专题02 圆与扇形（期末复习知识清单，10常考题型8易错归因7方法技巧）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 圆与扇形 6.1 圆的认识 1. 圆心：__________，字母____；半径：__________，字母____；直径：__________，字母____。 2. 同圆或等圆中：直径与半径的关系，。 3. 一个圆中有__________条半径、__________条直径。 4. 圆是__________图形，圆的对称轴是__________，有__________条对称轴。 5. 圆周率是__________与__________的比值，用字母____表示，它是__________小数，计算中通常取近似值__________。 6.2 圆的周长 1. 整圆周长公式： 2. 半圆周长公式： 6.3 圆的面积与圆环 1. 圆的面积公式： 2. 圆环面积公式： （R为外圆半径，r为内圆半径） 6.4 弧与扇形 1. 弧的定义：_________________________________ 2. 圆心角的定义：_____________________________ 3. 扇形的定义：由__________和__________围成的图形。 4. 弧长公式： 5. 扇形面积公式： 6. 扇形周长公式： 题型一：概念辨析题（选择判断高频） 例1．（25-26六年级下·上海普陀·期中）下列说法中错误的是（    ） A．一个圆的大小与它的半径有关 B．是无限不循环小数 C． D．是圆的周长与它的直径的比值 例2．（2025六年级下·上海·专题练习）下列信息中，不一定能求出圆周长的是（ ）． A．圆规两脚间的距离 B．圆形纸片对折一次后折痕的长度 C．两端在圆上的线段的长度 D．分针尖端转动周的路程 例3．（25-26六年级下·上海崇明·期中）下列说法中错误的是（   ） A．是圆的周长与直径的比 B．的值与圆的大小无关 C．是一个无限不循环小数 D．的值等于 变式1．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）扇形面积的大小是由下列什么条件决定的（    ） A．扇形的半径 B．扇形的圆心角 C．扇形的弧长 D．扇形的圆心角和半径 变式2．（25-26六年级下·上海·期中）为了把扇形的面积扩大到原来的4倍，假设变换后的图形仍为扇形，在下列做法中，能达到目的的有（   ） ①半径不变，把圆心角扩大到原来的4倍； ②圆心角不变，把半径扩大到原来的2倍； ③圆心角扩大到原来的16倍，半径缩小到原来的． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式3．（25-26六年级下·上海虹口·期中）下列说法错误的是（） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 C．圆周长与该圆半径的比值是定值 D．圆周率π的值与圆的大小无关 变式4．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）下列语句正确的是（    ） A．弧所在的圆的半径越大，则弧越长 B．弧对应的圆心角越大，则弧越长 C．圆的半径扩大倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大倍 D．圆的半径不变，圆心角扩大倍，则对应的扇形面积扩大倍 变式5．（25-26六年级下·上海·阶段检测）下列说法中正确的个数有（   ） ①圆的面积一定不是有理数； ②优弧的弧长一定大于劣弧的弧长； ③圆的周长一定大于半圆的周长； ④圆的面积一定大于半圆的面积． A．0 B．1 C．3 D．4 题型二：圆的周长计算（含半圆周长） 例4．（23-24六年级·上海徐汇·期末）一个半圆面，半径是r，它的周长是（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）将一个周长为厘米的圆形纸片对折，沿着折痕将它剪成两个半圆形，每个半圆形的周长是_______厘米． 例6．（24-25六年级下·上海金山·阶段检测）下列说法中，错误的有______（填序号） ①如果甲圆的直径是乙圆直径的6倍，那么甲圆的面积是乙圆面积的9倍； ②如果两个数的比值是真分数，则这个比的前项一定小于后项； ③比的前项与后项都乘以相同的自然数，比值不变； ④周长相等的两个半圆一定能够重合； ⑤商店6月份用电1800度，比原计划节约了1成，则原计划6月份用电1980度； ⑥圆心角相等，所对的弧的长也相等． 变式1．（25-26六年级下·上海静安·期中）我们在已知圆周长公式的基础上可以运用“化曲为直”的方法推导圆的面积公式，如下图，将一个圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似平行四边形的图形，它的一边长相当于圆的（   ） A．圆周长的一半 B．直径 C．半径 D．圆周长 变式2．（25-26六年级下·上海宝山·期中）一个半圆形的直径是，那么它的周长是_____（π取3.14）． 变式3．（25-26六年级下·上海·期中）如图，把一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的平行四边形，新图形的周长比圆的周长多10厘米，则这个圆的周长是___________米（取）． 变式4．（2025六年级下·上海·专题练习）计算各圆的周长． 题型三：求扇形半径 例7．（24-25六年级下·上海·月考）一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 变式1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）一个扇形的圆心角为，面积为平方厘米，则这个扇形的半径是________厘米．（取） 变式2．（24-25六年级下·上海长宁·期中）如果一条弧长为，圆弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的半径是 _______ （π取）． 变式3．（2022六年级上·上海·专题练习）一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 题型四：圆的面积计算 例8．（25-26六年级下·上海宝山·期中）若两个圆的半径之比为，那么它们的面积之比为（   ） A． B． C． D． 例9．（25-26六年级下·上海宝山·期中）在一张长为5厘米，宽为4厘米的长方形纸片上，剪一个最大的圆，此圆的面积是____平方厘米． 变式1．（25-26六年级下·上海·期中）某款扫地机器人在一块长方形场地内移动过程中，可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯．如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为40厘米的圆盘．那么机器人在扫地时底面覆盖不到的面积约为（    ）（的值取3） A．400平方厘米 B．600平方厘米 C．1200平方厘米 D．1600平方厘米 变式2．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，把圆等分成若干份，然后将它拼成一个近似的长方形．如果长方形的周长比原来圆的周长增加了20厘米，那么圆的面积是______． 变式3．（25-26六年级下·上海·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，A组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，A组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） (1)已知线段，一个半径长为1的圆，沿着滚动，组内同学经过讨论，画出了圆的运动过程的图形，如图1所示．则圆扫过的面积是 ． (2)如图2，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． (3)如图3，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． 题型五：圆环面积计算 例10．（25-26六年级下·上海闵行·期中）在研究圆环面积时，可以借助研究圆面积公式时所用的方法，将圆环无限等分，拼成一个平行四边形，若圆环的外圆半径为，小圆半径为，则如图所示平行四边形的底边可以表示为（    ） A． B． C． D． 例11．（25-26六年级下·上海·期中）如图所示，一个环形铁片的外圆半径是，内圆半径是．则它的面积是______ ．（π取） 例12．（25-26六年级下·上海宝山·期中）如图是一个圆环，外圆半径，内圆半径，求这个圆环的面积． 变式1．（2026六年级下·上海·专题练习）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是_________ ． 变式2．（25-26六年级下·上海闵行·期中）已知一个圆形的喷泉，喷水区域的直径为8米，在喷泉外围要铺一条1米宽的鹅卵石小路，则这条小路的占地面积是_______平方米． 变式3．（2026六年级下·上海·专题练习）求如图阴影部分的面积； 变式4．（25-26六年级下·上海·期中）某社区进行“幸福社区改造项目”．现有一个直径是20米的圆形活动广场，社区计划在广场外围修一条宽1米的环形健身步道． (1)这条健身步道的面积是多少平方米？（π取3.14） (2)如果每平方米需要铺设地砖12块，铺设这条健身步道一共需要多少块地砖？ 题型六：圆心角计算 例13．（25-26六年级下·上海金山·月考）若扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径是原来的，则扇形弧长为原来的（   ） A． B． C．3倍 D．1倍 例14．（25-26六年级下·上海·期中）如果一条弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为________度． 变式1．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，将一张圆形纸片剪开成甲乙两个扇形，如果甲扇形所在的弧长是60厘米．乙扇形所在的弧长是40厘米，则甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大______度． 变式2．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知圆的周长厘米和弧长厘米，求圆心角 变式3．（24-25六年级下·上海·期中）在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14） 题型七：弧长计算 例15．（24-25六年级下·上海·阶段检测）如果扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，那么扇形的弧长（    ） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大为原来的2倍 例16．（25-26六年级下·上海静安·期中）若扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么所对的弧长是原弧长的_______． 变式1．（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图所示，把一个圆心角为的扇形沿着半径剪开，再拼成一个近似长方形，其中，那么_______． 变式2．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，用一个滑轮和一个半径为的滑轮组成一个滑轮组用来拉重物上升，如果滑轮旋转了，假设钢绳粗细不计并都铅直于地面，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________．（结果保留） 变式3．（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图，已知折扇的骨柄的长度为，扇面部分宽度为，折扇展开的角度是，求这把扇子完全展开后扇面部分（阴影部分）的周长（取3．14）． 题型八：规律探究 例17．（25-26六年级下·上海·期中）如图，六边形ABCDEF是正六边形（即六条边相等，六个角都是），曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧，弧，弧，的圆心依次按点循环，其弧长分别记为，，，，，，……．当时，等于（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26六年级下·上海·期中）如图，在正方形格点图中，每个小正方形边长为1，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧，…的圆心依次按，，循环，当时，弧的长为___________． 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中， 变式2．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，把一把三角尺的一边紧贴在直线l上，，，，将三角尺沿着直线l作顺时针方向的滚动．当三角尺的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．从初始位置开始至少经过______个周期，点A走过的路程就会超过10． 变式3．（24-25六年级下·上海普陀·期中）在大自然中，藏着一组神奇又和谐的数字规律，从花朵的花瓣排布，贝壳的纹路，蕨类植物的生长，到建筑物，艺术作品的大小设计，都能找到它的身影．如图，以中间最小的边长为1的两个正方形为起点，依次按图中规律画出另外5个正方形，以O为圆心，1为半径画出两段长度相同的弧，，再分别以点A、B、C、D、E为圆心依次画出弧，、、、，按此规律继续画下去，就能得到著名的“黄金螺旋”． (1)请求出图中已画出的黄金螺旋线的长度（结果保留）； (2)如图，将此图形裁切下来，剪掉阴影部分，请求出剪出的“贝壳”图形的面积（结果保留）； (3)为什么将此曲线称为“黄金螺旋”？请按要求填空并完成猜想： ，，，，，，______（填分数）=______（填小数，小数点后保留三位，，信息自己推导），以此类推，我们猜测第n条弧长与第条弧长的比值逐渐接近于______（保留2位小数），此数接近于著名的黄金分割数，它广泛应用于建筑、艺术等领域，可以使作品达到最和谐的视觉效果． 题型九：扇形面积计算 例18．（25-26六年级下·上海·期中）小明测得自家圆形时钟分针针尖到圆心的距离为，则经过25分钟，分针针尖所扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）圆心角为的扇形面积为，此扇形所在圆的面积为___________．（π取3.14） 变式2．（22-23六年级上·上海·月考）一个扇形，圆心角是，圆心角所对的弧长是，这个扇形的面积是__________ cm2 变式3．（25-26六年级下·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推得公式： ① ，并通过比较扇形面积公式与弧长公式 ② ，得出扇形面积的另一种计算方法 ③ ．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题II：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，求花坛的面积． (1)完成上述填空：①________；②________；③________，并请你解答问题I；（结果保留） (2)在解决问题II的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） 题型十：组合阴影面积计算 例19．（2025六年级下·上海·专题练习）如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米． A．16 B． C． D．无法确定 例20．（25-26六年级下·上海宝山·期中）图中两块阴影部分的面积之和为______平方厘米（结果保留）． 例21．（25-26六年级下·上海·期中）求图形中涂色部分的周长与面积．（取3.14） 例22．（22-23六年级·上海·暑假作业）如图，正方形边长是10厘米，长方形的长为8厘米，宽为5厘米．阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？    变式1．（25-26六年级下·上海·期中）下面有四个图形，正方形大小相等，与左边阴影部分面积相等的有几张图片（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，扇形的半径厘米，，分别以、的中点、为圆心，、为直径作半圆，则圆中阴影部分的面积为_____平方厘米（取）． 变式3．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，是正方形和半圆形的组合，点是半圆弧的中点，已知正方形的边长为，则图中阴影部分面积为___________． 变式4．（2026六年级下·上海·专题练习）求阴影部分面积（结果保留）． 变式5．（25-26六年级下·上海静安·期中）已知数据如图中标识，点在同一条直线上，是中点，以为圆心，为半径作与平行，与垂直．（取） (1)求阴影部分的周长； (2)求阴影部分的面积． 易错点1：混淆半径、直径关系，周长计算漏乘2 错误原因：已知周长求半径时，忘记周长公式含“2π”，直接用周长÷π，导致半径算错。 配套例题：一个圆的周长是18.84cm，求这个圆的半径。 正确解答： 圆的周长公式： 答：圆的半径为3cm。 避错口诀：求半径先除2，直径直接除π。 易错点2：圆的周长、面积公式混用 错误原因：周长是长度（无平方），面积是平面大小（带平方），做题时常代错公式、写错单位。 配套例题：一个圆的直径为8m，分别求出它的周长和面积。 正确解答： 周长： 半径： 面积： 答：周长25.12m，面积50.24m²。 避错口诀：周长乘直径，面积方半径，单位分清有无平方。 易错点3：半圆周长只算弧长，忘记加直径 错误原因：半圆周长≠圆周长的一半，很多学生遗漏直径这条直边，是本章最高频错题。 配套例题：一个半径为4cm的半圆，求它的周长。 正确解答： 半圆弧长： 加上直径： 半圆周长： 答：半圆周长为20.56cm。 避错口诀：半圆周长=半弧+直径，绝对不能只算弧。 易错点4：扇形圆心角占比计算错误，公式乱用 错误原因：不会根据圆心角判断扇形占整圆的比例，计算时约分出错。 配套例题：一个扇形圆心角为60°，半径6cm，求扇形的面积。 正确解答： 扇形面积公式：（n为圆心角度数） 答：扇形面积为18.84cm²。 避错口诀：面积看平方，角度分三百六，先约分再计算。 易错点5：圆环面积内外半径颠倒、不会平方差 错误原因：用内圆减外圆，或忘记平方，直接用半径相减。 配套例题：一个圆环，外圆半径5dm，内圆半径3dm，求圆环面积。 正确解答： 圆环面积公式：（R外半径，r内半径） 答：圆环面积为50.24dm²。 避错口诀：大圆减小圆，先平方再相减。 易错点6：扇形弧长公式误用半径平方 错误原因：混淆弧长和面积公式，弧长是长度，不需要平方。 配套例题：圆心角90°，半径10cm，求扇形的弧长。 正确解答： 扇形弧长公式： 答：弧长为15.7cm。 避错口诀：弧长无平方，面积必平方，两个公式分清。 易错点7：单位不统一，直接代入计算 错误原因：题目单位混搭（米、厘米、分米），未统一单位直接计算，结果全部出错。 配套例题：圆的半径0.3米，求这个圆的面积（结果单位：平方厘米）。 正确解答： 先统一单位： 答：圆的面积为2826cm²。 避错口诀：做题先看单位，不统一先换算。 易错点8：组合图形周长重复计算、遗漏线段 错误原因：分不清周长和面积，组合图形容易多算内部线条、少算外围线条。 配套例题：正方形边长6cm，内部画出最大的圆，求阴影图形的外围总周长。 正确解答： 分析：外围周长=正方形周长+内部最大圆的周长 正方形周长： 圆直径=正方形边长=6cm，圆周长： 总周长： 答：外围总周长为42.84cm。 避错口诀：周长只算外围边线，内部重合线不算，缺线补全、多余删除。 一、圆的半径、直径、周长计算 解题技巧 半径与直径换算公式： 整圆周长公式： 易错重点：半圆周长≠圆周长的一半，半圆周长=，必须加上直径长度，是高频易错点 配套例题 已知圆的半径为4cm，求该圆的周长和半圆的周长。 解题过程： 整圆周长： 半圆周长： 答案：圆周长为，半圆周长为 二、圆的面积计算 解题技巧 圆的面积核心公式： 解题关键：题目给出直径、周长时，先换算求出半径，再代入公式计算，切记是半径的平方，不是直径平方 配套例题 已知圆的直径为10dm，求该圆的面积。 解题过程： 半径： 圆面积： 答案：圆的面积为 三、圆环面积计算 解题技巧 圆环面积=外圆面积-内圆面积，通用公式： 为外圆半径，为内圆半径，可利用平方差公式简便计算，提升解题速度 配套例题 一个圆环，外圆半径6cm，内圆半径3cm，求圆环的面积。 解题过程： 答案：圆环面积为 四、扇形弧长计算 解题技巧 扇形弧长本质：圆心角占360°的比例 × 整圆周长 核心公式：（为扇形圆心角度数，为圆的半径） 配套例题 已知扇形半径6cm，圆心角60°，求扇形的弧长。 解题过程： 答案：扇形弧长为 五、扇形面积计算 解题技巧 扇形面积本质：圆心角占360°的比例 × 整圆面积 核心公式： 可结合弧长公式推导：（已知弧长时可快速计算） 配套例题 已知扇形半径8cm，圆心角90°，求扇形的面积。 解题过程： 答案：扇形面积为 六、扇形周长计算 解题技巧 易错重点：扇形周长≠扇形弧长，完整周长=弧长+两条半径的长度 通用公式： 配套例题 已知扇形半径5cm，圆心角72°，求扇形的周长。 解题过程： 先求弧长： 扇形周长： 答案：扇形周长为 七、圆与扇形组合图形计算（割补法） 解题技巧 核心思路：拆分复杂图形，转化为正方形、长方形、圆、半圆、扇形、圆环等基础图形 常用方法：整体减空白、分割求和、割补平移，通过加减基础图形面积/周长求解阴影部分 配套例题 在边长为8cm的正方形内画一个最大的圆，求正方形内剩余阴影部分的面积。 解题过程： 正方形面积： 最大圆的半径： 圆的面积： 阴影面积： 答案：阴影部分面积为 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与扇形 考点1 圆的基本概念与性质 1. 圆的定义：平面上到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的所有点组成的封闭曲线图形。 2. 核心线段定义： 半径（r）：连接圆心与圆上任意一点的线段。 直径（d）：经过圆心，且两端都在圆上的线段。 3. 同圆/等圆的基本关系：、 4. 圆的特征：一个圆有无数条半径、无数条直径；圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，有无数条对称轴。 考点2 圆周率π 1. 定义：圆的周长与它直径的比值叫做圆周率，用字母表示。 2. 性质：是无限不循环小数，日常计算中取近似值。 考点3 圆的周长公式 1. 整圆周长： 2. 半圆周长（高频易错）：半圆周长=半圆弧长+直径，公式： ⚠️ 注意：半圆周长不是圆周长的一半，必须加直径长度。 考点4 圆的面积与圆环面积 1. 圆的面积公式： 2. 圆环定义：两个同心圆之间的区域（外圆半径R，内圆半径r） 3. 圆环面积公式： 考点5 弧、圆心角与扇形基础 1. 弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2. 圆心角：顶点在圆心，两条边与圆相交的角叫做圆心角。 3. 扇形定义：由两条半径和它所对的一段弧围成的封闭图形叫做扇形。 考点6 弧长公式 圆心角为、半径为r的弧长： 考点7 扇形面积与周长 1. 扇形面积两个公式： 角度公式： 弧长公式： 2. 扇形周长（高频易错）：扇形周长=弧长+两条半径，公式： 考点8 组合图形与阴影面积 常用解题方法：割补法、平移法、旋转法、容斥原理、加减面积法。 常见题型：正方形/长方形内接圆、半圆与多边形组合、圆环拼接、弓形阴影面积计算。 题型一：概念辨析题（选择判断高频） 例1．（25-26六年级下·上海普陀·期中）下列说法中错误的是（    ） A．一个圆的大小与它的半径有关 B．是无限不循环小数 C． D．是圆的周长与它的直径的比值 【答案】C 【知识点】 圆的概念及特点、 圆的周长 【分析】根据的定义与性质逐一判断选项． 【详解】解：选项：圆的大小由半径决定，半径越大圆越大，说法正确，不符合题意； 选项：是无限不循环小数，说法正确，不符合题意； 选项：只是的近似值，并不等于，说法错误，符合题意； 选项：根据定义，是圆的周长与它的直径的比值，说法正确，不符合题意． 例2．（2025六年级下·上海·专题练习）下列信息中，不一定能求出圆周长的是（ ）． A．圆规两脚间的距离 B．圆形纸片对折一次后折痕的长度 C．两端在圆上的线段的长度 D．分针尖端转动周的路程 【答案】C 【知识点】 圆的概念及特点、 圆的周长 【分析】本题考查的知识点是圆的周长、圆的概念及特点，解题关键是熟练掌握圆的周长公式． 根据圆的周长公式可知，当知道圆的半径或者直径的时候，即可求出圆的周长，圆的直径是经过圆心的线段，并且两端在圆上．据此逐项分析即可． 【详解】解：选项，圆规两脚间的距离是圆的半径，可以求出圆的周长，不符合题意，选项错误； 选项，圆形纸片对折一次后折痕的长度，是圆的直径，可以求出圆的周长，不符合题意，选项错误； 选项，两端在圆上的线段，这条线段不清楚是否经过圆心，所以不一定能求出圆的周长，符合题意，选项正确； 选项，分针尖端转动周的路程，转动一周的路程是圆的周长，用转动周的路程除以即可求出圆的周长，不符合题意，选项错误． 故选：． 例3．（25-26六年级下·上海崇明·期中）下列说法中错误的是（   ） A．是圆的周长与直径的比 B．的值与圆的大小无关 C．是一个无限不循环小数 D．的值等于 【答案】D 【分析】本题考查圆周率的相关概念，根据圆周率的定义和性质逐一判断选项即可求解； 【详解】解：∵ 圆周率的定义是圆的周长与直径的比，∴ A选项说法正确，不符合题意. ∵ 是固定常数，与圆的大小无关，∴ B选项说法正确，不符合题意. ∵ 是一个无限不循环小数，∴ C选项说法正确，不符合题意. ∵ 只是的近似值，并不等于，∴ D选项说法错误，符合题意. 故选D； 变式1．（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）扇形面积的大小是由下列什么条件决定的（    ） A．扇形的半径 B．扇形的圆心角 C．扇形的弧长 D．扇形的圆心角和半径 【答案】D 【分析】根据扇形面积公式即可判断决定扇形面积大小的条件． 【详解】解：∵扇形面积公式为，其中为扇形圆心角的度数，为扇形的半径， ∴扇形面积的大小由圆心角和半径共同决定． 变式2．（25-26六年级下·上海·期中）为了把扇形的面积扩大到原来的4倍，假设变换后的图形仍为扇形，在下列做法中，能达到目的的有（   ） ①半径不变，把圆心角扩大到原来的4倍； ②圆心角不变，把半径扩大到原来的2倍； ③圆心角扩大到原来的16倍，半径缩小到原来的． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】先写出扇形面积公式，分别计算三种变换后的扇形面积，与原面积比较，得到符合要求的做法个数，即可得到答案． 【详解】解：设原扇形的圆心角为，半径为，根据扇形面积公式，原面积， ① 半径不变，圆心角扩大到原来的4倍，新圆心角为，则新面积，符合要求； ② 圆心角不变，半径扩大到原来的2倍，新半径为，则新面积，符合要求； ③ 圆心角扩大到原来的16倍，半径缩小到原来的，新圆心角为，新半径为，则新面积，符合要求， 因此3种做法都能达到目的． 变式3．（25-26六年级下·上海虹口·期中）下列说法错误的是（） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 C．圆周长与该圆半径的比值是定值 D．圆周率π的值与圆的大小无关 【答案】B 【详解】解：A.圆的周长公式为，周长相等时，半径一定相等，说法正确，不符合题意； B.弧长由圆的半径和圆心角共同决定，只有在同圆或等圆中，弧长相等的两条弧所对的圆心角才相等，原说法没有限定条件，说法错误，符合题意； C.圆周长与半径的比值为，是定值，说法正确，不符合题意； D.圆周率是固定常数，其值与圆的大小无关，说法正确，不符合题意． 变式4．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）下列语句正确的是（    ） A．弧所在的圆的半径越大，则弧越长 B．弧对应的圆心角越大，则弧越长 C．圆的半径扩大倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大倍 D．圆的半径不变，圆心角扩大倍，则对应的扇形面积扩大倍 【答案】D 【详解】解：A、弧长与半径和圆心角有关，弧所在的圆的半径越大，弧不一定越长，原说法错误； B、弧长与半径和圆心角有关，弧对应的圆心角越大，弧不一定越长，原说法错误； C、圆的半径扩大倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大倍，原说法错误； D、圆的半径不变，圆心角扩大倍，则对应的扇形面积扩大倍，原说法正确. 变式5．（25-26六年级下·上海·阶段检测）下列说法中正确的个数有（   ） ①圆的面积一定不是有理数； ②优弧的弧长一定大于劣弧的弧长； ③圆的周长一定大于半圆的周长； ④圆的面积一定大于半圆的面积． A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题需要逐个判断每个说法的正误，通过举反例可说明四个说法均不成立，因此正确个数为0. 【详解】解： ①对于圆的面积，若，则，1是有理数，因此说法①错误. ②优弧和劣弧的大小比较默认是在同圆或等圆中，题干未限定同圆或等圆，若两个圆半径不同，例如：半径为1的圆中优弧长大于，半径为10的圆中劣弧长可以取，显然，因此说法②错误. ③没有说明是同一个圆，例如：半径为10的半圆周长为，半径为1的圆周长为，显然大圆的半圆周长大于小圆的圆周长，因此说法③错误. ④没有说明是同一个圆，例如：半径为10的半圆面积为，半径为1的圆面积为，显然，因此说法④错误. 四个说法全部错误，正确个数为0，因此选A. 题型二：圆的周长计算（含半圆周长） 例4．（23-24六年级·上海徐汇·期末）一个半圆面，半径是r，它的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 组合图形的周长 【分析】根据题意：一个半圆面，半径是r，可先求出这个半圆面所在的整个圆的周长，再除以2加上它的直径即可． 【详解】解：已知半径是r， 半圆面的周长 ； 答：它的周长是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查的是已知半圆的半径求半圆的周长的知识． 例5．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）将一个周长为厘米的圆形纸片对折，沿着折痕将它剪成两个半圆形，每个半圆形的周长是_______厘米． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】根据圆的周长公式求出这个圆形纸片的直径，再根据半圆形的周长为圆周长的一半加圆的直径列式求解即可． 【详解】解：厘米， 厘米， 故每个半圆形的周长是厘米． 例6．（24-25六年级下·上海金山·阶段检测）下列说法中，错误的有______（填序号） ①如果甲圆的直径是乙圆直径的6倍，那么甲圆的面积是乙圆面积的9倍； ②如果两个数的比值是真分数，则这个比的前项一定小于后项； ③比的前项与后项都乘以相同的自然数，比值不变； ④周长相等的两个半圆一定能够重合； ⑤商店6月份用电1800度，比原计划节约了1成，则原计划6月份用电1980度； ⑥圆心角相等，所对的弧的长也相等． 【答案】①③⑤⑥ 【知识点】 折扣问题、 求比值、 圆的周长、 圆的面积 【分析】本题考查了圆的面积、比、圆的周长、百分数．根据相关概念判断即可． 【详解】解：①如果甲圆的直径是乙圆直径的6倍，那么甲圆的面积是乙圆面积的36倍，原说法错误； ②如果两个数的比值是真分数，则这个比的前项一定小于后项，原说法正确； ③比的前项与后项都乘以相同的自然数（0除外），比值不变，原说法错误； ④周长相等的两个半圆一定能够重合，原说法正确； ⑤商店6月份用电1800度，比原计划节约了1成，则原计划6月份用电度，原说法错误； ⑥在同圆和等圆中，圆心角相等，所对的弧的长也相等，原说法错误； 综上，错误的有①③⑤⑥． 故答案为：①③⑤⑥． 变式1．（25-26六年级下·上海静安·期中）我们在已知圆周长公式的基础上可以运用“化曲为直”的方法推导圆的面积公式，如下图，将一个圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似平行四边形的图形，它的一边长相当于圆的（   ） A．圆周长的一半 B．直径 C．半径 D．圆周长 【答案】A 【知识点】 圆的周长 【详解】解：由图可知，将圆平均分成16份，拼成一个近似的平行四边形， ∵平行四边形的底边 a 是由圆周长的一半（即8份扇形的弧长）组成的， ∴a 相当于圆周长的一半． 变式2．（25-26六年级下·上海宝山·期中）一个半圆形的直径是，那么它的周长是_____（π取3.14）． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】先根据圆的公式计算圆的周长，得到半圆的弧长，即可求半圆形的周长． 【详解】解：∵半圆形的直径是， ∴圆的周长为， ∴半圆形的圆弧长为 ∴半圆形的周长为． 变式3．（25-26六年级下·上海·期中）如图，把一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的平行四边形，新图形的周长比圆的周长多10厘米，则这个圆的周长是___________米（取）． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】根据图形可知，新图形的周长比圆的周长多了圆的两个半径，继而求出圆的直径，再利用圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题意得，新图形的周长比圆的周长多10厘米， ∴圆的半径为厘米， ∴这个圆的周长是厘米米． 变式4．（2025六年级下·上海·专题练习）计算各圆的周长． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】本题主要考查小数与小数的乘法、小数与整数的乘法、圆的周长、圆的概念及特点； （1）根据圆的周长公式，代入数据计算即可． （2）根据圆的周长公式，代入数据计算即可． （3）根据圆的周长公式，代入数据计算即可． （4）根据圆的周长公式，代入数据计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型三：求扇形半径 例7．（24-25六年级下·上海·月考）一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形半径 【分析】此题考查了扇形弧长，设这个扇形的半径为根据题意列方程求解即可． 【详解】∵一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为， ∴设这个扇形的半径为 ∴ ∴ ∴这个扇形的半径为． 故选：A． 变式1．（24-25六年级下·上海青浦·期末）一个扇形的圆心角为，面积为平方厘米，则这个扇形的半径是________厘米．（取） 【答案】 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查求扇形的半径，解题的关键是熟练掌握扇形半径、圆心角与面积之间的关系． 根据扇形半径、圆心角与面积之间的关系，代入数据计算即可． 【详解】解：扇形半径的平方为：（平方厘米） ∴扇形的半径为厘米， 故答案为：． 变式2．（24-25六年级下·上海长宁·期中）如果一条弧长为，圆弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的半径是 _______ （π取）． 【答案】15 【知识点】求扇形半径 【分析】的圆心角所对的弧长，再设出圆的半径，代入已知条件列方程即可求解． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为， 根据弧长公式，得． 整理计算得 ． 解得 ． 变式3．（2022六年级上·上海·专题练习）一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 【答案】4cm 【知识点】求扇形半径 【分析】根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：设该弧所在圆的半径为rcm，由弧长公式，得 解得：； ∴该弧所在圆的半径为4cm． 【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 题型四：圆的面积计算 例8．（25-26六年级下·上海宝山·期中）若两个圆的半径之比为，那么它们的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 圆的面积 【分析】本题考查圆的面积公式的应用，利用圆的面积公式结合已知半径比，即可计算得到面积比． 【详解】解：设两个圆的半径分别为和， 则两个圆的面积分别为，， 面积之比为． 例9．（25-26六年级下·上海宝山·期中）在一张长为5厘米，宽为4厘米的长方形纸片上，剪一个最大的圆，此圆的面积是____平方厘米． 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】在长方形纸片上剪最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，先求出圆的半径，再代入圆的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，该最大圆的直径为厘米， 则圆的半径为 厘米， 圆的面积为（平方厘米）． 变式1．（25-26六年级下·上海·期中）某款扫地机器人在一块长方形场地内移动过程中，可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯．如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为40厘米的圆盘．那么机器人在扫地时底面覆盖不到的面积约为（    ）（的值取3） A．400平方厘米 B．600平方厘米 C．1200平方厘米 D．1600平方厘米 【答案】A 【知识点】 圆的面积 【分析】利用边长为40厘米的正方形面积减去直径为40厘米的圆盘面积即可． 【详解】解：∵扫地机器人的底面是一个直径为40厘米的圆盘． ∴机器人在扫地时底面覆盖不到的面积约为： （平方厘米）． 变式2．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，把圆等分成若干份，然后将它拼成一个近似的长方形．如果长方形的周长比原来圆的周长增加了20厘米，那么圆的面积是______． 【答案】314 【知识点】 圆的面积 【分析】此题考查图形的剪拼．根据题意，将圆拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径解答即可． 【详解】解：将圆拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径， 可得：长方形的周长比原来圆的周长增加了圆的直径，直径为20厘米，半径为10厘米， 圆的面积为：． 变式3．（25-26六年级下·上海·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，A组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，A组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） (1)已知线段，一个半径长为1的圆，沿着滚动，组内同学经过讨论，画出了圆的运动过程的图形，如图1所示．则圆扫过的面积是 ． (2)如图2，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． (3)如图3，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】 圆的面积、扇形的周长和面积 【分析】（1）由图可知，扫过的区域为一个长为，宽为的长方形和一个半径为的圆； （2）由作图可知，扫过的面积为长方形的面积和长方形的面积加上一个半径为1的圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于一个边长为1的正方形面积减去个半径为1的圆的面积； （3）由作图可知，扫过的面积为长方形的面积和长方形的面积加上一个半径为1的圆的面积和一个圆心角为直角，半径为2的扇形的面积． 【详解】（1）解：由图可知，扫过的区域为一个长为，宽为的长方形和一个半径为的圆， ∴扫过的面积为； （2）解：该圆滚动过程如图， 由图可知，扫过的面积为长方形的面积和长方形的面积加上一个半径为1的圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于一个边长为1的正方形的面积减去个半径为1的圆的面积， ∴扫过的面积为； （3）解：该圆滚动过程如图， 由图可知，扫过的面积为长方形的面积和长方形的面积加上一个半径为1的圆的面积和一个圆心角为直角，半径为2的扇形的面积， ∴扫过的面积为． 题型五：圆环面积计算 例10．（25-26六年级下·上海闵行·期中）在研究圆环面积时，可以借助研究圆面积公式时所用的方法，将圆环无限等分，拼成一个平行四边形，若圆环的外圆半径为，小圆半径为，则如图所示平行四边形的底边可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 圆的周长、圆环的面积 【分析】求出外圆和内圆的周长之和，而平行四边形的上下底边相等且等于两个圆周长的一半，据此可得答案． 【详解】解：， 故该平行四边形的底边可以表示为． 例11．（25-26六年级下·上海·期中）如图所示，一个环形铁片的外圆半径是，内圆半径是．则它的面积是______ ．（π取） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】根据圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，结合圆的面积公式求解即可． 【详解】解：圆环的面积 ． 例12．（25-26六年级下·上海宝山·期中）如图是一个圆环，外圆半径，内圆半径，求这个圆环的面积． 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】根据圆的面积公式求出外圆和内圆的面积，利用圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积进行计算即可． 【详解】解：外圆的面积为， 内圆的面积为， 则圆环的面积为：． 变式1．（2026六年级下·上海·专题练习）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是_________ ． 【答案】94.2 【知识点】圆环的面积 【分析】根据阴影部分的面积为大三角形的面积减去小三角形的面积，大三角形的面积等于大圆半径的平方除以2，小三角形面积同理即可解答． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为， 则， ， 圆环的面积是． 变式2．（25-26六年级下·上海闵行·期中）已知一个圆形的喷泉，喷水区域的直径为8米，在喷泉外围要铺一条1米宽的鹅卵石小路，则这条小路的占地面积是_______平方米． 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】小路的占地面积为圆环的面积，先求出内圆半径和外圆半径，再利用圆的面积公式，用外圆面积减去内圆面积即可得到结果． 【详解】解：米， 米， 平方米， 则这条小路的占地面积是平方米． 变式3．（2026六年级下·上海·专题练习）求如图阴影部分的面积； 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】阴影部分的面积大圆的面积小圆的面积，由此即可计算． 【详解】解： ． 变式4．（25-26六年级下·上海·期中）某社区进行“幸福社区改造项目”．现有一个直径是20米的圆形活动广场，社区计划在广场外围修一条宽1米的环形健身步道． (1)这条健身步道的面积是多少平方米？（π取3.14） (2)如果每平方米需要铺设地砖12块，铺设这条健身步道一共需要多少块地砖？ 【答案】(1)这条健身步道的面积是平方米 (2)铺设这条健身步道一共需要792块地砖. 【知识点】圆环的面积 【分析】（1）用大圆的面积减去小圆的面积进行求解即可； （2）用（1）中的结果乘以每平方米需要铺设的地砖数量，即可得出结果. 【详解】（1）解：（平方米）； 答：这条健身步道的面积是平方米； （2）解：， 因为地砖的数量应为整数， 故铺设这条健身步道一共需要792块地砖. 题型六：圆心角计算 例13．（25-26六年级下·上海金山·月考）若扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径是原来的，则扇形弧长为原来的（   ） A． B． C．3倍 D．1倍 【答案】D 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、扇形的周长和面积 【分析】设出原扇形的圆心角和半径，分别表示出原弧长和变化后的弧长，对比即可得到结果； 【详解】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为， 则原扇形弧长 ， 变化后圆心角为，半径为， ∴变化后扇形弧长 ， ∴变化后的扇形弧长为原来的1倍． 例14．（25-26六年级下·上海·期中）如果一条弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为________度． 【答案】 【知识点】求圆心角 【分析】根据弧长占所在圆周长的比例等于弧所对的圆心角占周角的比例，可得这条弧所对的圆心角是的，计算即可得到结果． 【详解】解：一条弧长是其所在圆周长的， 这条弧所对的圆心角是． 变式1．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，将一张圆形纸片剪开成甲乙两个扇形，如果甲扇形所在的弧长是60厘米．乙扇形所在的弧长是40厘米，则甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大______度． 【答案】72 【知识点】求圆心角 【分析】根据甲、乙两个扇形的弧长，结合甲、乙两个扇形的圆心角度数之和为360度求出甲、乙两个扇形的圆心角度数即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大． 变式2．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知圆的周长厘米和弧长厘米，求圆心角 【答案】 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了求圆心角的知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 用弧长除以周长再乘以即可求解． 【详解】解：， 答：圆心角为． 变式3．（24-25六年级下·上海·期中）在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14） 【答案】 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式的运用，解题关键是熟记弧长公式，准确进行计算． 【详解】解：半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，设圆心角的度数为n度, 所以, 解得，， 这个圆心角的度数为． 题型七：弧长计算 例15．（24-25六年级下·上海·阶段检测）如果扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，那么扇形的弧长（    ） A．不变 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大为原来的2倍 【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式可得弧长，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长扩大为原来的2倍，即可求解． 【详解】解：弧长公式可得弧长， 如果扇形的半径不变，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长为， ∴扇形的弧长扩大为原来的2倍， 故选：D． 例16．（25-26六年级下·上海静安·期中）若扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么所对的弧长是原弧长的_______． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长，设出原扇形的半径与圆心角，利用弧长公式分别得到原弧长和变化后弧长的表达式，计算变化后弧长与原弧长的比值，即可得到结果． 【详解】解：设原扇形的半径为，圆心角为， 由题意得，变化后扇形的半径为，圆心角为， 则变化后的弧长：， ． 变式1．（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图所示，把一个圆心角为的扇形沿着半径剪开，再拼成一个近似长方形，其中，那么_______． 【答案】9 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】根据扇形剪拼成长方形的原理，长方形的长等于扇形弧长的一半，宽等于扇形的半径，结合弧长公式建立方程求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为， 由图形变换可知，拼成的近似长方形的长等于扇形弧长的一半，宽等于扇形的半径， 故， 解得； 故. 变式2．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，用一个滑轮和一个半径为的滑轮组成一个滑轮组用来拉重物上升，如果滑轮旋转了，假设钢绳粗细不计并都铅直于地面，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________．（结果保留） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题是数学与物理的综合题，利用弧长公式求出钢绳移动的距离，再结合物理知识中使用动滑轮可以省力，同时物体上升的高度是钢绳移动距离的一半来求解． 【详解】解：滑轮旋转了，则钢绳的移动距离为， ∵滑轮是动滑轮， ∴物体上升的高度是钢绳移动距离的一半， ∴物体上升的高度是． 变式3．（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图，已知折扇的骨柄的长度为，扇面部分宽度为，折扇展开的角度是，求这把扇子完全展开后扇面部分（阴影部分）的周长（取3．14）． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：阴影部分的周长为 答：阴影部分的周长为 ． 题型八：规律探究 例17．（25-26六年级下·上海·期中）如图，六边形ABCDEF是正六边形（即六条边相等，六个角都是），曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧，弧，弧，的圆心依次按点循环，其弧长分别记为，，，，，，……．当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形的周长和面积、探索规律 【分析】利用弧长公式，分别计算出，…的长，寻找其中的规律，确定的长． 【详解】解：根据题意得正六边形的外角为，且． 则， ， π， ， ··· 按照这种规律可以得到： ， 所以． 变式1．（25-26六年级下·上海·期中）如图，在正方形格点图中，每个小正方形边长为1，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧，…的圆心依次按，，循环，当时，弧的长为___________． 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中， 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式与规律探究；解题的关键是准确分析渐开线中每段弧的半径、圆心角变化规律，再结合弧长公式计算． 先确定每段弧的圆心角均为，再分析半径的递推规律，得出第段弧的半径公式，最后代入弧长公式计算弧的长度． 【详解】解：由题意，每段弧的圆心角均为， 已知，四边形为正方形， 第1段弧：圆心为，半径， 第2段弧：圆心为，半径， 第3段弧：圆心为，半径， 第4段弧：圆心为，半径， 由此可得第段弧的半径为： 弧长公式为： 其中，故第段弧长： 弧为第2024段弧，代入，得：． 故答案为：． 变式2．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，把一把三角尺的一边紧贴在直线l上，，，，将三角尺沿着直线l作顺时针方向的滚动．当三角尺的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．从初始位置开始至少经过______个周期，点A走过的路程就会超过10． 【答案】22 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了轨迹，弧长计算公式；当三角形的放置方式与初始的放置方式一样时，旋转为一个周期，点A走过的路程为以为半径和以为半径的两个扇形的弧长，据此计算即可． 【详解】解：∵三角尺的一边紧贴在直线l上，，，， ∴点A走过的路程为以为半径，圆心角为的扇形的弧长和以为半径，圆心角为的扇形的弧长， ∴三角尺旋转一个周期，点A走过的路程为， ∵，， ∴， ∴至少经过22个周期． 变式3．（24-25六年级下·上海普陀·期中）在大自然中，藏着一组神奇又和谐的数字规律，从花朵的花瓣排布，贝壳的纹路，蕨类植物的生长，到建筑物，艺术作品的大小设计，都能找到它的身影．如图，以中间最小的边长为1的两个正方形为起点，依次按图中规律画出另外5个正方形，以O为圆心，1为半径画出两段长度相同的弧，，再分别以点A、B、C、D、E为圆心依次画出弧，、、、，按此规律继续画下去，就能得到著名的“黄金螺旋”． (1)请求出图中已画出的黄金螺旋线的长度（结果保留）； (2)如图，将此图形裁切下来，剪掉阴影部分，请求出剪出的“贝壳”图形的面积（结果保留）； (3)为什么将此曲线称为“黄金螺旋”？请按要求填空并完成猜想： ，，，，，，______（填分数）=______（填小数，小数点后保留三位，，信息自己推导），以此类推，我们猜测第n条弧长与第条弧长的比值逐渐接近于______（保留2位小数），此数接近于著名的黄金分割数，它广泛应用于建筑、艺术等领域，可以使作品达到最和谐的视觉效果． 【答案】(1) (2) (3)，， 【知识点】探索规律、扇形的周长和面积 【分析】（1）分别求出弧，，，、、、的半径，再根据各弧长等于对应圆周长的求出各弧长，求和即可解答； （2）剪出的“贝壳”图形可看作由5部分组成，分别求出各部分的面积，再求和即可； （3）分析弧，，，、、、的半径的规律，得到弧，的半径，求出弧长，即可解答． 【详解】（1）解：弧的半径为1，弧长为， 弧的半径为1，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 所以画出的黄金螺旋线的长度为． （2）解：弧，，所在的正方形组成的长方形的面积为， 弧所在的扇形（即①部分）的面积为， 弧所在的扇形（即②部分）的面积为， 弧所在的扇形（即③部分）的面积为， ④部分的面积为， 所以剪出的“贝壳”图形的面积为 （3）解：由（1）有： 弧的半径为1， 弧的半径为1， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 以此类推， 弧的半径是弧与弧的半径之和，即为， 弧的半径是弧与弧的半径之和，即为， 所以弧的长为，弧的长为， ， 以此类推，猜测第n条弧长与第条弧长的比值逐渐接近于． 题型九：扇形面积计算 例18．（25-26六年级下·上海·期中）小明测得自家圆形时钟分针针尖到圆心的距离为，则经过25分钟，分针针尖所扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】先求出25分钟分针转过的圆心角度数，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】解：∵分针分钟转一圈，转过的总角度为， ∴分针每分钟转过的角度为， ∴分钟转过的圆心角， 已知分针转动的圆半径，扇形面积公式为， 代入得. 变式1．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）圆心角为的扇形面积为，此扇形所在圆的面积为___________．（π取3.14） 【答案】1256 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】根据扇形面积与所在圆面积的关系，扇形面积占所在圆面积的比例等于扇形圆心角与周角的比值，已知扇形面积和圆心角，即可求出所在圆的面积． 【详解】解：由题意得：． 变式2．（22-23六年级上·上海·月考）一个扇形，圆心角是，圆心角所对的弧长是，这个扇形的面积是__________ cm2 【答案】 【知识点】求扇形面积、求扇形半径 【分析】根据扇形弧长公式求出半径，再根据扇形面积公式 直接计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查求扇形的面积，解题关键是熟记扇形面积公式． 变式3．（25-26六年级下·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推得公式： ① ，并通过比较扇形面积公式与弧长公式 ② ，得出扇形面积的另一种计算方法 ③ ．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题II：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，求花坛的面积． (1)完成上述填空：①________；②________；③________，并请你解答问题I；（结果保留） (2)在解决问题II的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） 【答案】(1)；；； (2)他的猜想正确，推导过程见解析 (3) 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、扇形的周长和面积 【分析】（1）根据扇形面积公式和弧长公式可得①②③处的答案；根据弧长公式求出半径R，再根据③处推导的结果可求出对应的扇形面积； （2）设大扇形的半径为R，小扇形的半径为r，圆心角度数为n，根据弧长公式可推出，则花坛的面积，进一步可得，再结合所给公式推导即可； （3）根据（2）推导的公式求解即可． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推得公式：，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：∵， ∴， ∴； （2）解：他的猜想正确．推导如下： 解：设大扇形的半径为R，小扇形的半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ． 题型十：组合阴影面积计算 例19．（2025六年级下·上海·专题练习）如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米． A．16 B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】扇形的周长和面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查圆的面积的应用，掌握圆的面积公式是解题关键．观察图形可知，阴影部分是3个半径为4厘米的扇形，它们的圆心角之和等于三角形的内角和，由此可知，3个阴影扇形可以组成半径为4厘米的半圆，再根据圆的面积公式，代入数据计算求解． 【详解】解：由图可知阴影部分是3个半径为4厘米的扇形，它们的圆心角之和等于三角形的内角和， ∴（平方厘米）． 故选：C． 例20．（25-26六年级下·上海宝山·期中）图中两块阴影部分的面积之和为______平方厘米（结果保留）． 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积、不规则图形的面积 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于四分之一圆的面积减去直角边长为10厘米的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：观察图形可知，阴影部分的面积等于四分之一圆的面积减去直角边长为10厘米的等腰直角三角形的面积， 图中两块阴影部分的面积之和为． 例21．（25-26六年级下·上海·期中）求图形中涂色部分的周长与面积．（取3.14） 【答案】周长为，面积为 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】根据扇形的周长与面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知： 涂色部分的周长为； 面积为． 例22．（22-23六年级·上海·暑假作业）如图，正方形边长是10厘米，长方形的长为8厘米，宽为5厘米．阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？    【答案】60平方厘米 【知识点】 组合图形的面积 【分析】阴影部分甲和阴影部分乙的面积差等于正方形的面积减去长方形的面积，从而可得答案． 【详解】解：由 ， 所以阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是（平方厘米） 【点睛】本题考查的是组合图形面积的计算，得出阴影部分甲和阴影部分乙的面积差等于正方形的面积减去长方形的面积是解本题的关键． 变式1．（25-26六年级下·上海·期中）下面有四个图形，正方形大小相等，与左边阴影部分面积相等的有几张图片（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】设正方形的边长为2，则小正方形的边长为1，圆的半径为1，分别求出图中阴影部分的面积，进行判断即可. 【详解】解：设正方形的边长为2，则小正方形的边长为1，圆的半径为1，原图中，阴影部分的面积为正方形的面积减去4个圆的面积，即： ； 图①中，空白部分为一个半圆和两个圆，其面积和为， ∴阴影部分的面积为，与原图相等； 图②中，阴影部分由4个小正方形减去4个圆组成， ∴阴影部分的面积为，与原图相等； 图③中，阴影部分为一个半圆和两个圆， ∴阴影部分的面积为，与原图不相等； 图④中，阴影部分由4个小正方形减去4个圆组成， ∴阴影部分的面积为，与原图相等； 综上所述，与原图阴影部分面积相等的图片共3张. 变式2．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，扇形的半径厘米，，分别以、的中点、为圆心，、为直径作半圆，则圆中阴影部分的面积为_____平方厘米（取）． 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】连接交半圆于点E，连接，则，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交半圆于点E，连接， 则平方厘米． 变式3．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，是正方形和半圆形的组合，点是半圆弧的中点，已知正方形的边长为，则图中阴影部分面积为___________． 【答案】128.5 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】如图所示，连接，根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 所以 平方厘米， 变式4．（2026六年级下·上海·专题练习）求阴影部分面积（结果保留）． 【答案】/ 【知识点】 圆的面积、不规则图形的面积 【分析】观察图形，根据阴影部分的面积正方形的面积圆面积． 【详解】解：， 答：阴影部分面积为． 变式5．（25-26六年级下·上海静安·期中）已知数据如图中标识，点在同一条直线上，是中点，以为圆心，为半径作与平行，与垂直．（取） (1)求阴影部分的周长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】扇形的周长和面积、 圆的面积、 圆的周长、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】（1）先分别求出、的长度，然后数形结合表示出阴影部分的周长，代值计算即可； （2）过点作，分别计算长方形面积、三角形面积和扇形面积，数形结合表示出阴影部分的面积，代值计算即可． 【详解】（1）解：点在同一条直线上，， ， 则，， 阴影部分的周长为； （2）解：过点作，如图所示： 则， ，，，， 图形总面积为， 则阴影部分的面积为 ． 易错点1：混淆半径、直径关系，周长计算漏乘2 错误原因：已知周长求半径时，忘记周长公式含“2π”，直接用周长÷π，导致半径算错。 配套例题：一个圆的周长是18.84cm，求这个圆的半径。 正确解答： 圆的周长公式： 答：圆的半径为3cm。 避错口诀：求半径先除2，直径直接除π。 易错点2：圆的周长、面积公式混用 错误原因：周长是长度（无平方），面积是平面大小（带平方），做题时常代错公式、写错单位。 配套例题：一个圆的直径为8m，分别求出它的周长和面积。 正确解答： 周长： 半径： 面积： 答：周长25.12m，面积50.24m²。 避错口诀：周长乘直径，面积方半径，单位分清有无平方。 易错点3：半圆周长只算弧长，忘记加直径 错误原因：半圆周长≠圆周长的一半，很多学生遗漏直径这条直边，是本章最高频错题。 配套例题：一个半径为4cm的半圆，求它的周长。 正确解答： 半圆弧长： 加上直径： 半圆周长： 答：半圆周长为20.56cm。 避错口诀：半圆周长=半弧+直径，绝对不能只算弧。 易错点4：扇形圆心角占比计算错误，公式乱用 错误原因：不会根据圆心角判断扇形占整圆的比例，计算时约分出错。 配套例题：一个扇形圆心角为60°，半径6cm，求扇形的面积。 正确解答： 扇形面积公式：（n为圆心角度数） 答：扇形面积为18.84cm²。 避错口诀：面积看平方，角度分三百六，先约分再计算。 易错点5：圆环面积内外半径颠倒、不会平方差 错误原因：用内圆减外圆，或忘记平方，直接用半径相减。 配套例题：一个圆环，外圆半径5dm，内圆半径3dm，求圆环面积。 正确解答： 圆环面积公式：（R外半径，r内半径） 答：圆环面积为50.24dm²。 避错口诀：大圆减小圆，先平方再相减。 易错点6：扇形弧长公式误用半径平方 错误原因：混淆弧长和面积公式，弧长是长度，不需要平方。 配套例题：圆心角90°，半径10cm，求扇形的弧长。 正确解答： 扇形弧长公式： 答：弧长为15.7cm。 避错口诀：弧长无平方，面积必平方，两个公式分清。 易错点7：单位不统一，直接代入计算 错误原因：题目单位混搭（米、厘米、分米），未统一单位直接计算，结果全部出错。 配套例题：圆的半径0.3米，求这个圆的面积（结果单位：平方厘米）。 正确解答： 先统一单位： 答：圆的面积为2826cm²。 避错口诀：做题先看单位，不统一先换算。 易错点8：组合图形周长重复计算、遗漏线段 错误原因：分不清周长和面积，组合图形容易多算内部线条、少算外围线条。 配套例题：正方形边长6cm，内部画出最大的圆，求阴影图形的外围总周长。 正确解答： 分析：外围周长=正方形周长+内部最大圆的周长 正方形周长： 圆直径=正方形边长=6cm，圆周长： 总周长： 答：外围总周长为42.84cm。 避错口诀：周长只算外围边线，内部重合线不算，缺线补全、多余删除。 一、圆的半径、直径、周长计算 解题技巧 半径与直径换算公式： 整圆周长公式： 易错重点：半圆周长≠圆周长的一半，半圆周长=，必须加上直径长度，是高频易错点 配套例题 已知圆的半径为4cm，求该圆的周长和半圆的周长。 解题过程： 整圆周长： 半圆周长： 答案：圆周长为，半圆周长为 二、圆的面积计算 解题技巧 圆的面积核心公式： 解题关键：题目给出直径、周长时，先换算求出半径，再代入公式计算，切记是半径的平方，不是直径平方 配套例题 已知圆的直径为10dm，求该圆的面积。 解题过程： 半径： 圆面积： 答案：圆的面积为 三、圆环面积计算 解题技巧 圆环面积=外圆面积-内圆面积，通用公式： 为外圆半径，为内圆半径，可利用平方差公式简便计算，提升解题速度 配套例题 一个圆环，外圆半径6cm，内圆半径3cm，求圆环的面积。 解题过程： 答案：圆环面积为 四、扇形弧长计算 解题技巧 扇形弧长本质：圆心角占360°的比例 × 整圆周长 核心公式：（为扇形圆心角度数，为圆的半径） 配套例题 已知扇形半径6cm，圆心角60°，求扇形的弧长。 解题过程： 答案：扇形弧长为 五、扇形面积计算 解题技巧 扇形面积本质：圆心角占360°的比例 × 整圆面积 核心公式： 可结合弧长公式推导：（已知弧长时可快速计算） 配套例题 已知扇形半径8cm，圆心角90°，求扇形的面积。 解题过程： 答案：扇形面积为 六、扇形周长计算 解题技巧 易错重点：扇形周长≠扇形弧长，完整周长=弧长+两条半径的长度 通用公式： 配套例题 已知扇形半径5cm，圆心角72°，求扇形的周长。 解题过程： 先求弧长： 扇形周长： 答案：扇形周长为 七、圆与扇形组合图形计算（割补法） 解题技巧 核心思路：拆分复杂图形，转化为正方形、长方形、圆、半圆、扇形、圆环等基础图形 常用方法：整体减空白、分割求和、割补平移，通过加减基础图形面积/周长求解阴影部分 配套例题 在边长为8cm的正方形内画一个最大的圆，求正方形内剩余阴影部分的面积。 解题过程： 正方形面积： 最大圆的半径： 圆的面积： 阴影面积： 答案：阴影部分面积为 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $