第十一章 立体几何初步（单元自测·提升卷）数学人教B版必修第四册

**基本信息** 本卷为高中数学人教B版必修第四册第十一章立体几何初步单元能力提升卷，以文化情境（如勖艾亭组合体、《九章算术》刍甍）和真实问题（气球影子）为载体，覆盖空间几何体体积、线面关系、外接球等核心知识，注重空间观念与推理能力考查，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|正三棱台体积比、线面关系命题判断|结合几何直观，基础概念与空间想象结合| |多选题|3/18|圆台表面积、阿基米德多面体顶点数|多选项设计，考查空间结构分析能力| |填空题|3/15|射线夹角、星形十二面体星芒数|融入数学文化，检测抽象与创新意识| |解答题|5/77|长方体面面垂直、四面体体积比|分层设问，综合考查推理与模型构建能力|

2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十一章 立体几何初步·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D D A B A C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．ABC 10．CD 11．BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．． 13．． 14． ；． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．【详解】【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）利用正方形对角线互相垂直及侧棱垂直底面证明线面垂直，进而利用面面垂直判定定理得证； （2）利用平行线转化线面角，结合线面垂直定义找出线面角，在直角三角形中计算正弦值； （3）假设在直线上存在点使得平面，利用线面垂直的性质转化为平面几何中的垂直关系，设，利用平面向量求解出，再求解出. 【详解】（1）（3分）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）（4分）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）（6分）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面， ， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故    16．【详解】【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，先根据线面平行的判定定理证明平面，再证明，即可得到平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）先根据线面角的定义找到直线与平面所成的角，然后在中求出即可； （3）利用等体积法将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，再根据锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）（4分） 如图所示，取的中点，连接. ， . 又 平面，平面， ， ，平面， 平面. 点为中点， ，又，， ， 是平行四边形， ， 平面，又平面，平面平面； （2）（5分）由（1）知平面， 就是在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角. 在中， ，， ， . 平面，平面， ， 在中，， ， ， 平面，又平面， ， 在中，， ； （3）（6分）由（1）（2）可知，， ，且， 又知平面， 平面， 就是三棱锥的高， . 17．【详解】【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）取的中点为，连接，可得就是直线与底面所成角，利用几何关系求解即可； （2）过作，垂足为，连接，可得就是二面角的平面角，利用几何关系求解即可； （3）把多面体补成为长方体，利用求解即可. 【详解】（1）（4分）取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角. 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为； （2）（5分）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 过作，垂足为，连接，所以就是二面角的平面角， 即，在直角中，，所以，所以 同理可得，所以 所以二面角的正切值为. （3）（6分）把多面体补成如图长方体 则. 所以. 18．【详解】【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点为，连接，，根据线面垂直的判定定理得平面，从而，即可得证； （2）四面体的体积，多面体的体积可以分为中间的三棱柱和两边的三棱锥，求其体积 ，则另一部分的体积，即可得解. 【详解】（1）（5分）取中点为，连接，， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为中点，所以. （2）（12分）与间的距离为的高，所以其面积为， 由（1），四面体的体积， 设平面与四面体各棱交于点，，，， 因为平面平行于棱、，则， 所以四边形为平行四边形，且， 即四边形是矩形， 设、到平面的距离分别为，，，， 所以，，由， 所以，， 多面体的体积可以分为中间的三棱柱和两边的三棱锥， ， ， 整理后，其体积 ， 则另一部分的体积 ，所以. 19．【详解】【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解； （2）由球的体积公式即可求解； （3）将的最大值，转化为求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方，结合图形及勾股定理即可求解． 【详解】（1）（4分）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，， 所以， 的内切圆半径， 圆柱的高， 所以圆柱的表面积 ． （2）（5分）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点， 设外接圆的圆心为， 底面直角三角形外心是斜边的中点，则， ，所以， 外接球半径， 体积． （3）（8分）设底面的内心为， 由球的几何性质，的取值范围为， 代入得， 即的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方， 设点在底面的投影为，到底面的竖直距离为， ， 当取最大值（即在圆柱上底面或下底面的圆周上）时，竖直分量最大；同时水平分量的最大值出现在底面内切圆圆周上， 因此的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得， 在中，内切圆半径，外接圆半径为， 内心到外心的距离为， ， ， 故． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十一章 立体几何初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 2．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 5．四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 7．图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（    ） A． B．8 C． D． 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ） A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 10．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（    ） A．共有18个顶点 B．共有32条棱 C．表面积为 D．体积为 11．如图，空间中两个矩形和相互垂直，满足，，分别是线段上的动点，以下正确的是（    ） A．若为的中点，则与所成角的正弦值为 B．若，则平面 C．若，时，则为梯形 D．若，则三棱锥体积的最大值为 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是__________ ． 13．已知墙面与地面互相垂直，，一个气球（视为球）悬在空中．某时刻，太阳光线（视为平行直线）与恰好垂直，气球的影子在上的长度为2，影子在墙面上与距离最大的点到的距离为1，在地面上与距离最大的点到的距离为2，则该气球的半径为________． 14．图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有____________个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是____________．（参考数据：） 三、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 16．（15分）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 17．（15分）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 18．（17分）如图，在四面体中，，，，与间的距离为（即与、同时垂直相交的线段长为），且. (1)求证：； (2)若这个四面体被平行于棱、的平面截成两部分，设、到平面的距离比为，求证：这个四面体被平面分成的两部分（棱和交四面体组成的五面体与棱和交四面体组成的五面体）的体积比是. 19．（17分）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积； (3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十一章 立体几何初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正三角形面积比等于边长比的平方求出上下底面积比，再利用棱台体积公式求出棱台体积，最后通过三棱锥体积公式求出两部分体积并计算体积比. 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比， 设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式可得： ， 又因为在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：， ， 因此体积比：. 2．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）. 【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线， 平面，平面， 但是平面与平面不平行，（1）不正确； 对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确； 对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确. 3．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设上靠近D的三等分点为E，连接，      因为，分别为棱，上靠近点的三等分点， 所以，则且， 四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角， 因此线面角，得，则, 由.得且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 则（或其补角）即为异面直线，所成角； 作，垂足为F，则，则， 故，则； 由平面，平面，则， 结合，平面，则平面， 则平面，平面，则， 而，故， 在中，，则, 即异面直线，所成角的余弦值为. 4．如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 【答案】D 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确. 5．四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定四棱锥外接球的半径，再分析外接球被平面所截的截面圆半径的取值范围，进而得到截面面积的范围. 【详解】由题意可知， 在中，， 故， 在中，， 故， 因此都在以为直径的球面上， 四棱锥的外接球直径就是，得外接球半径，球心为中点， 又因为，，故是等边三角形，为中点， 由等边三角形三线合一的性质，球心到直线的距离为定值， 对于任意过直线的平面，球心到平面的距离满足：， 所以对应平面，存在且不与其他顶点重合，保留， 若，则球心在平面内，由共线得也在平面内， 此时与重合，不构成四棱锥，故， 由球的截面性质，截面圆半径满足：， 代入的范围得：，故截面面积. 6．如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】先确定截面与正方体棱的交点，确定所截几何体形状，求出，体积， 最后求最小值． 【详解】 平面截正方体，设与交于，如左图； 平面截正方体，设与交于，如右图． 根据对称性，，． 设，则，． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． ， 当，取最小值为． 7．图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为，可得该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上，且,由几何关系可得,解方程即可求解. 【详解】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为， 设正六棱锥的上顶点为,正六棱柱底面的中心为, 连接，则,正六棱柱底面 该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上， 且, 设该几何体外接球的半径为,则,解得：, 所以球的体积为 8．中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】过作平面交平面于，过作交于，交于，过作交于，连接，根据题中条件可以得到为侧面与底面ABCD所成的角，由得到，同理可得，则有，过作平面平面，交于，交于， 则五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，分别求出体积即可得解. 【详解】过作平面交平面于，过作交于， 交于，过作交于，连接， 平面，平面， ， ，，平面， 平面，平面， ， 为侧面与底面ABCD所成的角， 各侧面与底面ABCD所成角均为， ， ， 平面，平面， ， ，，平面， 平面，平面， ， 为侧面与底面ABCD所成的角， 各侧面与底面ABCD所成角均为， ， ，同理， ， ，， ， ， 过作平面平面，交于，交于， 则五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥， ，侧棱平面， ， ， ， 该五面体的体积为， 该“刍甍”的体积为. 故选：C. 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ） A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 【答案】ABC 【分析】根据题意，求出圆台的上下底面圆半径、母线长和高，运用侧面积公式和体积公式，即可一一判断正误即得. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为， 依题意，解得，，解得， 又圆台的母线长为， 故圆台的高故A、B均正确； 圆台的侧面积为， 所以圆台的表面积为，故C正确； 圆台的体积为，故D错误. 故选：ABC. 10．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（    ） A．共有18个顶点 B．共有32条棱 C．表面积为 D．体积为 【答案】CD 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】由图知该多面体有24个顶点，36条棱，AB错误； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 则该多面体的表面积为，C正确； 正八面体可分为两个全等的正四面体，其棱长为， 过作平面于，连接，如下图：    由平面，且平面，得， 正方形中，由边长为，则对角线长为，则， 在中，，则， 正八面体的体积为， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积为，D正确． 故选：CD 11．如图，空间中两个矩形和相互垂直，满足，，分别是线段上的动点，以下正确的是（    ） A．若为的中点，则与所成角的正弦值为 B．若，则平面 C．若，时，则为梯形 D．若，则三棱锥体积的最大值为 【答案】BD 【分析】对于A，根据异面直线的定义得到即为与所成的角，结合几何关系求解即可；对于B，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理及面面平行的性质定理证明即可；对于C，根据余弦定理求出或，结合选项判断即可；对于D，根据等体积法及二次函数性质求解即可. 【详解】对于A，取中点，连接，. 矩形中，，， 因为为中点，所以，，所以. 由题意知，平面平面， 因为平面平面 平面，所以平面. 又平面，所以.\ 因为为中点，所以，且，所以. 所以即为与所成的角. 在中，， 故与所成角的正弦值为，A错误. 对于B，如图，过点作，交于，连接. 因为，平面，平面，所以平面，且. 又，所以，所以. 矩形中，，所以. 又平面，平面，所以平面. 又，所以平面平面. 又平面，所以平面，B正确. 对于C，矩形中，，，所以，. 矩形中，，所以为正方形，所以，. 中，由余弦定理得，， 即，整理得， 解得或. 当时，，则. 由选项B知，平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 因为，，所以，，则. 同理可得，由选项A知，，所以， 所以为梯形.同理可判断，当时，不为梯形. 故若，时，不一定为梯形，故C错误. 对于D，过点作，交于，过点作，交于. 由选项A知，平面，则即为点到平面的距离. 设 ，则. 在中，，，所以. 则， 所以当时，取得最大值，为，故D正确. 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是__________ ． 【答案】 【分析】过上任一点作平面，则即为直线与平面所成角的平面角，根据线面垂直及三角形全等得到，结合三角函数求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 在上任取一点并作平面， 则即为直线与平面所成角的平面角． 过点作，，. 因为平面，平面，所以，. 又平面，，所以平面， 又平面，所以，同理. 又，，所以，所以. 又，所以，所以. 设，在中，；在中，. 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 13．已知墙面与地面互相垂直，，一个气球（视为球）悬在空中．某时刻，太阳光线（视为平行直线）与恰好垂直，气球的影子在上的长度为2，影子在墙面上与距离最大的点到的距离为1，在地面上与距离最大的点到的距离为2，则该气球的半径为________． 【答案】 【分析】设气球的球心为，过球心作垂直于太阳光线的平面，该平面与墙面和地面分别相交于直线和，因为太阳光线与垂直，所以，，已知气球的影子在上的长度为 2，设影子在上的两个端点分别为，则，影子在墙面上与距离最大的点到的距离为 1，设该点为，则到的距离（为在上的投影），影子在地面上与距离最大的点到的距离为 2，设该点为，则到的距离（为在上的投影），设气球的半径为，球心到的距离为，到墙面的距离为，到地面的距离为，且满足： ，根据圆的切线性质得到和，由影子在上的长度，结合勾股定理得到，通过计算得到. 【详解】设气球的球心为，过球心作垂直于太阳光线的平面， 该平面与墙面和地面分别相交于直线和， 因为太阳光线与垂直，所以，， 已知气球的影子在上的长度为 2，设影子在上的两个端点分别为，则， 影子在墙面上与距离最大的点到的距离为 1，设该点为， 则到的距离（为在上的投影）， 影子在地面上与距离最大的点到的距离为 2，设该点为， 则到的距离（为在上的投影）， 设气球的半径为，球心到的距离为， 到墙面的距离为，到地面的距离为，且满足： ， 根据圆的切线性质： 在墙面上：， 在地面上：， 由影子在上的长度，结合勾股定理， 球心到直线的距离与半径的关系为： ， 由 和 ，可得： ， 将、代入，再结合 ， 得： ， 展开并整理： ，， 解得（半径为正数，舍去）.    14．图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有____________个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是____________．（参考数据：） 【答案】 【分析】结合图形可判断出星芒的个数；将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星，计算出正五棱锥侧面积和底面积之比即可. 【详解】由图可知，每个星形十二面体有个星芒， 将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星， 则这个正五角星的五个顶点在圆上，连接，则垂直平分，设， 正五棱锥的侧面积等于，底面积等于， 正五边形的每个内角为，则，故， 则，所以，，， 设，则，则， ，则， 所以，将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为 ， 故答案为：；. 三、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）利用正方形对角线互相垂直及侧棱垂直底面证明线面垂直，进而利用面面垂直判定定理得证； （2）利用平行线转化线面角，结合线面垂直定义找出线面角，在直角三角形中计算正弦值； （3）假设在直线上存在点使得平面，利用线面垂直的性质转化为平面几何中的垂直关系，设，利用平面向量求解出，再求解出. 【详解】（1）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面， ， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故    16．（15分）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，先根据线面平行的判定定理证明平面，再证明，即可得到平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）先根据线面角的定义找到直线与平面所成的角，然后在中求出即可； （3）利用等体积法将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，再根据锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1） 如图所示，取的中点，连接. ， . 又 平面，平面， ， ，平面， 平面. 点为中点， ，又，， ， 是平行四边形， ， 平面，又平面，平面平面； （2）由（1）知平面， 就是在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角. 在中， ，， ， . 平面，平面， ， 在中，， ， ， 平面，又平面， ， 在中，， ； （3）由（1）（2）可知，， ，且， 又知平面， 平面， 就是三棱锥的高， . 17．（15分）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）取的中点为，连接，可得就是直线与底面所成角，利用几何关系求解即可； （2）过作，垂足为，连接，可得就是二面角的平面角，利用几何关系求解即可； （3）把多面体补成为长方体，利用求解即可. 【详解】（1）取的中点为，连接，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，所以就是直线与底面所成角. 又底面为矩形， 在直角中， 直线与底面所成角的正弦值为； （2）设二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为 所以，因为平面，所以平面. 过作，垂足为，连接，所以就是二面角的平面角， 即，在直角中，，所以，所以 同理可得，所以 所以二面角的正切值为. （3）把多面体补成如图长方体 则. 所以. 18．（17分）如图，在四面体中，，，，与间的距离为（即与、同时垂直相交的线段长为），且. (1)求证：； (2)若这个四面体被平行于棱、的平面截成两部分，设、到平面的距离比为，求证：这个四面体被平面分成的两部分（棱和交四面体组成的五面体与棱和交四面体组成的五面体）的体积比是. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点为，连接，，根据线面垂直的判定定理得平面，从而，即可得证； （2）四面体的体积，多面体的体积可以分为中间的三棱柱和两边的三棱锥，求其体积 ，则另一部分的体积，即可得解. 【详解】（1）取中点为，连接，， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为中点，所以. （2）与间的距离为的高，所以其面积为， 由（1），四面体的体积， 设平面与四面体各棱交于点，，，， 因为平面平行于棱、，则， 所以四边形为平行四边形，且， 即四边形是矩形， 设、到平面的距离分别为，，，， 所以，，由， 所以，， 多面体的体积可以分为中间的三棱柱和两边的三棱锥， ， ， 整理后，其体积 ， 则另一部分的体积 ，所以. 19．（17分）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积； (3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解； （2）由球的体积公式即可求解； （3）将的最大值，转化为求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方，结合图形及勾股定理即可求解． 【详解】（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，， 所以， 的内切圆半径， 圆柱的高， 所以圆柱的表面积 ． （2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点， 设外接圆的圆心为， 底面直角三角形外心是斜边的中点，则， ，所以， 外接球半径， 体积． （3）设底面的内心为， 由球的几何性质，的取值范围为， 代入得， 即的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方， 设点在底面的投影为，到底面的竖直距离为， ， 当取最大值（即在圆柱上底面或下底面的圆周上）时，竖直分量最大；同时水平分量的最大值出现在底面内切圆圆周上， 因此的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得， 在中，内切圆半径，外接圆半径为， 内心到外心的距离为， ， ， 故． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年人教B版必修第四册数学单元自测 第十一章 立体几何初步·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 2．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 5．四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 7．图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（    ） A． B．8 C． D． 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法正确的是（    ） A．高为 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为 10．“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（    ） A．共有18个顶点 B．共有32条棱 C．表面积为 D．体积为 11．如图，空间中两个矩形和相互垂直，满足，，分别是线段上的动点，以下正确的是（    ） A．若为的中点，则与所成角的正弦值为 B．若，则平面 C．若，时，则为梯形 D．若，则三棱锥体积的最大值为 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是__________ ． 13．已知墙面与地面互相垂直，，一个气球（视为球）悬在空中．某时刻，太阳光线（视为平行直线）与恰好垂直，气球的影子在上的长度为2，影子在墙面上与距离最大的点到的距离为1，在地面上与距离最大的点到的距离为2，则该气球的半径为________． 14．图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有____________个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是____________．（参考数据：） 三、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 16．（15分）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 17．（15分）在多面体中，底面为矩形，平面， (1)求直线与底面所成角的正弦值； (2)求二面角的正切值； (3)求三棱锥的体积. 18．（17分）如图，在四面体中，，，，与间的距离为（即与、同时垂直相交的线段长为），且. (1)求证：； (2)若这个四面体被平行于棱、的平面截成两部分，设、到平面的距离比为，求证：这个四面体被平面分成的两部分（棱和交四面体组成的五面体与棱和交四面体组成的五面体）的体积比是. 19．（17分）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． (1)求该圆柱的表面积； (2)求该直三棱柱的外接球O的体积； (3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $