专题01 平面向量（期末复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题01 平面向量（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用向量相等或共线进行证明 题型02 向量加法运算律的应用 题型03 用已知向量表示其他向量 题型04 三点共线的常用结论 题型05 向量的模和夹角的计算问题 题型06 用基底表示向量 题型07 平面向量数乘运算的坐标表示 题型08 定比分点坐标公式及应用 题型09 平面向量的模 题型10 平面向量的夹角、垂直问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标（行为动词+标准） 考情总结（命题趋势+易错点） 1. 向量基础概念：向量与数量区别、零向量/单位向量/相等向量/相反向量、共线向量定义 熟记向量基础概念，能准确辨析各类特殊向量；可独立判断向量相关命题正误，精准区分向量与数量的本质差异。 命题趋势：期末选择填空基础题高频考查，多以正误判断形式出现。易错点：忽视零向量的任意方向、与任意向量共线的特殊性；误将模相等等同于向量相等；混淆平行向量与位置平行的关系。 2. 向量线性运算：加法三角形/平行四边形法则、减法几何运算、数乘运算及性质、向量化简 掌握向量加减、数乘的运算法则与几何意义，能熟练完成向量式化简运算，可准确判断向量运算后的方向与模长变化。 命题趋势：必考基础题型，常结合几何图形进行向量化简，是后续综合题的运算基础。易错点：向量减法方向颠倒、多向量化简不会统一起点；数乘负数时忽略向量反向；乱用模长不等式、混淆等号成立条件。 3. 共线定理与三点共线推论：向量共线充要条件、三点共线判定公式 理解向量共线定理的适用前提，熟练运用共线定理判定向量平行，能借助快速判定三点共线。 命题趋势：高频中档考点，常结合参数求值、点的位置判定考查。易错点：忽略核心前提；遗忘三点共线系数和为1的条件；零向量场景下误判系数唯一性。 4. 平面向量基本定理与基底：基底判定、向量唯一分解 理解平面向量基本定理核心内涵，能准确判定合法平面基底，可熟练完成任意向量的基底分解与系数求解。 命题趋势：侧重考查基底认知与向量分解，多结合几何图形出题。易错点：误用共线向量作为基底；误认为平面基底唯一；向量分解系数计算出错。 5. 向量坐标运算与位置关系判定：坐标求解、加减数乘坐标运算、平行与垂直的坐标判定 熟记向量坐标计算公式，熟练掌握坐标运算规则，能精准利用坐标公式判定两向量平行、垂直关系。 命题趋势：期末核心高频考点，选择填空、基础解答题均会考查，计算量大、分值稳定。易错点：坐标计算颠倒起点终点；混淆平行、垂直坐标公式；用比例式判定平行出现分母为0漏洞；忽视零向量特殊性质。 6. 向量数量积与模长、夹角：数量积定义与坐标公式、模长求解、夹角计算、核心运算性质 掌握数量积的几何意义与代数公式，能熟练求解向量模长、两向量夹角，可规范进行数量积综合运算。 命题趋势：本章重难点，期末解答题高频考点，常结合几何求值、最值问题考查。易错点：混淆数量积（实数）与数乘向量（向量）；误用数量积结合律；向量夹角未取共起点、角度范围判断错误。 7. 向量投影与综合应用：投影数量计算、几何应用、向量最值问题 理解向量投影数量的定义与计算公式，能独立求解投影数值，可运用向量知识解决几何边长、最值、证明类问题。 命题趋势：中档拔高考点，侧重考查向量几何应用，区分基础与高分层级。易错点：混淆投影数量与投影向量；不会建系转化几何问题；最值求解忽略变量范围，解题思路单一。 知识01 平面向量 向量的概念 【核心标准定义】 1. 向量：既有大小又有方向的量，区别于只有大小、无方向的数量。 2. 向量表示：几何形式为有向线段；符号形式为或黑体字母；向量的大小称为模，记作、，模恒为非负实数。 3. 特殊向量分类： 零向量：模长为0的向量，记作，方向任意； 单位向量：模长为1的向量，方向不唯一； 相等向量：大小相等、方向相同的向量，与位置无关，可自由平移； 相反向量：大小相等、方向相反的向量，满足。 4. 共线（平行）向量：方向相同或相反的非零向量；规定零向量与任意向量共线，平面向量中平行与共线等价。 【典型示例】 判断正误： ① 模相等的两个向量相等（错误，方向不一定相同）； ② 零向量没有方向（错误，零向量方向任意）； ③ 平行向量一定是共线向量（正确）； ④ 单位向量都相等（错误，方向不唯一）。 【易错警示】 1. 混淆向量与数量：向量相等需大小、方向同时一致，仅模相等无法判定向量相等； 2. 忽视零向量特殊性，是考试高频陷阱； 3. 误认为平行向量图形位置必须平行，向量可自由平移； 4. 忽略相反向量的方向判定条件，仅对比模长。 知识02 向量的线性运算（加法、减法、数乘） 向量加法 【核心标准定义】 1. 两大运算法则： 三角形法则：多向量首尾相接，和向量由首个向量起点指向末尾向量终点； 平行四边形法则：两向量共起点，以两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线为和向量。 2. 运算性质：交换律、结合律。 3. 特殊运算：，。 4. 模长不等式：（同向取右等号，反向取左等号）。 【典型示例】 在△ABC中，化简。 解：由三角形法则得，原式。 【易错警示】 1. 乱用运算法则，多向量连续加法优先用三角形法则； 2. 忽略模长不等式等号成立条件； 3. 混淆和向量的起点、终点，导致方向错误。 向量减法 【核心标准定义】 1. 运算本质：减法为加法逆运算，。 2. 几何法则：两向量共起点，差向量由减向量终点指向被减向量终点。 3. 核心口诀：共起点，后减前，指向被减。 【典型示例】 在△ABC中，化简。 解：两向量共起点C，差向量由A指向B，结果为。 【易错警示】 1. 高频错误：差向量方向写反，混淆与； 2. 对非共起点向量直接相减，违背几何运算规则； 3. 向量化简不会统一起点，导致结果错误。 向量数乘运算 【核心标准定义】 1. 定义：实数与向量的积仍为向量，记作。 2. 大小与方向：模长；同向、反向、时。 3. 运算律：结合律、分配律恒成立。 【典型示例】 化简。 解：原式。 【易错警示】 1. 混淆数乘向量与实数乘法，遗漏向量符号； 2. 分配律展开漏乘系数、符号出错； 3. 忽略负数数乘会改变向量方向。 知识03 向量共线定理 【核心标准定义】 1. 定理：若，则与共线的充要条件是存在唯一实数，使。 2. 关键前提：基准向量必须非零，零向量无唯一系数。 3. 三点共线推论：若且，则A、B、C三点共线。 【典型示例】 已知，，两向量共线且方向相反。 【易错警示】 1. 忽略前提乱用定理； 2. 三点共线判定遗忘核心条件； 3. 零向量场景下误判系数唯一性。 知识04 平面向量基本定理 【核心标准定义】 1. 定理：同一平面内两个不共线向量可作为基底，平面内任意向量可唯一表示为。 2. 核心性质：平面基底不唯一，只要两向量不共线即可作为基底。 【典型示例】 不共线，为唯一分解形式，两向量为合法基底。 【易错警示】 1. 误用共线向量作为平面基底； 2. 误认为平面基底唯一； 3. 向量分解求解系数出错，违背唯一性原则。 知识05 平面向量坐标表示与运算 【核心标准定义】 1. 坐标公式：起点、终点，。 2. 运算公式：设，加减、数乘对应坐标运算，模长。 【典型示例】 ，，模长。 【易错警示】 1. 坐标计算颠倒起点终点； 2. 横纵坐标运算混淆； 3. 模长计算忘记开根号。 知识06 向量平行与垂直的坐标判定 【核心标准定义】 设： 1. 平行（共线）：； 2. 垂直：； 3. 补充：零向量与任意向量平行，不与任意向量垂直。 【典型示例】 ，满足，两向量平行。 【易错警示】 1. 混淆平行、垂直坐标公式； 2. 平行问题误用比例式，出现分母为0漏洞； 3. 忽略零向量特殊性质。 知识07 平面向量数量积 【核心标准定义】 1. 定义：非零向量夹角，，零向量数量积为0。 2. 坐标公式：。 3. 核心性质：垂直等价于数量积为0，。 4. 运算律：无结合律，仅满足交换律、分配律。 【典型示例】 ，夹角，。 【易错警示】 1. 混淆数量积（实数）与数乘向量（向量）； 2. 误用数量积结合律； 3. 夹角未取共起点、超出取值范围。 知识08 向量投影与综合应用 【核心标准定义】 1. 投影数量：在上的投影数量（实数）； 2. 应用场景：几何证明、边长夹角求解、向量最值问题。 【典型示例】 ，投影数量为。 【易错警示】 1. 混淆投影数量与投影向量； 2. 几何问题不会建系转化坐标运算； 3. 最值问题忽略变量取值范围。 题型一 利用向量相等或共线进行证明 解｜题｜技｜巧 相等向量与共线向量的探求方法 （1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． （2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【典例1】（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 【变式1】设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（多选）给出下列四个有关向量概念的命题，则不正确的命题是 （    ） A．单位向量都相等 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形 C．向量的充要条件是且 D．已知为实数，若，则与共线 题型二 向量加法运算律的应用 答｜题｜技｜巧 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【典例1】（   ） A． B． C． D． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平行四边形中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型三 用已知向量表示其他向量 答｜题｜技｜巧 用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 【典例1】如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】如图，在中，设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在中，点在边上，且．记，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 三点共线的常用结论 答｜题｜技｜巧 应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【典例1】已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，D是的中点，，过O的直线分别与边，相交于点P，Q（含，端点），设（），（）. (1)设，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的取值范围. 【变式2】在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 题型五 向量的模和夹角的计算问题 答｜题｜技｜巧 （1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【典例1】已知单位向量满足，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式1】已知，，，则向量与夹角为（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 题型六 用基底表示向量 答｜题｜技｜巧 平面向量基本定理的作用以及注意点 （1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 【典例1】的三边长度分别为：，，， (1)求：的值 (2)若，，点在线段上，且 （ⅰ）试用，的适当形式表示 （ⅱ）求 【变式1】中，，，，，则________（用，表示）若，，则________． 【变式2】在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 题型七 平面向量数乘运算的坐标表示 答｜题｜技｜巧 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【典例1】在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（1）已知平面向量，的夹角为，且，，求的值； （2）平面内给定两个向量，． ①求，夹角的余弦值； ②求． 题型八 定比分点坐标公式及应用 答｜题｜技｜巧 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【典例1】（多选）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【变式1】已知点的坐标分别是，若点满足． (1)求证：； (2)当是线段的中点时，按（1）结果直接写出中点的坐标公式； (3)已知，点在线段的延长线上，且，按（1）公式求点的坐标． 【变式2】已知，，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． (3)若 与垂直，求的值． 题型九 平面向量的模 答｜题｜技｜巧 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方． （2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【典例1】设、，点满足，则点到原点的距离为________． 【变式1】，，________，，若是线段的中点，则，则直角坐标系内的中点坐标公式________，________． 【变式2】已知向量满足，，，若，则实数的值为________． 题型十 平面向量的夹角、垂直问题 答｜题｜技｜巧 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由直接求出． （2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为． 【典例1】已知向量. (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值； (3)当为钝角时，求的取值范围. 【变式1】已知向量是同一平面内的三个向量，向量， (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式2】设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建莆田·期末）（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则_______． 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 4．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，已知的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 5．（24-25高一下·江苏泰州·期末）（多选）已知，若，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则________；若，，则的取值范围是________. 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用向量相等或共线进行证明 题型02 向量加法运算律的应用 题型03 用已知向量表示其他向量 题型04 三点共线的常用结论 题型05 向量的模和夹角的计算问题 题型06 用基底表示向量 题型07 平面向量数乘运算的坐标表示 题型08 定比分点坐标公式及应用 题型09 平面向量的模 题型10 平面向量的夹角、垂直问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标（行为动词+标准） 考情总结（命题趋势+易错点） 1. 向量基础概念：向量与数量区别、零向量/单位向量/相等向量/相反向量、共线向量定义 熟记向量基础概念，能准确辨析各类特殊向量；可独立判断向量相关命题正误，精准区分向量与数量的本质差异。 命题趋势：期末选择填空基础题高频考查，多以正误判断形式出现。易错点：忽视零向量的任意方向、与任意向量共线的特殊性；误将模相等等同于向量相等；混淆平行向量与位置平行的关系。 2. 向量线性运算：加法三角形/平行四边形法则、减法几何运算、数乘运算及性质、向量化简 掌握向量加减、数乘的运算法则与几何意义，能熟练完成向量式化简运算，可准确判断向量运算后的方向与模长变化。 命题趋势：必考基础题型，常结合几何图形进行向量化简，是后续综合题的运算基础。易错点：向量减法方向颠倒、多向量化简不会统一起点；数乘负数时忽略向量反向；乱用模长不等式、混淆等号成立条件。 3. 共线定理与三点共线推论：向量共线充要条件、三点共线判定公式 理解向量共线定理的适用前提，熟练运用共线定理判定向量平行，能借助快速判定三点共线。 命题趋势：高频中档考点，常结合参数求值、点的位置判定考查。易错点：忽略核心前提；遗忘三点共线系数和为1的条件；零向量场景下误判系数唯一性。 4. 平面向量基本定理与基底：基底判定、向量唯一分解 理解平面向量基本定理核心内涵，能准确判定合法平面基底，可熟练完成任意向量的基底分解与系数求解。 命题趋势：侧重考查基底认知与向量分解，多结合几何图形出题。易错点：误用共线向量作为基底；误认为平面基底唯一；向量分解系数计算出错。 5. 向量坐标运算与位置关系判定：坐标求解、加减数乘坐标运算、平行与垂直的坐标判定 熟记向量坐标计算公式，熟练掌握坐标运算规则，能精准利用坐标公式判定两向量平行、垂直关系。 命题趋势：期末核心高频考点，选择填空、基础解答题均会考查，计算量大、分值稳定。易错点：坐标计算颠倒起点终点；混淆平行、垂直坐标公式；用比例式判定平行出现分母为0漏洞；忽视零向量特殊性质。 6. 向量数量积与模长、夹角：数量积定义与坐标公式、模长求解、夹角计算、核心运算性质 掌握数量积的几何意义与代数公式，能熟练求解向量模长、两向量夹角，可规范进行数量积综合运算。 命题趋势：本章重难点，期末解答题高频考点，常结合几何求值、最值问题考查。易错点：混淆数量积（实数）与数乘向量（向量）；误用数量积结合律；向量夹角未取共起点、角度范围判断错误。 7. 向量投影与综合应用：投影数量计算、几何应用、向量最值问题 理解向量投影数量的定义与计算公式，能独立求解投影数值，可运用向量知识解决几何边长、最值、证明类问题。 命题趋势：中档拔高考点，侧重考查向量几何应用，区分基础与高分层级。易错点：混淆投影数量与投影向量；不会建系转化几何问题；最值求解忽略变量范围，解题思路单一。 知识01 平面向量 向量的概念 【核心标准定义】 1. 向量：既有大小又有方向的量，区别于只有大小、无方向的数量。 2. 向量表示：几何形式为有向线段；符号形式为或黑体字母；向量的大小称为模，记作、，模恒为非负实数。 3. 特殊向量分类： 零向量：模长为0的向量，记作，方向任意； 单位向量：模长为1的向量，方向不唯一； 相等向量：大小相等、方向相同的向量，与位置无关，可自由平移； 相反向量：大小相等、方向相反的向量，满足。 4. 共线（平行）向量：方向相同或相反的非零向量；规定零向量与任意向量共线，平面向量中平行与共线等价。 【典型示例】 判断正误： ① 模相等的两个向量相等（错误，方向不一定相同）； ② 零向量没有方向（错误，零向量方向任意）； ③ 平行向量一定是共线向量（正确）； ④ 单位向量都相等（错误，方向不唯一）。 【易错警示】 1. 混淆向量与数量：向量相等需大小、方向同时一致，仅模相等无法判定向量相等； 2. 忽视零向量特殊性，是考试高频陷阱； 3. 误认为平行向量图形位置必须平行，向量可自由平移； 4. 忽略相反向量的方向判定条件，仅对比模长。 知识02 向量的线性运算（加法、减法、数乘） 向量加法 【核心标准定义】 1. 两大运算法则： 三角形法则：多向量首尾相接，和向量由首个向量起点指向末尾向量终点； 平行四边形法则：两向量共起点，以两向量为邻边作平行四边形，共起点对角线为和向量。 2. 运算性质：交换律、结合律。 3. 特殊运算：，。 4. 模长不等式：（同向取右等号，反向取左等号）。 【典型示例】 在△ABC中，化简。 解：由三角形法则得，原式。 【易错警示】 1. 乱用运算法则，多向量连续加法优先用三角形法则； 2. 忽略模长不等式等号成立条件； 3. 混淆和向量的起点、终点，导致方向错误。 向量减法 【核心标准定义】 1. 运算本质：减法为加法逆运算，。 2. 几何法则：两向量共起点，差向量由减向量终点指向被减向量终点。 3. 核心口诀：共起点，后减前，指向被减。 【典型示例】 在△ABC中，化简。 解：两向量共起点C，差向量由A指向B，结果为。 【易错警示】 1. 高频错误：差向量方向写反，混淆与； 2. 对非共起点向量直接相减，违背几何运算规则； 3. 向量化简不会统一起点，导致结果错误。 向量数乘运算 【核心标准定义】 1. 定义：实数与向量的积仍为向量，记作。 2. 大小与方向：模长；同向、反向、时。 3. 运算律：结合律、分配律恒成立。 【典型示例】 化简。 解：原式。 【易错警示】 1. 混淆数乘向量与实数乘法，遗漏向量符号； 2. 分配律展开漏乘系数、符号出错； 3. 忽略负数数乘会改变向量方向。 知识03 向量共线定理 【核心标准定义】 1. 定理：若，则与共线的充要条件是存在唯一实数，使。 2. 关键前提：基准向量必须非零，零向量无唯一系数。 3. 三点共线推论：若且，则A、B、C三点共线。 【典型示例】 已知，，两向量共线且方向相反。 【易错警示】 1. 忽略前提乱用定理； 2. 三点共线判定遗忘核心条件； 3. 零向量场景下误判系数唯一性。 知识04 平面向量基本定理 【核心标准定义】 1. 定理：同一平面内两个不共线向量可作为基底，平面内任意向量可唯一表示为。 2. 核心性质：平面基底不唯一，只要两向量不共线即可作为基底。 【典型示例】 不共线，为唯一分解形式，两向量为合法基底。 【易错警示】 1. 误用共线向量作为平面基底； 2. 误认为平面基底唯一； 3. 向量分解求解系数出错，违背唯一性原则。 知识05 平面向量坐标表示与运算 【核心标准定义】 1. 坐标公式：起点、终点，。 2. 运算公式：设，加减、数乘对应坐标运算，模长。 【典型示例】 ，，模长。 【易错警示】 1. 坐标计算颠倒起点终点； 2. 横纵坐标运算混淆； 3. 模长计算忘记开根号。 知识06 向量平行与垂直的坐标判定 【核心标准定义】 设： 1. 平行（共线）：； 2. 垂直：； 3. 补充：零向量与任意向量平行，不与任意向量垂直。 【典型示例】 ，满足，两向量平行。 【易错警示】 1. 混淆平行、垂直坐标公式； 2. 平行问题误用比例式，出现分母为0漏洞； 3. 忽略零向量特殊性质。 知识07 平面向量数量积 【核心标准定义】 1. 定义：非零向量夹角，，零向量数量积为0。 2. 坐标公式：。 3. 核心性质：垂直等价于数量积为0，。 4. 运算律：无结合律，仅满足交换律、分配律。 【典型示例】 ，夹角，。 【易错警示】 1. 混淆数量积（实数）与数乘向量（向量）； 2. 误用数量积结合律； 3. 夹角未取共起点、超出取值范围。 知识08 向量投影与综合应用 【核心标准定义】 1. 投影数量：在上的投影数量（实数）； 2. 应用场景：几何证明、边长夹角求解、向量最值问题。 【典型示例】 ，投影数量为。 【易错警示】 1. 混淆投影数量与投影向量； 2. 几何问题不会建系转化坐标运算； 3. 最值问题忽略变量取值范围。 题型一 利用向量相等或共线进行证明 解｜题｜技｜巧 相等向量与共线向量的探求方法 （1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． （2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 【典例1】（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量的长度是0 B．向量是有向线段 C．若，则 D．若是共线的单位向量，则 【答案】AC 【详解】对于A，由零向量的定义可知，A正确； 对于B，向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B错误； 对于C，由向量相等的定义可知，C正确； 对于D，若是共线的单位向量，则或，D错误． 【变式1】设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“”可知向量与同向，但模长不一定相等，不满足充分性； 由“”可以得到“”，满足必要性． 【变式2】（多选）给出下列四个有关向量概念的命题，则不正确的命题是 （    ） A．单位向量都相等 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形 C．向量的充要条件是且 D．已知为实数，若，则与共线 【答案】ACD 【详解】对于选项A，由于单位向量模都相等，但方向不一定相同，故A不正确； 对于选项B，，，且； 又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形，故B正确； 对于选项C，当向量且方向相反时，即使，也不能得到， 则且是向量的必要不充分条件，故C不正确； 对于选项D，当实数时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故D不正确． 题型二 向量加法运算律的应用 答｜题｜技｜巧 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【典例1】（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量减法与加法的三角形法则可得. 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 【变式2】在平行四边形中，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合平行四边形的性质，利用向量的加法、减法运算法则逐一判断各选项的正误. 【详解】在平行四边形中，对边向量满足，， 对于A，由，可得，故A正确； 对于B，根据向量加法的平行四边形法则，对角线向量，故B正确； 对于C，根据向量减法的三角形法则，即，故C正确； 对于D，由向量加法的三角形法则可得，而，因此，故D错误. 题型三 用已知向量表示其他向量 答｜题｜技｜巧 用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 【典例1】如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】在平行四边形中， ，，， 则，， ， 解得，，，所以，． 【变式1】如图，在中，设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， ． 【变式2】在中，点在边上，且．记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ． 题型四 三点共线的常用结论 答｜题｜技｜巧 应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【典例1】已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量共线基本定理，结合图形求得，再由平面向量数量积的定义与运算律计算即得. 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 【变式1】如图，在中，D是的中点，，过O的直线分别与边，相交于点P，Q（含，端点），设（），（）. (1)设，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据向量线性运算直接求得和，代入即可求解； （2）根据，，三点共线可求得，利用“1”的代换和基本不等式即可求解； （3）以，为基底可表示出，，平方后相加，整理可得到关于的二次函数，根据（2）的结论有，，，换元，可得出，然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为D是的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 因为，，三点共线，所以， 又，， ，当且仅当，即，时等号成立， 的最小值为3. （3）， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，即， ， 由，得，， 因为，所以，又，所以，即， 所以，又，所以， 令，，则，， 所以， 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，所以，所以， 因为， 所以根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的取值范围为. 【变式2】在中，，过点D的直线分别交直线于点，且，，其中，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【详解】如下图所示：    因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 题型五 向量的模和夹角的计算问题 答｜题｜技｜巧 （1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【典例1】已知单位向量满足，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量为单位向量，可得， 因为，可得， 解得，所以， 又因为，可得，所以与的夹角为. 【变式1】已知，，，则向量与夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长公式，结合向量数量积的定义及运算律计算夹角即可． 【详解】设向量与的夹角为， 则. 因为，，代入可得： ，解得， 因为，故． 【变式2】已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，则 ， 解得， 设向量与的夹角为，则． 题型六 用基底表示向量 答｜题｜技｜巧 平面向量基本定理的作用以及注意点 （1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 【典例1】的三边长度分别为：，，， (1)求：的值 (2)若，，点在线段上，且 （ⅰ）试用，的适当形式表示 （ⅱ）求 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先根据余弦定理求出，再根据数量积的定义求解； （2）（ⅰ）根据向量的线性运算求解； （ⅱ）根据向量数量积的运算律求解． 【详解】（1）， ； （2）（ⅰ） ； （ⅱ） ． 【变式1】中，，，，，则________（用，表示）若，，则________． 【答案】 / 【分析】利用平面向量的线性运算得，根据平面向量基本定理得，，由得，又得，进而得，计算即可求解. 【详解】由题意有： ， 又， ， 由， 所以， 即①， 由， 所以， 即②， 由①②有：， 所以. 【变式2】在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是上一点，所以与共线，所以根据向量共线定理，存在实数，使得， 因为，所以． 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，即． 将代入并化简， 因为，所以， 由，解得． 将代入，可得． 题型七 平面向量数乘运算的坐标表示 答｜题｜技｜巧 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【典例1】在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据向量平移法则可得点经三次平移后，坐标为，列出方程组求解即可. 【详解】因为点沿平移后，坐标为， 点沿平移后，坐标为； 点沿平移后坐标为， 因为三次平移后坐标为，故，解得. 【变式1】已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式2】（1）已知平面向量，的夹角为，且，，求的值； （2）平面内给定两个向量，． ①求，夹角的余弦值； ②求． 【答案】（1）（2）①；② 【分析】（1）用定义法计算向量的数量积即可. （2）①根据向量夹角的计算公式，结合向量数量积的坐标表示及向量的模的坐标表示计算即可. ②根据向量线性运算的坐标表示及向量的模的坐标表示计算即可. 【详解】（1）. （2）①. ②， 则. 题型八 定比分点坐标公式及应用 答｜题｜技｜巧 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【典例1】（多选）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A，根据条件，利用向量的线性运算，即可求解；对B，取线段，的中点，延长与直线交于点，利用几何关系得，从而得点的轨迹为线段，再取两个端点即可求解；对C，令，可得三点共线，利用几何关系可得点的轨迹是线段，即可求解；对D，利用向量的线性运算，可得，进而可得，即可求解． 【详解】对于A，当是线段的中点时， ， 所以，故A正确， 对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为， 则平行于， 延长与直线交于点，则， 所以，则， 又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段， 当点与重合时，， 当点与重合时，， 所以．故B不正确， 对于C，当为定值2时，， 令，可得三点共线， 分别取线段的中点，如图2，记为， 所以，即， 连接交于点，因为，且，则， 所以点的轨迹是线段，故C正确． 对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线， 所以，则，所以， 即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确． 【变式1】已知点的坐标分别是，若点满足． (1)求证：； (2)当是线段的中点时，按（1）结果直接写出中点的坐标公式； (3)已知，点在线段的延长线上，且，按（1）公式求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）可知，，因为， 所以有，整理得； （2）当是线段的中点时，，由（1）中结果可得； （3）因为点在线段的延长线上，且，所以， 由（1）中结果可得，代入得. 【变式2】已知，，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． (3)若 与垂直，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据向量的坐标表示和线性运算坐标表示列方程组计算即可求解； （2）根据，设，结合向量线性运算坐标表示计算即可求解； （3）根据向量线性运算坐标表示结合题意列式计算即可求解. 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以， 因为，所以可得，解得． （2）因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以， 设，即， 得到，解得，即点的坐标为． （3）， 由于与垂直，∴，∴． 题型九 平面向量的模 答｜题｜技｜巧 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方． （2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【典例1】设、，点满足，则点到原点的距离为________． 【答案】5 【分析】由题可得，再求出，进而得到模长即可． 【详解】，， ． ，即点到原点的距离为5． 【变式1】，，________，，若是线段的中点，则，则直角坐标系内的中点坐标公式________，________． 【答案】 【变式2】已知向量满足，，，若，则实数的值为________． 【答案】或/或 【详解】由可得， 则，解得或 题型十 平面向量的夹角、垂直问题 答｜题｜技｜巧 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由直接求出． （2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为． 【典例1】已知向量. (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值； (3)当为钝角时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 因为， ， 所以. （2）， 因为，所以， 所以， . （3）角为钝角，即，且与不能反向共线， 所以，因为，可得， 且， 综上. 【变式1】已知向量是同一平面内的三个向量，向量， (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)计算出的坐标，再用向量点积公式和模长公式，直接代入求夹角余弦值； (2)夹角为锐角需同时满足点积大于0和两向量不共线. 【详解】（1）因为向量， 所以， ，， 所以. （2）因为向量， 所以 因为与的夹角为锐角， 所以且两向量不同向， 由，解得， 又因为当时，由解得， 所以实数的取值范围是. 【变式2】设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）设为两个非零向量，则“”是“存在正数，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】为两个非零向量，，设两向量的夹角为. 充分性：，，即，解得； 不一定存在正数，使得成立，即充分性不成立. 必要性：存在正数，使得成立，； ，即必要性成立. “”是“存在正数，使得”的必要而不充分条件. 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．（25-26高一上·福建莆田·期末）（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量的模可以比较大小，而向量无法比较大小，故A错误； 对于B，若，根据向量相等的定义，这意味着它们大小相等且方向相同，所以一定满足，故B正确； 对于C，当时，满足，，不一定满足，故C错误； 对于D，若，则与大小相等且方向相同； 又因为，则与大小相等且方向相同； 所以，与大小相等且方向相同，所以，故D正确. 4．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据投影向量的定义可推得，结合夹角范围与余弦函数的单调性即得的取值范围. 【详解】依题意， ,则在方向上的投影向量为， 又因，则， 因， 而函数在上单调递减， 则得， 即的取值范围是. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，，用、作为基底表示出，，由得到即可求出； （2）由（1）可得，换元、利用基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）因为，，，、为线段、上的点，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 即， 即， 即， 所以， 当时，，解得； （2）由（1）可得， 因为，， 所以，即，所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则_______． 【答案】/ 【分析】由题意作图，利用基底表示所求向量，根据向量数量积运算律以及夹角公式计算，可得答案. 【详解】 如图，由题意，是线段的中点，，则， 且， 所求为向量与向量的夹角， 则， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两向量的坐标计算出它们的模长和数量积，利用向量数量积的运算律列出方程，求解即得； （2）先根据两向量的坐标分别求出和，再利用向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】（1）因，，则，， 由可得， 即，解得. （2）因，则，， ， 设向量与的夹角为，则. 4．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，已知的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 【答案】(1)-28(2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据向量的线性运算可得，即可根据数量积的运算律求解 （2）（i）方法一：根据，即可根据相反向量化简求解；方法二：连接，利用中位线的性质求解，（ii）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）因为 ， 由得， 所以 . （2）（i）方法一： 因为， 因为的中点分别为， 所以，即， 由不共线得. 方法二： 连结，取的中点， 则， 由不共线得. （ii）因为 ， 所以. 5．（24-25高一下·江苏泰州·期末）（多选）已知，若，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【分析】根据向量线性运算及相等的条件可得，再利用三角恒等变形可得，继而可判断各项. 【详解】，，故A正确； ， ，即， 相加得， 解得， ， ，故BC错误； , 在上的投影向量为,故D正确； 故选：AD. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，利用投影向量可得，利用向量的数量积的定义及运算律可求解. 【详解】依题意，设，则， 因为在上的投影向量为，所以，又， 所以，所以，即， 因，，，则，解得，所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可. 【详解】由，，可得， ，且， 则，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则________；若，，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】第一空：用作基底表示，，利用数量积的运算律计算即可；第二空，用作基底表示，，结合数量积的运算律，以及二次函数的最值的求法可求的取值范围. 【详解】第一空：因为，所以， 又，所以， 所以 ； 第二空：因为，所以， 所以， ， 所以 ， 又因为，所以.. 故答案为：3;[1,3] 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由，，排除ABC，由可说明D符合题意. 【详解】，是平面内的一组基底， ，，， 因为，，， 则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为菱形得边长为1，，所以，，， 设，则，，， 所以 ， ，，当且仅当时，取等号， 所以的取值范围是. 故选：A. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $