精品解析：辽宁省 丹东市第二十一中学2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

2025－2026学年度（下）期中测试七年级数学学科 满分：100分 考试时长：90分钟 第一部分 选择题（共20分） 请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题2分，共20分） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C. 如果，那么 D. 三角形内角和是 3. 如图，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列乘法公式的运用，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点F，B，E，C在同一条直线上，，若，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 若的结果不含项，则a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 9. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（ ） ①与的面积相等；②；③；④ A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 第二部分 非选择题（共80分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题2分，共10分） 11. 某地区第一季度工业用电量为52170000000千瓦时，把52170000000用科学记数法表示为______． 12. 如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______． 13. 有一个转盘如图，转盘可以自由转动，让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为_____． 14. 若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是_____________． 15. 如图a，是长方形纸带（），，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_____． 三、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，，，求的度数，请说明理由． 解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） ___________ ___________（___________） ___________（___________） （已知） ___________． 19. 如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． （1）求的度数； （2）过点作射线，若，直接写出的度数． 20. 在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、红两种球共40个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数 100 150 200 400 700 1500 摸到黑球的次数 59 92 114 232 424 902 摸到黑球的频率 0.59 0.57 0.606 0.601 （1）求出表格中的、，则______，______（精确到）． （2）请你估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近______（精确到）． （3）假如你去摸一次，你摸到黑球的概率是______，摸到红球的概率是______． （4）试估算口袋中红色的球有多少个？ 21. 如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． （1）求证：； （2）若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 22. 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 23. 【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（下）期中测试七年级数学学科 满分：100分 考试时长：90分钟 第一部分 选择题（共20分） 请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题2分，共20分） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C. 如果，那么 D. 三角形内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能是反面向上，故原事件是随机事件，不符合题意； B、车辆随机到达一个路口，不一定遇到红灯，故原事件是随机事件，不符合题意； C、如果，那么或，故原事件是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和是，是必然事件，符合题意； 3. 如图，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据对顶角的定义“两条直线相交时，具有‌公共顶点‌且‌两边互为反向延长线‌的两个角”可知：C选项的与是对顶角． 4. 已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形的三边关系求出的取值范围，判断选项中的数据是否满足范围即可得出答案． 【详解】解：∵ 三条线段能围成三角形， ∴ ， ∴ ， 则四个选项中，只有符合取值范围． 5. 下列乘法公式的运用，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式和多项式乘法法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算正确． 6. 如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 7. 如图，点F，B，E，C在同一条直线上，，若，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出，结合图形根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 若的结果不含项，则a的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对进行化简，根据化简结果，得出的系数应为，解出的值即可． 【详解】解：原式 ， 若结果不含项， 即， 解得． 9. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在左边作，由三角板可得，，根据拐点模型得到求出，再根据计算即可． 【详解】解：在左边作， 由三角板可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（ ） ①与的面积相等；②；③；④ A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法. 第二部分 非选择题（共80分） 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题2分，共10分） 11. 某地区第一季度工业用电量为52170000000千瓦时，把52170000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把52170000000用科学记数法表示为． 12. 如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键． 13. 有一个转盘如图，转盘可以自由转动，让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题的关键．利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴指针落在黄色区域的概率为； 故答案为：. 14. 若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系；根据绝对值的非负性，由等式求出m和n的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三角形的边长，最后计算周长. 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得：，， ∵是等腰三角形，且m，n是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为2时，三角形三边为2，2，4， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况不成立； ②当腰长为4时，三角形三边为2，4，4， 满足三角形三边关系，周长为． 故答案为：10. 15. 如图a，是长方形纸带（），，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 根据折叠的性质和平行线的性质求出图b中的度数，再由折叠的性质求出图c中的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：图b中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在图c中，由折叠的性质可得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，负整数次幂，零次幂，再计算加减； （2）先计算同底数幂的乘法，同底数幂的除法，再合并同类项； （3）利用平方差公式进行简便计算； （4）利用平方差公式、完全平方公式进行简便计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则去中括号内的小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，已知，，，求的度数，请说明理由． 解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） ___________ ___________（___________） ___________（___________） （已知） ___________． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【解析】 【分析】按照推理过程，结合平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） （已知） ． 19. 如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． （1）求的度数； （2）过点作射线，若，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由角的关系可得，再根据两直线平行的性质求解； （2）分两种情况：当在内部和在外部，再根据角的关系得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 又， （两直线平行，内错角相等）； 【小问2详解】 解：解：当在内部时， ， 当在外部时， ， 或． 20. 在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、红两种球共40个，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数 100 150 200 400 700 1500 摸到黑球的次数 59 92 114 232 424 902 摸到黑球的频率 0.59 0.57 0.606 0.601 （1）求出表格中的、，则______，______（精确到）． （2）请你估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近______（精确到）． （3）假如你去摸一次，你摸到黑球的概率是______，摸到红球的概率是______． （4）试估算口袋中红色的球有多少个？ 【答案】（1） ， （2） （3） ， （4） 估算口袋中红色的球有个 【解析】 【分析】（1）根据频率的计算公式：频率频数试验次数计算、的值； （2）观察大量试验后频率的稳定值即可估计结果； （3）根据大量重复试验中频率稳定值近似等于概率，结合两种球的概率和为计算； （4）用总球数乘以红球的估计概率得到红球的估计数量． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：观察表格数据，当逐渐增大时，摸到黑球的频率稳定在附近，因此当很大时，摸到黑球的频率将会接近； 【小问3详解】 解：大量重复试验中，频率的稳定值可近似为事件的概率，因此摸到黑球的概率是； 口袋中只有黑、红两种球，因此摸到红球的概率为； 【小问4详解】 解：总球数为个，摸到红球的概率约为， 红球的数量为：（个）． 答：估算口袋中红色的球有个． 21. 如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． （1）求证：； （2）若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2） ，证明如下： ∵， ∴， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形． （1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得； （2）证明，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）． 【解析】 【分析】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式． （1）第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式； （2）将，代入计算即可； （3）根据大正方形面积等于九个小图形的面积和列等式计算即可； （4）将，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为小正方形的边长为：， 所以第一次计算的面积为：， 第二次计算的面积为：， 所以：； 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解：由图3可得：； 故答案为：； （4）解：∵，， ∴， 即． 故答案为：． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3）， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $