第3单元 第14讲 二次函数的实际应用及综合-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

第14讲二次函数的实际应用及综合 8年7考 课 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 标 要 2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应的自变量的值，能利用二次函数解 决简单的实际问题 教材知识梳理 回顾必备知识 础X对X练 左练 右讲 识X梳X理 1.(2023·宜昌)如图，一名学生推铅球，铅球行 ★知识点一 二次函数的实际应用 进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之 1.解题步骤 间的关系是y=一 2x-10)(x+4),则铅球 (1)根据题意列出二次函数的解析式： (2)根据已知条件确定自变量的取值范围； 推出的距离OA m. (3)利用二次函数的性质和自变量的取值范 y/m 18m 围求出最大（小）值.(2022版新课标新增) 墙 【温馨提示】二次函数的最大（小）值不一定是实际问题 的最大（小）值，一定要结合实际问题中的自变量的取 A x/m 第1题图 第2题图 值范围确定最大（小）值. 2.【人教九上P57复习题T7变式】如图，用一段 2.常考题型 长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 类型一实物抛物线 菜园，墙长为18m,要使菜园的面积最大，则 (1)建立平面直角坐标系； 步 平行于墙面的边长为 (2)利用待定系数法确定抛物线的解析式； 骤 3.【人教九上P50“探究2”变式】某药店进了一 (3)利用二次函数的性质解决实际问题. 批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25 常用类型：桥梁、隧道、体育运动等， 元时，每天销售1000包.经一段时间调查，发 类型二 二次函数在面积问题中的应用 现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40 (1)根据几何面积知识探求图形的面积关 包.其销售单价不低于进价，销售利润率不高 步 系式； 于180%.设每包销售价为x元(x为正整数). 骤(2)根据面积关系式确定函数解析式； (1)写出x的取值范围为 (3)确定二次函数的最值，解决问题。 (2)设每天的总利润为元，当每包销售价定 类型三二次函数在销售问题中的应用 为多少元时，该药店每天的利润最大？最 (1)读懂题意，借助销售问题中的利润等 大利润是多少元？ 步 公式寻找等量关系； 骤(2)确定函数解析式； (3)确定二次函数的最值，解决实际问题 65中考复习堂堂清·数学 【温馨提示】运用二次函数的性质求实际问题中的最大 值和最小值的一般方法是：①列出二次函数的解析式， 并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； ②配方或利用公式求顶点；③检查顶点是否在自变量 的取值范围内或检查所求最值是不是符合要求， a.若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点 纵坐标即为其最值， b.若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可 根据函数的增减性求解，再结合自变量在两端时函数 值的对比，从而求解出最值. 4.(2024·扬州改编)如图，已知二次函数y ★知识点二 二次函数与几何综合 一x2+bx十c的图象与x轴交于A(一2,0)， 1.最值问题 B(1,0)两点. 当二次函数的自变量x取全体实数时，我们 (1)b= ,C= ,顶点 可将二次函数的一般式y=a.x2+bx十c(a≠ (2)该二次函数的图象上是否存在点P,使 0)化成顶点式y=ax+2 +4ac- 12 ,直接 △PAB的面积为6，若存在，请求出点P Aa 的坐标，若不存在，请说明理由 可得函数最值为4ac一 Aa -,也就是抛物线顶点 的纵坐标 2.存在性问题 0 B 注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在， 再借助已知条件求解，如果有解（求出的结果 符合题目要求)，则假设成立，即存在；如果无 解（求出的结果不符合题目要求），则假设不 成立，即不存在. 3.动点问题 通常利用数形结合、分类讨论和转化思想，借 助图形，切实把握图形运动的全过程，动中取 静，选取某一时刻作为研究对象，然后根据题 意建立方程模型或者函数模型求解. 引领学案备考新模式 66 核心考点解读 提升关键能力 核心考点利用二次函数性质解决实际问题 名师在线 真题对练 用待定系数法可求出二次函数的解析式， 5.(2023·黄冈)加强劳动教育，落实五育并举. 确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条 孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处 件，根据不同的条件，选择不同的设法.(1)设一 劳动实践基地.2023年计划将其中1000m 般式：y=a.x2十bx十c(a≠0).若已知条件是图 的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现： 象经过三个，点，则可设所求的二次函数解析式 甲种蔬菜种植成本y(单位：元/m)与其种植 为y=ax2+bx+c,将已知条件代入，即可求出 a,b,c的值.(2)设交点式：y=a(x-x1)(x 面积x(单位：m)的函数关系如图所示，其中 x2)(a≠0).若已知二次函数的图象与x轴的两 200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m. 个交点的坐标分别为(x1,0),（x2,0),则可设所 (1)当x= m时，y=35元/m2; 求的二次函数解析式为y=a(x一x1)(x一x2), (2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 将第三点(m,n)的坐标（其中m,n为已知数）代 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 入，求出待定系数a,最后将解析式化为一般式. 最小？ (3)设顶点式：y=a(x-h)2十k(a≠0).若已知 (3)学校计划今后每年在这1000m土地上， 二次函数图象的顶，点坐标或对称轴方程与最大 均按(2)中方案种植蔬菜，因技术改进，预 值（或最小值），则可设所求的二次函数解析式 为y=a(x一h)2十k,将已知条件代入，求出待 计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成 定系数a,最后将解析式化为一般式. 本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本 类型一利润问题 平均每年下降a%,当a为何值时，2025 典例精析 年的总种植成本为28920元？ 例①【串题突破核心考点】【人教九上P50“探 ↑v(元/m 究2”变式】某超市销售一种商品，每件成本 为50元，销售人员经调查发现，销售单价为 2(0 100元时，每月的销售量为50件，而销售单价 200 600700x(m) 每降低2元，则每月可多售出10件，且要求 销售单价不得低于成本， (1)求该商品每月的销售量y(件)与销售单价 x(元)之间的函数关系式；（不需要求自变 量取值范围) 单价x/元 100 销售量y/件 50 67 中考复习堂堂清·数学 (2)若使该商品每月的销售利润为4000元， 并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定 为多少元？（温馨提示：注意题干上描述的 前提条件“要求销售单价不得低于成本”) (3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售 量超过某一数量时，会出现所获利润反而 减小的情况，为了每月所获利润最大，该商 品销售单价应定为多少元？ 类型二面积问题 典团精析 真题对练 例②【2022课标例71改编】如图，某小区决定 6.(2024·湖北)学校要建一个矩形花圃，其中一 要在一块一边靠墙（墙长21m)的空地上用栅 边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m, 栏围成一个矩形绿化带ABCD,绿化带的一 篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为xm, 边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅 平行于墙的边BC为ym,围成的矩形面积为 栏总长为48m.设AB的长为xm,矩形绿化 S m2. 带的面积为ym2. (1)求y与x,S与y的关系式. (1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变 (2)围成的矩形花圃面积能否为750m,若 量x的取值范围； 能，求出x的值. (2)当AB的长是多少米时，矩形绿化带 (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？ ABCD的面积y取得最大值？最大值是 若存在，求出这个最大值，并求出此时x 多少？ 的值. (3)若要求矩形绿化带ABCD的面积不少于 180m,请直接写出AB长的取值范围. 引领学案备考新模式 68 类型三抛物线型问题 典例精析 真题对练 例③【人教九上P51“探究3”变式】如图，这是 7.(2024·武汉)16世纪中叶，我国发明了一种 抛物线形拱桥，当拱顶离水面8m时，水面宽 新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖. AB为12m.当水面上升6m时达到警戒水 火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运 位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？ 行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火 箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息 技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原 点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y 图 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y 下面给出了解决这个问题的两种方法，请补 充完整： =ar十x和直线y=一2x+6其中，当火箭 方法一：如图1，以A为原点，AB所在直线为x 运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的 轴，垂直于AB所在的直线为y轴，建立平面直 第二级 角坐标系，此时点B的坐标为 ,抛物 线的顶点坐标为 ,可求这条抛物线 的函数解析式为 。 当y=6 图 69 中考复刀堂堂清·数学 时，求出自变量x的值为 ,即可解决 ykm(火箭第二级的引发点) 这个问题 方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴 (发射点)（地平线）9（落地点）xkm 图2 为y轴，建立平面直角坐标系，此时这条抛物 (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 线的函数解析式为 km. 当y= 时，求出自变量x的值为 ①直接写出a,b的值； 即可解决这个问题. ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度 由此可知，当水面上升6m达到警戒水位，此 比火箭运行的最高点低1.35km,求这两 时拱桥内的水面宽度是 m. 个位置之间的距离. 【延伸问题】若按照方法二建立平面直角坐 (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点 标系，一艘装满物资的小船，露出水面的高为 与发射点的水平距离超过15km. 0.5m,宽为4m(横断面如图)，这艘船能在 警戒水位下从这座拱桥底下通过吗？请说明 理由. 4 m Yy 0.5m 引领学案备考新模式 70 核心考点② 二次函数与几何的综合（线段与面积） 典例精析 真题对练 例④【串题突破核心考点】如图1，抛物线y= 8.(2023·襄阳节选)在平面直角坐标系中，直 x2十2x十3与x轴交于A,B两点，与y轴 线l:y=kx+b经过抛物线y=x2十2m.x十 交于点C,点P是抛物线第一象限内的一个 2m2一m(m≠0)的顶点.如图，当抛物线经过 动点，过点P作PH⊥x轴于H,交直线BC 原点时，其顶点记为P. 于点Q,顶点是D. (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐 标 (2)当k=2时.动点E在直线1下方的抛物 线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点 图1 图2 图3 F,令S=EF,求S的最大值 (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,点C的坐标为 ,直线 BC的解析式为 (2)【突破点1点的坐标表示】设点P的横 备用图 坐标为t,则点P的坐标可表示为 ,点Q的坐标可表示为 ,点H的坐标可表示为 ,作PM∥x轴与直线BC交于 点M,则点M的坐标可表示为 (3)【突破点2线段长度的表示】PM的长表 示为 ,PQ的长表示为 ,点P到直线BC的距离为 (4)【突破点3抛物线中面积的求法】如图 2,点D的坐标为 ,△CDB的面 积有两种求法： ①铅垂法：作DG⊥x轴于点G,交直线 BC于点I,点I的坐标为 ,则 SACDB- 2×(4一2)×3=3 ②分割法：连接OD, 71 中考复习堂堂清·数学 S△cDB=S△oCD+SAODB-S△B =23X1+3X4-3X3)=3: (5)【突破点4二次函数面积最值的应用】如 图3，点P是抛物线第一象限内一动点， 设点P的横坐标为t,试用t表示△PCB 9.(2022·随州节选)如图1，平面直角坐标系 的面积，并求其最大值. xOy中，抛物线y=ax2+bx十c(a<0)与x 解：作PQ∥y轴交线段BC于点Q,则 轴分别交于点A和点B(1,0),与y轴交于点 PQ-yp-yQ= C,对称轴为直线x=一1，且OA=OC,P为 2PQ·(xg-xc) 抛物线上一动点。 .S△PCB= (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图2，连接AC,当点P在直线AC上方 时，求四边形PABC面积的最大值，并求 3), 当t= 时，△PCB的面积最大，最 出此时P点的坐标. 大值为 图1 图2 备考满分演练 (见进阶作业本) 引领学案备考新模式 72知识点一 ax2+bx+c 知识点二 上下 b Aac-b2 4ac-b2 2a 低 _Aa 4a 4ac-b2 高 4ac-b2 减小增大增大 4a Aa 减小 知识点五 1.>= <2.上下 核心考点解读 真题对练 11.C12.A13.D14.D15.D16.B17. D18.B19.②③④20.A21.D22.A 23.y=-x2十1（答案不唯一）24.y=2x-3或 y=-x2+4x-4 中考新动向 25.①②④ 导图内化目标 ax2+bx+c(a≠0)1.抛物线3.加减加 减4.y=a.x2+bx十cy=a(x-h)2+ky =a(x-x1)(x-x2） 第14讲二次函数的实际应用及综合 教材知识梳理 基础对练 1.102.15m3.(1)10≤x≤28解：(2)由题 意，得@=(x-10)[1000-40(x-25)],即 =-40x2+2400.x-20000=-40(x-30)2+ 16000,.a=-40<0,.抛物线开口向下，有 最大值..10≤x≤28，当x<30时，w随x的增 大而增大，∴.x=28时，心有最大值，是一40× (28-30)2+16000=15840.答：销售单价定为 每包28元时，每天的利润最大，最大利润是 15840元. 4)-12(-号)(2)解： 该二次函数的图象上存在点P,使△PAB的面 积为6.由(1)可知二次函数解析式为：y=一x2 -x+2,A(-2,0),B(1,0),∴.AB=1-(-2)= 3.设P(m,m)56m=2AB·n=6.nl =4..n=士4..当-x2-x十2=4时，△=1-8 =一7<0，无解，不符合题意，舍去；当-x2一x十2 =-4时，x1=-3,x2=2;∴.P1(2,-4),P2(-3, -4). 核心考点解读 典例精析 【例1】(1)550-5x解：依题意，得y=50+ 100-x×10=550-5x. 2 (2)解：依题意，得 (-5x+550)(x-50)=4000,解得x1=70,x2= 90.70<90,,为使顾客获得更多的实惠，.销 售单价应定为70元；(3)解：设每月总利润为 @元，依题意得=(-5x+550)(x-50)= -5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500, ,一5<0，.当x=80时，有最大值，最大值为 4500元.∴.为了每月所获利润最大，该商品销售 单价应定为80元.【例2】解：(1)栅栏总长 为48m,AB的长为xm.,BC=(48-3x)m, ∴.y=x(48-3x)=-3x2十48x.由题意，得0< 48-3x≤21，解得9≤x<16.∴.y关于x的函数 解析式为y=-3.x2+48x(9≤x<16);(2)由(1) 得y=-3.x2+48.x=-3(x-8)2+192,,-3< 0,9≤x<16,∴.当x=9时，y有最大值，最大值 为-3×(9-8)2+192=189(m2)..∴.当AB= 9m时，矩形绿化带ABCD的面积y取最大值， 最大值为189m2;(3)9m≤AB≤10m.令-3.x2 +48x=180,解得x1=6,x2=10.当y=-3x2十 48x≥180时，6≤x≤10.9≤x<16,.9x≤ 10,即9m≤AB≤10m.当矩形绿化带ABCD的 面积不少于180m2时AB长的取值范围是9m ≤AB≤10m.【例3】方法一：(12,0)(6， 8) -号+8：3或9方法二：y y= 一2土36【延伸问题】解：能，理由 如下：当x=2时，y=一 1名X4=} 08.-8 (一2)=g>7“这艘船能从这座桥下通过。 【例4】(1)(-1,0)(3,0)(0,3)y=-x +3(2)(t,-t2+2t+3)(t,-t+3)(t,0) (t2-2t,-t2+2t+3)(3)-t2+3t-t2+3t 2C-E+307 (4)(1,4)(1,2) DIuB-c） (5)-t2+3t 27 2 8 真题对练 5.(1)500解：(2)当200≤≤600时W=x(20x +10)+50(1000-x)= 0r-40x+500 易x-40)+4200,:0>0抛物线开口 向上..当x=400时，W有最小值，最小值为 42000.当600<x≤700时，W=40x+50(1000 -x)=-10x+50000.,-10<0,∴.W随着x 的增大而减小..当x=700时，W有最小值，最 小值为W=一10×70+50000=43000，综上可 知，当甲种蔬菜的种植面积为4002，乙种蔬菜 的种植面积为600m时，W最小：(3)由题意可 得：40(20×400+10）×1-10%)°+600×50 (1-a%)2=28920,解得a1=20,a2=180(不合 题意，舍).∴.当a为20时，2025年的总种植成 本为28920元.6.解：(1)，篱笆长80m, AB+BC+CD=80..AB=CD=x,BC=y,..x +y+x=80.∴.y=80-2x.墙长42m,.0< 80-2x≤42.解得，19≤x<40,.y=80-2x(19 ≤x<40).∴.矩形面积S=BC·AB=y·x= (80-2x)x=-2x2+80x;(2)令S=750,则 2x2十80x=750,整理得：x2-40x十375=0，此 时，△=b2-4ac=(-40)2-4×375=1600- 1500=100>0,∴.一元二次方程x2-40x十375 =0有两个不相等的实数根，.围成的矩形花圃 面积能为750m.x=二（-40)±100.. 2 =25,x2=15..19≤x<40,∴.x=25;(3)S -2x2+80x=-2(x-20)2+800,.-2<0,. S有最大值.又19≤x<40,.当x=20时，S取 得最大值，此时S=800.即当x=20时，S的最 大值为800.7.解：(1)①火箭第二级的引发 点的高度为3.6km,∴.抛物线y=ax2+x和直 线y=- 2+b均经过点(9d.6.5.6=81c 十9,3.6= 号×9+6.解得a=一言6=81 ②由①知，y=一 +8.1y=+xy 1 +=一(x一》+最大值y km当y=只-1.35=2.4km时，则一言2 4 十x=2.4.解得x1=12,x2=3.又x=9时，y= 3.6>2.4,当y=2.4km时，则-2x十8.1= 2.4,解得x=11.4,11.4-3=8.4(km)..这两 个位置之间的距离8.4km:(2)当水平距离超过 15km时，火箭第二级的引发点为(9,81a十9)， 将(9,81a+9),(15,0)代人y=-2x+b,得81a +9=-号×9十b,0=-号×15十b,解得b= 2 2 7.5,a= 2a<0.8.解：Q抛 物线经过原点，∴.2m2一m=0,解得m=0或2， .m≠0，∴.m= 合，抛物线的解析式为y=十 x“y=+x=(x+)}-寻顶点P的坐 标为(-号，一)：(2)由题意得：当k=2时y =2x+6经过点P(-2-)…2X(-号)十 6=-是=是y=2z+是由2x+= 十x,可得x1=一 1 2,x2号设点E(m,n2力 m）,且-<m<号EFx轴F(分m 1 112 2-3<0, 3 2 <m< 2 当m=时，S 取得最大值 9 解：(1)抛物线的 O B 解析式为y=一x2-2x十3.(2)如图2中，连接 OP.设P(m,-m2-2m+3),S=S△PA0十S△mc +Saam=号×3X(-m-2m+3)+专×3× （-m)+合×1X3=2(-m-3m+4)=- 3 (m+）+g:-9<0当m=- 时5 的值最大，最大值为安，此时P(一号，)。 第四单元三角形 第15讲线段、角、相交线与平行线 教材知识梳理 基础对练 1.2两点确定一条直线2.两点之间，线段最 短3.C4.25.(1)1680100800(2) ∠BOC∠BOC∠COD,∠AOE(3)=同 角的余角相等6.(1)35°(2)2(3)平分7. (1)∠6∠2与∠5(2)70110(3)同位 同旁内内错8.D9.(1)<垂线段最短 (2)310.(1)=(2)垂直平分线11.D 12.∥13.(1)70(2)110(3)70(4)110 14.= 2√315.(1)①④(2)两个角是 对顶角这两个角相等(3)逆命题(4)两个 角相等这两个角是同位角假 知识梳理 知识点一 1.一条直线 一条 线段2.BCBC 3.= 1 知识点二 1.360°180°60'60”2.(1)90°(2)相等 3.(1)180°(2)相等4.相等角的平分线 知识点三 1.相等2.180°4.(1)一条(2)垂线段 5.长度6.(1)距离(2)垂直平分线 知识点四 1.(1)一条(2)平行2.(1)相等(2)相等