第07讲 复数知识的综合应用与拓展（8题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版）

第07讲 复数知识的综合应用与拓展 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：解决三角形图形类问题的方法 3 知识点一、复数的概念 3 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 3 知识点三、复数的三角形式 4 03 重难点题型 5 题型一：复数概念与分类辨析 5 题型二：复数四则运算与技巧突破 5 题型三：复数方程的解法与常见题型 6 题型四：复数相等与共轭复数的应用 7 题型五：复数三角形式的转化与运算 7 题型六：复数模的综合计算与题型突破 8 题型七：复数最值问题的常见解法 9 题型八：复数几何意义的解题应用 9 04 过关检测 11 知识点1：解决三角形图形类问题的方法 知识点一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 知识点三、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 题型一：复数概念与分类辨析 例1．（2026·高一·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 例2．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 例3．（2026·四川凉山·二模）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 变式1．下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 变式2．i是虚数单位，若集合，则（   ） A． B． C． D． 题型二：复数四则运算与技巧突破 例4．（2026·高一·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 例5．（2026·高一·青海西宁·期中）计算： (1)； (2). 例6．计算： (1)； (2) 变式3．计算： (1)； (2)； (3). 题型三：复数方程的解法与常见题型 例7．（2026·高一·山东济宁·期中）已知复数满足． (1)求复数； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 例8．（2026·高一·山西太原·期中）已知复数. (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 例9．（2026·高一·四川资阳·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足，其中是的共轭复数． (1)求复数的虚部； (2)若复数是关于的方程（，且p，）的一个复数根，求的值． 变式4．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）在复数集中，解方程 变式5．（2026·高一·广东肇庆·期中）已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 题型四：复数相等与共轭复数的应用 例10．（2026·高一·上海·期中）已知有实数根，则实数________. 例11．（2026·高一·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 例12．（2026·高一·重庆·阶段检测）若，则________． 变式6．（2026·高一·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 变式7．（2026·高二·宁夏银川·期末）复数的共轭复数＝______ 题型五：复数三角形式的转化与运算 例13．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 例14．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 例15．（2026·高三·湖北武汉·阶段检测）已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 变式8．（2026·高一·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高三·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 题型六：复数模的综合计算与题型突破 例16．（2026·高一·河南·阶段检测）已知复数，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 例17．（2026·高一·山东济宁·期中）若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 例18．（2026·高一·天津南开·阶段检测）若复数，满足，，其中为虚数单位，则（    ） A． B．2 C．3 D． 变式10．（2026·高一·四川成都·期中）复数满足，且 ，则（    ） A． B． C． D． 变式11．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 题型七：复数最值问题的常见解法 例19．（2026·高一·江西·阶段检测）若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例20．（2026·高一·湖南邵阳·期中）已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 例21．（2026·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 变式12．如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 变式13．（2026·高一·广西·阶段检测）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 题型八：复数几何意义的解题应用 例22．已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例23．在复平面内，复数， （i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（    ） A． B．1 C．i D．i 例24．（2026·高一·山东青岛·期末）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题： 甲：；    乙：； 丙：；    丁：． 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式14．（2026·高三·山东济南·阶段检测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（2026·高三·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2026·高一·湖南衡阳·期末）已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 3．（2026·高三·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 5．（2026·高二·浙江温州·阶段检测）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 6．（2026·高一·江西·期末）若复数（i为虚数单位），其中假命题为（    ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 7．（2026·高一·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·河北石家庄·期末）在复平面内，复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·高一·福建宁德·期中）在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）设复数   ,则 _________． 15．（2026·高一·北京·期中）复数的共轭复数的虚部是______． 16．（2026·高一·新疆·期中）计算： (1)； (2). 17．（2026·高一·云南昭通·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求复数z． 18．（2026·高一·湖北·期中）设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 19．（2026·高一·广西河池·期中）已知复数满足． (1)求复数； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 复数知识的综合应用与拓展 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1：解决三角形图形类问题的方法 3 知识点一、复数的概念 3 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 3 知识点三、复数的三角形式 4 03 重难点题型 5 题型一：复数概念与分类辨析 5 题型二：复数四则运算与技巧突破 6 题型三：复数方程的解法与常见题型 7 题型四：复数相等与共轭复数的应用 9 题型五：复数三角形式的转化与运算 10 题型六：复数模的综合计算与题型突破 11 题型七：复数最值问题的常见解法 13 题型八：复数几何意义的解题应用 15 04 过关检测 18 知识点1：解决三角形图形类问题的方法 知识点一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 知识点三、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 题型一：复数概念与分类辨析 例1．（2026·高一·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【解析】由实数和复数的关系可知，是为实数的充要条件. 例2．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．复数为实数的充要条件是 D．复数为纯虚数，则 【答案】C 【解析】对于A，因与都是虚数，不能比较大小，故A错误； 对于B，复数的虚部为，故B错误； 对于C，设，则 若复数为实数，则，则显然有；若，则易得，故复数为实数，故C正确； 对于D，由题意，解得，故D错误. 例3．（2026·四川凉山·二模）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】B 【解析】由题意可得，解得. 变式1．下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【解析】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 变式2．i是虚数单位，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项 A： 是虚数，不是实数， 而 中的元素都是实数，因此 ，故A错误； 选项 B：，而 ，所以 成立，故B正确； 选项 C：， 是虚数，不属于 ，故C错误； 选项 D： 是虚数，也不属于 ，故D错误. 故选：B 题型二：复数四则运算与技巧突破 例4．（2026·高一·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）原式 （2）原式． （3）原式． 例5．（2026·高一·青海西宁·期中）计算： (1)； (2). 【解析】（1） （2） 例6．计算： (1)； (2) 【解析】（1）； （2） . 变式3．计算： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）. （2）. （3）. 题型三：复数方程的解法与常见题型 例7．（2026·高一·山东济宁·期中）已知复数满足． (1)求复数； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【解析】（1）因为，所以； （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以，展开得， 所以，解得. 例8．（2026·高一·山西太原·期中）已知复数. (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 【解析】（1）由， 因为为纯虚数，所以，解得. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根， 将代入方程，得， 则， 所以，解得. 例9．（2026·高一·四川资阳·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足，其中是的共轭复数． (1)求复数的虚部； (2)若复数是关于的方程（，且p，）的一个复数根，求的值． 【解析】（1）已知，则其共轭复数. 由，得. 即，解得，. 又在复平面内对应的点在第四象限，故，得. 所以复数的虚部为. （2）由（1）知. 因为是方程的根，代入得. 计算. 代入方程得. 整理得. 因为，所以实部与虚部分别为，即. 由第二个方程得，代入第一个方程得，即. 所以. 变式4．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）在复数集中，解方程 【解析】， 所以在复数集中，方程有两个解，依次为，. 变式5．（2026·高一·广东肇庆·期中）已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【解析】（1）复数，其中实部为，虚部为， 由纯虚数的定义得： ，解得. （2）当时， ， z是关于x的方程的一个根，得： ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程得. 题型四：复数相等与共轭复数的应用 例10．（2026·高一·上海·期中）已知有实数根，则实数________. 【答案】 【解析】设方程的实数根为，将代入原方程得： 根据复数相等的充要条件得：，解得, 故实数. 例11．（2026·高一·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以，解得. 例12．（2026·高一·重庆·阶段检测）若，则________． 【答案】1 【解析】由题意得：，解得：，所以. 变式6．（2026·高一·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 【答案】1 【解析】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 变式7．（2026·高二·宁夏银川·期末）复数的共轭复数＝______ 【答案】 【解析】因为， 所以. 题型五：复数三角形式的转化与运算 例13．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由棣莫弗公式，. 例14．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以 . 故选：C. 例15．（2026·高三·湖北武汉·阶段检测）已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知. 故选：C. 变式8．（2026·高一·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设，， 所以有， 即 所以，即， 则， 故选：D. 变式9．（2026·高三·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 题型六：复数模的综合计算与题型突破 例16．（2026·高一·河南·阶段检测）已知复数，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，代入， 得，解得， 则，代入已知值和交叉项结果， 得 因此. 例17．（2026·高一·山东济宁·期中）若复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】设，则， 所以， 因为，所以 ，即， 则 . 例18．（2026·高一·天津南开·阶段检测）若复数，满足，，其中为虚数单位，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】设，， 则，即. 又，则，. 所以，， 即，所以. 又， 所以 . 变式10．（2026·高一·四川成都·期中）复数满足，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于模为的复数，根据复数性质，因此可得 （表示的共轭复数）. 已知，代入上述性质得， 根据共轭复数的运算性质 即 ，因此， 对等式两边同时取共轭，得. 变式11．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】在复平面中，设，分别与向量，对应， 由题意可得，， 因为， 即， 解得，即． 题型七：复数最值问题的常见解法 例19．（2026·高一·江西·阶段检测）若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 所以，解得， 所以． 例20．（2026·高一·湖南邵阳·期中）已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】设，， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动， 如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 例21．（2026·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 所以，故，故， 故， 设，则，其中， 若，则； 若，则即， 故， 故，故， 故， 故选：C. 变式12．如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 变式13．（2026·高一·广西·阶段检测）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 题型八：复数几何意义的解题应用 例22．已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意，得， ， 解得， 在复平面内对应的点为在第三象限． 故选:C． 例23．在复平面内，复数， （i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（    ） A． B．1 C．i D．i 【答案】A 【解析】复数，故点在复平面的坐标为， 复数，故点在复平面的坐标为， 又点为线段的中点，故点在复平面内的坐标为， 故所对应的复数为. 故选：A. 例24．（2026·高一·山东青岛·期末）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题： 甲：；    乙：； 丙：；    丁：． 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】设， 由于对应点在第二象限，所以， ，， ，. 甲， 乙， 丙， 丁， 由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为. 故选：B 变式14．（2026·高三·山东济南·阶段检测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为， 所以， 对应点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 1．（2026·高三·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为的共轭复数为， 所以，所以， 故选：C 2．（2026·高一·湖南衡阳·期末）已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（    ） A．，，使得 B．、，使得 C．，，都有 D．、，都有 【答案】D 【解析】将“∃”与“∀”互换，“＝”与“≠”互换， 可得否定命题为：、，都有. 故选：D． 3．（2026·高三·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 4．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【解析】， 故. 5．（2026·高二·浙江温州·阶段检测）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 6．（2026·高一·江西·期末）若复数（i为虚数单位），其中假命题为（    ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 【答案】D 【解析】A选项，，则，故，A正确； B选项，若，则，， ，B正确； C选项，， 由题意得，故也是虚数，C正确； D选项，的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆， 故此圆上的点到原点的距离最大值为，D错误． 7．（2026·高一·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上， 则在以为圆心半径为1的圆上， 所以表示到点的距离， 数形结合得， 故选：D． 8．（2026·高二·河北石家庄·期末）在复平面内，复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可. 由复数的运算法则有：， 则，其对应的点位于第四象限. 本题选择D选项. 9．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面内与复数，，，对应的四点分别为， 10．若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 11．若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 12．若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以. 13．（2026·高一·福建宁德·期中）在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，. 设，对应的复数为，则逆时针旋转后应在第一象限，所以，. 由旋转性质得旋转前后模长相等，且与垂直， 所以，解得. 所以逆时针旋转后，，对应的复数为. 14．（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）设复数   ,则 _________． 【答案】 【解析】易知，所以. 15．（2026·高一·北京·期中）复数的共轭复数的虚部是______． 【答案】1 【解析】因为， 所以复数的共轭复数为， 所以复数的共轭复数的虚部是. 16．（2026·高一·新疆·期中）计算： (1)； (2). 【解析】（1）. （2）. 17．（2026·高一·云南昭通·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求复数z． 【解析】（1）． （2）原式． （3）设，则， 所以，即， 则，解得或， 故或． 18．（2026·高一·湖北·期中）设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 【解析】（1） 因为复数是纯虚数，所以,解得, 综上所述. （2）当时，， 因为方程为实系数一元二次方程，所以复数根成对共轭出现，另一根为 ． 由韦达定理得 综上所述，． 19．（2026·高一·广西河池·期中）已知复数满足． (1)求复数； (2)若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【解析】（1）已知， ，化简可得， 所以，解得，因此，复数； （2）把代入方程中，得到， 整理得， 所以，解得， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $