精品解析：2026年重庆丰都县平都中学八年级数学下册阶段考试题

2026年重庆丰都县平都中学八年级下阶段性检测数学考试题 （检测范围：新人教版八年级下册第19-22章） （满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（10小题共40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义是解本题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于零列不等式求解即可解答． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得． 故选：B． 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 8，15，16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的知识．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，6，8，10是勾股数，故本选项符合题意； D、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，平分，，，则的周长是（ ） A. 16 B. 14 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的等角对等边是解答的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，等腰三角形的判定求得即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：C． 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先简化表达式为 ，再估计 ，计算数值后判断区间． 【详解】解： ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 值在2和3之间， 故选：B． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的概念，菱形、正方形、矩形的判定定理等知识点，熟练掌握它们的判定定理是解答本题的关键． 分别根据菱形、矩形和正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题，符合题意； D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 7. 一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 8. 甲、乙两名同学沿同一直线跑道从地出发前往地，甲到达地后停止计时．已知乙先出发2分钟后甲才出发，甲的速度为每分钟米．若两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）的关系如图所示，则的值为（ ） A. 100 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，从函数图象获取信息，根据题意先求出乙的速度为每分钟米，即可求出的值． 【详解】解：设乙的速度为每分钟米． 则， 解得， 即乙的速度为每分钟米． 故选：B 9. 如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先得出，再设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴，即， 解得， 即． 10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ①对进行“差绝对值运算”的结果是8； ②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种． 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值计算，定义新运算问题，实数计算等．根据题意将代入题中式子计算即可判断①的结论正确；对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，再由绝对值几何意义得到的最小值为6，即可判断②的结论不正确；对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，再根据绝对值几何意义即可得到本题答案． 【详解】解：对进行“差绝对值运算”的结果是， ①的结论正确； 对x，2，5进行“差绝对值运算”得到， 由绝对值的几何意义知，当时，取得最小值为3， 的最小值为6， ②的结论不正确； 对a，b，c进行“差绝对值运算”得到， 而利用绝对值的意义去绝对值后，的不同表达式一共有7种， ，，，，，，0， ③的结论不正确， 以上说法中正确的个数为1个． 故选：B． 二．填空题（4小题共24分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算进行求解． 【详解】解： ； 故答案为． 12. 已知，，=______ 【答案】8 【解析】 【分析】由题可得，． 利用 ， 将所求式变形后可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求代数式的值和平方差公式，完全平方公式，考虑采用整体代入法求解． 13. 如图，矩形中，，，将沿折叠，使点．恰好落在对角线上的处，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质以及勾股定理的应用． 由折叠可得，，所以，在中，由勾股定理可得的长，，在中，设，则，根据勾股定理，列方程，求出未知数，即能求出的长． 【详解】∵四边形是矩形 由折叠可得， ， 在中，， ， ， 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， ， ， 则， 故答案为：10． 14. 如图，在中，、是的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接．若，，则四边形的周长是___________． 【答案】##14厘米 【解析】 【分析】先证是的中位线，是的中位线，是的中位线，进而推出四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解： 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ． 、是的中线， 点D、E分别是、的中点， 又点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长． 15. 若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可． 【详解】解：， 不等式组的解集是：， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得：，即整数，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴符合条件的所有整数a的值是，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 16. 对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”．例如：3729，因为，，所以3729是“三角数”；又如4057，因为，所以4057不是“三角数”．若是最小的“三角数”，则__________；若“三角数”（，，，，，为整数），记的千位数字与十位数字的和为，当是4的倍数时，满足条件的的最大值和最小值的差为__________． 【答案】 ①. 1203 ②. 5056 【解析】 【分析】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键． ①设，且，当，数字重复，时，则，只能为0，故，即可求解； ②当时，则N为，有是4的倍数，只有，则，此时符合题意；当时，则N为，则，是4的倍数，只有时，符合题意． 【详解】解：①若是最小的“三角数”，设，且， 当时，则，则，数字重复，故不符合题意； 当，数字重复，故不符合题意； 当时，则， ∴b可取1，2，0，b为1数字重复，b为2数字重复，故b为0， ∴这个四位数目前为， ∵且数字不重复， ∴，故， 故答案为：1203． ②当时，则N为， ∴， ∵是4的倍数， ∴当，则，此时，舍； 当，则，此时，此时，不满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，舍， 当，则，此时，此时，由于， 故最小为； 当时，则N为，则， ∵是4的倍数，且， ∴当时，，而，故最大为， 当时，，而，故最大为，因此最大数为，最小数为， ∴差为5056． 故答案为：1203，5056． 三．解答题（17、18每小题8分，其余每题10分，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18. 如图，在四边形中，，，连接，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， __________①． ， ， ，， ， ， __________②，即， ， ， ， 四边形是__________③， __________④， 四边形为菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2），，平行四边形， 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点，交于点即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ，即， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 故答案为：，，平行四边形，． 19. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】. 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则化简，然后代入求值即可． 【详解】原式= = = =2x+4 当时，原式==． 【点睛】本题考查了分式化简求值．熟练掌握分式的混合运算是解答本题的关键． 20. 已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN. （1）求证：△AEM≌△CFN； （2）求证：四边形BMDN是平行四边形. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明． （2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BMDN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：(1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC． ∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD． ∴∠EAM=∠FCN． 又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFN（ASA）． （2） ∵由（1）△AEM≌△CFN ∴AM=CN． 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ABCD ∴BMDN． ∴四边形BMDN是平行四边形． 21. 如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】33 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，再由四边形面积三角形面积三角形面积，求出即可． 【详解】解：连接， 在中，，， 根据勾股定理得：，， ，， ， 为直角三角形，即， ． 22. 某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． （1）请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ （2）经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】（1）该区域投放了20辆型和30辆型电单车 （2）采购这两种电单车总共需要花费元 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【小问1详解】 解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． 【小问2详解】 解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 23. 周末小明和小红相约去游乐园，两人从轻轨出口分头行动，小明去售票处购票，然后去游乐园大门处；小红先去小卖部买饮料，然后到存包处存完包后再去大门处．如图，已知售票处在轻轨出口的正南方向240米处，游乐园大门在轻轨出口的正东方向450米处，小卖部在轻轨出口北偏东30°方向相距240米处，存包处在小卖部的正东方向且在大门的正北方向． （1）求售票处与游乐园大门之间的距离； （2）若小红和小明以相同的速度同时从轻轨出口出发，不计中途购票及买饮料和存包时间，请判断谁先到达游乐园大门，并说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）米 （2）小明先到达游乐园大门，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）直接利用勾股定理计算解题； （2）过点C作于点F，则是矩形，根据角的直角三角形的性质求出和长，然后分别计算两人的路程，进而根据路程比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知米，米，， ∴米， 答：售票处与游乐园大门之间的距离为米； 【小问2详解】 解：小明先到达游乐园大门，理由为： 小明走过的路程为米， 过点C作于点F，则是矩形， ∴米，， ∵米，， ∴米，米， ∴米，米， ∴小红走过的路程为米米， 又∵两人速度相同， ∴小明先到达游乐园大门． 24. 如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． （1）如图，当时，求的长； （2）如图，当点是的中点时，求线段的长； （3）如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，在中由推出，再利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求出的长； （2）连接，由矩形性质得并求出、的长，由是中点得，再根据折叠的性质得、，从而推出、，利用证明，得到，设，用含的式子表示出和，最后在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长； （3）由得出为定值，因此周长最小等价于最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，先在中用勾股定理求出的长，结合折叠得算出的长，再设，用含的式子表示出和，在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中， ，即， 解得； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点 ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中， ， ∴， 解得， 即； 【小问3详解】 解：当的周长最小时，； ∵， ∴， 当最小时，的周长最小， ∵，当、、三点共线时，最小， 如图， 在中，， 由折叠得，， ∴，， 设，则，， 在中， ， ∴， 解得， 即． 25. 已知平行四边形中，对角线、相交于点O，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，过点C作于点F，连接，过点A作交于点E，求证：． （3）如图3，在（1）的条件下，点P是直线上的一个动点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，进而得到平行四边形是菱形，再由勾股定理求出的长，即可求解； （2）过点C作，交于点G，证明，可得，，再证明，可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求证； （3）连接，，可得，再证明，可得，，即当点在上时，的值最小，此时，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点C作，交于点G， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（1）得：， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴且 ， ∴是等边三角形； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在上时，的值最小， 如图， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆丰都县平都中学八年级下阶段性检测数学考试题 （检测范围：新人教版八年级下册第19-22章） （满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（10小题共40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 8，15，16 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，平分，，，则的周长是（ ） A. 16 B. 14 C. 20 D. 24 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 7. 一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两名同学沿同一直线跑道从地出发前往地，甲到达地后停止计时．已知乙先出发2分钟后甲才出发，甲的速度为每分钟米．若两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）的关系如图所示，则的值为（ ） A. 100 B. 200 C. 250 D. 300 9. 如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到： ①对进行“差绝对值运算”的结果是8； ②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3； ③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种． 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题（4小题共24分） 11. 计算：___________． 12. 已知，，=______ 13. 如图，矩形中，，，将沿折叠，使点．恰好落在对角线上的处，则_______． 14. 如图，在中，、是的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接．若，，则四边形的周长是___________． 15. 若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 16. 对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”．例如：3729，因为，，所以3729是“三角数”；又如4057，因为，所以4057不是“三角数”．若是最小的“三角数”，则__________；若“三角数”（，，，，，为整数），记的千位数字与十位数字的和为，当是4的倍数时，满足条件的的最大值和最小值的差为__________． 三．解答题（17、18每小题8分，其余每题10分，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，，，连接，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， __________①． ， ， ，， ， ， __________②，即， ， ， ， 四边形是__________③， __________④， 四边形为菱形． 19. 先化简，再求值： ，其中． 20. 已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN. （1）求证：△AEM≌△CFN； （2）求证：四边形BMDN是平行四边形. 21. 如图，四边形中，，，，．求四边形的面积． 22. 某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． （1）请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ （2）经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 23. 周末小明和小红相约去游乐园，两人从轻轨出口分头行动，小明去售票处购票，然后去游乐园大门处；小红先去小卖部买饮料，然后到存包处存完包后再去大门处．如图，已知售票处在轻轨出口的正南方向240米处，游乐园大门在轻轨出口的正东方向450米处，小卖部在轻轨出口北偏东30°方向相距240米处，存包处在小卖部的正东方向且在大门的正北方向． （1）求售票处与游乐园大门之间的距离； （2）若小红和小明以相同的速度同时从轻轨出口出发，不计中途购票及买饮料和存包时间，请判断谁先到达游乐园大门，并说明理由．（参考数据：） 24. 如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． （1）如图，当时，求的长； （2）如图，当点是的中点时，求线段的长； （3）如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 25. 已知平行四边形中，对角线、相交于点O，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，过点C作于点F，连接，过点A作交于点E，求证：． （3）如图3，在（1）的条件下，点P是直线上的一个动点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $