精品解析：内蒙古巴彦淖尔市临河区第五中学2025-2026学年八年级数学期中学情监测

临河五中八年级数学期中学情监测 一、选择题（3分×8=24分） 1. 下列式子为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键． 2. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：根据题意，得：， 解得：且. 故选D. 考点：二次根式有意义的条件. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查二次根式的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【分析】解：选项A：，故错误． 选项B：二次根式加法需满足同类根式才能合并，而与非同类根式，无法直接相加，故错误． 选项C：，故正确． 选项D：，故错误． 故选：C． 4. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在 中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在 中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误正确，不符合题意． B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误正确，不符合题意． C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误正确，不符合题意． D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意， 故选：D． 6. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 120 B. 240 C. 80 D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵点O是中点，即是斜边上的中线， ∴， ∴菱形的面积， 故选：A． 7. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 8. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①，②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为，其中正确结论的序号为（ ） A. ①②④⑤ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得； ②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为8； ③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形； ④由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明； ⑤当最小时，最小，的最小值等于． 【详解】解：如图，连， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，，，， ①∵， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长，故②符合题意； ③∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形，除此之外，不是等腰三角形，故③不符合题意； ④∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意； ⑤由， ∴当最小时，最小， 则当时， 即时，的最小值等于，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有：①②④⑤， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用等知识，掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（3分×6=18分） 9. 已知直角三角形的两边的长分别是8和6，则第三边长为________． 【答案】10或##或10 【解析】 【分析】本题未明确已知两边是否均为直角边，因此需分两种情况讨论，利用勾股定理求解第三边长，根据三角形边长为正舍去负解即可． 【详解】解：设第三边长为 ①当和都是直角边，第三边是斜边， 由勾股定理得：，计算得，解得（负值舍去）； ②若是斜边，是直角边，则第三边为直角边， 由勾股定理得：，计算得，解得（负值舍去）； 综上，第三边长为或． 10. 已知最简二次根式与二次根式可以合并，则的值是___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，掌握二次根式的性质化简，同类二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根据的性质化简得到最简二次根式，在根据根指数相同，被开方数也相同进行判定即可求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式可以合并， ∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴， 解得，， 故答案为：0 ． 11. 若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合，根据n多边形的内角和公式和外角和为列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得，即该多边形的边数为9， 故答案为：9． 12. 如图，在中，于点，于点，，．若刚好是的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，，则有，设，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵，， ∴， 设， ∵刚好是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴． 13. 如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为________．  【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，延长，交于点，证明，利用性质求出，最后用中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 14. 如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】10 【解析】 【分析】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，则就是的最小值，即的长就是． 【详解】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，如图： 此时即为的最小值，与的交点是此时P的位置， 又，M，N分别是的中点， ∴E也是的中点， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又， 则， 故答案为：10． 【点睛】此题是有关最短路线问题，有关直线同侧的折线段相加的值最小问题，常转化为直线两侧两点之间线段最短问题． 三、解答题（共58分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 16. 如图，在中，点A，C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：连接，交于点O． 四边形是平行四边形， ，． 又， ，即， ∴四边形是平行四边形． 17. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AH垂直BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH， （1）求证：四边形EBFC是菱形； （2）如果=，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH=HC，从而得出四边形EBFC是菱形； （2）由（1）得∠2=∠3，再根据∠BAC=∠ECF，得∠4=∠3，由AH⊥CB，得∠3+∠1+∠2=90°，从而得出AC⊥CF． 【详解】证明：（1）∵AB=AC，AH⊥CB， ∴BH=HC． ∵FH=EH， ∴四边形EBFC是平行四边形． 又∵AH⊥CB， ∴四边形EBFC是菱形． （2）证明：如图， ∵四边形EBFC是菱形． ∴∠2＝∠3＝∠ECF． ∵AB=AC，AH⊥CB， ∴∠4＝∠BAC． ∵∠BAC=∠ECF， ∴∠4=∠3． ∵AH⊥CB ∴∠4+∠1+∠2=90°． ∴∠3+∠1+∠2=90°． 即：AC⊥CF． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识，要熟练掌握． 18. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的性质求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的中点 ， 四边形是平行四边形， 在菱形中， 四边形是矩形 【小问2详解】 解：， 在菱形中，是的中点 是的中点 是的中位线 在菱形中，， 在中，， 根据勾股定理得 在菱形中，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． 19. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与A，B重合），连接DE，点A关于对称点为F，连接EF并延长交BC于G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH． （1）求证：GF＝GC； （2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明； （3）若正方形ABCD的边长为4，取DH的中点M，请直接写出线段BM长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）结论：BH＝AE，理由见解析；（3）点M在正方形的对角线AC上，当BM⊥AM时，BM的值最小，最小值为2． 【解析】 【分析】（1）连接DF，证明Rt△DFG≌Rt△DCG即可. （2）方法1：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，推出△DEH是等腰直角三角形，即可证明△DME≌△EBH，得EM＝BH，在Rt△AEM即可得出答案.方法2：如图3，过点H作HN⊥AB于N，证△BNH是等腰直角三角形. （3）如图4中，取DE的中点O，连接OM，OA，AM，EM，推出D，M，E四点共圆，易知点M在正方形的对角线AC上，当BM⊥AM时，BM的值最小. 【详解】证明：（1）如图1，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°， ∵点A关于直线DE的对称点为F， ∴△ADE≌△FDE， ∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°， ∴∠DFG＝90°， 在Rt△DFG和Rt△DCG中， ∵， ∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL）， ∴GF＝GC； （2）结论：BH＝AE，理由是： 证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE， ∵AD＝AB， ∴DM＝BE， 由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ADC＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴2∠2+2∠3＝90°， ∴∠2+∠3＝45°， 即∠EDG＝45°， ∵EH⊥DE， ∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形， ∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH， ∴∠1＝∠BEH， 在△DME和△EBH中， ∵， ∴△DME≌△EBH（SAS）， ∴EM＝BH， Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE， ∴EM＝AE， ∴BH＝AE； 证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N， ∴∠ENH＝90°， 由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH， 在△DAE和△ENH中， ∵， ∴△DAE≌△ENH（AAS）， ∴AE＝HN，AD＝EN， ∵AD＝AB， ∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN， ∴AE＝BN＝HN， ∴△BNH是等腰直角三角形， ∴BH＝HN＝AE． （3）如图4中，取DE的中点O，连接OM，OA，AM，EM． ∵△DEH是等腰直角三角形，DM＝HM， ∴EM＝DM＝HM，EM⊥DM， ∵∠DAE＝∠DME＝90°，OD＝OE， ∴DO＝OA＝OE＝OM， ∴A，D，M，E四点共圆， ∴∠MAB＝∠MDE＝45°， ∴∠DAM＝∠MAB， ∴点M在正方形的对角线AC上，当BM⊥AM时，BM的值最小，最小值为2． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形综合题、四点共圆、正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握辅助线的作法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临河五中八年级数学期中学情监测 一、选择题（3分×8=24分） 1. 下列式子为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 6. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 120 B. 240 C. 80 D. 160 7. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①，②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为，其中正确结论的序号为（ ） A. ①②④⑤ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③④⑤ 二、填空题（3分×6=18分） 9. 已知直角三角形的两边的长分别是8和6，则第三边长为________． 10. 已知最简二次根式与二次根式可以合并，则的值是___________． 11. 若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______． 12. 如图，在中，于点，于点，，．若刚好是的中点，则________． 13. 如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为________．  14. 如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 三、解答题（共58分） 15. 计算： （1） （2） 16. 如图，在中，点A，C在对角线所在的直线上，且．求证：四边形是平行四边形． 17. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AH垂直BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH， （1）求证：四边形EBFC是菱形； （2）如果=，求证：． 18. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 19. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与A，B重合），连接DE，点A关于对称点为F，连接EF并延长交BC于G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH． （1）求证：GF＝GC； （2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明； （3）若正方形ABCD的边长为4，取DH的中点M，请直接写出线段BM长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $