专题07 概率（期末复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题07 概率（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 事件关系的判断 题型02 简单古典概型的计算 题型03 事件独立性的判断 题型04 相互独立事件概率的计算 题型05 相互独立事件概率的综合应用 题型06 频率与概率的关系 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点） 1. 随机事件与古典概型：事件分类、古典概型两大特征、基本事件计数、古典概率公式计算 区分三类随机事件，熟记古典概型有限性、等可能性两大核心特征，能精准枚举基本事件，规范完成古典概型概率计算。 命题趋势：期末基础必考题型，选择填空高频考查，是概率解答题的基础考点。易错点：忽略古典概型等可能前提；基本事件枚举重复、遗漏；混淆频率与概率的概念，误将频率当作概率定值。 2. 互斥事件与对立事件：互斥事件、对立事件定义与关系、概率加法公式、正难则反求值 精准辨析互斥事件与对立事件的区别与联系，熟练运用加法公式计算互斥事件概率，能借助对立事件简化复杂概率运算。 命题趋势：高频核心考点，常结合古典概型综合考查，是概率简化运算的关键方法。易错点：混淆互斥、对立事件逻辑关系；对非互斥事件乱用加法公式；复杂题型不会使用“正难则反”解题，计算繁琐易出错。 3. 相互独立事件：独立事件定义、概率乘法公式、独立事件与对立事件综合应用 理解事件相互独立的核心内涵，熟记独立事件概率乘法公式，能准确判定事件是否独立，可规范完成多事件独立概率计算。 命题趋势：期末解答题重点考点，区分度较高，常结合多次试验综合设问。易错点：混淆独立事件与互斥事件判定条件；主观臆断事件独立，不依据公式验证；多事件叠加计算漏乘、错乘概率。 4. 概率综合应用：古典概型、互斥、独立事件嵌套计算、实际场景概率建模 能整合古典概型、互斥、独立事件知识点综合解题，可将生活实际问题转化为概率模型，独立完成复杂概率求值与应用题求解。 命题趋势：期末压轴必考题型，侧重考查综合分析与建模能力，是概率板块核心拉分点。易错点：事件类型判断错误导致公式套用错误；多重事件关系梳理混乱；实际场景建模失误，遗漏限定条件。 知识01 随机事件与概率（核心考点：事件类型判断与概率基本性质） 知识点 1 随机事件、必然事件、不可能事件 定义：① 必然事件：在一定条件下必然会发生的事件，概率为 1；② 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件，概率为 0；③ 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，用大写字母 A、B、C…… 表示，概率取值范围 0≤P (A)≤1。 典型示例：① 掷一枚质地均匀的骰子，“点数小于 7” 是必然事件；② “点数大于 6” 是不可能事件；③ “点数为 3” 是随机事件。 易错点警示：① 混淆 “随机事件” 与 “必然事件”（如将 “明天降雨概率 90%” 当作必然事件）；② 误将小概率事件（如中奖概率 0.001）当作不可能事件，或大概率事件当作必然事件。 知识点 2 频率与概率 定义：① 频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值 m/n，频率是随机变化的；② 概率：事件 A 发生的可能性大小的客观度量，是一个常数，当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近（频率估计概率）。 典型示例：抛掷一枚硬币 1000 次，正面朝上 498 次，正面朝上的频率为 498/1000=0.498，由此估计该硬币正面朝上的概率约为 0.5。 易错点警示：① 认为 “频率等于概率”（如某次试验频率为 0.498，就认为概率是 0.498）；② 样本量过小时，误用频率直接估计概率（如抛掷硬币 3 次，正面朝上 2 次，就估计概率为 2/3）。 知识点 3 互斥事件与对立事件 定义：① 互斥事件（互不相容事件）：事件 A 与事件 B 不能同时发生；② 对立事件：事件 A 与事件 B 不能同时发生，且必有一个发生（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）。 典型示例：① 掷骰子试验中，“点数为 1” 与 “点数为 2” 是互斥事件（不能同时发生）；② “点数为奇数” 与 “点数为偶数” 是对立事件（不能同时发生，且必有一个发生）。 易错点警示：① 混淆互斥与对立（如认为 “点数为 1” 与 “点数为 2” 是对立事件）；② 遗漏互斥事件 “不能同时发生” 的核心条件（如将 “点数为奇数” 与 “点数大于 3” 当作互斥事件，实际可能同时发生，如点数 5）。 知识02 古典概型（核心考点：古典概型判定与概率计算） 知识点 1 古典概型的判定 定义：满足两个核心特征的概率模型：① 有限性：试验的所有可能结果（基本事件）是有限个；② 等可能性：每个基本事件发生的概率相等。 典型示例：① 从 3 个红球、2 个白球中随机摸 1 个球（基本事件为 “摸红球 1”“摸红球 2”“摸红球 3”“摸白球 1”“摸白球 2”，共 5 个，且每个概率相等，是古典概型）；② 射击命中环数（基本事件为 0 环、1 环、……、10 环，共 11 个，但各环数命中概率不一定相等，非古典概型）。 易错点警示：① 忽略 “等可能性” 特征（如不均匀的骰子，各点数概率不等，误当作古典概型）；② 误将无限结果的试验当作古典概型（如 “在区间 [0,1] 内随机取 1 个数”，结果无限，非古典概型）。 知识点 2 古典概型概率公式 公式：对于古典概型，事件 A 的概率 P (A)= 事件 A 包含的基本事件数 / 试验的基本事件总数（记为 P (A)=m/n，其中 m 为 A 包含的基本事件数，n 为基本事件总数）。 典型示例：从 1、2、3、4、5 中随机取 1 个数，求 “取到偶数” 的概率：① 基本事件总数 n=5（1、2、3、4、5）；② 事件 A（取到偶数）包含的基本事件数 m=2（2、4）；③ 故 P (A)=2/5。 易错点警示：① 计数时遗漏或重复基本事件（如从 2 男 2 女中抽 2 人，误将 “男 1 女 1” 与 “女 1 男 1” 当作两个基本事件）；② 混淆 “事件 A 包含的基本事件数” 与 “总事件数”（如求 “取到奇数” 的概率，误将 m 算成 2，n 算成 4）；③ 未先判定是否为古典概型，直接套用公式（如不均匀骰子误按古典概型计算）。 知识03 几何概型（核心考点：几何概型判定与概率计算） 知识点 1 几何概型的判定 定义：满足两个核心特征的概率模型：① 无限性：试验的所有可能结果（基本事件）是无限个；② 等可能性：每个基本事件发生的概率只与构成该事件的区域长度（面积或体积）成正比，与区域形状、位置无关。 典型示例：① “在区间 [0,2] 内随机取 1 个数”（结果无限，且每个数被取到的概率与区间长度成正比，是几何概型）；② “掷硬币”（结果有限，非几何概型）。 易错点警示：① 混淆古典概型与几何概型（有限结果 vs 无限结果）；② 忽略 “等可能性”（如在不均匀的平面区域内随机取点，各点概率不等，非几何概型）。 知识点 2 几何概型概率公式 公式：P (A)= 事件 A 构成的区域长度（面积 / 体积）/ 试验的全部结果构成的区域长度（面积 / 体积）（常用类型：长度型、面积型，体积型较少考查）。 典型示例：① 长度型：在区间 [0,5] 内随机取 1 个数，求 “数在 [1,3] 内” 的概率：事件 A 构成的区域长度为 3-1=2，试验全部结果构成的区域长度为 5-0=5，故 P (A)=2/5；② 面积型：在边长为 2 的正方形内随机取 1 点，求 “点到正方形中心距离≤1” 的概率：事件 A 构成的区域是半径为 1 的圆（面积 =π×1²=π），试验全部结果构成的区域是正方形（面积 = 2×2=4），故 P (A)=π/4。 易错点警示：① 错误选择区域度量方式（如长度型误用面积计算）；② 计算区域长度 / 面积时出错（如正方形面积误算为 2，圆面积误算为 2π）；③ 纠结区域边界是否包含（如区间 [1,3] 是否包含 1 和 3，闭区间与开区间的长度一致，不影响概率）。 知识04 概率的基本性质与运算（核心考点：概率公式应用） 知识点 1 概率的取值范围 性质：对任意事件 A，有 0≤P (A)≤1；必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0。 典型示例：若某事件 A 的概率 P (A)=1.2，则该结果一定错误（超出取值范围）；若 P (B)=-0.1，也为错误结果。 易错点警示：计算概率后未验证取值范围，出现负数或大于 1 的结果仍未修正（如互斥事件概率加法计算后得 1.2，未检查错误）。 知识点 2 互斥事件概率加法公式 公式：若事件 A 与事件 B 互斥，则 P (A∪B)=P (A)+P (B)；推广到 n 个互斥事件 A1、A2、……、An，有 P (A1∪A2∪……∪An)=P (A1)+P (A2)+……+P (An)。 典型示例：袋中有 3 红 2 白 1 黑球（共 6 个），随机摸 1 个，求 “摸到红球或白球” 的概率：① “摸到红球”（A）与 “摸到白球”（B）互斥；② P (A)=3/6，P (B)=2/6；③ 故 P (A∪B)=3/6+2/6=5/6。 易错点警示：① 非互斥事件误用加法公式（如求 “摸到红球或编号为 1 的球” 的概率，未减去 “摸到编号为 1 的红球” 的概率，导致重复计算）；② 重复计数或遗漏事件（如袋中有红、白、黑球，求 “摸到红球或白球或黑球” 的概率，误算为 3/6+2/6+1/6+……）。 知识点 3 对立事件概率公式 公式：若事件Ā是事件 A 的对立事件，则 P (Ā)=1-P (A)（核心作用：将复杂事件概率转化为对立事件概率，简化计算）。 典型示例：掷骰子求 “点数不为 3” 的概率：① 事件 A 为 “点数为 3”，P (A)=1/6；② 对立事件Ā为 “点数不为 3”；③ 故 P (Ā)=1-1/6=5/6。 易错点警示：① 找不到事件的对立事件（如求 “至少摸到 1 个红球” 的概率，不会转化为 “摸到 0 个红球” 的对立事件）；② 混淆 “对立” 与 “互斥”，将互斥事件当作对立事件套用公式（如 “点数为 1” 与 “点数为 2” 互斥，误按对立事件计算 P (Ā)=1-P (A)）。 知识05 事件的独立性（核心考点：独立性判断） 知识点 事件的独立性 定义：若事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，且事件 B 的发生与否不影响事件 A 发生的概率，则称 A 与 B 相互独立。 判定公式：A 与 B 相互独立 ⇨ P (A∩B)=P (A)×P (B)。 典型示例：甲、乙两人射击命中率分别为 0.8 和 0.7，求 “两人都命中” 的概率：① 甲命中（A）与乙命中（B）相互独立（甲是否命中不影响乙）；② P (A)=0.8，P (B)=0.7；③ 故 P (A∩B)=0.8×0.7=0.56。 易错点警示：① 误判独立事件（如不放回摸球，第一次摸球结果影响第二次，非独立事件；放回摸球才是独立事件）；② 混淆独立事件与互斥事件（独立事件强调 “无影响”，互斥事件强调 “不同时发生”，两者无必然联系，如独立事件可能同时发生）；③ 多个独立事件概率计算错误（如求 “甲命中、乙未命中” 的概率，误算为 0.8×0.7=0.56，正确应为 0.8×(1-0.7)=0.24）。 题型一 事件关系的判断 解｜题｜技｜巧 事件关系的判断方法 （1）两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． （2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 【典例1】给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件； ②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 【变式1】（多选）（多选题）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【变式2】给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 题型二 简单古典概型的计算 答｜题｜技｜巧 （求古典概型的一般步骤） （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 【典例1】某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【变式1】（多选）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 【变式2】抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 题型三 事件独立性的判断 答｜题｜技｜巧 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【典例1】在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）某社区有150名中老年人参加园艺、摄影、书画等三个兴趣班，每人只参加一个兴趣班，各班人数及年龄（单位：岁）分布如下表： 兴趣班年龄 园艺班 摄影班 书画班 合计 12 5 10 27 20 15 25 60 18 10 35 63 合计 50 30 70 150 从这150人中随机抽取1人，设事件为“抽到的人年龄位于区间”，事件为“抽到的人来自园艺班”，则（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人 D．这150人年龄平均数的估计值为60岁 【变式2】（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 题型四 相互独立事件概率的计算 答｜题｜技｜巧 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【典例1】从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为_______ 【变式1】甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 题型五 相互独立事件概率的综合应用 答｜题｜技｜巧 求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【典例1】在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【变式1】甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【变式2】甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 题型六 频率与概率的关系 答｜题｜技｜巧 （1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定． （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 【典例1】地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】频率的稳定性（用频率估计概率） 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为______________．因此，我们可以用频率估计概率． 【变式2】随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在千瓦时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求直方图中的值，并求被调查用户月用电量的中位数； (2)从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象，求其月用电量在150~200千瓦时之间的概率. 4．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏泰州·期末）连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为__________；若事件与事件相互独立，则的值为__________. 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． (1)求小队猜对3个谜题的概率； (2)求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； (2)已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； (3)为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 3．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（多选）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（   ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）； (3)立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 注：第一部分有m个数，平均数为，方差为，第二部分有n个数，平均数为，方差为，记样本均值为，样本方差为，则，. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 事件关系的判断 题型02 简单古典概型的计算 题型03 事件独立性的判断 题型04 相互独立事件概率的计算 题型05 相互独立事件概率的综合应用 题型06 频率与概率的关系 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点（期末常考） 复习目标 考情总结（命题趋势+易错点） 1. 随机事件与古典概型：事件分类、古典概型两大特征、基本事件计数、古典概率公式计算 区分三类随机事件，熟记古典概型有限性、等可能性两大核心特征，能精准枚举基本事件，规范完成古典概型概率计算。 命题趋势：期末基础必考题型，选择填空高频考查，是概率解答题的基础考点。易错点：忽略古典概型等可能前提；基本事件枚举重复、遗漏；混淆频率与概率的概念，误将频率当作概率定值。 2. 互斥事件与对立事件：互斥事件、对立事件定义与关系、概率加法公式、正难则反求值 精准辨析互斥事件与对立事件的区别与联系，熟练运用加法公式计算互斥事件概率，能借助对立事件简化复杂概率运算。 命题趋势：高频核心考点，常结合古典概型综合考查，是概率简化运算的关键方法。易错点：混淆互斥、对立事件逻辑关系；对非互斥事件乱用加法公式；复杂题型不会使用“正难则反”解题，计算繁琐易出错。 3. 相互独立事件：独立事件定义、概率乘法公式、独立事件与对立事件综合应用 理解事件相互独立的核心内涵，熟记独立事件概率乘法公式，能准确判定事件是否独立，可规范完成多事件独立概率计算。 命题趋势：期末解答题重点考点，区分度较高，常结合多次试验综合设问。易错点：混淆独立事件与互斥事件判定条件；主观臆断事件独立，不依据公式验证；多事件叠加计算漏乘、错乘概率。 4. 概率综合应用：古典概型、互斥、独立事件嵌套计算、实际场景概率建模 能整合古典概型、互斥、独立事件知识点综合解题，可将生活实际问题转化为概率模型，独立完成复杂概率求值与应用题求解。 命题趋势：期末压轴必考题型，侧重考查综合分析与建模能力，是概率板块核心拉分点。易错点：事件类型判断错误导致公式套用错误；多重事件关系梳理混乱；实际场景建模失误，遗漏限定条件。 知识01 随机事件与概率（核心考点：事件类型判断与概率基本性质） 知识点 1 随机事件、必然事件、不可能事件 定义：① 必然事件：在一定条件下必然会发生的事件，概率为 1；② 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件，概率为 0；③ 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，用大写字母 A、B、C…… 表示，概率取值范围 0≤P (A)≤1。 典型示例：① 掷一枚质地均匀的骰子，“点数小于 7” 是必然事件；② “点数大于 6” 是不可能事件；③ “点数为 3” 是随机事件。 易错点警示：① 混淆 “随机事件” 与 “必然事件”（如将 “明天降雨概率 90%” 当作必然事件）；② 误将小概率事件（如中奖概率 0.001）当作不可能事件，或大概率事件当作必然事件。 知识点 2 频率与概率 定义：① 频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值 m/n，频率是随机变化的；② 概率：事件 A 发生的可能性大小的客观度量，是一个常数，当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近（频率估计概率）。 典型示例：抛掷一枚硬币 1000 次，正面朝上 498 次，正面朝上的频率为 498/1000=0.498，由此估计该硬币正面朝上的概率约为 0.5。 易错点警示：① 认为 “频率等于概率”（如某次试验频率为 0.498，就认为概率是 0.498）；② 样本量过小时，误用频率直接估计概率（如抛掷硬币 3 次，正面朝上 2 次，就估计概率为 2/3）。 知识点 3 互斥事件与对立事件 定义：① 互斥事件（互不相容事件）：事件 A 与事件 B 不能同时发生；② 对立事件：事件 A 与事件 B 不能同时发生，且必有一个发生（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）。 典型示例：① 掷骰子试验中，“点数为 1” 与 “点数为 2” 是互斥事件（不能同时发生）；② “点数为奇数” 与 “点数为偶数” 是对立事件（不能同时发生，且必有一个发生）。 易错点警示：① 混淆互斥与对立（如认为 “点数为 1” 与 “点数为 2” 是对立事件）；② 遗漏互斥事件 “不能同时发生” 的核心条件（如将 “点数为奇数” 与 “点数大于 3” 当作互斥事件，实际可能同时发生，如点数 5）。 知识02 古典概型（核心考点：古典概型判定与概率计算） 知识点 1 古典概型的判定 定义：满足两个核心特征的概率模型：① 有限性：试验的所有可能结果（基本事件）是有限个；② 等可能性：每个基本事件发生的概率相等。 典型示例：① 从 3 个红球、2 个白球中随机摸 1 个球（基本事件为 “摸红球 1”“摸红球 2”“摸红球 3”“摸白球 1”“摸白球 2”，共 5 个，且每个概率相等，是古典概型）；② 射击命中环数（基本事件为 0 环、1 环、……、10 环，共 11 个，但各环数命中概率不一定相等，非古典概型）。 易错点警示：① 忽略 “等可能性” 特征（如不均匀的骰子，各点数概率不等，误当作古典概型）；② 误将无限结果的试验当作古典概型（如 “在区间 [0,1] 内随机取 1 个数”，结果无限，非古典概型）。 知识点 2 古典概型概率公式 公式：对于古典概型，事件 A 的概率 P (A)= 事件 A 包含的基本事件数 / 试验的基本事件总数（记为 P (A)=m/n，其中 m 为 A 包含的基本事件数，n 为基本事件总数）。 典型示例：从 1、2、3、4、5 中随机取 1 个数，求 “取到偶数” 的概率：① 基本事件总数 n=5（1、2、3、4、5）；② 事件 A（取到偶数）包含的基本事件数 m=2（2、4）；③ 故 P (A)=2/5。 易错点警示：① 计数时遗漏或重复基本事件（如从 2 男 2 女中抽 2 人，误将 “男 1 女 1” 与 “女 1 男 1” 当作两个基本事件）；② 混淆 “事件 A 包含的基本事件数” 与 “总事件数”（如求 “取到奇数” 的概率，误将 m 算成 2，n 算成 4）；③ 未先判定是否为古典概型，直接套用公式（如不均匀骰子误按古典概型计算）。 知识03 几何概型（核心考点：几何概型判定与概率计算） 知识点 1 几何概型的判定 定义：满足两个核心特征的概率模型：① 无限性：试验的所有可能结果（基本事件）是无限个；② 等可能性：每个基本事件发生的概率只与构成该事件的区域长度（面积或体积）成正比，与区域形状、位置无关。 典型示例：① “在区间 [0,2] 内随机取 1 个数”（结果无限，且每个数被取到的概率与区间长度成正比，是几何概型）；② “掷硬币”（结果有限，非几何概型）。 易错点警示：① 混淆古典概型与几何概型（有限结果 vs 无限结果）；② 忽略 “等可能性”（如在不均匀的平面区域内随机取点，各点概率不等，非几何概型）。 知识点 2 几何概型概率公式 公式：P (A)= 事件 A 构成的区域长度（面积 / 体积）/ 试验的全部结果构成的区域长度（面积 / 体积）（常用类型：长度型、面积型，体积型较少考查）。 典型示例：① 长度型：在区间 [0,5] 内随机取 1 个数，求 “数在 [1,3] 内” 的概率：事件 A 构成的区域长度为 3-1=2，试验全部结果构成的区域长度为 5-0=5，故 P (A)=2/5；② 面积型：在边长为 2 的正方形内随机取 1 点，求 “点到正方形中心距离≤1” 的概率：事件 A 构成的区域是半径为 1 的圆（面积 =π×1²=π），试验全部结果构成的区域是正方形（面积 = 2×2=4），故 P (A)=π/4。 易错点警示：① 错误选择区域度量方式（如长度型误用面积计算）；② 计算区域长度 / 面积时出错（如正方形面积误算为 2，圆面积误算为 2π）；③ 纠结区域边界是否包含（如区间 [1,3] 是否包含 1 和 3，闭区间与开区间的长度一致，不影响概率）。 知识04 概率的基本性质与运算（核心考点：概率公式应用） 知识点 1 概率的取值范围 性质：对任意事件 A，有 0≤P (A)≤1；必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0。 典型示例：若某事件 A 的概率 P (A)=1.2，则该结果一定错误（超出取值范围）；若 P (B)=-0.1，也为错误结果。 易错点警示：计算概率后未验证取值范围，出现负数或大于 1 的结果仍未修正（如互斥事件概率加法计算后得 1.2，未检查错误）。 知识点 2 互斥事件概率加法公式 公式：若事件 A 与事件 B 互斥，则 P (A∪B)=P (A)+P (B)；推广到 n 个互斥事件 A1、A2、……、An，有 P (A1∪A2∪……∪An)=P (A1)+P (A2)+……+P (An)。 典型示例：袋中有 3 红 2 白 1 黑球（共 6 个），随机摸 1 个，求 “摸到红球或白球” 的概率：① “摸到红球”（A）与 “摸到白球”（B）互斥；② P (A)=3/6，P (B)=2/6；③ 故 P (A∪B)=3/6+2/6=5/6。 易错点警示：① 非互斥事件误用加法公式（如求 “摸到红球或编号为 1 的球” 的概率，未减去 “摸到编号为 1 的红球” 的概率，导致重复计算）；② 重复计数或遗漏事件（如袋中有红、白、黑球，求 “摸到红球或白球或黑球” 的概率，误算为 3/6+2/6+1/6+……）。 知识点 3 对立事件概率公式 公式：若事件Ā是事件 A 的对立事件，则 P (Ā)=1-P (A)（核心作用：将复杂事件概率转化为对立事件概率，简化计算）。 典型示例：掷骰子求 “点数不为 3” 的概率：① 事件 A 为 “点数为 3”，P (A)=1/6；② 对立事件Ā为 “点数不为 3”；③ 故 P (Ā)=1-1/6=5/6。 易错点警示：① 找不到事件的对立事件（如求 “至少摸到 1 个红球” 的概率，不会转化为 “摸到 0 个红球” 的对立事件）；② 混淆 “对立” 与 “互斥”，将互斥事件当作对立事件套用公式（如 “点数为 1” 与 “点数为 2” 互斥，误按对立事件计算 P (Ā)=1-P (A)）。 知识05 事件的独立性（核心考点：独立性判断） 知识点 事件的独立性 定义：若事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，且事件 B 的发生与否不影响事件 A 发生的概率，则称 A 与 B 相互独立。 判定公式：A 与 B 相互独立 ⇨ P (A∩B)=P (A)×P (B)。 典型示例：甲、乙两人射击命中率分别为 0.8 和 0.7，求 “两人都命中” 的概率：① 甲命中（A）与乙命中（B）相互独立（甲是否命中不影响乙）；② P (A)=0.8，P (B)=0.7；③ 故 P (A∩B)=0.8×0.7=0.56。 易错点警示：① 误判独立事件（如不放回摸球，第一次摸球结果影响第二次，非独立事件；放回摸球才是独立事件）；② 混淆独立事件与互斥事件（独立事件强调 “无影响”，互斥事件强调 “不同时发生”，两者无必然联系，如独立事件可能同时发生）；③ 多个独立事件概率计算错误（如求 “甲命中、乙未命中” 的概率，误算为 0.8×0.7=0.56，正确应为 0.8×(1-0.7)=0.24）。 题型一 事件关系的判断 解｜题｜技｜巧 事件关系的判断方法 （1）两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． （2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 【典例1】给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件； ②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 【答案】①②③④ 【分析】由随机事件、不可能事件及必然事件的概念逐一核对四个命题得答案． 【详解】恒成立，∴①正确； 对于奇函数，若其定义域含0（如），则； 若其定义域不含0（如），则不成立，故该事件为随机事件，∴②正确； 由对数函数定义域可知，成立的前提是，即. 故若事件发生，则事件必然发生，∴③正确； ∵对顶角相等，∴对顶角不相等是不可能事件，∴④正确． 故答案为：①②③④ 【变式1】（多选）（多选题）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】根据②为不可能事件，可知男生人数少于5人，结合③为随机事件可知男生人数不少于3人，即可得出结果. 【详解】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人， ③为随机事件，所以男生人数不少于3人， 男生有名，故或． 故选：CD 【变式2】给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 题型二 简单古典概型的计算 答｜题｜技｜巧 （求古典概型的一般步骤） （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 【典例1】某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【答案】(1)(2)93分(3) 【详解】（1）由题， 解得：． （2）由（1）可知，数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分， 据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分； （3）由题意可知，分数段的人数为（人）， 分数段的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，， 设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件， 则样本空间共包含10个样本点， 所以事件的对立事件为包含4个样本点 所以， 所以， 即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为． 【变式1】（多选）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 【答案】ABCD 【分析】结合古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，“奇数”有5个，“偶数”有5个，“是4的整数倍的数”有2个，“是大于4的数”有6个，“是大于5的数”有5个或“小于6的数”有5个. 对于A：“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，A正确. 对于B：“是4的整数倍的数”有2个，则乙获胜的概率为0.2，故甲获胜的希望较大，B正确. 对于C：“是大于4的数”有6个，则乙获胜的概率为0.6，故乙获胜的希望较大，C正确. 对于D：“是大于5的数”或“小于6的数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，D正确. 【变式2】抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【详解】（1）样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； （2） ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 题型三 事件独立性的判断 答｜题｜技｜巧 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【典例1】在名男生，名女生中随机选取一名男生和一名女生，记“男生甲和女生乙入选”为事件，“男生甲入选”为事件，“女生乙入选”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】显然男生甲是否入选不会影响女生乙是否入选，故事件相互独立，且， 于是，A错误，B正确； 事件包含“男生甲未入选，女生乙入选”、“男生甲入选，女生乙未入选”、“男生甲､女生乙都未入选”三种情况， 因此，则，所以C错误； 依题意，，， 而且，因此，即，D错误. 【变式1】（多选）某社区有150名中老年人参加园艺、摄影、书画等三个兴趣班，每人只参加一个兴趣班，各班人数及年龄（单位：岁）分布如下表： 兴趣班年龄 园艺班 摄影班 书画班 合计 12 5 10 27 20 15 25 60 18 10 35 63 合计 50 30 70 150 从这150人中随机抽取1人，设事件为“抽到的人年龄位于区间”，事件为“抽到的人来自园艺班”，则（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人 D．这150人年龄平均数的估计值为60岁 【答案】BC 【分析】利用互斥事件定义可得A；利用相互独立事件的性质，验证与是否相等即可得B；估算60岁以上的老年人参加园艺班的人数即可得C；计算平均数即可得D. 【详解】对A：由园艺班中有年龄位于区间的人，故事件与事件可以同时发生， 故事件与事件不互斥，故A错误； 对B：，，， 有，则， 故事件与事件相互独立，故B正确； 对C：，故60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人，故C正确； 对D：，故D错误. 【变式2】（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 题型四 相互独立事件概率的计算 答｜题｜技｜巧 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【典例1】从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为_______ 【答案】 【详解】记从甲袋中摸出红球为事件，从乙袋中摸出红球为事件，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球为事件， 易知事件发生与否对事件发生的概率没有影响，所以相互独立， 所以． 【变式1】甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设甲、乙投篮投中的事件分别为. 则两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是. 【变式2】甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D. 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 题型五 相互独立事件概率的综合应用 答｜题｜技｜巧 求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【典例1】在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据前4局甲乙各胜两局求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【详解】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： （2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： 【变式1】甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 【变式2】甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可； （2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可； （3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率. 【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为. 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为. 故所求概率为. （2）分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为. 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为. 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为. 故所求概率为. （3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 故所求概率为 题型六 频率与概率的关系 答｜题｜技｜巧 （1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定． （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 【典例1】地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 同时开放2、 3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 所以1疏散乘客比3快； 同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快， 2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4． 【变式1】频率的稳定性（用频率估计概率） 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为______________．因此，我们可以用频率估计概率． 【答案】频率的稳定性 【变式2】随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 【答案】(1)； 平均数为74（分）；中位数为分 (2)288 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得，根据频率分布直方图估计平均数，中位数； （2）由频率估计概率可得高一年级480名学生中成绩不低于70分的频率后可得人数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任取3人的所有可能结果为， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，， 共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】(1)，分位数为分； (2). 【分析】（1）根据频率之和为求出，再由第百分位数的求法计算即可； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件和符合题意的事件，根据古典概型求解. 【详解】（1）由题意知，解得，    设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. （2）由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 2．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 【答案】BC 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误; 对于B，因为，而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 故选：BC. 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在千瓦时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求直方图中的值，并求被调查用户月用电量的中位数； (2)从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象，求其月用电量在150~200千瓦时之间的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率和为可求得的值，结合频率分布直方图可计算中位数； （2）分别计算月用电量在150千瓦时以上和月用电量在千瓦时的用户数，根据古典概型概率的计算公式可得结果. 【详解】（1）由题意得，， 解得. 因为月用电量在千瓦时的频率为， 月用电量在千瓦时的频率为， 所以被调查用户月用电量的中位数在， 设中位数为，则，解得， 所以被调查用户月用电量的中位数为. （2）因为月用电量在150千瓦时以上的用户数为， 月用电量在千瓦时的用户数为， 所以从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象， 月用电量在千瓦时之间的概率. 4．（24-25高一下·江苏淮安·期末）不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【详解】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏泰州·期末）连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为__________；若事件与事件相互独立，则的值为__________. 【答案】 8 7 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可解. 【详解】因为事件与事件互斥，所以它们不能同时发生， 所以两次点数之和为至少为8，才能保证第一次点数不为1， 所以的最小值为8； 因为事件与事件相互独立，所以， 当时，第一次点数不可能为1，此时， 当时，，又，所以， 又时，对应概率分别为， 所以的值为7. 故答案为：8，7. 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 【答案】C 【分析】根据独立事件的概率公式计算，再利用概率的加法公式即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，， 由，则，故C正确，B错误； 由，则事件不是相互独立的，故A错误； 由，则D错误. 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏徐州·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出从4张卡片中不放回地随机抽取2张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数的条件的组合数即可求解. 【详解】从4张卡片中不放回地随机抽取2张， 所有可能的组合有：，共种等可能的结果， 和为奇数的条件是一奇一偶， 符合条件的组合为：， 所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． (1)求小队猜对3个谜题的概率； (2)求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 【答案】(1)(2) 【分析】分类讨论，根据互斥事件以及对立事件的概率公式，即可求解（1）（2）． 【详解】（1）小队猜对3个谜题共有2种情况，①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个， 所以小队猜对3个谜题的概率为． （2）甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有： ①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个； 所以甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； (2)已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩； (3)为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率. 【答案】(1)75，180(2)71(3) 【分析】（1）由频率分布直方图结合平均数和方差的计算公式即可依次计算求解； （2）由样本总平均成绩即可估计所有学生的平均成绩； （3）一一列举样本点，再由古典概型计算即可. 【详解】（1）由题估计所有男生的平均成绩为， 估计所有男生的方差为 所以估计全体男生的平均成绩为75，方差为180； （2）全体学生的平均数； （3）抽到的5名学生中有3名男生，设为名女生，设为， 事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生， 则样本空间， ， 所以，所以. 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意，， 则，即. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（多选）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（   ） A． B． C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件 【答案】ABD 【分析】设2个红球为，白球为，黑球为，由题可得各事件样本空间，据此可判断各选项正误. 【详解】设2个红球为，白球为，黑球为. 则1次随机摸出2个球的样本空间为：6种情况. 对于A，事件A的样本空间为，则，故A正确； 对于B，事件B样本空间为：，事件C样本空间为：， 事件D样本空间为：，则，， 则，故B正确； 对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又 则事件A，B为互斥事件.故C错误，D正确. 故选：ABD 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值； (2)试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）； (3)立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可； （2）由频率分布直方图结合平均数的计算，即可求解； （3）小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况，根据概率计算即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，可得， 解得； （2）设本次测试的平均成绩为，则根据频率分布直方图，可得 ， 即本次测试的平均成绩为； （3）设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为，则， 即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是54，方差是6；落在的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 注：第一部分有m个数，平均数为，方差为，第二部分有n个数，平均数为，方差为，记样本均值为，样本方差为，则，. 【答案】(1)(2)(3), 【分析】（1）根据直方图各区间的频率和为1列方程求参数； （2）先依据频率分布直方图求出及格的频率，得到单次抽取及格的概率，再利用概率公式计算即可； （3）先确定区间、上的样本个数，再根据公式计算总平均数和总方差的值. 【详解】（1）由题意 ，解得 ； （2）由直方图知， 的频率为 设至少有 2 份试卷及格为事件 ，有 2 份试卷及格为事件 ，有 3 份试卷及格为事件 ， （3）样本数据在区间 的个数为 ，在区间 上的个数为 ， 所以 ， 总方差为 . 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $