专题03 解三角形（期末复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题03 解三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 三角形形状的判断 题型02 距离问题 题型03 高度问题 题型04 角度问题 题型05 三角形多解问题 题型06 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型07 三角形中的图形类问题 题型08 面积与周长求值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点） 1. 正弦定理及应用：正弦定理公式、外接圆半径、两角一边求解、两边一对角求解、三角形形状判定 熟记正弦定理公式与外接圆半径关系，能精准匹配定理适用题型，可规范完成边角互化、边长角度求解及简单三角形形状判定。 命题趋势：期末基础必考题型，选择填空多为简单边角计算，解答题常作为第一步解题工具。易错点：边角对应错乱；忽略两边一对角的**两解、一解、无解**多解情况；遗忘外接圆半径公式应用。 2. 余弦定理及推论：余弦定理边角公式、推论求角、已知三边/两边夹角求值、三角形形状判定 掌握余弦定理原式及求角推论，能准确区分正、余弦定理适用场景，可熟练利用公式完成边角计算与三角形锐角、钝角、直角判定。 命题趋势：本章核心重难点，期末解答题高频考查，是复杂三角形求解的核心工具。易错点：公式符号记忆错误，遗漏负项；题型匹配失误，两边一对角误用余弦定理；由余弦值正负误判三角形内角类型。 3. 三角形面积公式：两边夹角面积公式、面积与定理综合计算、含参数面积求值 熟记三角形通用面积公式，明确公式适用条件，能结合正、余弦定理完成面积综合求解，可规范解决含参数面积计算问题。 命题趋势：必考综合考点，常结合正余弦定理嵌套考查，是解答题高频设问点。易错点：公式遗漏系数；误用非夹角三角函数值计算面积；多步运算中计算失误、步骤不规范。 4. 解三角形综合应用：边角混合转化、三角形多解问题、实际测量应用题（距离、高度、角度） 能灵活实现三角形边角互化，熟练规避多解陷阱，可将实际测量问题抽象为三角形模型，独立完成综合求值与应用题解答。 命题趋势：期末拔高考点，解答题压轴高频，侧重考查模型转化与综合运算能力。易错点：不会统一边角关系；多解问题未检验角度范围；实际应用题不会建模、忽略三角形内角和隐含条件。 知识01 正弦定理 【核心标准定义】 1. 公式：在任意△ABC中，（为△ABC外接圆半径）； 2. 适用场景：已知两角一边、已知两边及其中一边对角。 【典型示例】 △ABC中，，，，求。解：，解得。 【易错警示】 1. 边角对应混乱，错配边长与角度；2. 忽略正弦定理的多解情况（两边一对角）；3. 忘记外接圆半径公式应用。 知识02 余弦定理 【核心标准定义】 1. 公式：，同理可得公式；2. 推论：； 3. 适用场景：已知三边、已知两边及其夹角。 【典型示例】 △ABC中，，求边长。 解：，。 【易错警示】 1. 公式符号记错，遗漏负号；2. 误用定理场景，两边一对角优先正弦定理；3. 由余弦值判断三角形形状出错。 知识03 三角形面积公式 【核心标准定义】 1. 核心公式：；2. 适用条件：已知两边及夹角。 【典型示例】 △ABC中，，面积。 【易错警示】 1. 忘记乘，公式记忆不全；2. 误用非夹角正弦值计算面积；3. 结合正余弦定理综合计算失误。 题型一 三角形形状的判断 解｜题｜技｜巧 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： （1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）； ②； （2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①（为外接圆的半径）；②． 【典例1】（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 【答案】ACD 【详解】三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理， 则，即，故A正确； 由正弦定理， 已知，则， 由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角， 故三角形不一定是锐角三角形，故B错误； 已知，，，则， ， ，， 可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确； ， ，由大角对大边可知为最大角， 要证是锐角三角形，只需证， 由三角形的性质知， ， ，令，则，， ， 即， ， ，故是锐角三角形，故D正确． 【变式1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 【变式2】在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】B 【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得，由正弦定理化简得，结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得，从而可得是等腰直角三角形. 【详解】根据余弦定理，则. 根据三角形面积公式，则， 化简得，即.因为是三角形内角，所以. 又，由，可得. 则. 如图所示，在边上分别取点，使， 以为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，且，， . 又，且，，即. 又，所以，进而，所以是等腰直角三角形. 题型二 距离问题 答｜题｜技｜巧 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 【典例1】为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 【答案】C 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 【变式1】如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 【答案】缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时 【详解】设缉私船应沿方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里， 在中，由余弦定理，有． 海里．又， ， ，∴B点在C点的正东方向上， ， 在中，由正弦定理，得， ． ，∴缉私船沿北偏东的方向行驶． 又在中，，，， ，即． 小时． ∴缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时． 【变式2】海面上有一座小岛，一艘小船在观测点测得小岛在北偏西方向．小船从出发，沿北偏东方向匀速航行海里到达处，此时发现小岛正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离_________海里． 【答案】2 【分析】在中，有，求得角为，结合正弦定理可求解. 【详解】 由题意可得 小岛正好在小船正西方向， 由正弦定理可得：，即，解得. 题型三 高度问题 答｜题｜技｜巧 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【典例1】云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， 可得： 解得： 【变式1】如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 【变式2】数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 题型四 角度问题 答｜题｜技｜巧 三角形实际角度问题，核心依托内角和、外角性质与边角关系解题。先找准实景对应的三角形轮廓，标记已知边长、固定夹角、方位角、仰角俯角等关键角度。牢记三角形内角和恒为180°，外角等于不相邻两内角之和，快速推算未知基础角度。 遇到双三角拼接、折叠、方位测距题型，优先找公共角、对顶角、互余互补角转化等量关系。直角三角形侧重直角90°拆分角度，等腰三角形利用底角相等简化计算。 解题先梳理角度间关联，排除无关干扰条件，借助平行线、垂线辅助线拆分复杂角。判定边角对应关系，结合题意判断锐角、钝角范围，最后代入公式验算，确保角度数值符合实际场景逻辑，规范推导得出答案。 【典例1】如图1，山顶P在水平地面的垂直投影点为B，A在B的正东方，在A处测得山顶P的仰角为．从A沿南偏西（方位角按标准定义：从正南向西偏转）的方向前行200米后到达C处，在C处测得山顶P的仰角为，已知山高PB大于100米，测量仪器的高度忽略不计．    (1)求山高； (2)如图2，山顶P到G处已修建一条索道，现计划从G处到山脚F处修建一条近似为直线段的下山步行栈道．G在山顶P下方的山体上，K在竖直线段PB上，H在水平地面的线段FB上，满足，，且F、H、B共线，P、K、B共线．在山脚F处测得山顶P的仰角为，，（），已知人在该步行栈道下山时，每行走一米所消耗的能量为焦耳，若人从G沿这条直线段下山栈道步行至F全程消耗的总能量不超过400焦耳，求角的最大值． 【答案】(1)米； (2) 【分析】（1）设米，由题意可得，，，在中，由余弦定理求解即可； （2）设，由已知条件可得，从而可得，进一步可得，由,可得，平方后得，利用换元法和三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）设米， 由题意可知, 在中，，在中，， 在中，由余弦定理可得：， 即，， 又因为，解得， 所以山高米； （2）由题意可知为等腰直角三角形，所以设， 又因为，四边形为矩形， 所以， 又因为,所以， 在中，，所以， 又因为，所以，解得， 所以，所以， 由题意可得，所以， 整理得：， 所以， 令， 因为，所以， 则有，即，解得， 即， 又因为，所以，所以， 所以的最大值为. 【变式1】（多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可. 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 【变式2】如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出乙船12分钟的航行距离得到乙船速度，再建立方程判断是否存在时间使两船相遇，从而得到正确结论. 【详解】甲船速度海里/时，航行分钟小时，因此海里， 由题意海里，， 因此是等边三角形，得海里，， 在南偏西，因此，且海里， 在中 ， 解得海里，乙船速度海里/时，和甲船速度相同，因此A正确，B错误； 建立坐标系：设，正北为轴正方向，正东为轴正方向， 设小时后甲、乙两船于处相遇，则， 乙船起点， 则， 由前分析知两船速度相同，则，则， 即， 整理得， 因为方程无正根，所以两船不会相遇，故C、D错误. 题型五 三角形多解问题 答｜题｜技｜巧 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【典例1】（多选）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是（     ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理得到，三角形只有唯一解等价于角仅有唯一解，分（直角三角形唯一解）、且（即，仅存在锐角解）两种情况推导的取值范围，再逐一判断选项. 【详解】对于A：当时，，结合得，三角形只有唯一解，A正确； 对于B：当时，，由于，此时可取锐角也可取钝角，对应两个不同的三角形，B错误； 对于C：当时，，由等边对等角得，，三角形只有唯一解，C正确； 对于D：当时，，又，由大边对大角得，即只能取锐角，对应一个三角形，D正确. 【变式1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 【变式2】已知在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， (1)求A的大小; (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①边上的高线长为， ②， ③ 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1) (2)选择条件①，的周长为；选择条件②，的周长为； 选择条件③，不符合要求. 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再结合三角函数关系得到A的大小. （2）对于每个条件，分别根据已知条件结合正弦定理、余弦定理以及三角形的性质来判断是否存在且唯一，若存在则求出其周长. 【详解】（1）已知在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，， 根据正弦定理可得， 在中，可知， 则，即， 又，所以. （2）选择条件①，边上的高线长为， 由（1）知，则， 由余弦定理得， 所以存在且唯一，其周长为. 选择条件②，， 由（1）知，由余弦定理知，则， 整理得，而，解得， 所以存在且唯一，其周长为. 选择条件③，， 由（1）知，由正弦定理得， 因为，则， 所以存在两解，不符合要求. 题型六 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 答｜题｜技｜巧 解三角形最值范围题，核心围绕边角互化、函数最值、不等式三类思路求解。优先利用正弦定理、余弦定理，把边统一化为角，或角统一转化为边，简化关系式。 已知一角及对边时，常用基本不等式结合余弦定理，推导边长乘积、周长取值边界。求面积最值，依托面积公式，结合三角函数值域，限定内角范围锁定极值。 借助三角形三边关系、内角和约束角度区间，避免取值超出合理范围。可将变量转化为单一三角函数，利用单调性求最值；也可结合外接圆、数形结合分析动态边长变化。 解题先锁定固定条件，合理换元减少变量，区分最值临界情形，检验结果是否符合三边规则与角度范围，准确得出边长、周长、面积的取值区间与极值。 【典例1】钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 【变式1】在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 又，，则 因为 ， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为. 【变式2】已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦定理得到，进而可求解. 【详解】因为三角形中， 所以由，可得， 即， 所以， 即， 又在锐角三角形中，， 则或，即或（舍去）. 因为. 由正弦定理可得， 则 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 则. 题型七 三角形中的图形类问题 答｜题｜技｜巧 图形类解三角形题目，首要精准拆分图形结构，识别单个、拼接、折叠、组合类三角形，找准共用边、公共角与相等边角。 标注图中已知线段、角度、垂直平行等特殊条件，灵活运用正余弦定理建立边角等式。遇多个三角形嵌套，以公共边、过渡角作为桥梁串联关系式。 善于作垂线、连线等辅助线，分割出直角三角形简化运算。牢记内角和、外角性质、等腰等边特性转化等量关系。解题时对应图形位置匹配边角，规避对应关系出错，最后结合图形几何特征核验结果，保证数值贴合图形实际形态。 【典例1】在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1） 在中，由余弦定理得：， 因为，所以． （2） 因为，，所以， 在四边形中，， 设，在中，， 在中，， 因为，所以。 即 整理得，解得 在中，． 【变式1】如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 【变式2】如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 题型八 面积与周长求值问题 答｜题｜技｜巧 求解三角形面积与周长，先梳理已知边角条件，灵活选用对应公式计算周长只需将三边长度相加，借助正余弦定理补齐未知边长即可。面积常用两边夹角公式、海伦公式、底乘高公式，根据题干条件择优使用。 遇到边角混杂题型，通过定理完成边角互化，统一变量后列式运算。图形组合题型抓住公共边、相等角作为衔接条件分步求解。计算过程中留意内角范围、三边约束关系，避免数值偏差。算出结果后核对边长配比与角度合理性，确保周长、面积数值符合三角形基本几何规律。. 【典例1】在三角形中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理边角转化可求得的值，进而求得的大小； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式求解可得的值，进而求得三角形周长. 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以. （2）因为，，且，即，则 又因为的面积为，即，则， 可得，即， 所以周长. 【变式1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若D为BC的中点，，的面积为，求a. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换和二倍角公式可求得或，进而可求得A； （2）由题意可得，结合向量的数量积可得，由的面积为，可得，进而利用余弦定理可求解. 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以，解得或， 又，所以； （2）若D为边上的中点，则， 所以， 又，所以，所以 因为的面积为，所以，所以， 所以， 由余弦定理可得， 所以. 【变式2】巴蜀中学高2028届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形的展区（如图），已知米，米. (1)若，，求的值； (2)若米，四边形的面积为100平方米，求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解即可. （2）在，中，根据余弦定理可得，根据四边形面积及三角形面积公式可得，两式平方相加，结合两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）在中，因为，， 所以. 在中，由正弦定理得：，所以. 又，所以，所以. （2）在，中，由余弦定理得， ， ， 所以，即. 又， 即， 整理得. 所以， 整理得， 所以. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用余弦定理即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，得. 故选：D 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由正弦定理可得：. 因为， 所以. 又因为， 所以或. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为________. 【答案】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理可得， 又，，，， 所以，解得. 故答案为：. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过设山高，将用和三角函数表示，再利用的余弦定理建立等式，进行推导即可. 【详解】设，因为，所以； 因为，所以， 在中，， 由余弦定理得：， 解得，故A错误，B正确； 因为，所以，又因为， 所以， 解得， 故C错误，D正确. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）; （Ⅱ） 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得； （Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）证明：∵，∴， 在中，，可得，                            ∴，即. （2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得， 可得，∴，                                 ∵，∴， 可得，即，                          解得或（舍去）， ∵，∴.                                                    （Ⅱ）在中，由正弦定理得， 即，                                            由余弦定理得， ∵，，∴，∴，                      在中，由余弦定理得 ，                                               ∵，∴，∴，       ∴，解得. 4．（24-25高一下·广西河池·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式可求出的值，结合余弦定理可得出的值，由此可得出的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，故， 由余弦定理得， 因为，故. （2）由三角形的面积公式得，可得， 由余弦定理得， 解得，故的周长为. 5．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，. (1)求； (2)若的平分线交于. ①若与的面积之比为，求的值； ②若中点为，且，，求的面积. 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理转化后，结合三角形的内角和与三角恒等变换，可求角； （2）①利用三角形的面积公式，结合可得，又由余弦定理可得，于是得到的值. ②设，，利用可得，利用可得，可求出的值，进而求的面积. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 因为， 代入得. ，，. ，，.    （2）①， . 因为， ， 则有，解得. 在中，由余弦定理得， 解得. . ②设，. ，. ，代入化简得①. ② 代入①得. . 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·江苏泰州·期末）在中，，设分别为. (1)若. （i）求的值； （ii）求的最小值； (2)若，求的值. 【答案】(1)（i）0；（ii）3(2) 【分析】（1）（i）由可得答案；（ii）方法一：由得，利用基本不等式得，再由的范围可得答案；方法二：设，由正弦定理得，再利用弦花切，再利用基本不等式可得答案； （2）设，由正弦定理得，由余弦定理得，求出，，再由余弦的二倍角公式可得答案. 【详解】（1）（i）因为， 所以. （ii）方法一： 由得， 即 ， 所以， ，当且仅当时等号成立，即， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3. 方法二： 设，则， 因为，故， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3； （2）设，则， 在中， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，① 在中，由余弦定理得，② ，③ 由②③得， 由①②得， 故，即，所以， 所以， 所以. 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，求出和，利用余弦定理和题目条件得到方程组，计算出和即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.    (1)求C； (2)设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理对等式进行角化边并整理化简，从而解得所求角的余弦值，可得答案； （2）由正弦定理与余弦定理求得三角形的边与角，根据中垂线以及中点的性质，利用余弦定理，可得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得. 所以即，所以. 又因为，所以. （2）因为，，由余弦定理得，即， 所以，， 连接，，则，设为，，设为y， 在中，由余弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得，解得， 所以. 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围； (3)若的角平分线交BC于D，且，求． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，进而根据三角恒等变换化解可得，进而结合余弦函数的性质求解即可； （3）由题设可得，，，进而结合正弦定理及三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理有：， 所以， 则， 则， 则， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 所以有或，即或（舍去）， 所以得证. （2）因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 所以 ， 由，则，则， 所以，则的取值范围为. （3）因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 则， 则， 则，解得或， 又，则为锐角，即. 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． (1)求铜像连同底座的高度； (2)若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ (3)在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）设，由三角函数的定义表示出，在中由余弦定理列出方程即可求解； （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，分别表示出，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解； （3）根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 解得，所以铜像连同底座的高度为． （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示， 则，， 在中，，在中，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故组员甲应在距离铜像底座中心处拍照的视角最大． （3）以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示， 则他站位的轨迹为，轨迹长度为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03解三角形（期末复习讲义） 内容导航 明。期床考清 把握命题趋势，明确备考路径 记。必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01三角形形状的判断 题型02距离问题 题型03高度问题 题型04角度问题 题型05三角形多解问题 题型06三角形边长、面积、周长最值与范围问题 题型07三角形中的图形类问题 题型08面积与周长求值问题 过.分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点） 1.正弦定理及应用：正弦 熟记正弦定理公式与外接 命题趋势：期末基础必考题型，选择填空多为 定理公式、外接圆半径、 圆半径关系，能精准匹配 简单边角计算，解答题常作为第一步解题工具。 两角一边求解、两边一对 定理适用题型，可规范完 易错点：边角对应错乱；忽略两边一对角的* 角求解、三角形形状判定 成边角互化、边长角度求 两解、一解、无解*多解情况；遗忘外接圆半 解及简单三角形形状判 径公式应用。 定。 2.余弦定理及推论：余弦 掌握余弦定理原式及求角 命题趋势：本章核心重难点，期末解答题高频 定理边角公式、推论求角、推论，能准确区分正、余 考查，是复杂三角形求解的核心工具。易错点： 已知三边/两边夹角求值、 弦定理适用场景，可熟练 公式符号记忆错误，遗漏负项；题型匹配失误 三角形形状判定 利用公式完成边角计算与 两边一对角误用余弦定理；由余弦值正负误判 三角形锐角、钝角、直角 三角形内角类型。 判定。 3.三角形面积公式：两边 熟记三角形通用面积公 命题趋势：必考综合考点，常结合正余弦定理 夹角面积公式、面积与定 式，明确公式适用条件， 嵌套考查，是解答题高频设问点。易错点：公 理综合计算、含参数面积 能结合正、余弦定理完成 1/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求值 面积综合求解，可规范解 式遗漏系数；误用非夹角三角函数值计算面 决含参数面积计算问题。 积；多步运算中计算失误、步骤不规范， 4.解三角形综合应用：边角 能灵活实现三角形边角互 命题趋势：期末拔高考点，解答题压轴高频， 混合转化、三角形多解问 化，熟练规避多解陷阱， 侧重考查模型转化与综合运算能力。易错点： 题、实际测量应用题（距 可将实际测量问题抽象为 不会统一边角关系；多解问题未检验角度范围 离、高度、角度) 三角形模型，独立完成综 实际应用题不会建模、忽略三角形内角和隐含 合求值与应用题解答。 条件。 记·必备知识 属知识01 正弦定理 【核心标准定义】 1.公式：在任意△ABC中， 品=品=c=2R(R为△ABC外接圆半径)： 2.适用场景：已知两角一边、已知两边及其中一边对角。 【典型示例】 △ADC中，A=30a=2,8=45,b.解：品0-品，解得=2巨。 2 【易错警示】 1.边角对应混乱，错配边长与角度；2.忽略正弦定理的多解情况（两边一对角）；3.忘记外接圆半径公式 应用。 局知识2 余弦定理 【核心标准定义】 1.公式：a2b2+c22 bccosA,同理可得b2c2公式；2.推论：cosA=b+, 3.适用场景：已知三边、已知两边及其夹角。 【典型示例】 △ABC中，b=3,c=4,A=60°，求边长a。 解：a2=9+16-2×3×4×号=13，a=V13。 2/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【易错警示】 1.公式符号记错，遗漏负号；2.误用定理场景，两边一对角优先正弦定理；3.由余弦值判断三角形形状出 错。 同知识03 三角形面积公式 【核心标准定义】 1.核心公式： S△ABc-absinC=-bcsinA=-acsinB;2.适用条件：已知两边及夹角。 【典型示例】 △ABC中，a=2b=3,C=60,面积S=吉x2×3×号-盟 2 【易错警示】 1.忘记乘号，公式记忆不全；2.误用非夹角正弦值计算面积；3.结合正余弦定理综合计算失误。 破·重难题型 它题型一三角形形状的判断 解引题|技|巧 ;判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰 直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： :①a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②a-sin4a=sinA b_sinB b sinB'c sinC'c sinC (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sinA= b sin B=- 2R SinC=c 2R （R为△ABC外接圆的半径)；②sinA_0,sin4_a sinB_b sin B b'sinC c'sinC c 【典例1】（多选）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为Q,b,C,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若sin2A+sin2B>sinC,则ABC是锐角三角形 C.若b=8,c=10,B=30°，则符合条件的ABC有两个 3/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.若a3=b3+C3,则ABC是锐角三角形 【变式l】已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)sinA-sinB)>csinC,则ABC的 形状是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定的 【变式2】在48C中，abc分别是内角4BC的对边，若Sra+公-，且 BC BA AC=0,则ABC的形状是() sin A sin C A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个角是30的直角三角形 D.有一个角是30的等腰三角形 它题型二 距离问题 答|题技巧 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造己知两角及 一边的三角形， 【典例1】为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型. 若AC=40√2米，BC=50米，∠MCA=45°，∠NCB=60°，∠MCN=120°，则塔尖MN之间的距离为() 米 A.80 B.120 C.20√6 D.20√67 【变式1】如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3-1海里的B处有一艘走私船.在A处北偏 西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求 出所需时间， 4/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 750 459 【变式2】海面上有一座小岛C,一艘小船在观测点A测得小岛C在北偏西30°方向.小船从A出发，沿北 偏东15°方向匀速航行√海里到达B处，此时发现小岛C正好在小船正西方向，则此时小船与小岛距离 海里。 题型三 高度问题 答|题|技|巧 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”， 解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题 【典例1】云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和 铜锣峡的壮丽景色.我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底0位于同一水平面上共线的 A,B,C三处进行测量，如图2，已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°， 在C处测得塔顶P的仰角为60°，AB=BC=50米，则云外楼的高度OP=() B 图1 图2 A.18√2米 B.18√6米 C.25V2米 D.25√6米 【变式1】如图，为了测量河对岸的塔高AB,某测量队选取与塔底B在同一水平面内且相距20米的两个测 量基点C与D.现测量得LBCD=30°，在点C,D处测得塔顶A的仰角分别为45°，60°，若河宽至少12米， 则塔高AB= 米 5/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大 桥北塔MN垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶M的仰角分别为 ∠MDE=30°，∠MCE=45°（如图），设乘客眼睛离地面的距离为DA=CB=1m，,CD=90m.若D,C,E在 同一水平高度，且MD,MC,MN在同一竖直平面内，则北塔MN高为() 主 塔 桥面 B A.45V3-44m B.(455+46)m c.（90√3-89m D.(90v5+91m 匚题型四角度问题 答|题技巧 三角形实际角度问题，核心依托内角和、外角性质与边角关系解题。先找准实景对应的三角形轮廓，标记 己知边长、固定夹角、方位角、仰角俯角等关键角度。牢记三角形内角和恒为180°，外角等于不相邻两内 角之和，快速推算未知基础角度。 遇到双三角拼接、折叠、方位测距题型，优先找公共角、对顶角、互余互补角转化等量关系。直角三角形 侧重直角90°拆分角度，等腰三角形利用底角相等简化计算。 解题先梳理角度间关联，排除无关干扰条件，借助平行线、垂线辅助线拆分复杂角。判定边角对应关系， 结合题意判断锐角、钝角范围，最后代入公式验算，确保角度数值符合实际场景逻辑，规范推导得出答案。 【典例1】如图1，山顶P在水平地面的垂直投影点为B,A在B的正东方，在A处测得山顶P的仰角为 30°.从A沿南偏西60°（方位角按标准定义：从正南向西偏转60°）的方向前行200米后到达C处，在C 处测得山顶P的仰角为45°，己知山高PB大于100米，测量仪器的高度忽略不计. 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G 力 C H B 图1 图2 (1)求山高PB; (2)如图2，山顶P到G处已修建一条索道，现计划从G处到山脚F处修建一条近似为直线段的下山步行栈 道.G在山顶P下方的山体上，K在竖直线段PB上，H在水平地面的线段FB上，满足GK⊥PB, GH⊥FB,且F、H、B共线，P、K、B共线.在山脚F处测得山顶P的仰角为30°，∠PGK=45°， LGFH=a(0<a<30°)，已知人在该步行栈道下山时，每行走一米所消耗的能量为V2+V6)sin2a焦耳， 若人从G沿这条直线段下山栈道步行至F全程消耗的总能量不超过400焦耳，求角α的最大值， 【变式1】（多选）某货轮在A处时，灯塔B位于货轮的北偏东75°，距离为126海里，灯塔C位于货轮的 北偏西30，距离为8√5海里.该货轮自A处向正北方向航行到D处时，灯塔B位于货轮的南偏东60，则下 列说法正确的是() A.D处在灯塔B的西偏北15 B.A处与D处之间的距离是24海里 C.灯塔C与D处之间的距离是8√3海里D.灯塔C在D处的西偏南60 【变式2】如图，甲船从A出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当 甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75方向的B处，此时两船相距5√2海里.当甲船航行12分钟到达4处 时，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是() 北 60 甲 A B 750 A.乙船的行驶速度与甲船相同 B.乙船的行驶速度是15√2海里/时 7/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.甲，乙两船相遇时，甲船行驶了1+√巨小时 D.甲、乙两船可能相遇 巴题型五 三角形多解问题 答|题|技|巧 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知 三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论： 在△ABC中，己知a,b和A时，解的情况主要有以下几类： a<bsin A 无解 a=bsin A 一解（直角） ①若A为锐角时： bsinA<a<b 二解（一锐，一钝） a≥b 解（锐角） c A B a=bsin A a≥b 一解一解 b B2 bsin A<a<b a<bsin A 两解无解 [a≤b无解 ②若A为直角或钝角时： 一解（锐角） 【典例1】（多选）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若a=6,B=30°，则使此三角形 只有唯一解的b的值可以是() A.3 B.4 C.6 D.12 【变式l】已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a=9,sinB=二的ABC有两解， 则b的取值范围为() A.6,9 B.6,9 C.（9,12 D.[9,12 8/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】已知在ABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,asinB=√3 bcosA. (1)求A的大小： 2)若c=8,判断下列三个条件是否能使ABC存在且唯，并对满足条件的求出ABC的周长. ①4B边上的高线CD长为v5,②a=8v5,③sinC=45 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答 计分 题型六三角形边长、面积、周长最值与范围问题 答|题技巧 解三角形最值范围题，核心围绕边角互化、函数最值、不等式三类思路求解。优先利用正弦定理、余 弦定理，把边统一化为角，或角统一转化为边，简化关系式。 已知一角及对边时，常用基本不等式结合余弦定理，推导边长乘积、周长取值边界。求面积最值，依 托面积公式，结合三角函数值域，限定内角范围锁定极值。 借助三角形三边关系、内角和约束角度区间，避免取值超出合理范围。可将变量转化为单一三角函数， 利用单调性求最值；也可结合外接圆、数形结合分析动态边长变化。 解题先锁定固定条件，合理换元减少变量，区分最值临界情形，检验结果是否符合三边规则与角度范 围，准确得出边长、周长、面积的取值区间与极值。 【典例1】钝角4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足a=btan4,则+C 23 的取值范围为 () A.(0,1) B.(1,+o c.「4W2-5,+∞】 D.2W2-5,+0 【变式1】在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若a=3 bsinC，则b+的最大值等于 【变式2】已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若bcos C+ccosB=1, bcosA=1+cosB,若c=ma,则m的取值范围是() A.(1,3) B.(0,1D C.(1,2) D.(0,2) 题型七三角形中的图形类问题 答|题|技|巧 图形类解三角形题目，首要精准拆分图形结构，识别单个、拼接、折叠、组合类三角形，找准共用边、 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 公共角与相等边角。 标注图中已知线段、角度、垂直平行等特殊条件，灵活运用正余弦定理建立边角等式。遇多个三角形 嵌套，以公共边、过渡角作为桥梁串联关系式。 善于作垂线、连线等辅助线，分割出直角三角形简化运算。牢记内角和、外角性质、等腰等边特性转 化等量关系。解题时对应图形位置匹配边角，规避对应关系出错，最后结合图形几何特征核验结果，保证 数值贴合图形实际形态。 【典例1】在平面四边形ABCD中，己知AC=2√7，CD=2,AD=4. (1)求∠ADC: (2)若AD⊥AB,BC⊥CD,求BD 【变式1】如图，在ABC中，AB=2,3 acosB-bcosC=ccosB,点D在线段BC上. D 若∠DC=不，求D的长， 2若BD=2DC,ABC的面积为4W5,求sn<BD 的值。 3 'sin∠CAD 【变式2】如图，在凸四边形ABCD中，AB=1,BC=V5,AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC变化时，对角 线BD的最大值为() A.7+2V5 B.V7+25 C.7-26 D.√6+1 10/15 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 巴题型八 面积与周长求值问题 答|题技|巧 求解三角形面积与周长，先梳理已知边角条件，灵活选用对应公式计算周长只需将三边长度相加，借 助正余弦定理补齐未知边长即可。面积常用两边夹角公式、海伦公式、底乘高公式，根据题干条件择优使 用。 遇到边角混杂题型，通过定理完成边角互化，统一变量后列式运算。图形组合题型抓住公共边、相等 角作为衔接条件分步求解。计算过程中留意内角范围、三边约束关系，避免数值偏差。算出结果后核对边 长配比与角度合理性，确保周长、面积数值符合三角形基本几何规律。 【典例1】在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2 a cosC+c=2b. (1)求角A的大小： 2诺a=V3，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周的 【变式1】在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a cos B=c+bcos2A. (1)求A: (2)若D为BC的中点，AD=3,ABC的面积为3V3,求a. 【变式2】巴蜀中学高2028届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形ABCD的展区（如图）， 己知CD=DA=20米，BC=30米. B 诺∠4CD-名B=于，求c0s∠B4C的值： (2)若AB=10米，四边形ABCD的面积为100平方米，求c0sB+D的值. 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下江苏南京期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 11/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 csinB+3bcosC =0. (1)求角C: (2)若c=√5，b=√2，求B及ABC的面积. 2.(24-25高一下.江苏淮安期末)在ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,C,C=60°，a=2, c=√3，则b为() A.4 B.3 C.2 D.1 3.(24-25高一下江苏常州期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=60°， a+b=5,S,Bc=V3,则边c的值为() A.√29 B.35 c.√9 D.3 4.(24-25高一下江苏常州期末)已知ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°， a=1,c=√5，则角C的值为() A. 3 B. 2元 3 D. 2 5.(24-25高一下·江苏镇江·期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,B=45°，C=60°， c=36,则b的值为 21 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下江苏无锡期末)（多选)己知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度AB,先在河岸边定 好一条基线CD=s,在点C测得山顶A的仰角为，在点D测得山顶A的仰角为B.测得∠BCD=y, ∠BDC=6.在D点后移至E点，测得仰角为O,DE=a,则山高AB为() B S A. 1 1 2siny+δ B 1 1 2cosy+δ Vtan2atan2β tano tanB Vtan'a tan2B tana tanB 12/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 atanθtanB asin0sinβ c. D. tanβ+tanθ sin(B-0) 2.(24-25高一下江苏无锡期末)位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的B处有一艘游轮 遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西30，且与甲船相距10km的C处 的乙船.则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线CA的夹角的正弦值 为 3.(24-25商-下江苏常州期未)如图，在平面四边形A8CD中，∠4C8-号，若E是AB上一点， BC=CE.记∠ABC=L,∠ACE=B. E B (1)证明：cos2a+sinB=0; (2)若AC=V5AE,CD=3,AD=2· (I)求B的值； (Ⅱ)求线段BD长度的取值范围， 4.(24-25高一下广西河池期末)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为Q、b、C, a(sin4+sinB)=(c-b)(sinC+sinB). (1)求角C: (2)若c=3, ABC的面积为35，求ABC的周长 4 5.(24-25高一下江苏淮安期末)在ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c, c(3sinB-cosB)=2b-a. (1)求C: (2)若∠C的平分线交AB于D P的值； @若△BCD与△4CD的面积之比为2：1，求产 ②若AB中点为E,且CD=45,CE=V7,求ABC的面积 3 13/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(24-25高一下江苏泰州期末)在ABC中，CD=2DA,设∠A,∠DBC分别为a,阝，B=入u. (1)若B= Γ2 (i)求(2AD+BDBD的值： (i)求的最小值： (2)若1=2，BD=2BC,求coSB的值. 2.(24-25高一下江苏泰州期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 -2c=2cosB,cosC=6in4,则ABC的面积为() 1 a A.1 3 20 c D.V2 4 3.(24-25高一下江苏徐州期末)如图，在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2cos C(acos B+bcos A)=c. D (1)求C: (2)设D为AB的中点，分别在边BC,AC上取点E,F,使点C,D关于直线EF对称，若a=2,b=3, 4.(24-25高一下江苏常州期末)ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且2 bcos A=c-b. (1)求证：A=2B: (2)若ABC是锐角三角形，求二的取值范围； B诺∠BAC的角平分线交BC于D,且AD=三b,求c05B. 6 5.(24-25高一下江苏镇江·期末)镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最 高的露天老子铜像.某数学兴趣小组在铜像底座中心Z正东方向A处测得铜像顶的仰角为30°，从A处沿直 线走38米到达Z南偏东60°的B处，测得铜像顶的仰角为45°，点A,B,Z在同一平面内. 14/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求铜像连同底座的高度LZ; (2)若铜像底座SZ的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍 照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心Z多远处？ (3)在(2)的条件下，若组员甲在。ABZ区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ (参考数据：√219≈14.8，π≈3.14，所有答案精确到小数点后1位) 15/15