试用上表数据求出每周普及的人数y关于周数x的线性回归方程，并预测第18周大约能普及多少人？（、精确到0.1）． 附：线性回归方程中，． 5．（24-25高二下·新疆喀什·期末）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； (2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据： 附：回归直线中. 题型18 独立性检验与其他知识交汇（共5小题） 1．（24-25高二下·天津·期末）下列说法中，正确的是（ ） A．经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的 B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于1 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% 2．（24-25高二下·广东广州·期末）为了解性别（变量x）与体育锻炼（变量y）是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值的独立性检验，附：，，下列结论不正确的是（    ） 锻炼 合计 不经常 经常 女生 15 5 20 男生 10 m n 合计 25 25 50 A． B．若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为 C．变量x与变量y独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 D．变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 3．（24-25高二下·青海西宁·期末）某机构为了解科技工作者对deepseek的使用情况与年龄是否有关，从甲市科技工作者中抽取了200人进行调查，得到下表. 使用deepseek 不使用deepseek 总计 年轻人（40周岁及40周岁以下） 100 中老年人（40周岁以上） 30 80 总计 200 (1)补全表中数据，根据小概率值的独立性检验，是否可以认为科技工作者对deepseek的使用情况与年龄有关联？ (2)将样本中使用deepseek的频率作为甲市科技工作者中使用该软件的概率，从甲市科技工作者中随机抽取3人，记为这3人中使用deepseek的人数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 4．（24-25高二下·福建泉州·期末）近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人． 参考数据与参考公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中．    (1)求的值． (2)估计月消费金额的中位数 (3)依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？ 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取100名学生进行调查统计．数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 20 30 50 没有 10 40 50 合计 30 70 100 (1)依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； (2)在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $