19.2.1 方差（课件）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“方差”核心知识点，通过学生考试成绩、两地气温等生活实例导入，衔接已学的平均数等集中趋势知识，引导学生发现数据波动问题，逐步构建离差平方和到方差的概念学习支架。 其亮点在于以真实情境和问题链驱动教学，如天津与新加坡气温比较、小明和小兵成绩稳定性分析，培养学生数据意识与推理能力。通过详细计算过程和典型例题，帮助学生掌握方差计算与应用，既提升学生数据分析能力，也为教师提供探究式教学素材，落实数学核心素养。

19.2.1 方差 第19章 数据的分析 19 华师大版·八年级数学下册 平均数、中位数和众数都是研究数据的集中趋势. 甲：85、90、92、88、89 乙：80、90、92、88、95 如果我们想知道数据的波动情况，该怎么办呢？ 离散程度 甲、乙两位同学最近五次的考试成绩，谁的发挥更稳定一些？ 1.离差平方和 概 念：用“ ____________________________________”所得到的结 果反映一组数据与其平均数的离散程度.这个结果称为这组数据的 离差平方和. 计算公式：设一组数据为，，， ，，用 表示这组数据 的平均数，则这组数据的离差平方和是 . 先平均，再求差，然后平方，最后求和 3 2.方差 概 念：将离差平方和平均化，这样得到的结果称为方差，通常记 为 . 计算公式：设一组数据为，，， ，，用 表示这组数据 的平均数，则这组数据的方差 ____________________________ __________________________. 注 意：对平均数相等的两组数据，一般方差较小的这组数据相对 于平均数的离散程度较小. 4 平均数、中位数和众数都是研究数据的集中趋势. 甲：85、90、92、88、89 乙：80、90、92、88、95 如果我们想知道数据的波动情况，该怎么办呢？ 离散程度 甲、乙两位同学最近五次的考试成绩，谁的发挥更稳定一些？ 问题 1 下表显示的是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温. 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 天津和新加坡的气温 单位：℃ 天津气温高 新加坡气温高 如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢？ 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 计算出两组数据的平均数，你有什么发现？ x天津 = 27 + 30 + … + 24 + 23 8 = 27.25（℃） x新加坡 = 26 + 27 + … + 27 + 27 8 = 27.25（℃） 平均气温相等 这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢？ 问题 1 下表显示的是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温. 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 天津和新加坡的气温 单位：℃ 天津气温高 新加坡气温高 如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢？ 观察下图，你感觉它们有没有差异呢？ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ ①天津 ②新加坡 天津气温波动范围较大， 最大值与最小值相差 9 ℃. 新加坡气温波动范围较小， 最大值与最小值相差 3 ℃. 稳定性：新加坡 > 天津 平均数 问题 2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的 5 次测试成绩如下表所示. 谁的成绩较为稳定？为什么？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 小明的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____； 小兵的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____. 12.4 14 10 4 12.4 15 11 4 一 离差平方和 例1 已知：有三组数据，第一组为3,5,7；第二组为2,4,6；第三组为 1,3,5.计算各组数据的离差平方和. 解：第一组数据的平均数为5，离差平方和为 ; 第二组数据的平均数为4，离差平方和为 ; 第三组数据的平均数为3，离差平方和为 . 11 二 方差 例2 比较下列两组数据的方差: 甲:0,10,5,5,5,5,5,5,5,5; 乙:4,6,3,7,2,8,1,9,5,5. 12 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 每次成绩－平均成绩 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 每次成绩－平均成绩 思 考 怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢？ 12.4 －2.4 1.6 0.6 －0.4 0.6 0 －1.4 －1.4 2.6 1.6 －1.4 0 求和的结果都是 0 你有什么更好的方法，说说你的方案. 为了避免求和时正负抵消的问题，统计中通常先进行平方，然后求和. 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 (每次成绩－平均成绩)2 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 (每次成绩－平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 体育项目测试成绩图 成绩 小明 小兵 观察成绩图， 你有什么发现？ 从图中我们可以看出： 相比之下，小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大. 通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 平均数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 每次成绩－平均成绩 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 每次成绩－平均成绩 思 考 怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢？ 12.4 －2.4 1.6 0.6 －0.4 0.6 0 －1.4 －1.4 2.6 1.6 －1.4 0 求和的结果都是 0 你有什么更好的方法，说说你的方案. 为了避免求和时正负抵消的问题，统计中通常先进行平方，然后求和. 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 (每次成绩－平均成绩)2 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 (每次成绩－平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 解： , ; , . , . 18 三 方差的应用 例3 在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄 （单位：岁）如下： 甲队:26,25,28,28,24,28,26,28,27,29; 乙队:28,27,25,28,27,26,28,27,27,26. （1）两队参赛选手的平均年龄分别是多少？ 解：两组数据的平均数分别是， . 19 （2）两队参赛选手年龄波动的情况如何？ 解：两组数据的方差分别是 ， .由 , 可知，甲队参赛选手年龄波动较大，乙队参赛选手年龄波 动较小. 20 我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和” 所得到的结果反映一组数据与其平均数的离散程度. 这个结果称为这组数据的离差平方和. 离差平方和 离差平方和的计算式就是 已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数. ( x1 － x )2 + ( x2 － x )2 + … + ( xn － x )2. 某班参加仰卧起坐测试的一组女生一分钟仰卧起坐次数如下: 44，41，43，48，45，49． （1）这组数据的平均数 44 + 41 + 43 + 48 + 45 + 49 =____； 6 x = 45 （2）这组数据的离差平方和为______. 46 思 考 如果一共进行了 7 次测试，小明因故缺席了 2 次，怎样比较谁的成绩更稳定？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13 小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11 他们的测试次数不一样，比较离差平方和合理吗？ 方 差 当两组数据所含数据的个数不同时，直接比较离差平方和显得不公平，还需要平均化，这样得到的结果称为方差，通常记为 σ2. 已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数. [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2] n σ2 = 1 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13 小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11 [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x5－ x )2] 5 σ2小明 = 1 [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x7－ x )2] 7 σ2小兵 = 1 动手 算一算 1.农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦,测得其麦穗长 单位： 分别为8,8,6,7,9,9,7,8,10,8,那么这一组数据的方差为 ( ) D A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2 26 2.科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，下表是四种花的开花 时间相关数据.从甲、乙、丙、丁中选个开花时间最短并且最平稳 的是( ) 种类 甲 乙 丙 丁 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 B A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类 27 3. 求一组数据方差的算式为: σ2 ＝ [(6－ x )2 + (8－ x )2 + (8－ x )2 + (6－ x )2 + (7－ x )2]. 由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. n 的值是 5 B. 该组数据的平均数是 7 C. 该组数据的众数是 6 D. 若该组数据加入两个数 7、7，则这组新数据的方差变小 6 和 8 C 方差是用来衡量一组数据的波动大小的特征量. 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小， 通过比较方差的大小来判断数据的稳定性. [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2] n σ2 = 1 $