精品解析：贵州铜仁市碧江区2025-2026学年度第二学期期中质量监测试卷 八年级 数学

2025-2026学年度第二学期期中质量监测试卷 八年级 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，选择题必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4．考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 未来将是一个可以预见的时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（ ）． A. 横坐标相同 B. 纵坐标相同 C. 所在象限相同 D. 到轴距离相等 5. 如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美，图中正八边形的每个内角度数为（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在五边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（ ） A. 三角形或四边形 B. 四边形或五边形 C. 三角形或五边形 D. 三角形或四边形或五边形 10. 小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，的对角线交于点，，分别是边，的中点，连接，．下列结论：①四边形是平行四边形；②若，则四边形是矩形；③若，则四边形是菱形；④若，，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在平面直角坐标系中，点落在轴上，则点的坐标为_____________． 14. 如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 15. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 16. 在边长为3的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是_____________． 三、解答题（本题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明，证明或演算步骤） 17. 按要求完成各题 （1）一个边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求的值． （2）已知点与点，当，为何值时，点、关于轴对称． 18. 如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． （1）请你根据题意，补充原点O和y轴； （2）写出黑棋③和白棋④的坐标； （3）五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标． 19. 如图，在中，，延长到，使得，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话： （1）和的位置关系是_____________，和的数量关系是_____________； （2）请你选择一位同学的说法，并进行证明． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． （1）若点是“完美点”，求的值； （2）若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 21. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． （1）求点C的坐标和三角形的面积； （2）在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 22. 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则．在平面直角坐标系中，已知点和点，则的中点坐标为． （1）如图1，请以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，点和点，请以代数推理的方法完成这个定理的证明． （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 23. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 24. 如图，在矩形中，为矩形的一条对角线． （1）请用直尺和圆规完成以下作图： 分别在、上取点P、Q，使，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接、，请证明四边形是菱形； （3）在（2）的条件下，当，时，求四边形的周长． 25. 在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 （1）若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 （2）若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 （3）当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量监测试卷 八年级 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上． 2．答题时，选择题必须用2B铅笔将答题卡上的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，在试卷上答题无效． 3．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 4．考试结束后，只上交答题卡，试卷自留． 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 未来将是一个可以预见的时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 下列各点位于第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限的点满足横坐标为负，纵坐标为正，判断各选项即可． 【详解】解：第二象限内点的坐标需满足且， 选项B：中， ， ，符合第二象限的特征， 故选：B． 3. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 4. 法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（ ）． A. 横坐标相同 B. 纵坐标相同 C. 所在象限相同 D. 到轴距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知两点坐标为和，逐一判断各选项， ，横坐标不相同，故选项错误； ，纵坐标不相同，故选项错误； 在第二象限，在第四象限，所在象限不同，故选项错误； 点到轴的距离等于横坐标的绝对值，又因为，两点到轴距离相等，故选项正确． 5. 如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美，图中正八边形的每个内角度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是求正八边形的内角，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 根据多边形的内角和求出内角和，再除以边数即可得到答案． 【详解】解：正八边形的内角和为：， ∴正八边形的每个内角度数为 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的平移，根据平面直角坐标系中点平移的规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，进行求解即可． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度，横坐标变为，纵坐标保持2不变． 因此，平移后的点坐标为， 故选A． 7. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得为的中位线，得，在中，根据勾股定理得求解． 【详解】∵M，N分别为，的中点， ∴． 在中，，， ， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和勾股定理，关键是掌握三角形中位线平行且等于第三边一半的性质． 8. 如图，在五边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，求一个角的补角，理解相关知识是解答关键． 根据平行线的性质得到，再求出五边形的内角和度数，再利用求、、之和的补角，结合五边形的内角度数求解． 【详解】解：， ． 五边形的内角和为， ． 故选：A． 9. 把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（ ） A. 三角形或四边形 B. 四边形或五边形 C. 三角形或五边形 D. 三角形或四边形或五边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 10. 小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴， ∴ ∴． 11. 如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 【详解】解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴，即，， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 12. 如图，的对角线交于点，，分别是边，的中点，连接，．下列结论：①四边形是平行四边形；②若，则四边形是矩形；③若，则四边形是菱形；④若，，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①利用平行四边形的性质证明四边形的一组对边平行且相等，即可得出结论；②利用等腰三角形三线合一的性质证得，再根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形为矩形，证明即可得出结论；③利用直角三角形斜边中线定理得，再根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可得出结论；④如图，过点A作的垂线，垂足为E，利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出的值，再利用勾股定理计算的值，进而根据直角三角形的面积公式求出平行四边形的高，最后根据平行四边形面积公式底×高，计算即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形．故①正确； ②∵，N为的中点， ∴为等腰三角形底边上的中线， ∴， ∴， 又∵由①得，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形．故②正确； ③∵，N为的中点， ∴， ∵由①得，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形．故③正确； ④如图，过点A作的垂线，垂足为E， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∵由①得，四边形是平行四边形， ∴，故④错误． 综上所述得①②③是正确的． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在平面直角坐标系中，点落在轴上，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据x轴上点的坐标特征，x轴上点的纵坐标为0，可列方程求出的值，再代入计算横坐标，即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点落在轴上， ∴点A的纵坐标为，即， 解得， 将代入横坐标，得 ， ∴点的坐标为． 14. 如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由平行四边形性质得，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：4 ． 15. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离． 设点P的坐标为，则，再根据到两坐标轴的距离，得出，即可解答． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第四象限， ∴， ∵P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 16. 在边长为3的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，，，过点G作于H，作于K，证明四边形为矩形，设，，在和中，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知：，，， 如图，，过点G作于H，作于K． ∴四边形为矩形， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 联立①②得：， ， 代入①中得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 即点到的距离是． 三、解答题（本题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明，证明或演算步骤） 17. 按要求完成各题 （1）一个边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求的值． （2）已知点与点，当，为何值时，点、关于轴对称． 【答案】（1）8 （2）m的值为，n的值为2 【解析】 【分析】（1）先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是，从而可代入公式求解． （2）根据两点关于轴对称的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设这个多边形的每个外角为，则与这个外角相邻的内角的度数为 则 边数 答：这个多边形的边数为8． 【小问2详解】 解：∵点A、B关于x轴对称； ， ， 所以m的值为，n的值为2． 18. 如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． （1）请你根据题意，补充原点O和y轴； （2）写出黑棋③和白棋④的坐标； （3）五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）黑③坐标为，白④坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系； （2）由坐标系直接得出坐标； （3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． 【小问1详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 【小问2详解】 结合（1），可知黑③坐标为，白④坐标为； 【小问3详解】 要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． 19. 如图，在中，，延长到，使得，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话： （1）和的位置关系是_____________，和的数量关系是_____________； （2）请你选择一位同学的说法，并进行证明． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据两人的说法进行判断即可； （2）小聪：连接，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形性质得到；小梅：连接，根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：和的位置关系是，和的数量关系是； 【小问2详解】 证明：若选择小聪的说法，证明如下：连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ． ， ． 又，点D在的延长线上， ， ∴四边形AEBC是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形， ． 若选择小梅的说法，证明如下：连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ，． ， ． 又，点D在的延长线上， ， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形， ， ． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． （1）若点是“完美点”，求的值； （2）若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】（1）或 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据完美点的定义可得，求出答案； （2）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【小问1详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， 或， 解得或； 【小问2详解】 解：∵点的长距为4，， ∴． 又∵点C在第四象限内， ∴， ， 解得， ， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 21. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． （1）求点C的坐标和三角形的面积； （2）在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点C的坐标为，的面积为10 （2）存在，点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直接根据平移规律即可得点C的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：根据平移方式可得点C的坐标为； ， ， ∴， 所以的面积为10； 【小问2详解】 解：存在，由（1），点B的坐标为， ∴点B到x轴的距离为4， ∵，， ， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或， ∴点D的坐标为或． 22. 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则．在平面直角坐标系中，已知点和点，则的中点坐标为． （1）如图1，请以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，点和点，请以代数推理的方法完成这个定理的证明． （2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长． 【答案】（1）平面直角坐标系见解析，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以C为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点D作于点E，由勾股定理求出，由中点坐标公式求出D的坐标为，由勾股定理得，即可得出； （2）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质得，最后由勾股定理得的长． 【小问1详解】 解：如图，以C为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点D作于点E， ， ， 在中，， 由勾股定理可得， ∵D为中点， ∴D的坐标为， ， 在中，， 由勾股定理可得， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵点E是的中点，，， ， ∵F为的中点， ∴，， ∴， ． 23. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 24. 如图，在矩形中，为矩形的一条对角线． （1）请用直尺和圆规完成以下作图： 分别在、上取点P、Q，使，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接、，请证明四边形是菱形； （3）在（2）的条件下，当，时，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）25 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）连接、，由等腰三角形的性质得和，结合矩形的性质得到，即可判定，则四边形为平行四边形，再结合，即可证明平行四边形为菱形； （3）与的交点为O，由（2）菱形得和，利用矩形的性质证明，有，利用勾股定理即可求得，再结合菱形的性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，点P、Q即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接、： ∵，， ∴，． 又∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形为菱形． 【小问3详解】 解：如图，与的交点为O， 由（2），∵四边形为菱形． ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， 又∵四边形为菱形． ∴四边形的周长为25． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等腰三角的性质、菱形的判定和性质，矩形的性质、相似三角形的判定和性质，以及作图-基本作图，熟悉特殊四边形的性质和判定是解题的关键． 25. 在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 （1）若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 （2）若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 （3）当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，，，根据证明，故可得； （2）连接，可证，当时，取得最小值，由勾股定理求出，则可得出答案． （3）根据，得出，根据解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可， ∵点E为边上的一点， ∴当时，取得最小值， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时，， ∴周长的最小值为． 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ， ， ∴四边形的面积与的面积相等， 的底与高均为定值， ∴当点E在边上运动（不与端点重合）时，四边形的面积保持不变． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $