专题04 复数（期末复习讲义）高一数学下学期苏教版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04复数（期末复习讲义） 内容导航 明。期床考清 把握命题趋势，明确备考路径 记。必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01复数的分类 题型02复数相等的充要条件 题型03复数与复平面内的点的关系 题型04数代数形式的乘法运算 题型05复数代数形式的除法运算 题型06复数的三角形式 题型07复数的代数形式表示成三角形式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点) 1.复数基本概念与分类：复 熟记复数的标准形式与相 命题趋势：期末选择填空基础必考，属于送分 数定义、实部与虚部识别、关定义，能精准识别复数 题型，出题频率极高。易错点：忽略虚部包含 实数/虚数/纯虚数判定、共 实部、虚部，可准确判定 符号；纯虚数判定遗漏实部为0的核心条件； 轭复数求解 复数类型、熟练求解任意 混淆共轭复数的虚实部符号规则。 复数的共轭复数。 2.复数四则基本运算：复数 掌握复数四则运算规则， 命题趋势：本章核心计算考点，选择填空、基 加减、乘法展开、除法分 牢记2=-1核心性质，能 础解答题高频考查，是期末必考运算题型。易 母实数化、混合运算 规范完成复数加减乘除及 错点：惯性误将2算为1；复数除法不会构造 混合运算，熟练掌握除法 共轭实数分母；展开运算符号出错、虚实部合 分母实数化技巧。 并混乱。 3.复数模长计算与性质：复熟记复数模长计算公式， 命题趋势：高频基础考点，常结合复数运算综 数模长公式、模长运算、 理解模长的实数属性，能 合考查。易错点：模长计算忘记开平方；混淆 利用模长求值 快速求解任意复数的模 复数模与实数绝对值；复杂运算中模长公式套 长，可利用模长性质解决 用错误。 简单参数求值问题。 1/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.复数几何意义综合应 理解复数与复平面内点、 命题趋势：中档拔高题型，期末少量考查，侧 用：复平面对应点与向量、 平面向量的一一对应关 重数形结合能力。易错点：混淆复平面实轴、 复数几何意义、模长几何 系，能准确转化复数几何 虚轴对应含义；无法将复数模问题转化为平面 最值 模型，可利用几何意义求 距离问题；几何建模思维薄弱。 解简单最值问题。 记·必备知识 知识01 复数的基本概念与分类 【核心标准定义】 1.复数标准形式：形如z=a+ba,b∈R)的数统称为复数，其中a为实部，b为虚部，虚数单位满足 2=-10 2.复数分类： 实数：b=0,z=a;虚数：b≠0；纯虚数：a=0且b≠0。 3.复数相等条件：两个复数相等当且仅当实部、虚部分别对应相等。 4.共轭复数：若z=a+bi,则共轭复数z=a一bi,特征：实部不变，虚部变号。 【典型示例】 已知复数z=5-3i,则：实部a=5,虚部b=-3,属于虚数，共轭复数z=5+3i。 ∫m-2=0 若z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数，则m+1≠0：解得m=2。 【专属易错警示】 1.虚部是完整实数（含符号)，不是绝对值，易错将z=5-3i虚部当作3， 2.纯虚数判定必须同时满足实部为0、虚部不为0，极易遗漏虚部非零条件； 3.混淆共轭复数规则，出现实部变号、虚部不变的反向错误； 4.忽略复数相等的双向条件，只对比实部或只对比虚部。 局知识02 复数的四则运算 【核心标准定义】 =a+bi,z2=c+di(a,b,c,dER) 2/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.加减运算：实部、虚部分别对应相加减 z1±z2=(a±c+(b±di 2.乘法运算：多项式展开，化简后代换2=一1 zz2=(ac-bd)+(ad+bc)i 3.除法运算：分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数 号-周-+(e,≠0 4.常用结论：z:元=a2+b2=2(实数，高频化简工具) 【典型示例】 1.乘法计算：(2+31-=2-2i+3i-32=5+i (1+ 2除法计算：挡==号= 【专属易错警示】 1.惯性错误：将2计算为1，是复数运算最高频失分点； 2.除法运算不会分母实数化，或误乘自身而非共轭复数； 3.多项式展开符号混乱，虚实部合并计算失误， 4.忽略z·z为实数的性质，化简过程繁琐、步骤冗余出错。 ®知识03 复数的模与几何意义 【核心标准定义】 1.复平面：横轴为实轴(x轴)，纵轴为虚轴(y轴)，区别于直角坐标系 2.一一对应关系：复数2=a十b对应复平面内点Z(ab)、对应向量0Z=(a,b): 3.复数的模：向量的模长，=Va2+b2,模为非负实数： 4模的核心性质：21到=.引-哥。 【典型示例】 复数z=3-4对应复平面点6，-4).模-32+(-4=5。 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 已知z1=1+i,z2=2i,则21z=zz=V2×2=22。 【专属易错警示】 1.混淆复平面坐标轴，误将虚部对应×轴： 2.模长计算遗漏开根号，直接计算a2+b2作为模长， 3.无法数形结合，不会将z一z转化为平面距离求解最值； 4.混淆复数模与实数绝对值，错误套用实数运算规律。 破·重难题型 巴题型一 复数的分类 解题技|巧 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式，以确定实部和虚部 (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化 为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可. (3)下结论：设所给复数为a+bi(a,b∈R), ①z为实数曰b=0. ②z为虚数白b≠0. ③z为纯虚数曰a=0且b≠0. 【典例1】“a=-1或a=1"是“复数z=a2-1+a+1i为纯虚数"的() A.充分非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 【变式1】已知复数z=(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i:分别求出z符合下列条件的实数m的值， 1)实数； (2)纯虚数： 3)零 【变式2】已知i是虚数单位，复数z=(m2-5m+6+(m2-3m)i,m∈R。 (1)当复数z为实数时，求m的值； 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当复数z为纯虚数时，求m的值. 题型二复数相等的充要条件 答|题|技|巧 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复 数问题实数化思想的体现 (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的 【典例1】已知复数(a+b-4)+(1+ai=0(a,b∈R),则b= 【变式1】若实数xy满足(x+y-3)+(x-4)i=0,则() x=4 x=4 x=4 A. B. c. y=3 (y=1 y=-1 y=1 【变式2】已知i为虚数单位，若4-3a-ai=a2+4ai,则实数a的值为（) A.1 B.1或-4 C.-4 D.0或-4 题型三 复数与复平面内的点的关系 答|题|技|巧 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示，是解决此 类问题的根据。 (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 【典例1】（多选）已知复数z满足zi=7-i,则下列说法正确的是() A.共轭复数z=1-7i B.模长z=5√2 C.复数z在复平面内对应的点位于第三象限D.z-z=141 【变式1】若复数z满足z=-1-i,则复平面内表示复数z的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2】已知复数z=3-2i,则该复数所对应的点在复平面的() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型四复数代数形式的乘法运算 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 答|题|技|巧 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开.②再将P换成-1.③然后再讲行复数的加、减运簯. (2)常用公式 ①(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,beR).②(a+bi(a-bi)=a2+b2(a,beR).③(1±i)2=±2i. 【典例1】若2-i =a-1+2bia,b∈R),则3a-b=() A.9 B.-9 C.11 D.-11 【变式1】（多选）若复数a-3i)(1+bi=-1-5i,则a+b的值可以是() A.1 c D.-4 【变式2】在复平面内，0是原点，已知向量0Z=(m,1),向量0Z,=(1,-m)对应的复数分别是，22，且 222=2,则m=() A.-1 B.1 C.-1或1 D.0 它题型五复数代数形式的除法运算 答|题|技巧 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式， ②再将分子、分母同乘以分母的共复数. ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式， (2)常用公式 1+i 【典例1】己知复数z=m2+m-2+(m-1i(meR),其中i为虚数单位 (1)若z是纯虚数，求实数m的值； 2)若m=2,设2 =a+bi(a,beR),试求a+b的值. z-i 【变式1】已知i是复数的虚数单位，且3-2i=a+i(a,beR),则a+b的值为 i 【变式2】设i为虚数单位，若复数-a为纯虚数，则a=() 1+i 6/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-1 B.1 c.0 D.2 它题型六复数的三角形式 答|题|技|巧 (1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定为锐角），其次判断是否要变换三角函 数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点一定名→定角”. 【典例1】任何一个复数z=a+bi(其中a、beR,i为虚数单位)都可以表示成：z=r(cos0+isin0)的形 式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： z”=[r(cos0+isin0)]”=r(cosne+isinn0)(neN),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，若 r=1,0=亚时，则z5=；对于neN,n≥2， (k-1)π. .(k-1)π -sin 4 【变式1】（多选）己知方程x”=1在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆.下 列复数是方程x°=1的根的是() A.1 B.i c.-15 Γ22 D.c0s40°-isin40° 【变式2】（多选）己知方程x”=1在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆.下 列复数是方程x”=1的根的是() A.1 B.i 1V3 C.- 1 D.c0s40°-isin40° 22 它题型七复数的代数形式表示成三角形式 答|题技|巧 (1)先求复数的模； (2)决定辐角所在的象限； (3)根据象限求出辐角（常取它的主值）； (4)写出复数的三角形式. 则二面角的平面角∠AEB=(元，n)或π-（瓜，）， 【典例1】（多选）已知复数2=+5：(：为虚数单位)，下列说法正确的是() 22 A.z3=-1 B.z2-z+1=0 C.z2+z4+…+z2026=0 D.若复数满足=z,则3，-2的最小值为1 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式l】棣莫弗公式(cos0+isin0)”=cosne+isinn0neN）是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数 0=cos+isin云，则g'=（) 6 6 A.-15 1 c.13 D.51 22 22 22 22 【变式2】任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成三角形式z=r(cos0+isin0)(其 中r≥0,0eR),数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：[r(cos0+isin0)]=r(cosne+isinne)(n∈N). 己知复数z= 1+51,则：0的虚部为（） 2 A.V3 C. D. 2 2 2 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下江苏无锡·月考)设z1,z2均为复数，在复平面内，已知31对应的点的坐标为 (m2-4m+3,m-1,且22对应的点在第一象限. (1)若复数z,为纯虚数，求实数m的值： 2)若=V5,且3是关于x的方程x2-2ax+a2+1=0(aeR)的一个复数根，求三i Z 2.(24-25高一下江苏南京期末)已知复数2-1+i-() A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i 3.(24-25高一下江苏常州期末)已知复数z满足z2+4=0,则2+2的值为 4.（24-25高一下江苏常州期末)设复数z-+i (i为虚数单位)，则复数z的虚部是() 1-i A.1 B.-1 C.i D.-i 5.（24-25高一下江苏淮安·期未)已知复数z在复平面上对应点在第四象限，且=√2，z的虚部为-1. (1)求复数z: (2)设复数z、2、z2在复平面上对应点分别为A,B,C,求AB.AC的值。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25高一下江苏淮安期末)i为虚数单位，《2+i)的值为() A.5 B.5 C.2 D.4 2.(24-25高一下江苏南京·期末)（多选）已知z,2是复数，z,是2的共轭复数，下列说法正确的是(）. A.若=，则z1=±z2 B.若z22=0,则1=0或22=0 C.若z是纯虚数，则z<0 D.若z1-22=0,则z1+z3∈R 3.(24-25高一下江苏泰州期末)（多选）设z是z的共轭复数，则下列说法正确的有（) A.z-z是纯虚数 B.z+z是实数 C.远是实数 D.2-s2z 4.(24-25高一下江苏泰州期未)已知复数，在复平面内所对应的点分别为1,5)和(0,1)，则三=() A.5-i B.√5+i C.-√5-i D.-√5+i 5.(2425高-下江苏徐州期未)已知复数=60s+i,=1+-5sn小，e0） 当x=时，求3和-2： (2)设，z2在复平面内对应的点分别为A,B,O为原点，若OA⊥OB,求x. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(24-25高一下.江苏徐州期末)已知iz=3+i,则z的虚部为() A.-3 B.-1 C.1 D.3 2.（24-25高-下江苏常州期未)（多适）已知复数2={+5 ,则() 22 A.2=1 B.2=1 C.z2+z+1=0 D.z3+1=0 3.（24-25高一下江苏镇江期末)在①z222=4,②z2=2cosx+2 isinx，③2，=2这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中的横线上，并解答： 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 己知复数3,2，满足z=1-i, 1)若互为实数，求复数： Z, (2)若复数z,2在复平面内的对应点为Z,Z2,且0Z,⊥0Z,,求复数22· 4.(24-25高一下江苏镇江期末)（多选)已知复数、22，则() A.若z=z2,则= B.若互为纯虚数，则也为纯虚数 C.若=，则+是实数 D.若z2+z=0,则1=22=0 5.(24-25高一下江苏镇江·期末)（多选）已知，z2∈C,下列说法中正确的有() A,若，+2eR,则= B.若z=z,则= C.若2122=0，则21=0或z2=0 D.若eR,且云+∈R,则1 Z 10/10 专题04 复数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 复数的分类 题型02 复数相等的充要条件 题型03 复数与复平面内的点的关系 题型04 数代数形式的乘法运算 题型05 复数代数形式的除法运算 题型06 复数的三角形式 题型07 复数的代数形式表示成三角形式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点） 1. 复数基本概念与分类：复数定义、实部与虚部识别、实数/虚数/纯虚数判定、共轭复数求解 熟记复数的标准形式与相关定义，能精准识别复数实部、虚部，可准确判定复数类型、熟练求解任意复数的共轭复数。 命题趋势：期末选择填空基础必考，属于送分题型，出题频率极高。易错点：忽略虚部包含符号；纯虚数判定遗漏实部为0的核心条件；混淆共轭复数的虚实部符号规则。 2. 复数四则基本运算：复数加减、乘法展开、除法分母实数化、混合运算 掌握复数四则运算规则，牢记核心性质，能规范完成复数加减乘除及混合运算，熟练掌握除法分母实数化技巧。 命题趋势：本章核心计算考点，选择填空、基础解答题高频考查，是期末必考运算题型。易错点：惯性误将算为1；复数除法不会构造共轭实数分母；展开运算符号出错、虚实部合并混乱。 3. 复数模长计算与性质：复数模长公式、模长运算、利用模长求值 熟记复数模长计算公式，理解模长的实数属性，能快速求解任意复数的模长，可利用模长性质解决简单参数求值问题。 命题趋势：高频基础考点，常结合复数运算综合考查。易错点：模长计算忘记开平方；混淆复数模与实数绝对值；复杂运算中模长公式套用错误。 4. 复数几何意义综合应用：复平面对应点与向量、复数几何意义、模长几何最值 理解复数与复平面内点、平面向量的一一对应关系，能准确转化复数几何模型，可利用几何意义求解简单最值问题。 命题趋势：中档拔高题型，期末少量考查，侧重数形结合能力。易错点：混淆复平面实轴、虚轴对应含义；无法将复数模问题转化为平面距离问题；几何建模思维薄弱。 知识01 复数的基本概念与分类 【核心标准定义】 1. 复数标准形式：形如的数统称为复数，其中为实部，为虚部，虚数单位满足。 2. 复数分类： 实数：，；虚数：；纯虚数：。 3. 复数相等条件：两个复数相等当且仅当实部、虚部分别对应相等。 4. 共轭复数：若，则共轭复数，特征：实部不变，虚部变号。 【典型示例】 已知复数，则：实部，虚部，属于虚数，共轭复数。 若为纯虚数，则，解得。 【专属易错警示】 1. 虚部是完整实数（含符号），不是绝对值，易错将虚部当作3； 2. 纯虚数判定必须同时满足实部为0、虚部不为0，极易遗漏虚部非零条件； 3. 混淆共轭复数规则，出现实部变号、虚部不变的反向错误； 4. 忽略复数相等的双向条件，只对比实部或只对比虚部。 知识02 复数的四则运算 【核心标准定义】 设 1. 加减运算：实部、虚部分别对应相加减 2. 乘法运算：多项式展开，化简后代换 3. 除法运算：分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数 4. 常用结论：（实数，高频化简工具） 【典型示例】 1. 乘法计算： 2. 除法计算： 【专属易错警示】 1. 惯性错误：将计算为1，是复数运算最高频失分点； 2. 除法运算不会分母实数化，或误乘自身而非共轭复数； 3. 多项式展开符号混乱，虚实部合并计算失误； 4. 忽略为实数的性质，化简过程繁琐、步骤冗余出错。 知识03 复数的模与几何意义 【核心标准定义】 1. 复平面：横轴为实轴（x轴），纵轴为虚轴（y轴），区别于直角坐标系； 2. 一一对应关系：复数对应复平面内点、对应向量； 3. 复数的模：向量的模长，，模为非负实数； 4. 模的核心性质：，。 【典型示例】 复数，对应复平面点，模长。 已知，则。 【专属易错警示】 1. 混淆复平面坐标轴，误将虚部对应x轴； 2. 模长计算遗漏开根号，直接计算作为模长； 3. 无法数形结合，不会将转化为平面距离求解最值； 4. 混淆复数模与实数绝对值，错误套用实数运算规律。 题型一 复数的分类 解｜题｜技｜巧 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【典例1】“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 【变式1】已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 【答案】(1)或(2)(3) 【分析】（1）根据复数为实数的定义可得； （2）根据复数为纯虚数的定义可得； （3）根据复数为零的定义可得. 【详解】（1）因为，所以复数的实部为，虚部为， 若复数为实数， 则，解得或. 因此，或时，复数为实数. （2）若复数为纯虚数， 则，解得； 因此，时，复数为纯虚数. （3）若复数为零， 则，解得； 因此，时，复数为零. 【变式2】已知是虚数单位，复数． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值. 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据复数为实数得出方程解出即可； （2）根据复数为纯虚数得出方程组解出即可. 【详解】（1）由复数， 当复数为实数时，，解得：或. （2）由复数， 当复数为纯虚数时，，解得：. 题型二 复数相等的充要条件 答｜题｜技｜巧 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【典例1】已知复数，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 【变式1】若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，解得 【变式2】已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 题型三 复数与复平面内的点的关系 答｜题｜技｜巧 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【典例1】（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．共轭复数 B．模长 C．复数在复平面内对应的点位于第三象限 D． 【答案】BC 【详解】由，得，所以，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故C正确； ，故D错误. 【变式1】若复数满足，则复平面内表示复数的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以，即复数在复平面内对应的点为，所以复平面内表示复数的点位于第二象限. 【变式2】已知复数，则该复数所对应的点在复平面的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数，所对应的点在复平面的第四象限 题型四 复数代数形式的乘法运算 答｜题｜技｜巧 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开．②再将换成．③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①．②．③． 【典例1】若，则（   ） A．9 B． C．11 D． 【答案】D 【详解】， ∴，∴，∴. 【变式1】（多选）若复数，则的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 则或． 【变式2】在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0 【答案】B 【分析】先写出，的代数形式，根据列方程组求解. 【详解】∵向量，向量对应的复数分别是，， ∴，. 又∵， ∴，解得， 故选： 题型五 复数代数形式的除法运算 答｜题｜技｜巧 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【典例1】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 【变式1】已知是复数的虚数单位，且，则的值为______． 【答案】 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 【变式2】设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案. 【详解】，所以且，解得. 故选：B 题型六 复数的三角形式 答｜题｜技｜巧 （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【典例1】任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，，________． 【答案】 【详解】当，时，， 所以； ，令， 则，， ， 而， 则，， 所以． 【变式1】（多选）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】ACD 【详解】，A正确；，B错误； 依题意方程的个根在复平面内对应的点九等分单位圆， 已知是其中一个根，则个根的幅角依次为， 即根为， 当时，有，C正确； 当时，有，D正确. 【变式2】（多选）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】ACD 【详解】，A正确；，B错误； 依题意方程的个根在复平面内对应的点九等分单位圆， 已知是其中一个根，则个根的幅角依次为， 即根为， 当时，有，C正确； 当时，有，D正确. 题型七 复数的代数形式表示成三角形式 答｜题｜技｜巧 （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 则二面角的平面角或， 【典例1】（多选）已知复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若复数满足，则的最小值为1 【答案】ABD 【分析】根据复数乘法三角表示的几何意义计算可判断A；代入计算可判断B；根据复数乘法三角表示的几何意义及三角函数性质计算可判断C；设，根据复数模的几何意义计算可判断D. 【详解】对于A，因为复数，， 所以复数的三角形式可表示为， 由复数乘法三角表示的几何意义可知，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 由三角函数性质可知，周期为6， 因为， 又因为，所以 所以，故C错误； 对于D，设复数， 因为，所以，， 则， 当时，有最小值为，即的最小值为1，故D正确. 【变式1】棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 【变式2】任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏无锡·月考）设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由复数的类型可得的实部为0，虚部不为0，以此求解即可； （2）利用实系数二次方程根与系数的关系及模长条件，求出，再代入所求式子化简即可. 【详解】（1）由题意得， 若复数为纯虚数，则有，且，解得. （2）方程的判别式， 故有两共轭复数根，设，则另一个根为， 因为对应的点在第一象限，所以， 由韦达定理得，解得，且， 所以有，解得， 所以， 则. 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复数除法化简即可. 【详解】. 故选：A 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【分析】根据复数的乘方求出复数z，结合复数的模的计算，即可得答案. 【详解】复数满足，即， 故，则， 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 5．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为. (1)求复数； (2)设复数、、在复平面上对应点分别为，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，，根据题目条件建立方程组求解出，即可求解. （2）先根据共轭复数的定义及复数的运算法则求出，；再根据复数的几何意义写出相应点的坐标；最后根据平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）设复数，. 因为复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为. 则，解得：， 所以. （2）因为， 所以，. 则，，， 所以，. 所以. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）为虚数单位，的值为（    ） A． B．5 C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算结合复数模的计算公式可得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）已知，是复数，是的共轭复数，下列说法正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则或 C．若是纯虚数，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数知识和性质进行判断即可. 【详解】对于选项A： 假如，，此时，但，所以A错误； 对于选项B： 设， 所以. 所以， 若，即，方程组显然成立； 若，即，方程组显然成立； 若，将代入第二个式子中得. 由得，则，此时； 综上，所以B正确； 对于选项C： 假设是纯虚数，此时，C正确； 对于选项D： 设，所以，D正确. 故选：BCD. 3．（24-25高一下·江苏泰州·期末）（多选）设是的共轭复数，则下列说法正确的有（    ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是实数 D． 【答案】BCD 【分析】复数，则，再利用复数的概念，四则运算及模长公式逐项验证即可. 【详解】设复数，则， 所以，当时，为实数，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，， 所以，故D正确； 故选：BCD. 4．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知复数在复平面内所对应的点分别为和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，可得，然后利用复数的乘法、除法运算可求. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点分别为和， 所以， 则. 故选：A. 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知复数，，. (1)当时，求和； (2)设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角函数求复数标准式，由复数的乘法以及加减，结合模长公式，可得答案； （2）由复数的几何意义写出点的坐标，根据数量积的坐标计算以及三角函数的辅助角公式，可得答案. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 则. （2）由已知得，， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，即. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则的虚部为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则化简即可. 【详解】由题意得，，故的虚部为. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的性质、复数的运算即可解答. 【详解】因为， 所以， ， . 所以； ； . 故选：ABD. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数，，满足，________________. (1)若为实数，求复数； (2)若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数. 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）选择①，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； 选择②，由为实数，结合复数运算可得，解方程可得结论， 选择③，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； （2）选择①或③，设，由条件可得，，解方程求可得结论. 选择②，由条件可得，解方程求可得结论. 【详解】（1）选择条件①，设，，， 又为实数， ，，即，，解得或， 故或. 选择条件②，，为实数，， 即，， 则，解得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 故或. 选择条件，为实数，设， ,则，解得或， 故或. （2）选择条件①、，，， 设，则， 又，，即， 又，， 解得或， 故或. 选择条件②，，，， ，即， 化简得，又， 则，解得， 当为偶数时，； 当为奇数时， ， 故或. 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）（多选）已知复数、，则（    ） A．若，则 B．若为纯虚数，则也为纯虚数 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】AC 【分析】设，根据共轭复数的定义、复数的模长公式、复数运算可判断AC选项；取，，结合复数的运算、复数的概念可判断BD选项. 【详解】对于A选项，设，若，则， 所以，A对； 对于B选项，不妨取，，则为纯虚数， 但为实数，B错； 对于C选项，设，若，则， 所以为实数，C对； 对于D选项，不妨取，，则， 但且，D错. 故选：AC. 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）（多选）已知，，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，且，则 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例即可；对于B：利用复数的平方等于复数模的平方，即可求得结果； 对于C、D设出复数，，利用复数的运算即可求得结果. 【详解】对于A：若，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，故，故选项B正确； 对于C：设，因为，得到， 故或，若，则，解得：，故， 同理若，得，故C正确； 对于D：设则，由， 所以，故，故D正确； 故选:BCD 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $