第4单元 第17讲 等腰三角形与直角三角形-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

第17讲 等腰三角形与直角三角形 8年8考 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角 课 形的判定 标 要 2.探索等边三角形的性质与判定， 3.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质与判定， 4.探索勾股定理及其逆定理，并能应用它们解决一些简单的实际问题. 教材知识梳理 回顾必备知识 基人础对X练 右 知X识X梳X理 1.【串题练透考点】【人教八上P79 ★知识点一 等腰三角形 练习T1变式】如图，△ABC中， AD⊥BC于点D且评分BC,BE 图形 平分∠ABC. (1)若BC=6,∠BAC=36°，BD= (1)等腰三角形的两腰相等（图中AB=AC); ∠BAD= ,∠ACB= (2)等腰三角形的两个底角 (简称“等 ∠ABE= 边对等角”，图中∠B= (2)若AB=5,BC=6,AD= ,△ABC的 (3)等腰三角形的顶角 、底边上的 面积是 性质 底边上的 重合（简称“三 线合一”)； (3)若∠BAC=36°，图中有 个等腰三角 (4)等腰三角形是轴对称图形，有 条对称 形，分别是 轴； 2.(1)【分类讨论思想】等腰三角形的一个内角 (5)面积：图中S△Ar=2BC·AD. 为50°，则它的一个底角的度数是 (2)【T2(1)变式】等腰三角形一个外角是 (1)有两边 的三角形是等腰三角形（定 判定 义)； 100°，则它的顶角的度数是 (2)等角对 3.【串题练透考点】如图，△ABC是等边三角 ★知识点二 等边三角形 形，AD⊥BC于点D.延长AB到点E,连接 具有等腰三角形的所有性质。 DE,AC=4. 三边 (1)∠CAD的度数为 性质 三个角 ,且每个角都等于 (2)若BD=BE. 是轴对称图形，有 条对称轴 ①AE的长为 83 中考复习堂堂清·教学 ②∠ADE的度数为 续表 (3)若F是AC的中点，连接DF,则△AFD 1.三边都相等的三角形是等边三角形， 是 三角形，△CFD是 2.三个角都相等的三角形是等边三角形， 判定 角形； 3.有一个角是 的等腰三角形是等边三 (4)△ABC的面积是 角形。 S- 面积 (h=)[h是任意 边（长为a)上的高]. 4.【串题练透考点】如图，在Rt△ABC ★知识点三 直角三角形 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC 直角三角形的性质 直角三角形的判定 2 cm. (1)直角三角形的两个锐角 (1)∠B= .AB= cm, (1)有一个角为90°的三 AC- cm; (2)直角三角形斜边上的中 角形是直角三角形 (定义)； (2)点D是AB的中点，则CD= cm; 线等于斜边的 (3)在直角三角形中，如果 (2)两个锐角 (3)CE⊥AB,则CE= cm,BE= cm. 的三角形是直角三 一个锐角等于30°，那 5.下列选项中，不能使△ABC是直角三角形的 角形； 么它所对的直角边等 (3)勾股定理的逆定理： 是 ( ) 于斜边的 A.∠A:∠B:∠C=1:1:3 (4)勾股定理：在直角三角 如果三角形的两边 形中，两条直角边a,b 的 等于 B.AC:BC:AB=1:1:2 第三边的 的 等于斜 C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 那么这个三角形是 边c的 ,即 直角三角形 D.∠A+∠B=∠C 核心考点解读 提升关键能力 核心考点1 等腰三角形（等边三角形）的性质和判定 名师在线 真题对练 等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线 6.(2020·仙桃)如图，已知△ABC和 段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之 △ADE都是等腰三角形，∠BAC= 一，它经常与其他几何知识（如四边形、圆等）综合在一起 ∠DAE=90°，BD,CE交于点F,连 考查 接AF.下列结论：①BD=CE;②BF 典例精析 ⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE 例①【人教八上P91复习T3变式】如图，△ABC是等 =45°.其中正确结论的个数有() 腰三角形，AB=AC,点D是AB上一点，过点D作 A.1个 B.2个 DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F. C.3个 D.4个 引领学案备考新模式 84 (1)证明：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=4,AD=2,则EC的长为 解答 D 第6题图 第7题图 7.(2020·黄冈)如图，在△ABC中，点 D在边BC上，AB=AD=DC,∠C =35°，则∠BAD= 0 8.(2023·荆州)如图，BD是等边 △ABC的中线，以D为圆心，DB的 长为半径画弧，交BC的延长线于 E,连接DE.求证：CD=CE 【解题依据】(1)问中用到的等腰三角形的判定依据是 ；(2)中用到的等 边三角形的判定依据是 核心考点〈2 直角三角形与勾股定理 典例精析 。 真题对练 例2(2024·湖北)△DEF为等边三角形，分别延长 9.(2024·黄冈模拟)如图，所有阴影部 FD,DE,EF,到点A,B,C,使DA=EB=FC,连接 分的四边形都是正方形，所有三角形 AB,AC,BC,连接BF并延长交AC于点G.若AD= 都是直角三角形，已知正方形A,B, DF=2,则∠DBF= °，FG= C的面积依次为2,4,3，则正方形D 的面积为 () 解答 A.7 B.8C.9 D.10 第9题图 第10题图 10.【新课标·数学文化】(2020·黄冈) 我国古代数学著作《九章算术》中有 这样一个问题：“今有池方一丈，葭 (jiā)生其中央，出水一尺.引葭赴 岸，适与岸齐.问水深几何？”（注： 85中考复刀堂堂清·数学 丈、尺是长度单位，1丈=10尺)这 段话翻译成现代汉语，即为：如图， 有一个水池，水面是一个边长为1 丈的正方形，在水池正中央有一根 芦苇，它高出水面1尺，如果把这根 芦苇拉向水池一边的中点，它的顶 端恰好到达池边的水面.则水池里 水的深度是 尺 11.(2022·荆州)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，通过尺规作图得 到的直线MN分别交AB,AC于点 D,E,连接CD.若CE=专AE=1, 则CD= 中多人新动向 导X图X 12.如图，△BAC,△DEB和△AEF都 等边对 是等腰直角三角形，∠BAC= 等腰 性质 三线合一 ∠DEB=∠AEF=90°，点E在 三角形 对称图形 △ABC内，BE>AE,连接DF交 判定：等角对 AE于点G,DE交AB于点H,连 等 三边 ,三个角都是 接CF.给出下面四个结论： 性质三线合一 等边 对称图形 ①∠DBA=∠EBC;②∠BHE= 三角形 和 三个角都相等的三角形是等边三角形 ∠EGF;③AB=DF;④AD=CF. 判定 有一个角是 的等腰三角形 其中所有正确结论的序号是 角三角形 两锐角 斜边上的中线等于 性质 直角 30°角的性质 三角形 勾股定理 两锐角互余的三角形是直角三角形 判定 勾股定理逆定理 备考满分演练 (见进阶作业本) 引领学案备考新模式 86(3)互补3.(1)垂线段(2)相等 核心考点解读 16.B17.B18.C19.B20.C21.B22. C23.C24.D 中考新动向 25.B26.C 导图内化目标 线段BMAB36018090606090 180相等相等相等相等180∠6 ∠5∠8一垂线段相等相等一相 等∠5相等∠8互补180题设结论 第16讲三角形与全等三角形 教材知识梳理 基础对练 1.(1)直角(2)等腰2.B3.B4.(1)135 (2)85(3)>>5.(1)482(2)14 (3)30°30°(4)1(5)1∥90°(6)86 6.24585457.解：.AB∥DE, ∠B=∠DEF.(1)选②..AB=DE,∠A= ∠D,∠B=∠DEF,∴.△ABC≌△DEF(ASA). (2)选③.，BE=CF,.BC=EF.又AB=DE, ∠B=∠DEF,.△ABC≌△DEF(SAS).(3)选 ④..AC∥DF,.∠ACB=∠F.又AB=DE, ∠B=∠DEF,∴.△ABC≌△DEF(AAS).8. 证明：B是AD的中点，.AB=BD.:BC∥ DE,.∠ABC=∠D.在△ABC和△BDE中， (AB=BD, ∠ABC=∠D,∴.△ABC≌△BDE(SAS).. BC=DE, ∠C=∠E. 知识梳理 知识点一 直角等边 知识点二 1.大于小于3.(1)180°(2)360°(3)不相 邻不相邻 知识点三 S△ACD∠BAC 三边 顶点BC 多c 1:21:4 知识点四 1.重合2.(1)相等相等(2)相等相等 相等 核心考点解读 9.1610.B11.B12.513.1814.48 15.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB =CD,AD=BC,∠B=∠D..AF=CE,∴.AD -AF=BC-CE,即DF=BE.在△ABE与 (AB=CD, △CDF中，∠B=∠D,∴.△ABE≌△CDF BE=DF, (SAS).16.证明：.点O是CD的中点，∴.DO =CO.在□ABCD中，AD∥BC,.∠D ∠OCE,∠DAO=∠E.在△ADO和△ECO中， (∠DAO=∠E, ∠D=∠OCE,∴.△ADO≌△ECO(AAS).. DO=CO, AD=CE.17.证明：，BF⊥AE,DG⊥AE,. ∠DGA=∠AFB=90°，∠ABF+∠FAB=90°. :四边形ABCD是正方形，∠FAB十∠DAG =90°，AB=AD..∠DAG=∠ABF.在△DAG (∠DAG=∠ABF, 和△ABF中，∠DGA=∠AFB,∴.△DAG≌ AD=AB, △ABF(AAS).∴.AF=DG,BF=AG..FG= AG-AF=BF-DG..BF-DG=FG. 中考新动向 18.18°19.增大5 导图内化目标 等腰钝角直角 锐角 大于180° 360° 平行一半 相等 相等 第17讲等腰三角形与直角三角形 教材知识梳理 基础对练 1.(1)318°72°36°(2)412(3)3 △ABC、△ABE和△BEC2.(1)50°或65 (2)80°或20°3.(1)30°(2)①6②120°(3) 等腰 等边(4)4√3 4.(1)60°42√3 (2)2(3)√3 15.A 知识梳理 知识点一 (2)相等 ∠C(3)平分线中线高 (4)一 (1)相等(2)等边 知识点二 相等 相等60°三3.60° 4 知识点三 (1)互余(2)一半(3)一半(4)平方和平 方a2+b=c2(2)互余(3)平方和平方 核心考点解读 典例精析 【例1】(1)证明：，AB=AC,∴.∠B=∠C., FE⊥BC,.∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90 =∠BED.∴.∠F=∠BDE.而∠BDE= ∠FDA,.∠F=∠FDA..AF=AD.. △ADF是等腰三角形.(2)4【解题依据】(1) 有两个角相等的三角形是等腰三角形(2)有一 角为60°的等腰角形是等边三角形 【例2】30 解：△DEF 5 为等边三角形，DA=EB=FC,∴.AD=DF=EB =EF=2,∠DEF=∠DFE=60°.∴.∠DBF ∠EPB=号∠DEF=30,∠AFB=∠EFB+ ∠DFE=90°，∠EFB=∠GFC=30°.作CH⊥ BG交BG的延长线于点H,CH=2CF=1, FH=√22-12=√3.∠AFB=∠H=90°，. AF/CH.△AGFn△CGH.带-器即 4 1 FG解得FG=青5，故答案为：30， √5-FG . 真题对练 6.C7.40 P 证明：BD为等 E 边△ABC的中线，.BD⊥AC,∠1=60°..∠3 =30°.：BD=DE,.∠E=∠3=30°.：∠2+ ∠E=∠1=60°，∴.∠E=∠2=30°.∴.CD=CE 9.C10.1211.√6 中考新动向 12.①③④ 导图内化目标 等角轴等边相等60°轴60°互余 斜边的一半 模型归类专题（一）“中点”之四大模型 1.23.94.B5.2.46 s号 9.2丽10.611.专2.3厄 模型归类专题（二）利用角平分线构造等腰 三角形或全等三角形解题 1.22.503.3或74.2.55.√2 6. 解：延长BC至点F,使得CF D =BC,连接DF,AB=2BC,.BF=BA.BD 平分∠ABC,∴.∠ABD=∠FBD.∴.△BDF≌ △BDA..DF=DA=5.E为BD的中点，. CE是△BDF的中位线.∴CE=子DF=号 模型归类专题（三）全等三角形之七大模型 1.(1)证明：.AD=BE,.AB=DE.又AC DF,BC=EF,.△ABC≌△DEF;(2)解： △ABC≌△DEF,.∠A=∠FDE=55°.∴.∠F =180°-∠FDE-∠E=180°-55°-45°=80° 2.解：(1)BE=BF,理由如下：，DE⊥AB,DF ⊥BC,BD是△ABC的角平分线，.DE=DF, ∠BED=∠BFD=90°.又BD=BD, ∴.Rt△BDE≌Rt△BDF.∴.BE=BF.(2)12 3.74.925.4 解：过点C作CP⊥ 0 OE B OA于P,CQ⊥OB于Q,则∠CPO=∠CQE= ∠CQO=90°=∠AOB.∴.四边形CPOQ是矩 形..OC平分∠AOB,点C是OC上一点，CP OA,CQ⊥OB,∴.PC=QC.又四边形PCQO是矩 形，.矩形PCQO是正方形.，∠DCE=90°= ∠DCQ+∠ECQ,∠PCQ=90°=∠PCD+ ∠DCQ,∴.∠PCD=∠ECQ.又∠CPD= ∠CQE,CP=CQ,∴.△PCD≌△QCE.∴ △S△PeD=S△arE..S四边形DCE=S四边形0DcQ十 SAOCE=S四边形OuCQ十S△PCD=SE方形Pa0=CQ= (CE·sin∠cEQr-(4x)-12. 6.√5-1 7.①②③8.①②④9.解：将△ABD绕点 A顺时针旋转90°至△ACF,连接EF,则CF= BD=2,∠ACF=∠B,∠FAC=∠BAD,AF= AD,∠BAC=90°，∠DAE=45°，.∠FAE ∠EAC+∠FAC=∠EAC+∠BAD=∠BAC ∠DAE=90°-45°=45°=∠DAE.,AE=AE, .△AFE≌△ADE(SAS).∴.FE=DE., ∠BAC=90°，AB=AC,∴.∠B=∠ACB=45 '.∠ECF=∠ECA+∠ACF=∠ECA+∠B= 90°.在Rt△ECF中，由勾股定理得EF=2√5， .DE=25. B 5 E 第9题图 第10题图 10.解：EF=BE+DF.证明：将△ABE绕点A 逆时针旋转至△ADG的位置，使AB与AD重 合.由旋转的性质得∠ADG=∠B,DG=BE,AG =AE,∠BAE=∠DAG,:∠B+∠ADC= 180°，∴.∠ADG+∠ADC=180°..C,D,G三点 共线.：∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE= ∠BAD-∠EAF=7∠BAD.·∠FAG= ∠EAF..AF=AF,∴.△AEF≌△AGF.∴.EF =FG..FG=DG+DF=BE +DF,.'.EF=BE +DF.