第3讲 二次函数的轴对称性复习&第4讲 二次函数轴对称视角下的距离与函数值的关系-【练客中考】2026年浙江新中考数学思维培优

第3讲 二次函数的轴对称性复习 食课前预习 1.在平面直角坐标系中，A(1,2)关于直线x=3的对称点A'的坐标为 2.在平面直角坐标系中，点A(m,)与点B关于直线x=1轴对称，若-1<m<0,则点B横坐标的取值范围为 3.抛物线y=x2-4x+3交y轴于点B,BC∥x轴交抛物线于另一点C,则该抛物线的对称轴为 ,点C 的坐标为 ·方法积累 对称点性质：纵坐标相等 对称轴公式 横坐标之和为对称轴横 几何特征 代数表达 标数值的2倍 X对= b=+x2 2 2 ⊙课堂探究 【问题初探】 例在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线y=ax2-4ax+3(a是常数，a>0)交y轴于点B,BC∥x轴交 抛物线于另一点C,则该抛物线的对称轴为 ,点C的坐标为 【问题追寻】 追寻1已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3),则a的值为 .若点Q(m,n)在该二次 函数图象上，且n≤3，则m的取值范围为 追寻2已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，且a<0)的图象过点(-3，m),（-2,c),（-1,n), 则下列说法正确的是 () A.m-n>0 B.若c-m>2,则-1<a<0 C.若c-n>-1,则m-n>-2 D.若c-n<-1,则m-n<-4 生成小结 代数表达能精准刻画几何对称性.本堂课的生成结构图如下： 几何对称特征 代数表达 x1+x2=2x 单一问题（参数求解、坐标 (纵等、平行x轴)（代数转化） x=-2a b (推理应用) 推理)→复杂问题（参数范围） (反思构建) 代数推理能力（从具体到抽象，从特 “条件→转化一结论”完整 殊到一般的符号运算与逻辑推理)】 (素养指向) 推理链+“化归”思想 ⊙课后延伸 【课后探究】在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-2a2x+a3+a+1(a≠0) (1)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)M(x1,y1)和N(x2,y2)是抛物线上的两点，若对于-a-1≤x1≤-a,2≤x2≤3，都有y1<y2,求a的取值 范围. 浙江新中考数学初中数学思维培优 7 第4讲 二次函数轴对称视角下的距离与函数值的关系 侵课前预习 1.(1)思考装修工在使用人字梯时，人字梯的高度与什么有关 (2)将打开的人字梯抽象成如图，若让你比较点A,B,C,D的高度你会怎样比较？ B 第1题图 ⊙课堂探究 【问题驱动】 2.如图是二次函数y=ax(a<0)的图象，若让你比较点A,点B,点C,点D的函数值大小你会比较吗？你发 现了什么规律？那么α>0时呢？对于所有的二次函数这样的规律是否适用呢？ D A 【问题初探】 见P9. 第2题图 【问题追寻】 追寻1已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其对称轴记为x=h.对于抛物线上任意一点(x,y),到对称轴的 距离d=lx-hl.证明：①d相等时，y值相等；②a>0时，d越大，y值越大；a<0时，d越大，y值越小. 追寻2已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为(m,n),点A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在 函数y=ax2+bx+c的图象上.当y2<y1<y3时，求m的取值范围. 生成小结 二次函数图象的对称轴和开口方向对解决函数值大小问题起到关键作用.本堂课的生成结构图如下： 二次函数轴对称视角下的增减性应用 数函 形数 到对称轴的距离 结思 归纳 演绎 合想 增减性 不同情境下函数值比大小 开口方向 【方法积累】d相等，y相等；a>0时，d越大y越大；a<0时，d越大y越小. 8 浙江新中考数学初中数学思维培优 实验单 实验主题 探究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的点到对称轴的距离d与函数值y的关系， 实验目的 通过操作与计算，理解“d相等则y值相等；a>0时，d越大y越大；a<0时，d越大y越小”的规律，提升 数形结合与探究归纳能力 实验步骤 1.分组与函数选择：学生分成小组，每组选取两个二次函数，A: (a>0)和B: (a<0). 2.求对称轴：对于A: ,利用对称轴公式 ,计算得对称轴 B:对于 ,计算得对称轴 3.取点计算： 在A: 上： 取关于对称轴对称的两点 ,计算到对称轴的距离d1=I ,d2= ,观察y值 再取非对称的不同的三点 ,计算d分别为 对应y值为 ,记录数据 在B: 上： 取非对称的不同的三点 ,计算d分别为 对应y值为 ,记录数据 4.软件验证：打开几何画板软件，绘制A: 和B: 的图象.任意选取抛物线上一点， 测量其横坐标，计算到对称轴的距离d,观察y值变化；拖动点改变位置，重复观察. 5.总结规律：小组讨论，结合计算数据与软件演示，总结d与y的关系规律。 实验记录 函数 点坐标 对称轴x y d与y的关系 A: A: A: A: A: B: B: B: 。。。,。。 实验结论 通过实验操作与数据观察，我们验证并总结出：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上任意一点到其对称轴的距 离记为d,则有： 浙江新中考数学初中数学思维培优 9 ⊙课后延伸 【课后探究】在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数 图象的相关性质进行研究.把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C,图象的顶点为D,测得AB为m 厘米时，CD为n厘米. 【猜想】 (1)探究小组先对y=x的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： 2 3 6 n 0 2.25 4 6.25 9 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的平面直角坐标系内描出相应的点. 连线：用光滑的曲线顺次连接各点。 猜想：n与m的关系式是 对称轴 A C B/ 2-10"22345167189m 图1 图2 题图 【验证】 (2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与m也存在类似的关系式，并针对 二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种方法（在“☐”内打“V”)并 补全其推理过程；（根据需要，选用字母a,m,n,h,k表示答案） 口方法1 口方法2 y=a(x-h)2+k y y=a(x-h)'+k A y=ax D(h,k) 4 0 图3 图4 如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移 到原点O的位置，则A'B'=AB=m,C'O=CD= 如图4，顶点D的横坐标加号个单位，纵坐 n,C'B=4'B'_m 2 2点B'坐标为 标加n个单位得到点B的坐标，∴.点B坐标为 ;将点B坐标代入y=a(x 将点B'坐标代人y=a2,得到n与m的关系式h)2+k,得到n与m的关系式是 是 【应用】 (3)已知AB∥x轴且AB=4,两个二次函数y=2(x-h)2+k和y=a(x-h)2+d的图象都经过A,B两点.当 两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值. 10 浙江新中考数学初中数学思维培优4.初中数学 第1讲比值的处理策略初探 1.略 2.12,两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线 段成比例 3.11 2’6 4.4 、4 5. 例证明略追寻1 四号，解答过程略 S正方形ABCD 追寻2略追寻3 tanLPGC=-},解答过程略 课后探究 证明略.变式1证明略. 变式2∠ADG=30°，解答过程略。 初 变式3 职解答过程略 数 第2讲方程、不等式、函数的综合应用 思 1.x>-12.(1)x=-2;(2)x<-2 维 3.x=-1或x=3,y=x-2 ①y=0②x轴③y>0或y<0④上半 优 ⑤下半⑥交点坐标⑦y1>y2或y1<y2 ⑧y1>y2⑨y1<y2 1 4.(1)k,=-26=8,解答过程略； (2)点B的坐标为(8，-1)，解答过程略； (3)x<-2或0<x<8. ,解答过程略； (2R-光-30，解答过是路 追寻1m=-120+135(0≤m≤120)，解答过程略。 U。 追寻2该电子体重秤可称最大质量为115千克，解 答过程略。 课后探究 解：(1)：正比例函数了=-子的图象经过点B(a,2, 2=-2 a,解得a=-3,B(-3,2). 一次函数y=x+b的图象经过点A,B, 一{子每0化 b=81 .一次函数的解析式为y=2x+8. 一次函数y=2x+8的图象与x轴交于点C, 则2x+8=0,解得x=-4,.C(-4,0), Sm=5m-5m=7×4x4-x4x2=4 1 24 浙江新中考 色思维培优（反） (2):正比例函数)=-子：的图象向下平移m(m> 0)个单位长度后经过点C, 平移后的函数的解析式为y=一子-， 代人C(-4,0)得0=-号×(-4)-n,解得m=号： （3)根据图象可得不等式-子>板+b的解集为x<-3 第3讲二次函数的轴对称性复习 1.(5,2)2.2<x<33.直线x=2,(4,3) 例直线x=2,(4,3).追寻12，-2≤m≤0 追寻2D 课后探究 解：(1)抛物线y=ax2-2a2x+a3+a+1(a≠0)， ·对称轴为直线x=-2 -=a. 2a 当x=a时，y=a+1, 故抛物线的顶点坐标为(a,a+1)； (2)把M(x1,y1)和N(x2,y2)分别代入y=ax2-2a2x +a3+a+1中， 得y1=ax子-2a2x1+a3+a+1, y2=a2-2a2x2+a3+a+1, 故y1-y2==a(x1-x2)(x1+x2-2a). y<y2, y1-y2<0,即a(x1-x2)(x1+x2-2a)<0, 情况一：当a>0时，有(x1-x2)(x1+x2-2a)<0,-a -1≤x1≤-a<0. 又2≤x2≤3，x1-x2<0, 名+场-2a>0,从而>a 又，-a-1≤x1≤-a,2≤x2≤3， 12≤≤3， 2 2 从雨a<2,解得a<写，故0<a<宁 情况二：当a<0时，则(x1-x2)(x1+x2-2a)>0, ①f-本>0 f-a-1>3 +2a0兰aa-4 1 2 故不等式组的解集为a<-4; 学参考答案 ②/-为<0 f-a<2 a>-2 Lx1+x2-2a<0 ,即3，<a解得 2 a>1, 即a>1,与a<0矛盾，故不成立. 综上，a的取值范固为0<a<兮或a<-4 第4讲二次函数轴对称视角下的距离 与函数值的关系 1.略 2.yc>ya>yn>y4;令各点到对称轴距离为d, a>0时，d越大y越大；a<0时，d越大y越小；规 律普遍适用。 追寻1证明略 追寻2-1.5<m<0,解答过程略. 课后探究 1 解：(1)图略.n=4m； 1 (2)方法1：(2m,n),n= 4am2; 1 1 方法2：(h+2m,k+n),n= 1 (3):AB=4,m=4,n1=4×2×4=8. 两抛物线顶点距离为10，.n2=18或-2， 1 9 当%=18时4×a×4=18,a= 2 1 1 当=-2时，心4×a×4=-2,a=-2 综上a=号或-分 1 第5讲代数推理 1.代数推理， (x-y）2=x2+y2-2xw=(x+y)2-4y. 又：x+y=3,xy=2,.(x-y)2=32-4×2=1. 2.14 例(2，-1)（答案不唯一，满足x+y=1且x≠0，y≠ 0即可) 追寻1D 课后探究 (1)-2或1；(2)7 第6讲旋转变化下的相似三角形 1.40°2.证明略 问题驱动旋转角相等；对应线段相等、对应角相等 等（合理即可）. 例解：①△BAC与△DAE存在旋转变化的关系，旋 转中心是点A,旋转角度是∠BAD或∠CAE的 度数 ②.△ABC≌△ADE,.∠ABC=∠ADE,∠ACB= ∠AED,∠BAD=∠CAE,BC=DE. 浙江新中考 ③由AB=AD,AC=AE,则可得AB:AC=AD:AE.易 得△ABD∽△ACE,进一步可判定A,O,C,E四点 共圆 追寻1BF=AF+√2CF,解答过程略 追寻2即BF-kMF=√2+1·FC,解答过程略. 课后探究 (1)BD=CE.证明略； (2)AE=BE-CE; (3)∠BAD=45°.理由略. 第7讲圆背景下线段相等的证明 1.证明略. 2.证明略. 问题驱动 共三角形与不共三角形；共三角形可证明等腰，不共 三角形可证明全等或相似，发挥弧或弦的关键作用. 例证明略.追寻1略追寻2证明略 追寻3(1)证明略； (2)解：如解图，连接DE,OE,BE 设OB=. AC为⊙0的切线，.OE 中数学思 ⊥AC. .OF∥AC,.OE⊥OF. 维培 OE=OF,.EF=√2m BD =2AD,BD =20D =20B. 追寻3解图 .∴.0A=20D. 0D=0E,.0A=20E,∴.∠A=30°， ∴.∠A0E=60°，AE=√3r. LABE-LAOE-30 ∴.∠A=∠ABE,∴BE=AE=√3m. 易得∠CEF=∠CBE=45. 'LC=∠C,.△CEF∽△CBE, CEBE_36」 小CEF22 (3)证明略. 课后探究证明略。 第8讲圆的证明与计算的综合题 自主完成 1.略. 2.(1)△ADE△CBE△CDB;(2 03:(3)6; (4)1:3 例（1)证明略； (2)解：OA=OB=OD,CD=8,BE=2, .DE-CE-CD-4,0E-OB-BE-OD-2. ∠AED=90°∴.0E2+DE2=0D2, 学 参考答案 25