第2单元 第6讲 一次方程(组)及其应用-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

第二单元】 方程（组）与不等式（组） 8年6考 第6讲一次方程（组）及其应用 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义. 课 2.掌握等式的基本性质，能运用等式的性质进行等式的变形，能根据等式的性质解 标 元一次方程」 要 求 3.能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组， 能解简单的三元一次方程组。 教材知识梳理 回顾必备知识 X 左练右讲 知 识行 1.下列利用等式的基本性质变形错误的是 ★知识点一 等式的性质及其应用 ( 1.若a=b,则a士c=b士 应用 →移项. A.如果- 2x=4,那么x=-2 应用 2.若a=b,则ac= →去分母（方程 B.由2x=12得x=6 两边同时乘各分母的最小公倍数)；若a=b, C.如果x+1=y-9,那么x一y=一9一1 c≠0，则4= 应用 系数化为1. D.如果x-3=5,那么x=5+3 2.【概念辨析】下列各式中，请按要求填空： ★知识点二一元一次方程及其解法 02-2:@2r1:®5x+1=5:④3x+4w=1: 1.方程：含有未知数的 2.方程的解：能够使方程成立的未知数的值. ⑤5x2+x=3:⑥2m=2(m为常数). 3.一元一次方程：含有 个未知数，并且含 (1)其中 是方程， 有未知数的项的次数都是的 方 是一元一次方程； 程，叫做一元一次方程。 (2)若方程⑥的解是x=1,m的值是 4.解一元一次方程的步骤及需注意的问题： 3.【新课标·过程纠错】老师让同学们解方程x (1)去分母：等号两边都乘以所有分母的 2-1+23,小陶同学给出了如下的 ,不要漏乘不含 的项 3 (整数项或是单独的字母项)，去分母时， 解答过程. 若分子是多项式应带上 解：去分母，得6x-2(2x-1)=1十3(x-3), (2)去括号：括号前是负因数时，去括号后的 ①依据 各项与原括号里的各项的符号 性质2 引领学案备考新模式■ 20 去括号，得6x一4x-2=1+3x一3. 去括号时，括号外的因数要与括号里的每 依据 项相乘，不要漏乘； ②分配律 (3)移项：把等号一边的某项移到等号的另一 移项，得6x-4x+3x=1一3-2. 边时要变号； 依据 ③ 性质1 (4)合并同类项：只把系数相加，字母及其指 数不变； 合并，得5x=-4. ④依据整式加法 (5)系数化为1：等号两边同时除以未知数的 系数化为1，得x= 4 ⑥依据性质3☐ 系数（或是乘以未知数的系数的倒数）. 根据小陶同学的解答过程，你发现： (1)从第 步开始出现错误，错误的原因 是： 这一步正确的书写为： (2)正确的答案是： (x+2y=m, 知识点三二元一次方程组的解法 4.已知关于x,y的二元一次方程组 2x+y=4 解二元一次方程组的基本思想是消元 的解满足x一y=3,则m的值为 方法 方程组系数特点 步骤 5.【一题多解练透考点】用下列方法解方程组 5x+y=3,① 变一用含有一个未知数 3x-2y=7.② 方程组中一个方程的代数式表示另一个未知 的常数项为0或 数： 方法一（代入消元法）： 代入 者某一个未知数的 代——消去一个未知数： 消元 系数为1或一1， 由①，得 (用x 法 [y-4x=0,① 表示y).再代入②，得 如 x+y=20.② 求得x的值， 继而求得y的值 化—将同一个未知数的 方法二（加减消元法）： 方程组中某一个未 系数化相等或互为相反数； 知数的系数的绝对 加减 加减一消去一个未知数： 值相等或成倍数关 消元 ①×2+②，得 系，如 法 (消去y).求得x的值，把 2x+2y=1,① x的值代入①或②，求得y 3x-4y=12.② 的值 21中考复习堂堂清·数学 6.为了增强学生的安全防范意识，某校初三(1) ★知识点四一次方程（组）的应用 班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题 1.列一次方程（组）解应用题的一般步骤： 一共20个，记分规则如下：每答对一个得5 (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)验；(6)答. 分，每答错或不答一个扣1分.小红一共得70 2.一次方程（组）常用的等量关系 分，则小红答对的个数为 ( ) 常考类型 重要等量关系式 A.14 B.15 C.16 D.17 购买问题 总价=单价X数量 7.某超市正在热销一种商品，其标价为每件12 元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每 销售额=售价X销量 件的进价为 利润=售价一进价=进价X利润率 A.7.4元 B.7.5元 利润问题 售价=标价X折扣（如打八折即“标价X 0.8”) C.7.6元 D.7.7元 8.【新课标·数学文化】中国清代算书《御制数 利润车-利润×100% 进价 理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共 价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛 工作总量（常设为1）=工作效率X工作时间 工程 甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率十 五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设 问题 乙的工作效率 马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程 组为 ( ) 基本量之间的关系：路程=速度×时间 6x+4y=48, 6x+4y=38, A. 1.直线相遇与追及问题： B. 5.x+3y=38 5.x+3y=48 (1)相遇问题（相向而行）：全路程=速 4x+6y=48, 4x+6y=38, 度和X相遇所用的时间 C. D. (2)追及问题： 3x+5y=38 3x+5y=48 ①同地不同时出发：前者走的路程 9.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一 =追者走的路程 次可以运货22t,5辆大货车与2辆小货车 ②同时不同地出发： 次可以运货25t,则4辆大货车与3辆小货车 行程 前者走的路程十两者间的距离= 一次可以运货多少t? 问题 追者走的路程 2.环形路上相遇与追及问题： (1)环形相遇：甲路程十乙路程=环形 周长 (2)环形追及：快者路程一慢者路程= 环形周长 3.航行问题： 顺水速度=静水速度十水流速度 逆水速度=静水速度一水流速度 引领学案备考新模式 22 核心考点解读 提升关键能力 核心考点〈T》非负数的性质与整体思想 10.(2020·黄冈)若|x一2|十√x+y=0,则 x+y=3,① 12.(2022·荆州)已知方程组 的解满 x-y=1② 足2kx一3y<5,则的取值范围是 11.(2022·随州)已知二元一次方程组 x+2y=4, 则x一y的值为 2x+y=5, 核心考点② 一次方程（组）应用 13.(2024·湖北)我国古代数学著作《九章算 15.(2022·随州)我国元朝朱世杰所著的《算学 术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有 启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马 牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八 日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良 两.问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5 马几何追及之.”意思是：“跑得快的马每天 头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头， 走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马 共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若 先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设 设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可 快马x天可以追上慢马，则可列方程为 列方程组是 5x+2y=10, 2x+5y=10, A. B. A.150(12+x)=240x 2x+5y=8 5.x+2y=8 C.f5x+5y=10, B.240(12+x)=150x 5x+2y=10, D. (2x+5y=8 2x+2y=8 C.150(x-12)=240x 14.(2022·十堰)我国古代数学名著《张邱建算 D.240(x-12)=150x 经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一 16.(2022·武汉)幻方是古老的数学问题，我国 斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、 古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九 醑酒各几何？意思是：现有一斗清酒价值10 宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每 斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现拿30斗 一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个 谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如 数之和相等，例如图(1)就是一个幻方.图 果设清酒x斗，那么可列方程为() (2)是一个未完成的幻方，则x与y的和是 A.10x+3(5-x)=30 () B.3x+10(5-x)=30 492 x620 C品+302-5 357 22 3 816 (1) (2) D.首+30。=5 10 A.9 B.10 C.11 D.12 23中考复司堂堂清·数学 17.(2020·黄冈)已知A,B两件服装的成本共 18.(2018·裹阳)我国古代数学著作《九章算 500元，服装店老板分别以30%和20%的利 术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文 润率定价后进行销售，该服装店共获利130 为：现有几个人共同购买一个物品，每人出8 元，则A服装成本是 元，B服装的成 元，则多3元；每人出7元，则差4元.则这 本 元 个物品的价格是 元 中考新动向 导图内化目标 19.【新课标·传统文化】 等式的基本性质与解方程 填空： 端午节（西塞神舟会）又名“龙舟 一元一次方程：解一元一次方程的步骤 会”，是流传于湖北省黄石市的地方 思想→转化（化二元为 一次方程（组）二元一次方 民俗，国家级非物质文化遗产之一， 及其应用 程组的解法 消元方法 一艘龙舟航行于A,B两个码头之 间，龙舟顺水航行需3h,逆水航行 解题步骤：审→设→列→解→ 次方程（组） 的应用 验→答 需5h,已知水流速度是4km/h,求 常见关系式 这两个码头之间的距离， 思路一：设船在静水中速度为xkm/h, 得方程： 思路二：设A,B两码头之间的距离 为xkm,列方程： 备考满分演练 (见进阶作业本) 引领学案备考新模式 24导图内化目标 被开方式是非负数1.分母2.开得尽方 1.≥a2.a 第二单元方程（组）与不等式（组） 第6讲一次方程（组）及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.A2.(1)①③④⑤⑥③⑥(2)53.(1)① 等号右边的1漏乘了最小公倍数6x一2(2x 1)=6+3(x-3)(2)x=54.15.方法一： 解：由①，得y=3-5x.③把③代入②，得3.x 2(3-5x)=7.解得x=1.把x=1代人③，得y =一2.所以原方程组的解为工二1。 y=-2. 方法二： 解：①X2+②，得13x=13.解得x=1.把x=1 代入①，得5+y=3.解得y=一2.所以原方程组 、的解为x二1”26B7.C8.C9.解：设每 辆大货车一次可以运货xt,一辆小货车一次可 以运货yt,根据题意列方程组，得 得得254X4+3X2.5= 23.5(t).答：4辆大货车与3辆小货车每一次可 以运货23.5t. 知识梳理 知识点一 b 1.c 2.bc c 知识点二 1.等式3.11整式4.(1)最小公倍数分 母括号(2)相反 知识点三 y=4xx+4.x=207x=14 核心考点解读 10.211.112.k<213.A14.A15.A 16.D17.30020018.53 中考新动向 19.3(x+4)=5(.x-4) -4=十4 导图内化目标 性质1性质2一元代入消元法加减消元法 第7讲一元二次方程及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.(1)3(2)-5-6(3)B(4)-32.(1)直 接开平方(2)配方(3)因式分解(4)公式 （或者配方)二解：(x十6)2=9，.即x十6= 3,x十6=-3.∴.x1=-3,x2=-9.(5)解：x1 =1,x2=3.(6)解：x=-1十√3，x2=一1一 √3.3.(1)B(2)1(3)m>1(4)m≤1 (5)-3-3(6)①-2-2②-2③8 4.C5.A6.20%7.18.解：.降价1元， 可多售出2件，∴.设降价x元，可多售出2x件， 盈利的钱数为50一x,由题意得：(50一x)(30+ 2x)=2100.化简得：x2-35x十300=0.解得：x =15,x2=20..该商场为了尽快减少库存，∴.降 的越多，越吸引顾客.∴x=20.答：每件商品降价 20元时，商场日盈利可达到2100元. 知识梳理 知识点一 1.一个22.a.x2+b.x十c=03.相等 知识点二 负根 -b±√-4ac 2a 知识点三 1.(1)两个不相等(2)两个相等(3)没有 (4)4≥0且a≠02.-bc a a 知识点四 2.(1)a(1±x)n=b3.（1)(a-2x)(b-2x) (2)(a-x)(b-x)(3)(a-x)(b-x) 4.(1)售价成本进价利润率(2)成本 (3)单件产品的利润销售量 核心考点解读 9.110.-111.2或-112.(1)k>- 子且k ≠0(2)解：x1=3十√14，x2=3-√/14. 13.解：(1)证明：△=（m+2)2-8m=m2-4m+4 =(m-2)2..不论m为何值时，(m-2)2≥0， .△≥0..方程总有实数根；(2)m=1.14.1 3 15.-516.-3 17.2 18.解：(1)k>2; (2):方程的两个根为a,B,∴3=￡=3-k. .2=3一k十3k.解得1=3,2=一1（舍去）. 19.C20.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长 为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25 2x+1)m,由题意，得x(25一2x+1)=80,化简， 得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2=8,当x=5 时，26-2.x=16>12(舍去)，当x=8时，26-2x= 10<12.答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m. 中考新动向 21.36 导图内化目标 ax2+bx十c=0(a≠0)直接开平方配方公 式因式分解>< 第8讲分式方程及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.-13(x-2)分母-1+6括号-1 +6十1移项6同类项31103 2.(1)一去分母时，常数项未乘最简公分母