第1单元 第5讲 二次根式-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

第5讲二次根式 8年29考 课 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 标 2.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会运用它们进行简单的四 要 则运算. 求 3.能用有理数估计一个二次根式的大致范围. 教材知识梳理 回顾必备知识 基X础X对练 左练 右讲 知 1.【概念辨析】下列式子中，一定是二次根式的 ★知识点一 二次根式及其相关概念 为 ( 1.定义：形如 的式子叫做二次根式， A.√a B.2 C.√x2+ID.W-I 判断一个式子是否是二次根式要紧扣两点： 2.【人教八下P5习题T1及变式】 (1)形如 的形式； (1)a取何值时，下列式子有意义： (2)被开方数是 √/3-a: 1 2.最简二次根式应满足的条件：（1) a+1 ;(2) (2)下列二次根式中是最简二次根式的是 (选填序号)， ①√10②√0.2 ③8④√2 3.(1)判断正误： ★知识点二二次根式的性质 ①√2=2 ( 1.双重非负性：√a 0且a≥0. ②√(-2)2=-2 ( 2.(Wa)2= (a≥0) ③W√(-2)2=2 (a≥0)， 3.√a= ④(-√2)2=-2 (a≤0). 【技巧】平方在根号外，直接去根号；平方在根号内，加 ®招-号 上绝对值再讨论. ⑥45=4g 4.√ab= (a≥0，b≥0). ( 25 (2)【人教八下P5习题T9变式】已知√24n是 56 (a≥0，b>0). 6.非负数的性质【常见的非负数：a,a2,√a(a 整数，则正整数n的最小值是 ≥0)】：若几个非负数的和为0，则每个非负数 4.(2023·荆州改编)若√1一a十(b十3)2=0，则 都为 a+b的值是 如a2+√6+c=0,则a=b=c=0. 17中考复习堂堂清·数学 5.下列计算正确的是 ★知识点三二次根式的运算 A.√2+√5=√7 B.4√2-√2=3 1.二次根式的乘法法则：(1)√a·√6= C,层×m=3 D.32÷√/-3 (a≥0，b≥0). (a≥0，b 6.(2023·恩施州)计算：√3×√12 2.二次根式的除法法则：口 7.(2024·河北一模)若？×√⑧=4，则“？”是 >0). 8.【人教八下P15习题T3变式】计算：√2 3.二次根式的加减法：先把各个二次根式化为 √8+√32= 二次根式，再把被开方数 的 9.【人教八下P15习题T4(2)变式】计算： 二次根式进行合并. 4.二次根式混合运算： (2+3)·(W2-3)-BX⑤ 5 (1)二次根式的混合运算与实数中的运算顺序 一样，先 ,再乘除，最后 有括号的先算括号里的； (2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则和 乘法公式仍然适用.在判断能否运用公式 时，一般把二次根式化成最简二次根式， 再灵活选择公式； (3)注意结果要化为最简二次根式. 10.如图，M,N,P,Q是数轴上的点，那么一√3 ★知识点四二次根式的估算 在数轴上对应的点可能是 ( 二次根式估值时，一般先对二次根式平方， M N P 4104 找出与二次根式平方后所得数字相邻的两个开 得尽方的整数，对其进行开方，就可以确定这个 A.点MB.点NC.点PD.点Q 二次根式在哪两个整数之间.例如，估算√7在哪 11.(2024·重庆)已知m=√27-√3，则实数m 两个整数之间时，先对√7平方，找出与7相邻的 的范围是 ( 两个开得尽方的整数4和9，因为4<7<9，所 A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 以√4<7<√9，即2<√7<3. 12.【新中考·结论开放】(2024·滨州)写出一 个比√3大且比√/10小的整数 核心考点解读 提升关键能力 引领学案备考新模式 18 核心考点①)二次根式的代数式有意义 13.(2021·襄阳)若二次根式√x+3在实数范 14.(2022·恩施)函数y= 于工的自变量x 围内有意义，则x的取值范围是 () x-3 A.x≥-3 B.x≥3 的取值范围是 C.x≤-3 D.x>-3 A.x≠3 B.x≥3 C.x≥-1且x≠3D.x≥-1 核心考点②)二次根式的化简及混合运算 15.(2022·潜江)下列各式计算正确的是( A.√3+1 B.√3-1 A.√2+√3=5 B.4√3-3√3=1 C.2√3 D.1-3 C.√/12÷2=6 D.2×√5=6 17.(2022·荆州)若3-√2的整数部分为a,小 16.(2020·荆州)若x为实数，在“（√3+1） 数部分为b,则代数式(2十√2a)·b的值是 ☐x”的“口”中添上一种运算符号（在“十， 一，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理 18.(2021·荆州)已知：a +(-5)°，b 数，则x不可能是 =(3十√2)(3-√2)，则√a+b 考X新 导 图内化目标 动向一： 二次根式的定义：一般地，形如√a(a≥0)的式子 19.【新中考·条件开放】请写出一个正 二次根 二次根式有意义的条件： 整数m的值使得√8m是整数：m= 式的相 1.被开方数不含 关概念 最简二次根式： 2.被开方数不含能 同时满足两个条件 动向二： 的因数或因式 20.若式子√x一1在实数范围内有意 √a 0(a≥0)， 义，则x的取值范围是 () 二次根式的性质： (Wa)2= (a≥0) 次 A.x<1 B.x>1 2.√a= C.x≤1 D.x≥1 二次根式的运算 1.先对二次根式平方 (√T)2=11 2.找出与平方后所得数字相邻 二次根 的两个开得尽方的整数 确定9和16 式估值 3.对以上两个整数开方 √9=3，√16=4 4.确定这个根式的值在开方后 所得的两个整数之间 3<√<4 备考满分演练 (见进阶作业本) 19中考复习堂堂清·数学知识点四 1.乘积2.(1)提公因式法(2)(a+b)(a-b) (a土b)2 核心考点解读 16.D17.B18.C19.C20.-a2+b 21.2922.解：原式=4x3+2x-4x2(x+1)= 4x3+2x-4x3-4x2=2x-4x2.23.解：原式= 4xy-2xy+3xy=5xy,当x=2,y=-1时，原 式=5×2×(-1)=-10.24.解：原式=(x2+ 4x+4)-(x2+3)=x2+4x+4-x2-3=4x+ 1.当x=-2时，原式=4×(-2)+1=一7. 25.626.(1)(a-1)2(2)(y-1)(x-4) (3)xy(x+3)(x-3) 第4讲分式 教材知识梳理 基础对练 1.②④①③⑤⑥2.(1)x≠4(2)x=2 3.C4.D5.D6.(x-2)(x+3)2 7.(1)21y (2)y-2(3)9xy (4)68.m C之 4a' 1 1 9. x+1 10. 11.解：原式= x一y 3a-1_a2-1 -a(a-3) a+1a+1/ (a-3)2 a+1 a+1 a (a-3)2=- a-3 知识梳理 知识点一 1.字母整式2.（1)分母不等于0(2)分母 等于0(3)分子等于0且分母不等于03.0 公因式公因式相等 知识点二 乘方乘法约分加减括号 核心考点解读 12.x≠113.x=014.0(答案不唯一)15.1 16.解：原式=+12x=x-1)=x-1. x-1 x-1 17.解：原式=1·a+1)(a-1)-1 a+1a(a-1) a 18.解：原式=a+3,4.2(a十3=a-1 a+3· (a-1)2 a+3 2(a+3)=2 (a-1)2a-1' 19.(1)②③解：(1)甲同 学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加， 再进行乘法运算，通分的依据是分式的基本性 质，故答案为：②.乙同学的解法是：根据乘法的 分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加 法，故答案为：③；(2)选择乙同学的解法.规范解 x2-1+ xx十1 x x.2-1=x.(x+1)(x-1+x x-1x=x+1 'x-1 (x十1)(x-1)=x-1+x+1=2x. 20.解：原 式= F2x-y (x-y)2 Lx十y (x+y)(x-y)」 x一y 2x-yt-y .x十y=x.x十y=x x+y x+y/ x-y x+y x-yx-y :x=(2)=2y=(-2023)°=1原式 21=2. 2 21.解：原式=x+ 2x =· x+1.x2-x-1=0,x2=x+1.原式= +1=1.22.解：原式=a-1.（a+1) a (a+1)(a-1) =a十1.解不等式①，得u≥2.解不等式②，得a a <4.则2≤a<4.所以a的最小整数值是2，所 以，原式=2十1=3」 2 2· 23.解：原式= 2 (x+1)(x-1)·(x+1)-1 2 1 x-1x-1x-1 x(x+1)(x-1)≠0，.x≠1且x≠ -1=2或3.当x=2时，原式=2=1 第5讲二次根式 教材知识梳理 基础对练 1.C2.(1)a≤3a>-1(2)①④3.(1)①/ ②×③√④×⑤/⑥×(2)64.2 5.C6.67.28.3√29.解：原式=2-3-3 =一4.10.A11.B12.2(答案不唯一) 知识梳理 知识点一 1.√a(a≥0)(1)√a(2)非负数2.(1)被开 方数不含分母(2)被开方数不含能开得尽方的 因数或因式 知识点二 1.>2.a 3.lal a-a 4.a.5.va B 6.0 知识点三 1.vab 2. a 3.最简 相同4.(1)乘方 加减 核心考点解读 13.A14.C15.D16.C17.218.2 中考新动向 19.2(答案不唯一)20.D 导图内化目标 被开方式是非负数1.分母2.开得尽方 1.≥a2.a 第二单元方程（组）与不等式（组） 第6讲一次方程（组）及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.A2.(1)①③④⑤⑥③⑥(2)53.(1)① 等号右边的1漏乘了最小公倍数6x一2(2x 1)=6+3(x-3)(2)x=54.15.方法一： 解：由①，得y=3-5x.③把③代入②，得3x一 2(3-5x)=7.解得x=1.把x=1代入③，得y =一2.所以原方程组的解为1二1，。 y=-2. 方法二： 解：①X2+②，得13x=13.解得x=1.把x=1 代入①，得5十y=3.解得y=一2.所以原方程组 的解为x=1.6.B7,C8.C9.解：设每 y=-2. 辆大货车一次可以运货xt,一辆小货车一次可 以运货yt,根据题意列方程组，得 22解得4X1+3X25= 23.5(t).答：4辆大货车与3辆小货车每一次可 以运货23.5t. 知识梳理 知识点一 1.c 2.bc b 知识点二 1.等式3.11整式4.(1)最小公倍数分 母括号(2)相反 知识点三 y=4xx+4x=207x=14 核心考点解读 10.211.112.k<213.A14.A15.A 16.D17.30020018.53 中考新动向 19.3(x+4)=5(x-4) -4=十4 5 导图内化目标 性质1性质2一元代入消元法加减消元法 第7讲一元二次方程及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.(1)3(2)-5-6(3)B(4)-32.(1)直 接开平方(2)配方(3)因式分解(4)公式 （或者配方)二解：(x十6)2=9，∴.即x+6= 3,x+6=-3.∴.x1=-3,x2=-9.(5)解：x1 =1,x2=3.(6)解：x1=一1十√3，x2=一1一 √3.3.(1)B(2)1(3)m>1(4)m≤1 (5)-3-3(6)①-2-2②-2③8 4.C5.A6.20%7.18.解：.降价1元， 可多售出2件，.设降价x元，可多售出2x件， 盈利的钱数为50一x,由题意得：(50一x)(30+ 2x)=2100.化简得：x2一35x十300=0.解得：x =15,x2=20..该商场为了尽快减少库存，∴.降 的越多，越吸引顾客.∴x=20.答：每件商品降价 20元时，商场日盈利可达到2100元. 知识梳理 知识点一 1.一个22.ax2+bx十c=03.相等 知识点二 负根 -b±√b2-4ac 2a 知识点三 1.(1)两个不相等(2)两个相等 (3)没有 (4)△≥0且a≠02.-bc a a 知识点四 2.(1)a(1±x)"=b3.(1)(a-2x)(b-2x) (2)(a-x)(b-x)(3)(a-x)(b-x) 4.(1)售价成本进价利润率(2)成本 (3)单件产品的利润销售量 核心考点解读 9.110.-111.2或-112.(1)k>- 号且k ≠0(2)解：x1=3+√14，x2=3-√/14. 13.解：(1)证明：△=(m+2)2-8m=m2-4m十4 =(m一2)2..不论m为何值时，(m一2)2≥0， .△≥0..方程总有实数根；(2)m=1.14.1 5.-516.-2 17.2 18.解：(1)k>2; (2):方程的两个根为a,B,a3=C=3一k. a ∴.k2=3一k十3k.解得k1=3,k2=一1（舍去）. 19.C20.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长 为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25一 2x十1)m,由题意，得x(25-2x十1)=80，化简， 得x2-13x十40=0，解得x1=5,x2=8,当x=5 时，26一2x=16>12(舍去)，当x=8时，26-2x= 10<12.答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m. 中考新动向 21.36 导图内化目标 ax2十bx十c=0(a≠0)直接开平方配方 公 式因式分解>< 第8讲分式方程及其应用 教材知识梳理 基础对练 1.-13(x-2)分母-1+6括号-1 +6+1移项6同类项31103 2.(1)一去分母时，常数项未乘最简公分母