专题02 三角恒等变换（期末复习讲义）高一数学下学期苏教版

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角恒等变换（期末复习讲义） 内容导航 明期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识育区 破•重难题型 题型分类突破，方法枝巧精讲 题型01两角和与差的正（余）弦公式 题型02两角和与差的正切公式 题型03给角求值 题型04给值求值 题型05三角恒等式的证明 题型06辅助角公式的应用 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明•期末考情 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点） 1.两角和与差公式：正 熟记两角和与差的全套三 命题趋势：期末基础必考，选择填空高频考 弦、余弦、正切和差公 角公式，能准确拆分非特 角度求值，解答题常作为化简第一步打底公 式 非特殊角拆分求值、 殊角，可规范完成三角函 式。易错点：余弦公式符号记反、正切公式 简单三角式化简 数式的求值、化简与恒等 忽略定义域限制；角度拆分不合理导致计算 变形。 繁琐。 2.二倍角公式：正、余 掌握二倍角公式的三种余 命题趋势：中档核心考点，是三角化简、最 弦、正切二倍角公式，余 弦变形，能根据题型灵活 值、图像问题的核心工具，考频极高。易错 弦三形式互换、降幂变形 选用公式，可熟练完成升 点：公式遗漏系数2；余弦三种形式不会灵 应用 幂、降幂化简及角度变换 活切换；未结合角度范围判断三角函数正 计算。 负。 3.辅助角公式（重难 理解辅助角公式推导逻辑 命题趋势：本章压轴考点，期末解答题高频 点)：公式结构、辅助角 与结构特征，能准确化简 考查，是三角综合题必考工具。易错点：忘 判定、三角式标准化化 asin x+b cos x型式子， 记根号系数、辅助角象限判断错误；化简后 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 简、最值与周期求解 可精准求解三角函数最 忽略自变量定义域，导致最值求解出错。 值、周期、单调区间。 4.三角恒等综合应用：多 能整合和差、二倍角、辅 命题趋势：期末拔高考点，侧重考查公式灵 公式嵌套化简、条件求 助角公式进行嵌套变形 活变通能力，区分度高。易错点：公式混 值、恒等式证明、综合最 可结合已知条件规范求解 用、变形思路混乱；不会统一角度与函数 值问题 三角值，独立完成恒等证 名；忽略隐含角度范围导致多解、错解。 明与综合最值问题。 记·必备知识 知识1 两角和与差的三角函数公式 【核心标准定义】 1.正弦公式：sin(o±β)=sina cosβ±cos a sinβ： 2.余弦公式：cos(c±β)=cos a cosβ干sina sinβ； 3.正t切公式：tan(a±B)ana生ianB。(a,B,atB≠号+k)。 1千tand tanβ 2 【典型示例】 计算sin75°。 解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°= V6+V2 4 【易错警示】 1.记错余弦公式符号，和差符号与展开符号相反： 2.忽略正切公式定义域限制，导致无意义运算； 3.不会拆分非特殊角，无法灵活套用公式。 知识 二倍角公式 【核心标准定义】 1.正弦二倍角：sin2o=2 sina cos0: 2.余弦二倍角（三式）：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2o; 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2tand 3.正切二倍角：tan2c= 1-tana 【典型示例】 已知sina号a为能角，求c0s2a。解：cos2a=1-2sin'a=1-2x9 3 2525° 【易错警示】 1.混淆二倍角公式，遗漏系数2；2.不会根据题型灵活选用余弦二倍角三公式；3.忽略角度范围，符号 判断错误。 知识03 辅助角公式（重难点） 【核心标准定义】 1.通用公式： asinx+b cosx=√a2+bsin(x+p)月 2.其中tanp=b 用于化简正弦型函数、求最值周期。 【典型示例】 化简sinx+cosX。解：原式-号2sin(X+平).。 【易错警示】 1.记错辅助角公式系数，忘记开根号；2.辅助角φ象限判断错误；3.化简后忽略函数定义域，最值求解 出错。 破·重难题型 题型一两角和与差的正（余）弦公式 解|题技|巧 己知a,P的某种三角函数值，求Q±P的正弦，先要根据平方关系求出Q、P的另一种三角函 数值.求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知 函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】已 n sina --3 .cosa=4 ,则 4V3-3 4V3+3 4-3v3 4+3V5 A.10 B.10 C.10 D.10 3,则cosa=() 6 √6 6 6 A.3 B.9 C.3 D.9 【变式2】（多选）下列各式化简正确的是() A.cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos60° B.cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30° C.sin(+45)sina+cos(4)coscs45 元）1 D. cos a-- -sina 题型二两角和与差的正切公式 答|题|技|巧 tan(a+β)= tana+tanB 公式 1-tan d tanp的变形tana+tanB=tan(a+F)-tan a tanB)应予以灵活运用. tana= tan a+- 【典例1】若 4,则 3=() 3v5 33 A.55 B.-5W5 C.7 D.7 【变式1】计算： tan23°+tan22°(1+tan23)= 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】.tan600° 1+tan75 tan75o-1=() A.0 82V5 C.2 D.-25 心型三 给角求值 答|题|技|巧 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同 个非特殊角与特殊角的差)，利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差 的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值. 【典例1】(1)求值sin50+V5am10)】 (2)已知a,B都是锐角，cosa= 7,cos(a+B)三-14，求cosB的值. 【变式1】已知函数/()=2 2sinxcos+V5cos2x π (1)求 （6)的值： (2)求函数 (x) 的最小正周期： 0交 (3)求函数∫()在区间2上的最大值及相应的x的值. 【变式2】(1)已知 sin2a 5,cosB=-72 10，其中4<a< 4,0<B<π求角20-B的值. cosl0°1+V3tanl0°）-2sin50° (2)化简： 1-cos10 题型四给值求值 答|题|技|巧 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关 系，适当地拆角与凑角 (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的 变换有： ①a=(a-)+B,②9 a=a+B.a-B 2 2:®2a=(a+B)+(a-B):④2B=(a+B)-(a-B) 【典例1】已知simB=3cos(a+B)=-1,则sina+2BA)=() 1 C.3 1 A.1 B.1 D.-3 π tan a+- =2 【变式1】已知 4),则sina+2sin2a的值为() 13 8 A.10 B.13 c. D.13 5 sin π +a= 【变式2】已知气(4 -<a< 5,且2 sin ,则4a 的值为() 2V5 2W5 4 4 A.5 B C.5 D.5 题型五三角恒等式的证明 答|题|技|巧 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简： (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子： (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异 I求同： (4)比较法：设法证明“左边一右边=0或“左边/右边=1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，」 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 就可以断定原等式成立， tan(a-Y）,sin2B tan2B =1 =1 【典例1】已知tana sina,求证：tanatany 【变式1】已知sinasin≠0，且in(a-B)=2 sinasin6 ,证明： 1 1 =2 (1)tanp tana 2os(a+川=2os年+a-B 【变式2】设△MBC 三个内角分别为 4B,C,函数fm=snn1+sin+sinnC(eN). 回老C-子，求f0的取值范国。 (2)证明：fm)>0当且仅当sinnA4,sinnB,sinnC中至少有两个大于0； (3)当△ABC为锐角三角形时，若fm)恒大于0或恒小于0，求出所有大于3的n值 巴题型六 辅助角公式的应用 答题|技|巧 辅助角公式的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和 变形使用， (2)把形如)=asinx+-bcosx化为y=Va+bsin(x+p),可进一步研究函数的周期、单调性. f(x)=2sin(2x+o)+cos2x 【典例1】若函数 2是奇函数，则 4-V5 4+V3 A.2 B.2 C.2 D.2 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x)-sinox--cosox(0<o<3) 【变式1】（多选）已知函数 6 一个零点是6，函数 =+8.则) [51 A.在区引上的作为兰 B.g(x)=3sin2x C.若方程了()-g()的相邻的两根分别为a:A,则口-小-=受 D.西数 【变式2】将函数y=sin2x-√5cos2x的图象向左平移3个单位长度，得到函数f(x)的图象，则 A.1 B.-1 C.V3 D.-V3 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下江苏常州期末)已 知m=(5sin,2sin),n=(2cosx,simx),函数f=m:n-l (1)求函数(x)的最小正周期和对称中心： 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin(a-B) 10,求B的值. 2.(24-25高一下江苏常州期末)在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,C.若 sinB+2 sin CcosA=0,则角B的最大值为() A.6 π B.4 c.3 D.3 3.(2425有-下江苏准交期末已知9=(oa如a）,5-(sm.aB0引.a6-号. tana-tanB=-1 国求os(a-B）,os(a+P)的值： (2)求sin2a的值. 4.(24-25高一下江苏准安期末)在△ABC中，若tan4,tanB是关于x的方程 x2+p(x+1)+1=0 的两个 实根，则cos2C=一 3√5 52425高下江苏准安期末)，（多选）已知42，日 sina+cosa= 且 5,下列结论正确的有 () A.tin B.cos2a=-3 c. 2 D sinacosa= 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下江苏连云港期末)已知向量i=(sinx,cosx-sinr),b=(2W5cosx,cosr+sinr) 函数 f(x)=a.B 求/()的最小值 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ☒利E室的引.了-2了付-a0带有能.求灰a的歌位在 2,（2425高-下江苏泰州期未)已知m04) π）1 3,求下列各式的值 (1)tana 1+sin2a (2)1+sin2a+cos2a 3.(2425高下江苏泰州期末)已知质数f=smr-5 Boox./)=e@,列，则s的值为 () 35-1 V15-1 V15+1 3W5+1 A.8 8 C.8 D.8 4.(2425有一下红亦徐州期未)（多选）在钱角6C中，sm(4+)-号，m(4-列-片，则{) 2 A.sin Acos B= 5 B.tan A=2tan B C.m(4+=} D.tan4=2+6 5,(245有-下Ema-引a君-9，用m}) 15 1 A.16 8 c.16 D.8 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 3x 、元 a= 1. (24-25高一下江苏常州期末)已知向量 a若a+=1,求x的值： (2)若f()=a:b,求函数9 )=f)x-石)的最大值. 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ae ππ 2.(24-25高一下江苏常州期末)已知 sin(a+B)=sin(d-p54 则tana= 3.(2425商一下江苏镇江期末)已知向量a=(osa,s血o),a0,,石=(6o20,cos小Be爱 0e+引8。风 ②若向量=(4,3)与向量a共线且月-1，求in(20+A)的值. tan39°+tan8I+tanc=√5 4.(24-25高一下江苏镇江期末)已知0°≤a≤180°满足tan39°tan81° 则C的值为() A.30° B.60 C.120 D.150° 5245有-江苏江期末已a0.色。 求a+3)的值 2)若os(a+p月)=72 10,求cosP的值， 11/11 专题02 三角恒等变换（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两角和与差的正（余）弦公式 题型02 两角和与差的正切公式 题型03 给角求值 题型04 给值求值 题型05 三角恒等式的证明 题型06 辅助角公式的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点） 1. 两角和与差公式：正弦、余弦、正切和差公式，非特殊角拆分求值、简单三角式化简 熟记两角和与差的全套三角公式，能准确拆分非特殊角，可规范完成三角函数式的求值、化简与恒等变形。 命题趋势：期末基础必考，选择填空高频考角度求值，解答题常作为化简第一步打底公式。易错点：余弦公式符号记反、正切公式忽略定义域限制；角度拆分不合理导致计算繁琐。 2. 二倍角公式：正、余弦、正切二倍角公式，余弦三形式互换、降幂变形应用 掌握二倍角公式的三种余弦变形，能根据题型灵活选用公式，可熟练完成升幂、降幂化简及角度变换计算。 命题趋势：中档核心考点，是三角化简、最值、图像问题的核心工具，考频极高。易错点：公式遗漏系数2；余弦三种形式不会灵活切换；未结合角度范围判断三角函数正负。 3. 辅助角公式（重难点）：公式结构、辅助角判定、三角式标准化化简、最值与周期求解 理解辅助角公式推导逻辑与结构特征，能准确化简型式子，可精准求解三角函数最值、周期、单调区间。 命题趋势：本章压轴考点，期末解答题高频考查，是三角综合题必考工具。易错点：忘记根号系数、辅助角象限判断错误；化简后忽略自变量定义域，导致最值求解出错。 4. 三角恒等综合应用：多公式嵌套化简、条件求值、恒等式证明、综合最值问题 能整合和差、二倍角、辅助角公式进行嵌套变形，可结合已知条件规范求解三角值，独立完成恒等证明与综合最值问题。 命题趋势：期末拔高考点，侧重考查公式灵活变通能力，区分度高。易错点：公式混用、变形思路混乱；不会统一角度与函数名；忽略隐含角度范围导致多解、错解。 知识01 两角和与差的三角函数公式 【核心标准定义】 1. 正弦公式：； 2. 余弦公式：； 3. 正切公式：（）。 【典型示例】 计算。 解：。 【易错警示】 1. 记错余弦公式符号，和差符号与展开符号相反； 2. 忽略正切公式定义域限制，导致无意义运算； 3. 不会拆分非特殊角，无法灵活套用公式。 知识02 二倍角公式 【核心标准定义】 1. 正弦二倍角：； 2. 余弦二倍角（三式）：； 3. 正切二倍角：。 【典型示例】 已知，为锐角，求。解：。 【易错警示】 1. 混淆二倍角公式，遗漏系数2；2. 不会根据题型灵活选用余弦二倍角三公式；3. 忽略角度范围，符号判断错误。 知识03 辅助角公式（重难点） 【核心标准定义】 1. 通用公式：； 2. 其中，用于化简正弦型函数、求最值周期。 【典型示例】 化简。解：原式。 【易错警示】 1. 记错辅助角公式系数，忘记开根号；2. 辅助角象限判断错误；3. 化简后忽略函数定义域，最值求解出错。 题型一 两角和与差的正（余）弦公式 解｜题｜技｜巧 已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值． 【典例1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 【变式1】已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 【变式2】（多选）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A： ，故A正确； 选项B： ，故B正确； 选项C： 原式整理为，故C正确； 选项D： 原式展开得， 和题干给出的结果不符，故D错误. 题型二 两角和与差的正切公式 答｜题｜技｜巧 公式的变形应予以灵活运用． 【典例1】若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 【变式1】计算：__________． 【答案】1 【详解】， 又， 即， 故． 【变式2】．（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 . 题型三 给角求值 答｜题｜技｜巧 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值． 【典例1】（1）求值； （2）已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先进行切化弦，再结合辅助角公式及诱导公式可得； （2）先由同角三角函数基本关系式可得正弦值，再通过变角，再用两角差的余弦公式可得. 【详解】（1）原式 . （2）解：由，是锐角，得 因为，是锐角，所以 又因为，所以 ∴. 【变式1】已知函数． (1)求的值； (2)求函数的最小正周期； (3)求函数在区间上的最大值及相应的的值． 【答案】(1); (2); (3)最大值为，此时. 【分析】（1）先化简解析式为，再计算的值即可； （2）根据计算函数的最小正周期即可； （3）由，计算，进而求出函数在区间上的最大值，再求解相应的的值即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由得， 故函数的最小正周期为； （3）因为，所以，所以，， 所以函数在区间上的最大值为， 此时，又，所以，解得， 故函数在区间上的最大值为，此时. 【变式2】（1）已知，，其中，.求角的值. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求出的余弦和的正弦，再利用两角差的正弦求出的值，从而可求的值； （2）利用同角三角函数基本关系式可得，再利用辅助角公式和两角差的正弦可求三角函数的值. 【详解】（1）因为，且，，可得， 所以， 则. 因为，，可得， 又因为，， 所以，，可得， 所以，所以. （2）原式 . 题型四 给值求值 答｜题｜技｜巧 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． 【典例1】已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又，所以． 【变式1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和的正切公式得，再通过二倍角公式及齐次式计算可得. 【详解】由三角恒等变换可知，解得， 原式. 【变式2】已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，即可得出的值. 【详解】由题意，， ， ∵， ∴， ∴， ∴. 题型五 三角恒等式的证明 答｜题｜技｜巧 三角恒等式证明的常用方法 （1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简； （2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； （3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同； （4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； （5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 【典例1】已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用商数关系，综合运用和差角正余弦公式、平方关系整理化简，即可证. 【详解】由题设，， 从而，得， 则， 得， 则， 进而得，即， 所以． 【变式1】已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【变式2】设的三个内角分别为，函数. (1)若，求的取值范围； (2)证明：当且仅当中至少有两个大于； (3)当为锐角三角形时，若恒大于或恒小于，求出所有大于的值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理与辅助角公式，结合正弦函数的性质即可求解； （2）先证明：当时，有及取等条件，再进行分类讨论即可证明； （3）根据题意分和两种情况讨论，结合（2）中结论与正弦函数性质即可求解. 【详解】（1）时， . ，，， 故的取值范围为. （2）先证明：当时，有. 因为当时， ， 第一个等号当且仅当与同号时成立， 第二个等号当且仅当时成立，所以式成立. ①若，，都小于或等于0，则； ②若，，中有两个小于或等于0，不妨设，，，则； ③若，，中有两个大于0，不妨设，，， 则，，则由上证明可得：； ④若，，都大于0，则. 综上，原命题得证. （3）当时，不妨设. 由于为锐角三角形，故，所以，即，. 由（2）得. 当时，令， 则在区间内变化的过程中，区间满足. ∵函数在每一个周期内，函数取正值时自变量对应的区间长度为， ∴，使得，， 故对于，有； 对于，有， 所以当时，不存在，使得对所有的锐角三角形，都取值同号. 综上所述， . 题型六 辅助角公式的应用 答｜题｜技｜巧 辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【典例1】若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用奇函数求解参数，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 【变式1】（多选）已知函数的一个零点是，函数，则（     ） A．在区间上的值域为 B． C．若方程的相邻的两根分别为，，则 D．函数的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，先根据函数的零点与和差的正弦公式求出，然后根据换元法和正弦函数的性质求出值域；对于B，利用诱导公式进行化简即可；对于C，先化简的表达式，然后令其为0，求出零点，进而验证；对于D，先根据诱导公式和二倍角的余弦公式化简，然后结合二次函数的性质求出最大值. 【详解】因为函数的一个零点是，所以. 即，展开化简得， 即，所以，即. 由于，所以. 所以. 当时，，所以，A错误； ，B正确； 所以. 因为，所以令，即， 所以，即， 因为方程的相邻的两根分别为，，则，C正确； ，由于， 所以，所以，所以. 所以当时，，此时取最大值为1， 所以的最大值为，D正确. 【变式2】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 所以， 可得. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若，且，，求的值． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先根据向量数量积运算求出的表达式，再利用三角函数公式化简，进而求出最小正周期和对称中心； （2）先根据已知条件求出和的值，再结合的值求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值. 【详解】（1）已知，，函数． ∴ ，                         即，∴函数的最小正周期为，               令，得， ∴函数的对称中心为． （2）由（1）知， 则，得， ∵，∴．                      ∵，∴， ∵，∴．   ∴ ，                                        又，∴． 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，角所对应的边分别为．若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件，利用和角的正弦公式和同角三角关系式化成，再利用和角的正切公式求得，运用基本不等式和正切函数的单调性即可. 【详解】因，则， 代入中，整理得：， 显然都不可能是直角（否则等式不成立），故得， 于是， 由上式易知均为锐角，则，故有， 因，当且仅当时等号成立， 即时，取得最大值为，又，故角的最大值为. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，，，. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示计算可得，结合的范围利用同角三角函数的关系式计算可得，利用切化弦结合两角和差的正、余弦公式计算可得； （2）利用同角三角函数的关系式计算得，再将变形成两角和，利用两角和的正弦公式计算即可得解. 【详解】（1），. ，， 又，. ，则. 由，可得， 即，所以. 又，. . （2）由（1）可知，， ，，则. 所以 . 4．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，若，是关于的方程的两个实根，则________. 【答案】0 【分析】先根据题意，利用韦达定理及和两角和的正切公式得出；再根据三角形内角和性质求出，进而可求解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 所以由韦达定理可得：， 则. 又因为， 所以. 又因为,， 所以， 则. 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏淮安·期末）（多选）已知，且，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据结合求得，，由计算可判断A；由计算可判断B；由计算可判断C；直接计算可判断D. 【详解】因为，且，， 所以，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知向量，，函数． (1)求的最小值 (2)若对任意的，都有解，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简计算得到，从而求出最小值； （2）换元得到有解，其中，利用函数单调性得到，从而得到实数a的取值范围. 【详解】（1） ， 故的最小值为． （2）令，则有解，即有解， 因为时，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取最小值；当时，取最大值3，即， 因为有解，所以实数a的取值范围为． 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接使用两角差的正切公式展开已知等式后计算即可； （2）方法一：使用二倍角公式化简所求式子后弦化切，代入正切值即可；方法二：根据正切值，结合同角三角函数关系式，先算出正弦值和余弦值，然后代入所求式子. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）方法一： 因为， 分母不能为0，故， 所以， 即. 方法二： 由得角的终边在第一象限或第三象限， （）当角的终边在第一象限时， 全由得， 所以， 所以； （）当角的终边在第三象限时， 由得， 所以， 所以. 综上所述，. 3．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式及和角的正弦公式求解即得. 【详解】函数，由，得， 由，得，则，， 所以 . 故选：A 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）（多选）在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得的值；对于选项B，根据条件求出的值，进而可得到的关系；对于选项C，根据先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D，首先将展开，然后根据求出. 【详解】对于选项A： 因为， 所以① ②， 所以，所以A正确； 对于选项B： 因为，. 所以，即，所以B正确； 对于选项C： 因为，所以. 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为，. 又，所以， 化简得，所以解得. 又是锐角，所以，所以，D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得. 【详解】因为 所以， 所以. 故选：D 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知向量，，且． (1)若，求x的值； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算、模的坐标表示及三角恒等变换列方程可得，进而求解即可； （2）根据平面向量的数量积的坐标表示可得，再根据三角恒等变换化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，， 则， 所以， 则， 则，即， 由，则，所以，即. （2）， 则 ， 由，则， 则，则， 所以函数的最大值为. 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，且，则______． 【答案】3 【分析】根据两角和与差的正弦公式结合题设可得，进而得到，结合分析可得均为第一象限角，进而根据三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 则， 由，则，所以， 所以均为第一象限角， 设，，令终边上一点为， 则， 则，解得或， 由于，则，即. 故答案为：3. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量与向量共线且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角余弦公式化简得，利用两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系式及二倍角正弦公式，由求得，由此可得，即可得解； （2）利用向量共线的坐标运算确定，利用二倍角公式计算得，结合求出，再利用两角和正弦公式计算即可. 【详解】（1）由题意，， 因为，则， 两边平方可得，即， 又因为，所以，即，所以，所以. 所以，. （2）由题意，向量与向量共线，则， 因为，且，所以， 则. 由，可得， 又，所以. 故. 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值. 【详解】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用二倍角公式求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值； （2）求出，分、两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式即可求出的值. 【详解】（1）因为，则， 因为，则， 所以， ， 因此，. （2）因为，，所以， 若，则， 此时 ，合乎题意； 若，则， 此时 ，合乎题意. 综上所述，或. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $