精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区2025—2026学年下学期八年级期中数学试题

2025—2026学年第二学期初二数学试题 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，将答题卡交回． 3．本试卷满分100分．考试时间90分钟． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴的取值范围是． 故选：B． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，1，2 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，8，9 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； B选项，，， ，且3，4，5均为正整数，是勾股数，符合题意； C选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； D选项，，， ，不是勾股数，不符合题意． 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，∴A错误； ∵菱形本身四边相等，若有一个角是直角，则四个角均为直角，满足正方形的定义，∴B正确； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，∴C错误； ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，∴D错误． 4. 甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）． A. 3 B. 2张 C. 1张 D. 0张 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、平方差公式、有理数的定义等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则求出每个算式的结果，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：，5是有理数； ，不是有理数；，是有理数． 综上所述，三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有2张． 故选：B． 5. 我们知道正五边形不能进行平面镶嵌，若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的∠1的度数是（　　） A. 18° B. 30° C. 36° D. 54° 【答案】C 【解析】 【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．多边形内角和定理：（n-2）•180 （n≥3）且n为整数）． 【详解】解：正五边形的内角：（5-2）×180°÷5=108°， ∴∠1=360°-108°×3=36°， 故选：C． 【点睛】此题考查平面镶嵌，熟练运用多边形内角和公式是解题的关键． 6. 如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，则菱形的周长是（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质及三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理求出的长，再根据菱形的四条边都相等即可得到答案． 【详解】E、F分别是、的中点， 是的中位线， ， 菱形的周长． 故选D． 7. 在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则灯塔O位于渔船B的（ ） A. 北偏西方向 B. 南偏西方向 C. 北偏西方向 D. 南偏西方向 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，方位角，解题的关键是利用勾股定理的逆定理求出，再求出，再根据方位角求解即可． 【详解】解：在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里， ， 所以， 在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，如下图： ， ， 则灯塔O位于渔船B的北偏西方向， 故选：C． 8. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点、F、G分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】证明，由三线合一定理可判断①；由三角形中位线定理得到，且，由平行四边形的性质得到，据此可判断②；利用可证明，即可判断③；若四边形是菱形，则可证明是等边三角形，进而推出，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴，故①正确； ∵，G是中点， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴，且， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴，故③正确； 若四边形是菱形 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到，故四边形不一定是菱形，故④错误． ∴正确的有①②③，共3个． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 9. 若最简二次根式与能合并，则a＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴a+1＝5， 解得：a＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 10. 如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理可得，进而可求出． 【详解】解：∵分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 11. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点O． 由作图可知：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 12. 在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】根据E、F的位置不同，分两种情况，根据正方形的性质，利用线段相等列方程，求解出时间t的值． 【详解】解：第一种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 第二种情况：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 综上所述，或．． 三、解答题（本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图．正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）求出三角形的周长． （2）判断三角形形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，准确应用勾股定理求出三角形的边长是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理进行判定即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得， ，，， ∴三角形的周长为． 【小问2详解】 是直角三角形，理由是： ∵ ∴是直角三角形 15. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点，分别为，的中点，得到四边形的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可． 【小问1详解】 证明：在平行四边形中，对角线，交于点， ，， 点，分别为，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ，， ， ， 点为的中点，， ． 【点睛】掌握平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 16. 我市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感，在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． （1）求长方形空闲地块的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）长方形的周长为米 （2）要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【小问1详解】 解：∵长方形的空闲地块，长为米，宽为米， ∴（米）， ∴长方形的周长为米； 【小问2详解】 解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费2800元． 17. 【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？ 【答案】（1）长为；（2）的长度为；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中， ， 答：OA长为； （2）， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （3）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 18. 已知，四边形是正方形，点（不与点，重合）是对角线上一个动点． （1）【问题发现】如图①，连接，．求证：． （2）【问题探究】如图②，连接，过点作交边于点，连接．求的度数． （3）【拓展延伸】如图③，连接，过点作交边于点，请直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合边角边的证明方法证明即可． （2）通过三角形全等，，再由等角对等边，可得为等腰直角三角形，由此可解． （3）通过构造全等三角形，利用与是等腰直角三角形，由边的关系求解数量关系即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点作，交于点，交于点，如图， ∴， 由（2）可知， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期初二数学试题 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，将答题卡交回． 3．本试卷满分100分．考试时间90分钟． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 1，1，2 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，8，9 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 4. 甲、乙、丙三人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）． A. 3 B. 2张 C. 1张 D. 0张 5. 我们知道正五边形不能进行平面镶嵌，若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的∠1的度数是（　　） A. 18° B. 30° C. 36° D. 54° 6. 如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，则菱形的周长是（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7. 在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则灯塔O位于渔船B的（ ） A. 北偏西方向 B. 南偏西方向 C. 北偏西方向 D. 南偏西方向 8. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点、F、G分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 9. 若最简二次根式与能合并，则a＝___． 10. 如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________． 11. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为_____． 12. 在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 三、解答题（本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13. 计算： （1） （2） 14. 如图．正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）求出三角形的周长． （2）判断三角形形状，并说明理由． 15. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求线段的长． 16. 我市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了市民绿化感受度和获得感，在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． （1）求长方形空闲地块的周长； （2）除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 17. 【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？ 18. 已知，四边形是正方形，点（不与点，重合）是对角线上一个动点． （1）【问题发现】如图①，连接，．求证：． （2）【问题探究】如图②，连接，过点作交边于点，连接．求的度数． （3）【拓展延伸】如图③，连接，过点作交边于点，请直接写出线段，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $