第3单元 第13讲 二次函数的图象和性质-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

导图内化目标 2.正半轴原点负半轴3.加减 第12讲反比例函数及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.C2.(1)第二、第四双曲线增大（2)一3 <x<0(3)①<②< ③>④y2>y3>y1 3.(1)C (2)4(3)A4.(1)y=-3 ,(2)C 5.B 知识梳理 知识点一 ≠0不等于0 知识点二 第一、第三 第二、第四减小增大轴中 心士x 坐标原点 知识点 1.|k 2些 2 k一k2 2 核心考点解读 典例精析 【例1】解：(1)一次函数y=x十m经过点A (-3,0),点B(m,4),3+m0解得 1n+m=4. m=3点B(1,4).反比例函数y=经过 ln=1. 点B(1,4),∴.k=1×4=4;(2).点A(-3,0), 点B(1,4)心A0=3.Saam=号A0X1B= 合×3X4=6,5am-号A0X-2e,由题 3 意得号光<6，欢<4.c>1.∴C的横坐标 a的取值范围为a>1.【例2】(1)1解：描 点如图所示； 4--2-101.23.45x -3 5 6 (2)y= 一x的图象关于y轴对称（答案不 唯一)(3)①x1=1,x2=一1②x≤一2或x≥ 2 真题对练 6.C7.C8.1(答案不唯-)9.多 10.8 11.812.213.D14.(1)42(2)解：把A 2 1,0.2,2代人=-6，用饮产。.解 得=一2，b=6,即一次函数的解析式是y= 一2x十6.由图象可知：y<y2时x的取值范围 是1<x<2.(3)215.(1)-4(2)①④ (3)x<0或x>4 中考新动向 44 16. O兰(1)解：“点A(1,4)在反比例 函数y=第一象限的图象上，k1=1X4=4. “反比例函数为y=兰将点A先向左平移5个 单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C （一4,4一m),“点C恰灯落在反比例函数y 第三象限的图象上，4一m=4m=5.C (-4,-1).把点C坐标代入y=k2x,得-1= 一：=子直线y=x的解析式为y (2)15 导图内化目标 1.kkx12.一、第三减小二、第四增大 第13讲二次函数的图象和性质 教材知识梳理 基础对练 1.B2.(1)解：画出函数图象如图所示； 43210 (2)y=-x2+2x+33(3)下-(x-1)2+4 x=1(1,4)大4(4)2(-1,0)和(3， 0)(0,3)(5)-12≤y≤4(6)(5，-12) ()<<(8)k<号3.C4.左2下 35.(1)y=-4(x-1)2(2)y=3(x-2)2 2(3)y=-x2-2x+8（4)y=2x2+3x-4 6.B7.168.(1)x1=-1,x2=5(2)-1<x <5（3)x<-1或x>59.(1)<> (2)=< (3)>(4)>=(5)> <(6)= 10.C 知识梳理 知识点一 ax2+bx+c 知识点二 上下 b 4ac-b2 Aac-b2 2a 低 Aac-b2 高 Aac-b2 4a Aa 减小增大 增大 减小 知识点五 1.>= <2.上下 核心考点解读 真题对练 11.C12.A13.D14.D15.D16.B17. D18.B19.②③④20.A21.D22.A 23.y=-x2+1(答案不唯)24.y=2x-3或 y=-x2+4x-4 中考新动向 25.①②④ 导图内化目标 ax2+bx十c(a≠0)1.抛物线3.加减加 减4.y=a.x2+bx十cy=a(x-h)2+ky =a(x-x1)(x-x2) 第14讲二次函数的实际应用及综合 教材知识梳理 基础对练 1.102.15m3.(1)10≤x28解：(2)由题 意，得心=(x-10)[1000-40(x-25)],即 =-40x2+2400x-20000=-40(.x-30)2+ 16000,.a=-40<0,∴.抛物线开口向下，w有 最大值.：10≤x≤28，当x<30时，心随x的增 大而增大，.x=28时，0有最大值，是一40× (28一30)2+16000=15840.答：销售单价定为 每包28元时，每天的利润最大，最大利润是 15840元. 4.0-1?(-是)(2)解 该二次函数的图象上存在点P,使△PAB的面 积为6.由(1)可知二次函数解析式为：y=一x2 -x+2,A(-2,0),B(1,0),.AB=1-(-2)= 3.设P(m,S6B=AB·m=6.n =4..n=士4..当-x2-x+2=4时，△=1-8 =一7<0，无解，不符合题意，舍去；当一x2一x十2 =一4时，x1=-3,2=2；∴.P1(2,-4),P2(-3, -4). 核心考点解读 典例精析 【例1】(1)550-5x解：依题意，得y=50+ 100-工×10=550-5x.(2)解：依题意，得 2 （-5.x十550)(x-50)=4000,解得x1=70,x2= 90..70<90,.为使顾客获得更多的实惠，.销 售单价应定为70元；(3)解：设每月总利润为 -2 0元，依题意得=（-5.x+550)(x-50)= -5.x2+800.x-27500=-5(x-80)2+4500, ,一5<0，.当x=80时，有最大值，最大值为 4500元..为了每月获利润最大，该商品销售 单价应定为80元.【例2】解：(1)栅栏总长 为48m,AB的长为xm.:BC=(48-3.x)m, ∴.y=x(48-3.x)=-3.x2十48x.由题意，得0< 48-3x21,解得9≤x<16..y关于x的函数 解析式为y=一3.x2+48.x(9≤x<16);(2)由(1) 得y=-3.x2+48.x=-3(.x-8)2+192,-3< 0,9≤x<16,.当x=9时，y有最大值，最大值 为-3×(9-8)2+192=189(m)..当AB= 9m时，矩形绿化带ABCD的面积y取最大值， 最大值为189m;(3)9m≤AB≤10m.令-3x2 +48x=180,解得x1=6,x2=10.当y=-3.x2十 48.x≥180时，6≤x≤10.9≤x<16,∴.9≤x≤ 10,即9m≤AB≤10m.当矩形绿化带ABCD的 面积不少于180m时AB长的取值范围是9m ≤AB≤10m.【例3】方法-：(12,0)(6， 8)y=- 2 。.x2十8x3或9方法一w— 一2士36【延伸问题】解：能，理由 如下：当x=2时，y=一 2×4=- 八.-8 9 (一2》=号>司“这艘船能从这座桥下通过. 9 【例4】(1)(-1,0)(3,0)(0,3)y=-x +3(2)(t,-t2+2t+3)(t,-t+3)(t,0) (t-2t,-t+2t+3)(3)-t+3t-t+3t (-t+3) 2 (4)(1,4)(1,2) DI(ta-se) (5)-t2+3t 27 2 真题对练 5.(1)500 解：(2)当200≤x≤600时，W=x(20 于10)+50(1000=x)三20x2-40x+50000 易(：一40)r+4200,茹>0抛物线开口 向上.∴.当x=400时，W有最小值，最小值为 42000.当600<x≤700时，W=40x+50(1000 -x)=-10x+50000.-10<0,.W随着x 的增大而减小..当x=700时，W有最小值，最 小值为W=一10×70+十50000=43000，综上可 知，当甲种蔬菜的种植面积为400m,乙种蔬菜 的种植面积为600m时，W最小；(3)由题意可 得：40（易×400+10）×(1-10%）2+600×50 (1-a%)2=28920,解得a1=20,a2=180(不合 题意，舍)..当a为20时，2025年的总种植成第13讲二次函数的图象和性质 8年8考 1.会通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式，体会二次函数的意义： 2.会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画草图，通过图象了解二次函 数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系，会求其图象与坐标轴的交点 课 坐标 标 3.会用配方法将数字系数的二次函数化为顶点式，能由此得出其顶，点坐标、开口方向、 求 对称轴。 4.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值. 5.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似解. 教材知识梳理 回顾必备知识 基人础对X练 左练 右研 知X识X梳理 1.下列函数中是二次函数的是 ★知识点一 二次函数的概念 A.L=2m+5 B.y=-3.x2+1 般地，形如y= (a,b,c是 C.y=-2 D.y=kx+b 常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是 自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数 和常数项. 2.【串题练透考点】小明在探究二次函数y=ax ★知识点二 二次函数的图象和性质 十bx十c(a≠0)的图象与性质的过程中，x与 二次函数y=a.x2+b.x+c(a,b,c为常数，a y的几组对应值列表如下： 函数 ≠0) -2 -1 0 1 2 a的 y 0 3 4 0 a>0 a<0 符号 根据表格所提供的数据，完成下列习题： P (1)如图，在平面直角坐标系中画出函数的图象； 图象 0 710 开口 开口向 开口向 方向 …2 对称轴 43-210 直线x (2022 注：画图象，了解二次函数的性质，知道二次 3 版新课 函数的系数与图象形状与对称轴的关系 标新增) 引领学素备考新模式 58 (2)该二次函数的解析式为 续表 m= 顶，点 b (3)该二次函数图象的开口向 ,将其解 坐标 2a 2a1 析式化为顶点式为y= 对称轴为直线 ,顶点坐标为 最值 抛物线有最 抛物线有最 ,函数有最 值，其值为 (2022 点，当x= 时，y b 点，当x= b时，y 2 (4)该二次函数图象与x轴有 个交点， 版新课 交点坐标为 ;与y轴 标新增) 有最小值，为 有最大值，为 的交点坐标为 ； (5)当一2≤x≤5时，y的取值范围为 在对 当x< 2a 时，y 当x< 2a时，y 称轴 随x的增大而 随x的增大而 (6)若二次函数图象上的点A(一3，n)关于对 增 左侧 称轴对称的点为点B,则点B的坐标为 性 在对 当x> b 2a 时，y 当x> (7)若(-3，y1),(1,y2),(2,y3)是该函数图 称轴 随x的增大而 随x的增大而 象上的点，则y,y2y的大小关系为 右侧 (用“<”连接)； (8)点A(k一1，y1),B(k,y2)都在该函数图象 【温馨提示】二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴 上，若y1<y2,则k的取值范围为 的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值 如果自变量的取值中不包含顶点，那么最大值或最小 值在距离对称轴最近处取得 3.抛物线y=子先向上平移3个单位长度，再 ★知识点三 二次函数图象的平移 保持抛物线y=a.x2的形状不变，使其顶点平移 向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析 到(h,k)处，具体平移方法如下： 式是 ( 向上(k>0)【或下(k<0)】 Ay=x+1)+3 平移|k|个单位长度 y=ax y=ax'+k 6← Bx+1) Sv. 向右h>0)【或左(h<0)】 平移h个单位长度 C.y=x-1+3 y=a(x-h) y=a(x-h)+k 向上(k>0)【或下(k<0)】 D.=-1-3 平移k|个单位长度 【温馨提示】点坐标的平移规律：“左减右加，上加下 4.将抛物线y=2(x一3)2十2向 平移 减”；函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，两 个单位长度，再向 平移 个单位长 者要区分开. 度，可得到抛物线y=2(x一1)2-1. 59中考复习堂堂清·数学 5.【串题练透考点】根据下列已知条件，求二次 ★知识点四 用待定系数法求二次函数的解析式 函数的解析式： 选用解析 (1)已知二次函数的顶点在x轴上，且横坐标 已知条件 形式 式的形式 为1，过另一点(2，一4)，则二次函数的解 抛物线上三点的 般选用 y=ax2+bx+c(a,b:c 析式为 坐标 一般式 为常数，a≠0) (2)已知二次函数的顶点坐标为(2，一2)，且 抛物线的顶点坐 y=a(x-h)2+k(a≠ 其图象经过点(3,1)，则该二次函数的解 一般选用 标或对称轴与最 O),(h,k)为抛物线的 顶点式 析式为 大（小）值 顶点坐标 (3)已知二次函数的图象经过点（一4,0），(2， 抛物线与x轴 y=a(x-x1)(x-x2) 0),(0,8),则二次函数的解析式为 般选用 的两个交，点的横 (a≠0)，，2为抛物 交点式 坐标 线与x轴交点的横坐标 (4)已知二次函数的图象经过点（一1，一5）， (0,一4)和(1,1)，则二次函数的解析式为 6.二次函数y=2x2-3x-c(c>0)的图象与x ★知识点五 二次函数与一元二次方程、不等 轴的交点情况是 ( 式的关系高频考念 A.有1个交点 B.有2个交点 1.二次函数与一元二次方程的关系(2022版新 C.无交点 D.无法确定 课标新增) 7.若抛物线y=x2一8.x十k与x轴只有一个公 二次函数y=a.x2十 共点，则飞的值为 一元二次方程a.x2+bx十c bx十c(a≠0)的图象 0(a≠0)根的情况 8.【串题练透考点】【人教九上P47习题T5变 与x轴的交点情况 式】二次函数y=一x2+bx十c的部分图象如 两个交点(x1,0), 有两个不相等的实数根x1, 图所示： (x2,0) x2,b2-4ac 0 有两个相等的实数根x1=x2 一个交点（一品0）】 b 2a ,62-4ac 0 (1)方程-x2+bx十c=0的根为 无交点 无实数根，b2一4ac 0 2.二次函数与不等式的关系 (2)一元二次不等式-x2+bx十c>0的解集 不等式a.x2+bx十c>0(或a.x2+b.x+c<0)的 是 解集为二次函数y=ax2十bx十c位于x轴 (3)一元二次不等式-x2+bx十c<0的解集 方（或 方)部分的图象所对应的 是 x的取值范围. 引领学案备考新模式 60 9.【串题练透考点】已知二次函数y=ax2十bx ★知识点六 二次函数的图象与字母系数的关系 十c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x 项目 字母的符号 图象的特征 =1,与x轴的一个交点为A(-1,0),结合图 字母 象填空（填“>”、“<”或“=”） a>0 开口向上 a a<0 (1)a 开口向下 0,b 0,c 0; b=0 对称轴为y轴 (2)2a+b 0,2a-b 0,abc 0: ab-0 (3)b-4ac 0; 对称轴在y轴左侧 b (a与b同号 (4)a+b+c 0;a-b+c 0; ab-0 对称轴在y轴右侧 (5)4a+2b+c 0,4a-2b+c 09 (a与b异号) (6)9a+3b+c 0,9a-3b+c0. c=0 经过原，点 y◆x=1 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点（顶，点） b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有两个不同交点 第9题图 第10题图 b2-4ac<0 与x轴没有交点 10.如图所示，直线l为二次函数y=ax2十bx+ 当x=1时，y=a+b+c c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确 特殊 当x=一1时，y=a-b+c 的是 ( 关系 若a+b+c>0,即x=1时，y>0 A.b恒大于0 B.a,b同号 若a一b十c>0,即x=-1时，y>0 C.a,b异号 D.以上说法都不对 核心考点解读 提升关键能力 核心考点①二次函数的图象与性质 11.(2024·湖北)抛物线y=ax2十bx十c的顶 13.(2022·潜江)二次函数y=(x十m)2+n的 点为（一1，一2），抛物线与y轴的交点位于 图象如图所示，则一次函数y=mx十n的图 x轴上方.以下结论正确的是 象经过 () A.a<0 B.c<0 A.第一、二、三象限 C.a-b+c=-2D.b2-4ac=0 B.第一、二、四象限 12.(2021·仙桃)若抛物线y=x2+bx十c与x C.第一、三、四象限 轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x D.第二、三、四象限 =2,P为这条抛物线的顶点，则点P关于x 14.(2022·襄阳)二次函数y=a.x2+bx十c的 轴的对称点的坐标是 图象如图所示，则一次函数y=bx十c和反 A.(2,4) B.(-2,4) C.（-2,-4) D.(2,-4) 比例函数y=在同一平面直角坐标系中的 61中考复习堂堂清·数学 图象可能是 15.(2022·荆门)若函数y=ax2-x+1(a为常 数)的图象与x轴只有一个交点，那么a满 足 () Aa= Ra≤ C.a=0或a= D.a=0或a= 4 核心考点2> 二次函数的图象与字母的关系 名师在线 真题对练 根据二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图象确定系数a,b,c 16.(2020·襄阳)二次函数y=a.x2十 及相关问题常见以下几种形式： bx十c的图象如图所示，下列结论： (A)直接判断a,b,c的正负性 ①ac<0;②3a+c=0;③4ac-b< 1.a的正负性：开口向上，a>0;开口向下，a<0. 0;④当x>一1时，y随x的增大而 2.6的正负性：由于抛物线对称轴为直线=一会，所以6的 减小.其中正确的有 () 正负性与对称轴的位置和a的正负性相关联.对称轴在y轴的左 侧时，a,b符号相同，对称轴在y轴的右侧时，a,b符号相反，对称 轴为y轴时，b=0(简记为：左同右异中为0). 3.c的正负性：c表示抛物线与y轴交点的纵坐标，即当x= A.4个 B.3个C.2个D.1个 0时，y=c,所以当抛物线与y轴的交点在x轴的上方时，C>0, 17.(2023·鄂州)如图，已知抛物线y 当抛物线与y轴的交点在x轴的下方时，c<0(c与y轴来 =ax2十bx十c(a≠0)的对称轴是直 相见). 线x=1,且过点（一1,0），顶点在第 4.abc的正负性：a,b,c确定，则随之确定. 一象限，其部分图象如图所示.给出 (B)与对称轴相关的探究 以下结论：①ab<0;②4a+2b+c> 5.a与b的关系：由对称轴方程的值变形得出. 0;③3a+c>0;④若A(x1,y1), 6.2a十b的正负性：2a十b的正负性通常是由对称轴x= B(x2,y2)(其中x1<x2)是抛物线 品的位与1的大小关系相关，在变衫时要特到注意口的正负性 上的两点，且x1十x2>2,则y1> y2.其中正确的选项是 () 对值的影响，知：(1)若一品>1，且开口向上，即a>0,则2a+ A.①②③ B.①③④ 0:(2)若一名>1，且开口向下，即a<0,则2a+6>0:(3)若-会 C.②③④ D.①②④ <1,且开口向上，即a>0,则2a十b>0:④)若名<1，且开口向 下，即a<0,则2a十b<0. 2 6 7.2a一b的正负性：2a一b的正负性通常是由对称轴x= 第17题图 第18题图 引领学案备考新模式 62 会的位与一1的大小关系湘关，在变形时要特到注膏。的正负 18.(2023·随州)如图，已知开口向下 的抛物线y=ax2+bx十c与x轴交 b 性对值的影响，如：(1)若-2a>-1,且开口向下，即a<0,则2a 于点(6,0)，对称轴为直线x=2,则 -b<0:(2)若-会>-1，且开口向上，即a>0,则2a-b>0:3) 下列结论正确的有 ①abc<0; 若名-1，且开口向下，即<0则2a6>0:(40若一 b∠ ②a-b+c>0; -1,且开口向上，即a>0,则2a一b<0. ③方程cx2+b.x十a=0的两个根为 (C)与顶点相关的探究 8.4ac-丘、4ac-=4a与顶点的纵坐标相关. Aa ④抛物线上有两点P(x1,y1)和 (D)由特殊的x值判断对应y值的大小 Q(x2,y2),若x1<2<x2且x1十x2 9.利用x的特殊值判断一些代数式的正负性：当x=1时，y >4,则y1<y2 =a十b十c;当x=-1时，y=a-b十c;当x=2时，y=4a+2b十c: A.1个 B.2个 当x=-2时，y=4a-2b十c;当x=3时，y=9a+3b十c;当x= C.3个 D.4个 一3时，y=9a一3b十c,对于取x的特殊值得到代数式的正负性， 19.(2024·武汉)抛物线y=a.x2+bx十 重，点看当x等于某一特殊值时对应的抛物线上的点在x轴的上 c(a,b,c是常数，a<0)经过(-1,1)， 方还是下方，在x轴上方，则y大于0，即对应的代数式的值大于 (m,1)两点，且0<m<1.下列四个 0;在x轴下方，则y小于0，即对应的代数式的值小于0. 结论：①b>0;②若0<x<1,则a(x (E)与一元二次方程的联系 1)2+b(x-1)+c>1;③若a= 10.△的正负性：△是根的判别式，由于一元二次方程是二次 1,则关于x的一元二次方程ax2 函数y=0的特殊情况，所以可以从抛物线与x轴的交点个数来 +bx十c=2无实数解； 判断△的正负性.与x轴有两个交，点时，b2-4ac>0;与x轴的交 ④点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 点有一个时，b2-4ac=0;与x轴没有交点时，b2-4ac<0. 11.利用交点求对称轴：若抛物线与x轴的交点分别为(x1, 上，若x1十x2> 21>x2,总有 0),(,0),则对称轴为直线工=西十 2 <则0<m≤ 12.平移法判断方程的根的情况 其中正确的是 (填写 如：判断a.x2十bx十c一3=0的根的情况，可以借助平移表示 序号 向下平移了三个单位长度，看此时与y=0有几个交，点. 核心考点3)待定系数法确定二次函数解析式 20.(2024·包头)将抛物线y=x2+2x向下平 D.y=(x-1)2-2 移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为 21.(2024·陕西)已知一个二次函数y=ax2+ ( b.x十c的自变量x与函数y的几组对应值 A.y=(x+1)2-3 如下表， B.y=(x+1)2-2 0 5 C.y=(x-1)2-3 -80 … 63中考复习堂堂清·数学 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 次函数y=ax2+bx十c的顶点在y轴正半 ( 轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那 A.图象的开口向上 么这个二次函数的解析式可以是 B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 24.(2022·荆州)规定：两个函数y1,y2的图象 D.图象的对称轴是直线x=1 关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函 22.(2020·孝感)将抛物线C1:y=x2-2x+3 数”.例如：函数y1=2x十2与y2=一2x十2 向左平移1个单位长度，得到抛物线C2,抛 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y 物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物 函数”.若函数y=kx2+2(k-1)x+k一3(k 线C3的解析式为 ( 为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交 A.y=-x2-2 B.y=-x2+2 点，则其“Y函数”的解析式为 C.y=x2-2 D.y=x2+2 23.【新中考·结论开放】（中考·上海）一个二 ⊕多新动向 图内化自标 25.已知二次函数y=ax2十bx十c的y 二次函数的 与x的部分对应值如表： 概念 1.二次函数的图象： -3 2.二次函数的性质 0 5 9 5 -27 3.二次函数的平移：左右平移变自变量，左 下列结论： 二次函数的 芯 ,上下平移变常数项，上 二 ①abc>0; 图象和性质 下 函 ②关于x的一元二次方程a.x2+bx 一般式： 的 十c=9有两个相等的实数根； 4.待定系数法 顶点式： 象 ③当一4<x<1时，y的取值范围 交点式： 质 为0<y<5; 二次函数与 一元二次方 二次函数与一元二次方程 ④若点(m,y1),(-m-2,y2)均在 程、不等式 二次函数与不等式的关系 二次函数图象上，则y=y2; 的关系 ⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x 二次函数的 二次函数的图象与字母系数的关系 图象与字母 的取值范围是x<一2或x>3. 系数的关系 二次函数的图象与反比例函数、一次函数的关系 其中正确结论的序号为 备考满分演练 (见进阶作业本)》 引领学案备考新模式■ 64