专题04 三角形（6大考点）（四川专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 三角形专题汇编，涵盖6大核心考点，精选2026年四川多地二模及中考真题，融合传统体育（抖空竹）、科技（无人机测量）等真实情境，梯度覆盖基础计算与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多/中|角平分线、平行线性质、等腰三角形旋转|结合抖空竹受力分析考角的计算，融入动态几何（如旋转问题）| |解答题|中/高|相似全等证明、锐角三角函数应用|无人机测量九天楼高度等实际问题，关联中考真题（如山东淄博中考题）|

专题04 三角形 6大考点概览 考点01角、角平分线 考点02相交线与平行线 考点03等腰三角形的性质与判定 考点04直角三角形的性质与判定 考点05相似与全等 考点06锐角三角函数及其应用 角、角平分线 考点01 1．（2026·四川南充·二模）如图，将直角三角板绕点B顺时针旋转得，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川南充·二模）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，且直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川泸州·二模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的周长为__________． 4．（2026·四川绵阳·二模）如图，已知平分交于点，若，则的度数为___________． 5．（2026·四川遂宁·二模）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川泸州·二模）抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·四川成都·二模）如图，直线a和直线b被直线c所截，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川达州·二模）如图所示，，为角的三等分线，过点C作关于的平行线交于点B，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川德阳·二模）如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川绵阳·二模）如图，直线，；，则_____． 6．（2026·四川广安·二模）如图，直线，直线c分别交a、b于点A、C，点B在直线b上，，若，则的度数是______． 7．（2026·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为_______秒时，．（G、H为C、B对应点） 等腰三角形的性质与判定 考点03 1．（2026·四川广安·二模）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·二模）图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川遂宁·二模）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．（2026·四川南充·二模）如图，为等边三角形，点P为边上一点（不与点B重合），点D为的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，连接并延长交于点F．下列结论：①；②；③点F为的中点；④若，则长度的最小值为．其中正确的结论是______．（填写序号） 5．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，，以C为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为______． 6．（2026·四川成都·二模）如图，是等边三角形，分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．现随机向该曲边三角形内掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为________．（取3） 7．（2026·四川宜宾·二模）如图，在中，，，，P是直线上方的一个动点，且，则的最小值为_____． 8．（2026·四川雅安·二模）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，则_____． 9．（2026·四川成都·二模）如图，等边的边长为2，以为直径在上方作半圆，则半圆与重叠部分的面积为______．    10．（2026·四川成都·二模）如图，在等边中，D，E分别为边上一点，且，连接，以为边在上方作等边为中点，连接交的延长线于点，若，则线段的长为______． 11．（2026·四川达州·二模）有一正三角形，边长为，分别取、边的三等分点、，且其角平分线相交于点，过点作，交于点连接、、、、． (1)求的值． (2)将绕点逆时针旋转到，取中点，连接交于点，连接，求的值． (3)在（2）的条件下，、上分别有、在线上移动，连接、，求出在什么条件下有最值？并求出最值． 直角三角形的性质与判定 考点04 1．（2026·四川广元·二模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么 (    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·二模）如图，锐角三角形中，，边上的中线，则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D．5 3．（2026·四川南充·二模）如图，在中，，，为的垂直平分线，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2026·四川成都·二模）如图，，以点O为圆心，以3为半径画弧，分别交，于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，连接．若，则的长为________． 5．（2026·四川广安·二模）如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法：①平分；②；③点在的垂直平分线上；④若，则；⑤是轴对称图形．其中正确的说法有___（填序号）． 6．（2026·四川广元·二模）如图，在Rt中，，，，点在边上，，是边上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的最小值为_____． 相似与全等 考点05 1．（2026·四川泸州·二模）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·二模）如图，点分别是边的中点，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（2026·四川绵阳·二模）如图，在中，，D、E、F分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点G，若，，，则（   ） A． B．2 C． D． 4．（2026·四川成都·二模）如图，在和中，，，若，则的长为________． 5．（2026·四川遂宁·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论： ①；②； ③当点在的延长线上时，； ④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中结论正确的是________（填序号）． 6．（2026·四川泸州·二模）如图，在中，E是上一点，，点F在上，．求证：． 7．（2026·四川遂宁·二模）如图，E为菱形的边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（2026·四川南充·二模）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 锐角三角函数及其应用 考点06 1．（2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川绵阳·二模）如图，在中，，、、分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点，若，，，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（2026·四川泸州·二模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·四川达州·二模）计算：________． 5．（2026·四川广安·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使按此规律进行下去，则点的坐标为______． 6．（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则______． 7．（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接与交于M，若，则_____． 8．（2026·四川绵阳·二模）如图1，绵阳富乐阁是富乐山景区标志性建筑，建筑样式是中国古建筑的智慧结晶，屋檐的八个角向上翘起，形成优美的曲线，这就是“飞檐翘角”，图2是飞檐翘角截面示意图，这部分由直线，弧构成，与相切，某一光线与相切于点，延长到点，点在同一水平线上，于于．已知，则弧的长度为___________米．（结果保留，参考数据：） 9．（2026·四川泸州·二模）计算：． 10．（2026·四川广元·二模）如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走30米到达点，再经过一段坡度为，坡长为20米的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向左行走45米到达点，在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为，所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：， ， ，， ， ，） 11．（2026·四川成都·二模）某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为，其可视范围如图所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图，机器人（其高度忽略不计）在点处，摄像头正对测试轨道，且与测试轨道的距离为米．一测试物体沿轨道自左向右运动时，于点处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为时，运动到点处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离的长．（参考数据：，，，）． 12．（2026·四川成都·二模）九天楼位于成都市塔子山公园浅丘顶部，原名散花楼，始建于隋末，由蜀王杨秀建造，后湮没无存．1995年启动重建工程，1997年竣工，其名取自李白《登锦城散花楼》诗句“如上九天游”．小明同学学习了综合实践课程后，决定利用所学知识与技能测量塔子山公园的九天楼高度．首先利用无人机飞到距地面106米（米）点C处，此时测得塔顶A的俯角为，无人机向后退米（米）到点，此时测得塔顶A的俯角为，已知、、在同一水平直线上，于，求九天楼高度（即的长）．（，，，） 143．（2026·四川成都·二模）四川天府新区天府数字文创城“雁之羽”规划展示厅是天府新区公园城市建设的标杆之作．建筑以“大雁展翅”为设计灵感，舒展的对称飞檐成为新区的标志性城市景观．在一次数学综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用太阳光对该建筑飞檐顶点的高度进行了实地测量．如图是其飞檐结构的平面示意图，已知，且，两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为，当太阳光恰好经过点照射到点正下方处时，太阳光与地面的夹角为．求飞檐顶点到地面的距离．（结果精确到0.1m；参考数据：） 14．（2026·四川成都·二模）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，在同一平面内．（参考数据：，，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到米） 15．（2026·四川广安·二模）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心（点是中点）的视线与水平线形成的夹角时，观看屏幕最舒适，此时，，．已知眼睛与显示屏顶端的水平距离． (1)求液晶显示屏的宽（结果精确到）； (2)求显示屏顶端与底座的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与 专题04三角形 考点01 角、 角平分线 1.C 2.C 3.18 4.66° 5.D 6.A 考点02 相交线与平行线 1.C 2.D 3.B 4.C 5.40° 6.40°140度 7.3或28/28或3 考点03 等腰三角形的性质与判定 1.B 2.B 3.C 4.①②④ 5.4-2√2 6.3+1 4 7. 2N37 3/3 学更高效 函学科网 www.z×xk.com 8.1+v17 2 9.5+ 26 10.115 7 1.(①+ 3 -a 2125-67j(42+v97-52N5 30 ③)当J1HI,LM⊥DE时，U+5MW取得最小值，最小值> 时，+5Mw最大值为： 7-85+6-5a 3 直角三角形的性质与判定 考点04 1.D 2.C 3.B 4.3V2 5.①③④ 6.67 相似与全等 考点05 1.B 2.D 3.D 4.7.5 5.①②③④ 6.DF=EC 7.(1)△ADE≌△FCE (2)4V5 2/3 让教与学更高效 :135-12a,当L,H重合，M,D重合 36 命学科网 www.zxxk.com 让 8.(I)△ABC≌△DEF (2)3 锐角三角函数及其应用 考点06 1.C 2.D 3.A 4.2+15v2 2 5.（-22025,0 6.20V5 13 7. 72-12W5 31 1 8.4 9.9. 10.AB的高度约为121米 11.测试物体移动的距离EF的长约为17.36米. 12.九天楼高度为70米 13.12.4m 14.(1)塔架0D的长为75米 (2)风叶OA的长为49米. 15.(1)35cm (2)39cm 3/3 致与学更高效 专题04 三角形 6大考点概览 考点01角、角平分线 考点02相交线与平行线 考点03等腰三角形的性质与判定 考点04直角三角形的性质与判定 考点05相似与全等 考点06锐角三角函数及其应用 角、角平分线 考点01 1．（2026·四川南充·二模）如图，将直角三角板绕点B顺时针旋转得，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转可知：， ∵，， ∴， ∴． 2．（2026·四川南充·二模）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，且直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由可得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（2026·四川泸州·二模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的周长为__________． 【答案】18 【分析】由平行四边形的性质得到，，，再由平行线的性质和角平分线的定义得到，则，求出，据此根据平行四边形周长计算公式可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴平行四边形的周长． 4．（2026·四川绵阳·二模）如图，已知平分交于点，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，根据平分，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·四川遂宁·二模）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D 6．（2026·四川泸州·二模）抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形的角度运算，先根据两直线平行，同旁内角互补，得再结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， 故选：A． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·四川成都·二模）如图，直线a和直线b被直线c所截，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形的角度运算，先根据两直线平行，同旁内角互补，得再结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， 故选：A． 2．（2026·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2026·四川达州·二模）如图所示，，为角的三等分线，过点C作关于的平行线交于点B，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角的和差计算，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，得到，然后由平行得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，为角的三等分线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 4．（2026·四川德阳·二模）如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】标记，根据题意得到，根据平行的性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：标记，如解图所示；易得， ， , , 故选C． 5．（2026·四川绵阳·二模）如图，直线，；，则_____． 【答案】 【分析】先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∵， ∴． 6．（2026·四川广安·二模）如图，直线，直线c分别交a、b于点A、C，点B在直线b上，，若，则的度数是______． 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键．由平行可知，由垂直可得，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为： 7．（2026·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为_______秒时，．（G、H为C、B对应点） 【答案】3或28/28或3 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用．根据题意可得，，然后分两种情况：当未到达时，当到达返回时，根据平行线的性质，列出方程，即可求解． 【详解】解：停止旋转的时间为秒， 设光线旋转时间为t秒，则， 根据题意得：，， 如图，当未到达时，设射线交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当到达返回时，设射线交于点P，此时此时，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，光线旋转时间为3或28秒时，． 故答案为：3或28 等腰三角形的性质与判定 考点03 1．（2026·四川广安·二模）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质得，，从而，然后由三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 2．（2026·四川泸州·二模）图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，根据等边三角形和矩形的性质，当且仅当、、三点共线时，取得最小值为4，然后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作于点，连接， 由题意可得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值为4， ， ， ， ， ． 当最小时，则． 故选：B． 3．（2026·四川遂宁·二模）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明，再由，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， 又， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：C． 4．（2026·四川南充·二模）如图，为等边三角形，点P为边上一点（不与点B重合），点D为的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，连接并延长交于点F．下列结论：①；②；③点F为的中点；④若，则长度的最小值为．其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】由旋转性质得，，结合等边三角形性质证明，可得；由全等可知线段绕点逆时针旋转可与线段重合，故两直线夹角为，即；取特殊位置点与点重合，此时为中点，通过计算与不相等，说明点不是的中点；利用三角形中位线定理确定点在线段上运动，进而点在线段上运动，再通过解直角三角形与勾股定理求出到线段的最短距离． 【详解】解：∵ 线段绕点逆时针旋转得到， ∴ ，， ∵ 为等边三角形， ∴ ，， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故①正确． ∵ ， ∴ 线段绕点逆时针旋转可与线段重合， ∴ 直线与直线的夹角为， ∵ 点在的延长线上，且点在上， ∴ ，故②正确． 当点与点重合时，点为的中点， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 为等边三角形，为中点， ∴ ，， 在中，，， ∴ ， ∴ ， 由①知， 在中，，， ∴ ， 在中，， ∵ ， ∴ ， ∴ 点不是的中点，故③错误． 取中点，中点，连接，， ∵ 为中点，为中点， ∴ ， 又∵ ， ∴ 点在线段上， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， 则点在线段上运动， ∵ ，，， ∴ ， 过作交延长线于， 则， 在中，，， ∴ ， 在中，， ∴ ， 连接，， ∵为等边的中线， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∵ ， 在中，， 过作于，则为中点， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴的最小值为，故④正确． 5．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，，以C为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等，过点作的垂线，交于点，容易证得，得到，求得的长度，结合，即可求得答案． 【详解】如图所示，过点作的垂线，交于点． 根据题意可知，，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 6．（2026·四川成都·二模）如图，是等边三角形，分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．现随机向该曲边三角形内掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为________．（取3） 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的计算、等边三角形的性质以及扇形面积公式．根据几何概率公式，针尖落在内的概率等于的面积与曲边三角形总面积的比值．设等边三角形边长为，分别计算的面积和曲边三角形的面积，其中曲边三角形面积可看作一个的面积加上三个弓形的面积，最后代入计算比值并进行分母有理化即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 设等边三角形边长为， 是等边三角形， ，， ， ， 在中由勾股定理得， ， 分别以点A，B，C为圆心，以的长为半径作，，， 扇形的半径为 ，圆心角为， ， ， 曲边三角形的总面积， 取3， ， 针尖落在区域内的概率， 故答案为：． 7．（2026·四川宜宾·二模）如图，在中，，，，P是直线上方的一个动点，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据题意确定点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆上的劣弧，利用相似三角形在射线上构造点E，使得，将转化为，利用两点之间线段最短求解． 【详解】解：∵，， ∴点A，B在以C为圆心，2为半径的圆上， ∵ ， ∴点P在以C为圆心，2为半径的圆的劣弧上， ∴， 如图，在射线上取一点E，使得，连接， ， ∵，， ， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 当A，P，E三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， ∴， ∴ 的最小值为 ． 8．（2026·四川雅安·二模）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，设，通过证明，得到对应线段成比例，即，通过证明，得到对应线段成比例，即 ，根据勾股定理列方程，得到的值，即的长度． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 设，则， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ，解得，（小于，舍去）， ． 故答案为：． 9．（2026·四川成都·二模）如图，等边的边长为2，以为直径在上方作半圆，则半圆与重叠部分的面积为______．    【答案】 【分析】设 交半圆 于点，连接 、，由 且 ，得 和 均为等边三角形，从而 ，进而 ；根据 重叠部分面积 的面积扇形的面积的面积求解即可． 【详解】解：设 交半圆 于，连接 、， 是等边三角形，边长为 ， ，， ， ，， 是等边三角形，， 同理 是等边三角形，， ， 扇形 的面积 ， 过点作于点， ，， 的面积 ， 同理求得的面积为 重叠部分面积 的面积扇形的面积的面积．    10．（2026·四川成都·二模）如图，在等边中，D，E分别为边上一点，且，连接，以为边在上方作等边为中点，连接交的延长线于点，若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】过点作，交于点，交于点，证明为等边三角形，一线三等角证明，得到，同理得到，进而推出，等边对等角结合三角形的外角的性质，求出，作于点，延长交于点，取的中点，连接，根据三线合一，结合30度角的直角三角形的性质，求出的长，中位线定理得到，，进而推出三点共线，证明，得到，进而得到，根据线段的和差关系，求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线， 作于点，延长交于点，取的中点，连接， 则， ∴，，，，即， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（2026·四川达州·二模）有一正三角形，边长为，分别取、边的三等分点、，且其角平分线相交于点，过点作，交于点连接、、、、． (1)求的值． (2)将绕点逆时针旋转到，取中点，连接交于点，连接，求的值． (3)在（2）的条件下，、上分别有、在线上移动，连接、，求出在什么条件下有最值？并求出最值． 【答案】(1) (2) (3)当，时，取得最小值，最小值为：，当重合，重合时，最大值为：． 【分析】（1）连接并延长交于点，先证明，进而根据已知结合等边三角形的性质，勾股定理求得的值，即可求解； （2）过点作，过点作，垂足分别为，根据旋转的性质可得，设，则得出，进而求得，证明是的中位线，在中求得，进而代入，进行计算即可求解； （3）根据垂线段最短可得，时，取得最小值，进而将代入可得最小值，根据斜线段最长可得当重合，重合时，取得最大值，勾股定理，分别求得的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点， ∵、为、边的三等分点，为正三角形，边长为， ∴，，，则 ∴， ∵点为的角平分线的交点 ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分 ∴ ∴，则 ∴ ∴，即， ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 解得：， ∴， ∵，则， 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，则 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形， 在中， 在中， ∴ （2）解：如图，过点作，过点作，垂足分别为， ∵绕点逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 解得： ∴ ∴ 由（1）可得， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴是的中位线， ∴， ∴ 在中， 又∵ ∴ ； （3）解：如图， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∵、上分别有、在线上移动， ∴，时，取得最小值， 当时，， 当时，重合，则 ∴最小值为 根据三角形中斜线段最长可得，当重合时取得最大值，当重合时，取得最大值 由（2）可得， ∴ 当重合时，中， ∴最大值为： 当重合，重合时，最大值为：． 直角三角形的性质与判定 考点04 1．（2026·四川广元·二模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么 (    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和圆的概念得出点在上，根据圆周角定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∵，点是的中点，为的直径， ∴点到点的距离等于的半径， 即点在上， ∴， ∴． 2．（2026·四川宜宾·二模）如图，锐角三角形中，，边上的中线，则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】通过倍长中线法构造全等三角形，将的面积转化为的面积，利用勾股定理和完全平方公式建立边长关系，结合基本不等式求出面积最大值． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 过点A作交的延长线于点H， 设，， 在中，， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，当且仅当时取等号， ∴， 即， ∴， 当时，为等边三角形，也是锐角三角形，符合题意． 3．（2026·四川南充·二模）如图，在中，，，为的垂直平分线，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2026·四川成都·二模）如图，，以点O为圆心，以3为半径画弧，分别交，于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E，连接．若，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，过点C作，由题意可知，，，则和，即可得，进而得，则有． 【详解】解：连接，由作图可得平分， 过点C作，如图， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·四川广安·二模）如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法：①平分；②；③点在的垂直平分线上；④若，则；⑤是轴对称图形．其中正确的说法有___（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据尺规作图的痕迹可判断是的平分线；根据直角三角形两锐角互余求出的度数，结合角平分线定义求出和的度数，进而求出的度数；根据等角对等边得出，利用线段垂直平分线的判定定理判断点的位置；设为，利用已知比例表示出和的长，进而表示出和的长，计算比值即可；根据轴对称图形的定义判断是否为轴对称图形． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知，是的平分线，故①正确． ，， ． 平分， ． ，故②错误． ，， ． ． 点在的垂直平分线上，故③正确． 若，设，则． ． 由作图可知． 在中，， ． ． ，故④正确． ，，， 的三边互不相等，不是轴对称图形，故⑤错误． 综上所述，正确的说法有①③④． 6．（2026·四川广元·二模）如图，在Rt中，，，，点在边上，，是边上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求出，由翻折得到．在上取点G，使得，连接，，证明可得，因此，从而．过点G作于点H，通过解直角三角形求出，即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴． 如图，在上取点G，使得，连接，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长． 过点G作于点H， ∵，， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∴在中，． ∴的最小值为． 相似与全等 考点05 1．（2026·四川泸州·二模）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 2．（2026·四川泸州·二模）如图，点分别是边的中点，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据点分别是边的中点可得，，从而得到，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·四川绵阳·二模）如图，在中，，D、E、F分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点G，若，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由矩形得到，，然后根据平行线分线段成比例定理可设，则，求出，则，再在中由勾股定理求解，再由平行线分线段成比例定理得，则，解得，那么，最后由求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴在中，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 4．（2026·四川成都·二模）如图，在和中，，，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于 的比例式进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 5．（2026·四川遂宁·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论： ①；②； ③当点在的延长线上时，； ④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中结论正确的是________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】证明即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明得出，即可判断③；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断④． 【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 设， ∴, ∴， ∴，故②正确； 当点在的延长线上时，如图所示，    ∵，， ∴， ∴， ∵，． ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④如图所示，以为圆心，为半径画圆，    ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小，， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴取得最小值时，， ∴， 故④正确， 综上，①②③④都是正确的． 6．（2026·四川泸州·二模）如图，在中，E是上一点，，点F在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．先根据平行四边形的定义得到，再证明，即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又∵，， ， ． 7．（2026·四川遂宁·二模）如图，E为菱形的边的中点，连接并延长交延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据菱形性质得，推出内错角相等，再由是中点得，最后利用证明全等； （2）先由全等得即是中点，再在中用勾股定理求，最后得． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， 在的延长线上， ， (两直线平行，内错角相等)， 为的中点， ， 在和中， ， ， （2）解：由(1)知， , 即是的 中点， ， 为的中点，， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 由勾股定理：， ． 8．（2026·四川南充·二模）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据平行线的性质得到，由此根据证明三角形全等； （2）根据三角形的全等的性质得到，由此求出的长． 【详解】（1）证明：∵． ∴ ∵ ∴； （2）∵， ∴， ∴，即， ∴． 锐角三角函数及其应用 考点06 1．（2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴，即． 2．（2026·四川绵阳·二模）如图，在中，，、、分别是上的点，且四边形是矩形，连接与交于点，若，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，在中利用表示出，结合矩形性质及表示出，进而在中表示出，从而得到关于的表达式，最后在中利用勾股定理求出即可求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，, 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 3．（2026·四川泸州·二模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 4．（2026·四川达州·二模）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 根据特殊角的三角函数，分母有理化计算，再进行二次根式的化简，即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（2026·四川广安·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使按此规律进行下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】通过解直角三角形，依次求…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论． 【详解】解：如图：过作轴， ∵的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的坐标为， 同理可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为， … 由上可知，A点的方位是每6个循环， 与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为，其纵坐标为0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为，纵坐标为0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴点的方位与点的方位相同，在x轴上，其横坐标为，纵坐标为0， ∴点的坐标是． 6．（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则______． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，利用勾股定理求得，由旋转可得，，，得到，然后解，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为点， ∵矩形中，， ∴，，， 由旋转可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接与交于M，若，则_____． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足为点，由旋转可得，，得到，然后解，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为点， ∵矩形中， ∴，， 由旋转可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得． 8．（2026·四川绵阳·二模）如图1，绵阳富乐阁是富乐山景区标志性建筑，建筑样式是中国古建筑的智慧结晶，屋檐的八个角向上翘起，形成优美的曲线，这就是“飞檐翘角”，图2是飞檐翘角截面示意图，这部分由直线，弧构成，与相切，某一光线与相切于点，延长到点，点在同一水平线上，于于．已知，则弧的长度为___________米．（结果保留，参考数据：） 【答案】 【分析】记圆心为点，连接，过点作于点，则，，根据圆的切线的性质得到，再证明四边形是矩形，则，解，求出，则，再由勾股定理求解，再求解半径，最后由弧长公式求解即可． 【详解】记圆心为点，连接，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵与相切，某一光线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴弧的长度为：． 9．（2026·四川泸州·二模）计算：． 【答案】． 【分析】利用绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 10．（2026·四川广元·二模）如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走30米到达点，再经过一段坡度为，坡长为20米的斜坡到达点D，然后再沿水平方向向左行走45米到达点，在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为，所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：， ， ，， ， ，） 【答案】的高度约为121米 【分析】过作于，过作于，先证明四边形，是矩形，由坡度的定义求出、的长，得的长，再解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：过作于，过作于，由题意可知，，米，米，米， 如图所示： ∴四边形，是矩形， ∴，，米，，， ∵当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为， ∴，， ∵， ， 斜坡的坡度为，米， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， 解得， 米，米， 米， （米）， 在中，， （米）， 米， （米）， 在中，， ， （米）， （米）， 即的高度约为121米． 11．（2026·四川成都·二模）某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为，其可视范围如图所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图，机器人（其高度忽略不计）在点处，摄像头正对测试轨道，且与测试轨道的距离为米．一测试物体沿轨道自左向右运动时，于点处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为时，运动到点处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离的长．（参考数据：，，，）． 【答案】测试物体移动的距离的长约为米． 【分析】由题意可得米，米，，，通过勾股定理求出米，再求米，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】解：由题意可得，米，米，，， 由勾股定理得：（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴测试物体移动的距离的长约为米． 12．（2026·四川成都·二模）九天楼位于成都市塔子山公园浅丘顶部，原名散花楼，始建于隋末，由蜀王杨秀建造，后湮没无存．1995年启动重建工程，1997年竣工，其名取自李白《登锦城散花楼》诗句“如上九天游”．小明同学学习了综合实践课程后，决定利用所学知识与技能测量塔子山公园的九天楼高度．首先利用无人机飞到距地面106米（米）点C处，此时测得塔顶A的俯角为，无人机向后退米（米）到点，此时测得塔顶A的俯角为，已知、、在同一水平直线上，于，求九天楼高度（即的长）．（，，，） 【答案】九天楼高度为70米 【分析】设九天楼高度米，得．在两个直角三角形中，由、分别表示、，根据无人机向后退米到点，列方程，求解即可． 【详解】解：设九天楼高度米， ∵无人机高度米， ∴塔顶到无人机水平线的垂直距离为：米， ∵， ∴和均为直角三角形， ∵在C处俯角为，即， ∴， ∴ ， ∵在D处俯角为，即， ∴， ∴， 由题意得，（米）， ∴ 解得． 13．（2026·四川成都·二模）四川天府新区天府数字文创城“雁之羽”规划展示厅是天府新区公园城市建设的标杆之作．建筑以“大雁展翅”为设计灵感，舒展的对称飞檐成为新区的标志性城市景观．在一次数学综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用太阳光对该建筑飞檐顶点的高度进行了实地测量．如图是其飞檐结构的平面示意图，已知，且，两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为，当太阳光恰好经过点照射到点正下方处时，太阳光与地面的夹角为．求飞檐顶点到地面的距离．（结果精确到0.1m；参考数据：） 【答案】 【分析】如图，易得四边形、、都是矩形，根据等腰三角形三线合一的性质得，，解求出，易得是等腰直角三角形，则，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点M，过点C作于点N，连接，过点A作于点G，连接， 根据题意得，，，， ∵，两点到地面的距离相等， ∴， 又∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴四边形、都是矩形， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·四川成都·二模）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图），当其中一片风叶与塔架叠合时（即、、在同一直线上），在与塔底水平距离为米的处，测得塔架顶部的仰角为，风叶的端点的仰角为，点，，，，，在同一平面内．（参考数据：，，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到米） 【答案】(1)塔架的长为米 (2)风叶的长为米． 【分析】（1）在中，利用和，计算出； （2）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为米． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 设风叶的长度为， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得米． 答：风叶的长为米． 15．（2026·四川广安·二模）图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，如图2，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心（点是中点）的视线与水平线形成的夹角时，观看屏幕最舒适，此时，，．已知眼睛与显示屏顶端的水平距离． (1)求液晶显示屏的宽（结果精确到）； (2)求显示屏顶端与底座的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解求出，即可求解； （2）过点作于点，先得到，然后解，即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点是中点， ∴， 答：液晶显示屏的宽为； （2）解：过点作于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∴，， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：显示屏顶端与底座的距离为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $