北京市第二中学2025-2026学年高二第五学段考试数学试卷

北京二中2025—2026学年度第五学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第三册 命题人： 鲁智虎 审核人：傅靖 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上) 1.已知集合A={y=√-，B={-1,0,12},则A∩B=（) A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2 C.1,2} D.{2 2.命题：x≥1，x2+3x≥4的否定是（ ) A.3x≥1，x2+3x<4 B.3x<1,x2+3x<4 C.x≥1，x2+3x<4 D.x<1,x2+3x≥4 3.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 3 和3，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为() 4 A.3 4 B.2 C.5 D. 5 12 4某社区举行“喜迎五一”书画作品比赛，参加比赛的老年人占3，中年人占，小朋友占 ，经评审，评出一、二、三等奖作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品获奖的概 5 率分别为0.6,0.2,01，现从所有作品中任取一件，则取到获奖作品的概率为() A.0.21 B.0.4 C.0.42 D.0.58 a+6,c=6+a 5.已知a>0,b>0且a≠b,A=a+b,B=4ab, =。+6,则1，B,C的大小关系 是() A.A>B>C B.C>A>B C.A>C>B D.C>B>A 6已知a6eR,P:a>b>0,9:合<京，则P是9的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.设{a}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和.已知44=16，S=14,若存在% 使得4,4，，4。的乘积最大，则6的一个可能值是() A.7 B.6 C.5 D.4 高二年级数学第五学段考试2026年5月第1页，共4页 8.已知函数f(x)=x2-a+3在(0,1)上为减函数，函数g(x)=x2-anx在(1,2)上为增函数， 则a=( ) A.1 B.2 C.0 D.√2 9.设f(x)=ln(x-1,若关于x的方程f(x)-ax+a=0在(1,6]上有3个实根，则实数a的 取值范围是() a B 5,e c. 10.我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖 冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“|0>，1>”2种叠 加态，2个超导量子比特共有“|00>，101>，10>，111>”4种叠加态，3个超导量子比 特共有“000>，1001>，010>，1011>，100>，101>，110>，111>”8种叠加态，， 只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有W 种叠加态，则N是一个()位的数.（参考数据：1g2≈0.3010） A.18 B.19 C.62 D.63 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上） 11.现有10张奖券，其中有4张“中奖”奖券，甲、乙两人先后参加抽奖活动，每人从中 不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 12函数v=c>0)的景大伯为 l3.若a>0,e为自然对数的底数，则ea、a+1、na的大小关系是 (用小于号 “<”连接三个式子) 14.己知数列{a}满足：4=1,4=x(x∈N),a+2=a+1-a,若前2010项中恰好含有666 项为0，则x的值为 15.已知函数f(x)= cosx, ≤x≤π，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号为 et+4a,x>π ①若∫(x)有最小值，则a的取值范围是 1 --,0 ②当a>0时，若f(x)=t无实根，则t的取值范围是[am,4a]U[4a+1,+o): ③当a≤-2时，不等式f(x+2)>f(+4)的解集为(-2,2)： ④当a≥1时，若存在x<,满足-1<f(x1)=f(x2)<0,则x+x2>0 高二年级数学第五学段考试2026年5月第2页，共4页 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ax2+b2-c2=-ab,bsinC=2√5sinB. (I)求C及c; (Ⅱ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一， 求△ABC的面积. 条件①：b=4: 条件②：bsinC=V3: 条件@：cosB=V5 2 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作 答，按第一个解答计分 17.为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计 了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）： 甲单位：25,26,32,33,34,36,46,47,50,55： 乙单位：15,16,22,23,24,26,36,37,40 假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立. (I)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，己知乙单位共有1800 名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数. (Ⅱ)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户 外运动时长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望； (Ⅲ)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为5、乙单位职工户外运动时长的方差为s, 写出与S的大小关系.（结论不要求证明） 18.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD⊥DC,平面 S4D⊥平面ABCD,P为AD的中点，S4=SD=2,BC=AD=1,CD=B 2 (I)求证：SP⊥AB; (Ⅱ)求直线BS与平面SCD所成角的正弦值； (Ⅲ)设M为SC的中点，求平面SPB与平面PBM的夹角的余弦值 P A 高二年级数学第五学段考试2026年5月第3页，共4页 19.己知函数f(x)=xe",过点PL,m(∈R)有n条直线与函数y=f(x)的图象相切. (I)求函数y=f(x)的单调区间与极值： (Ⅱ)若=e,求n的值并求切线的方程； (Ⅲ)当n取最大值时，求m的取值范围. 20.己知箱圆Z:二+兰-1a>b>0,两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形. a2+6 (I)求椭圆E的标准方程； (Ⅱ)设直线(：y=x+m与椭圆E相切于第一象限内的点P,不过原点O且平行于（的 直线马与椭圆E交于不同的两点A,B,点A关于原点O的对称点为C.记直线OP的斜率为 k,直线BC的斜率为飞 @求冬的值： ②若O,P,B,C四点围成的四边形为平行四边形， S0AB的值. 21.己知有穷数列A:4,马，…，4m为单调递增数列.若存在等差数列B:b,b,…,bm+1 对于A中任意一项4，都有b,≤a<b,1,则称数列A是长为的2数列. (I)判断下列数列是否为2数列（直接写出结果）： ①数列1,4,5,8： ②数列2,4,8,16. (I)若a<b<c(a,b,c∈R),证明：数列a,b,c为2数列； (Ⅲ)设M是集合{x∈N|O≤x≤63}的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以 构成一个长为4的2数列. 高二年级数学第五学段考试2026年5月第4页，共4页 北京二中2025一2026学年度第五学段高二年级学段考试答案 数学选择性必修第三册 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上) 1.C 2.A3.D4.C5.B6.A7.D 8.B 9.A 10.B 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上） 13.Ina<a+l<e 14.8或9 15.②③④ 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16解：Q)由d+b2-c2=-ab和余弦定理可得cosC-+B-c-1 2ab 2π 因为C为△ABC的内角，所以C∈(0，)，故C= 3 由0smC=25sm2变形得b。=2V3,由正弦定理得c-25: sin B sin C (2)选择条件①：b=4, 42W5 由正弦定理得sinB√5，解得sinB=1, 2 因为B为△ABC的内角，所以B∈(0，)，故B=T 与C-2 二相互矛盾，故不存在这样的三角形， 所以我们不选择条件①： 选择条件②：bsinC=√5， 因为bsmc=V5,C=27 ，所以×=， 2 解得b=2,由余弦定理得-】=4+2-12 2=2×a×2 化简得a2+2a-8=0,解得a=2或a=-4(舍)， 所以S△ABC= 2absin C=V3: 选择条件@：0sB= 2 第1页，共8页 因为cosB=V 所以simB=1。 2 因为bsin C=2√5simB,所以b=2, 由余弦定理得3-Q2+12-4 22a×25 化简得a2-6a+8=0, 解得a=2或a=4, 当a=4时，△ABC是直角三角形，与题干不符，故排除， 所以8ec-bsnc=g 17.解：解：(1)乙单位样本中夏天户外运动时长不足20小时的职工有2人， 2 所以运动时长不足20小时的频率为 所以乙单位1800名职工，估计参加体检的职工数为1800× 40人 户外运动时长不少于35小时概率为，乙单位职工户外运 小时的展率为兮 由题意可知，X=0,1,2,3, x-叭（号名x--号周高 x-)-子+c*书p0x= 分布列如下： 123 1511 612312 E(X)=0x2+1x3 61 12 +2x号+3x1=4 1 3 123 (3)>52 18.解：(I)证明：在△SAD中，SA=SD,P为AD的中点，.SP⊥AD, 平面SAD⊥平面ABCD,且平面SADO平面ABCD=AD,SPC平面SAD, ∴SP⊥平面ABCD,又ABC平面ABCD, .SP⊥AB; 第2页，共8页 (I)在直角梯形ABCD中，ADIIBC,BC=AD,P为AD中点， BC∥PD,且BC=PD,则四边形BCDP为平行四边形， AD⊥DC,AD⊥PB, 由()可知，SP⊥平面ABCD,故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系P-, 2A 则P(0,0,0),A0,0,0),B(0,√5,0)，S(0,0,V5),C(-1,V5,0),D(-1,0,0), .BS=0,-5,√5)，CD=(0,-5,0),SD=(-1,0,-√3)， 设平面SCD的一个法向量i=(x,y,2), 「n.CD=-√3y=0 由 iSD=-x-3z=0 取=1，得x=-√3，y=0, =(-√3,0,1)为平面SCD的一个法向量， 设直线BS与平面SCD所成角为a, 则sinacos<元BSEi:BS1-V3-V2 |BS2×√6 41 :直线S与平面SCD所成角的正弦值为 4 (I)AP⊥SP,AP⊥BP,SPOBP=P,SP,BP∈平面SBP, .AP⊥平面SBP, 即PA=1,0,0)为平面SPB的一个法向量， :M为SC的中点， :点M的坐标为( 155 222 第3页，共8页 而丽-050.m=99· 设平面MPB的一个法向量为m=(。,%,), m.PB=√3，=0 必 mP是如+BwkV3 2%+ 2 20=0 取。=1，=3，%=0， .m=(√3,0,1)为平面MPB的一个法向量， 则 cosm,PA上mPA=V3_5, |ml|PA2×12 :平面SP阳与平面PBM的夹角的余弦值为5 19.解：(I)f(x)=xe的定义域为R f'(x)=(x+1)e 令f(x)=(x+1)e=0,则x=-1 (-0,-1) -1 (-1,+0) f(x) 0 f(x) 极小值7 所以y=f(x)的单调递增区间(-1，+∞)，单调递减区间为(-∞，-1)， 极小值为f(-1)=-e1,无极大值： (2)当m=e时，点P(L,e)在f(x)=xe上， 由f(x)=xe得，f'(x)=A+x)e, 设切点为(x,xeo), 则f()=1+)eo, 故切线方程为y-xe6=1+)eo(x-), 又PL,e)在切线方程上， 第4页，共8页 故e-xeo=1+x)eo1-x),整理得(-，-1)eo+e=0, 令u(x)=(x2-x-1)e*+e,x≠1， 则u'(x)=(x2-x-1+2x-1)e*=(x2+x-2)e, 令(x)>0得x>1或x<-2,令u'(x)<0得-2<x<1, 故u(x)在（←n,-2),1,+o)上单调递增，在(-2,1）上单调递减， 又(-2=2+e>0,w0)=0, 又x<-2时，x2-x-1>0,故(x)>0恒成立， 若PL,e)为切点，则f'I)=2e, 故切线方程为y-e=2e(x-1),即2ex-y-e=0: 综上，n=1,切线方程为2ex-y-e=0: (2)设切点为(t,te),f'(x)=(1+x)e, f(x)=e在亿，te)处的切线方程为y-te=1+t)e(x-t), 将P1,m)代入切线方程中得m-te=1+t)e(1-t), 整理得m=(-t2+t+1)e,令g(t)=(-t2+t+1)e, 则g')=(←2t+1-t+t+10e=(-t2-t+2)e=-t+2)t-1)e, 当g(t)<0时，解得x<-2或x>1,当g(t)>0时，解得-2<x<1, 则函数f(x)在(-0，-2)，1，+w)上单调递减，在(-2,1)上单调递增， 且极小值为-2，极大值为e, 由g0<0得-1-1>0，解得11上5或11上5 2 2 画出g()=(-t+t+1)e的图象，如下： 第5页，共8页 y=g(t) 5 e 由图可知，当- 。<m<0时，直线y=m与g)图象有3个交点，为最大值， 5 故n取最大值3时，m的取值范国为(。，0) 20.解：(1)由题意a=2c=2,从而a=2,c=1,b=√5， 所以椭圆方程为下+ =1 43 (y=kx+m (2)①由x2y2_,消y得(4k2+3)r2+8ar+4m-12=0(), =1 43 由△=(8a2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,得m2=4k2+3, 此时方程（可化为：mx+8x+16=0,解得：x=-（由条件可知：k,m异号 L ), 设P).则无=终，与=点+mk6当+m-m-4状3 m m 即P(张3 mm J 所以=装 3 因为l∥l,,所以可设直线l2:y=+n(n≠0，n≠m), y=kx+n 由E+少-1消v得(4+3)r+8%m+4r-12=0, 43 当△>0时，方程有两个不相等的实根， -8kn 4m2-12 设A(,),B(乃)，则车+5=42+3’西=4状+3 因为A,C两点关于原点对称，所以C(-x,-乃)， 第6页，共8页 所以+及t”+临士2nk+2nEk4状+33 x2+X1 x2+ x+x -8a 4k 4h, 4k2+3 所以k=店→至=1. ②设直线与y轴交于点Q,直线l2与y轴交于点N,则Sas=Sgs, S.OAB S.OnB ONI n 于是&，eS.Qe ONm-n 由①可知：OP∥BC,若O,P,B,C四点围成的四边形为平行四边形，则还需 IOPBCI,OPP=BCP, 由O可知：P(43,所以1oPP-16+9 mn in 2 又B(x2,y2),C(-,-),所以 1BCP=(%+}+4+}=(,860}+(6”}=4a6+9 4k2+3 4k2+3 (4k2+3)2, 由OPPBC可得：4m2n2=(4k2+3)2, 又2=4k2+3,所以m2=4n2，即m=±2n, S.aB S.OuBON n 当m=2n时，S.PAS.oMION- =1, 1 当m=-2n时， S.aB =S.aB =ONI n S.PAB S.04B ON m-n3 21.解：(I)根据题意可得，数列1,4,5,8是2数列；数列2,4,8,16是2数列. (Ⅱ)证明：①当b-a=c-b时，令b=a,b=b,b=c,b,=2c-b, 所以数列b,b,b,b,为等差数列，且b≤a<b,≤b<b≤c<b4, 所以数列a,b,c为2数列. ②当b-a<c-b时，令b=2b-c,b=b,b=c,b4=2c-b, 所以数列b,b,,b3,b,为等差数列，且b≤a<b,≤b<b,≤c<b,: 所以数列a,b,c为2数列. @当6-a>6-b时，令4=a,乌=2,4=c,么= 3c-a 2 第7页，共8页 所以数列b,b,,b3,b为等差数列，且b≤a<b,≤b<b,≤c<b,: 所以数列a,b,c为2数列. 综上，若a<b<c,数列a,b,c为2数列. (Ⅲ)证明：假设M中没有长为4的2数列， 考虑集合M5={16k,16k+1,…,16k+15},k=0,1,2,3. 因为数列0,16,32,48,64是一个共有5项的等差数列， 所以存在一个k,使得M中没有一个元素属于M. 对于其余的k, 再考虑集合Mk,i=16k+4j,16k+4j+1,16k+4j+2,16k+4j+3},j=0,1,2,3. 因为16k+4j,16k+4j+4,16k+4j+8,16k+4j+12,16k+4j+16是一个共有 5项的等差数列， 所以存在一个，使得Mk;中没有一个元素属于M. 因为Mk中4个数成等差数列， 所以每个Mk,中至少有一个元素不属于M. 所以集合{x∈N|0≤x≤63}中至少有16+4×3+1×9=37个元素不属于集合M. 所以集合M中至多有64-37=27个元素，这与M中至少有28个元素矛盾. 所以假设不成立 所以M中的元素必能构成长为4的2数列. 第8页，共8页