精品解析：2026年甘肃省武威市凉州区武威第二十七中学数学中考 模拟预测试卷

2026年甘肃省武威市数学中考人教版模拟预测试卷 一、单选题（共30分） 1. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（ ） A. 36 B. 12 C. 9 D. 6 4. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边交于点N，给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②若点M是边的中点，则点N一定为的中点；③在点M的运动过程中，是一个定值；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 6. 如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（ ） A. 80，82 B. 81，82 C. 80，80 D. 81，80 9. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A. 12 B. C. D. 10. 如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 二次根式有意义，则m的取值范围________． 12. 若实数，同时满足，，则的值为______． 13. 已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 14. 如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 15. 如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 16. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______． 17. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形窗户，其外轮廓是一个正八边形，外轮廓示意图如图2的正八边形所示，若对角线，则对角线的长为______． 18. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图所示是斐波那契螺旋线的一部分，其中最小的正方形边长为1，则这一部分螺旋线的长度为_______． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 解不等式组． 21. 如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，，反比例函数的图象经过的中点． （1）求反比例函数的表达式： （2）已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值． 23. 汉字是世界上最古老的文字之一，是中华优秀传统文化的重要载体．现有正面分别印着“生”“肖”“午”“马”古文字的四张不透明卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张． （1）小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是___________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的概率．（不分先后顺序） 24. 为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． （1）求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 25. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1） __________，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； （3）若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； （4）学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 26. 假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度．在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣．测量中，他们在河边的缓坡上的点处安装测角仪，，绘制测量示意图如图，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且．请你帮亮亮和华华计算出河宽．（精确到参考数据：，，，） 27. 如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． （1）求该抛物线的表达式： （2）过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省武威市数学中考人教版模拟预测试卷 一、单选题（共30分） 1. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 2. 中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵每次降价的百分率为 ∴第一次降价后的售价为 元 ∴第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降，售价为元 又∵现在每台售价为 元 ∴可列方程为 ． 3. 如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（ ） A. 36 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 4. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出． 【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于  ，平分，    在中，，      ， 即  ∴  ∴  ∴  5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边交于点N，给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②若点M是边的中点，则点N一定为的中点；③在点M的运动过程中，是一个定值；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义以及矩形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点M与点N， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即，故①正确； ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∴若点M是边的中点，则点N一定为的中点，故②正确； 由点B的坐标为， 可知点，点，点， ∴，， ∴，即是一个定值，故③正确； 在与只有， 根据已知条件无法证明，故④无法确定． 综上，上述结论中，所有正确结论的序号是①②③ ． 6. 如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据题意先求出，，再利用求解即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ． 7. 如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，证明，，得出，，证明，得出，证明，说明B、C、G、D四点共圆，求出外接圆的直径为2，即可得出答案． 【详解】解：延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、G、D四点共圆， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴外接圆的直径为2， ∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2， ∴的最大值为2， ∵E是延长线上一点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 8. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（ ） A. 80，82 B. 81，82 C. 80，80 D. 81，80 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数的定义计算出5人的总成绩，求出丙的成绩，再根据众数的定义得到众数，即可得到被遮盖的两个数据． 【详解】解：∵这5名同学的平均成绩为80， ∴丙同学的成绩为， ∵这5名同学的成绩中，成绩为80的人数最多， ∴众数为80， ∴缺失的两个数据依次为80，80． 9. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 由条件可知， ， ， 由条件可知， ， 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 10. 如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴对角线长为， ∴转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2026次经过的路线长为：． 故选：D． 二、填空题（共24分） 11. 二次根式有意义，则m的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 13. 已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，一元一次不等式组的整数解，解分式方程等知识，解不等式组得，所以正整数的值为4、5、6、7，解分式方程得，再分别求出的值即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得：， ∴正整数的值为4、5、6、7， 解分式方程得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴分式方程有整数解的概率为， 故答案为： 14. 如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由三角形的中位线性质可知，，所以要使最大，只要达到最大即可，当与重合时，达到最大，这样即可求解本题． 【详解】解：如图，连接，， 正方形的面积为， ， ， 点为的中点，点为的中点， ， 当有最大值时，有最大值， 点是边上的动点， 当点与点重合时，有最大值为， 的最大值为． 15. 如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，设与交于点Ｅ，利用线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，正切函数的应用，求解即可； 【详解】解：连接，，，设与交于点Ｅ， ，与相切，切点分别为C，D． 则，，， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______． 【答案】30 【解析】 【分析】根据旋转可得，再根据等边对等角和三角形内角和的性质进行求解即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， ∴， ∴． 17. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形窗户，其外轮廓是一个正八边形，外轮廓示意图如图2的正八边形所示，若对角线，则对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先求出，再证明，则，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵八边形是正八边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，． 18. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图所示是斐波那契螺旋线的一部分，其中最小的正方形边长为1，则这一部分螺旋线的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出由内往外扇形的半径，再求出每个扇形的弧长，最后相加求和即可． 【详解】解：由题意可知，由内往外第一个扇形的半径为1，第二个扇形的半径为1，第三个扇形的半径为2，第四个扇形的半径为3，第五个扇形的半径为5，这五个扇形的圆心角都为， 根据弧长计算公式可得：第一个扇形的弧长为， 第二个扇形的弧长为：， 第三个扇形的弧长为：， 第四个扇形的弧长为：， 第五个扇形的弧长为：， 则这一部分螺旋线的长度为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质熟知以上知识是解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式：， 去括号得， 移项，合并同类项得； 解不等式：， 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为得， 原不等式组的解集为． 21. 如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，结合证明即可； （2）先证明，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，，反比例函数的图象经过的中点． （1）求反比例函数的表达式： （2）已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再求得，然后运用待定系数法求解即可； （2）连接，，，再证明可得，即，然后代入（1）所得的函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：等腰直角三角形的顶点，， ，轴， ， 又∵点是的中点，设点， ， ， 反比例函数的图象经过点， ，解得：， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图：连接，，， ， ∴， 是等腰直角三角形，点是的中点， ，，， ，即 将点绕点逆时针旋转， ，即， ， ， 恰好落在的图象上， ， 23. 汉字是世界上最古老的文字之一，是中华优秀传统文化的重要载体．现有正面分别印着“生”“肖”“午”“马”古文字的四张不透明卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张． （1）小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是___________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的概率．（不分先后顺序） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单概率公式进行求解； （2）画树状图求概率． 【小问1详解】 解：小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，其中小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的结果有4种， （小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”）． 24. 为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． （1）求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元 （2）有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱 【解析】 【分析】（1）设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，根据“购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元”列方程组求解即可； （2）设购进A型设备m台，则购进B型设备台，根据“总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半”列不等式组求出m的值，得出方案；再列出总费用的函数关系，根据一次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 根据题意得：． 解得：． 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元． 【小问2详解】 解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台， 根据题意得：， 解得：． ∵m为整数， ∴，8，9，10， ∴共4种购进方案； 总费用， ∵，故W随m增大而减小， ∴当时，W最小，此时， 最小费用（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱． 25. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1） __________，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； （3）若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； （4）学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 【答案】（1），图见解析 （2） （3）喜欢“篮球”运动的学生约有人 （4） 【解析】 【分析】（1）结合两个统计图确定喜欢“羽毛球”的人数和占比，相除即可得出调查的人数，再作差求出喜欢“乒乓球”的人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据喜欢“足球”的学生的占比，乘以即可； （3）由喜欢“篮球”在样本中的占比，乘以全校的学生人数即可； （4）画出树状图，根据结果计算概率即可． 【小问1详解】 解：根据统计图可知，喜欢 “羽毛球”的学生数为人，占比为， ∴调查人数（人）， ∴喜欢 “乒乓球”的学生数为（人）， 条形统计图补全如下： 【小问2详解】 解：， ∴“足球”所对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：(人)， 答：喜欢“篮球”运动的学生约有人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B两名同学的结果有2种， ∴恰好选中A和B两名同学的概率为． 26. 假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度．在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣．测量中，他们在河边的缓坡上的点处安装测角仪，，绘制测量示意图如图，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且．请你帮亮亮和华华计算出河宽．（精确到参考数据：，，，） 【答案】河宽约为 【解析】 【分析】延长，交于点，先解直角三角形求出的长，再在中，解直角三角形即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， 由题意得：，，，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：河宽约为． 27. 如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的判定证明即可； （2）连接，，证明，，证明即可； （3）由（2）可知，得到，利用勾股定理和（２）的结论求解即可； 【小问1详解】 证明：连接，则 ， 为的直径， 即， 又 为的切线； 【小问2详解】 证明：连接，则， ， 与相切于点 ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：（3）由（2）可知， 为的直径 ， ； 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． （1）求该抛物线的表达式： （2）过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】（1）； （2）当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为； （3）点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）将点，点代入，解方程组，可得和的值，从而可得抛物线的表达式； （2）用点的横坐标表示四边形的面积，由二次函数的性质，可得当面积最大时点的横坐标，从而可得点的坐标，作平行四边形，作点关于轴的对称点，连接，，由两点之间线段最短，结合勾股定理，即可得的最小值； （3）将原抛物线向右平移一个单位，向下平移一个单位，可得新抛物线，由点和点的坐标可得直线的解析式，作轴，点在直线上，作，结合已知可得与新抛物线的交点为点，作关于对称的直线，作，交于点，可得，从而可得点的坐标，进而求得的解析式，与新抛物线联立，解方程组，得到满足题意的另一个点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ∴将两点坐标代入得： 解方程组得：， ∴抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴， 设直线的解析式为，则 解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设与轴交于点，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， 设所在直线解析式为，则， 解得，， ∴所在直线解析式为， 设， ∵， ∴， 当四边形的面积： 作轴于点，连接， , ∴, ∴， 当时，四边形的面积最大，． 此时，， 作平行四边形，则，， ∵， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，，则， ∴，， ∴， 答：当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴新函数， 即， 对称轴为， 作轴，交新函数图象于点， ∵， ∴， ∵点，点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ∴直线与的交点坐标为， ∵， ∴为直线与新抛物线的交点， ∵轴， ∴，， 作，则， ∴， ∵， ∴， ∴与新抛物线的交点为， 过点作轴，交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， ∵，，，， ∴，， 连接，，则四边形为平行四边形， 与交点记为，则为的中点， ∵，， ∴， 作与关于对称，作，交于点，则， ∴， 连接并延长，交于， ∴， ∴与关于点对称， 设，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 由得或， ∴， 答：点的横坐标为或． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数与几何综合，求一次函数的解析式，直线与抛物线的交点，勾股定理，二次函数图象的平移，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $