专题02 圆与扇形（考点清单，4考点梳理+10题型解读）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题02 圆与扇形（考点清单，4考点梳理+10题型解读） 清单01 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 半圆的周长： 清单02 弧长 1.弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． 2、弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 清单03 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积： 清单04 扇形的面积 1.扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． 2.扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 3.同圆中的之间的关系： 【考点题型一】圆的周长（） 【例1】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是圆周长与半径的比值 B．是圆周长与直径的比值 C．是圆面积与半径的比值 D．是圆面积与直径的比值 【变式1-1】（21-22六年级上·上海普陀·期末）如图，从A地到B地，小明沿直径AB上方的半圆走到B地，小丽先沿直径AC下方半圆走到AB上的C地，再沿直径CB下方半圆走到B地，他们走过的路程相比较（    ） A．小明的路程长 B．小丽的路程长 C．两人路程一样 D．无法确定 【变式1-2】（23-24六年级上·上海金山·期末）如图，把一个圆分成若干等份(如图①)，然后把它剪开，按照图②的形状拼起来，拼成图形的周长是厘米，那么原来圆的半径是 厘米． 【变式1-3】（22-23六年级上·上海青浦·期末）已知圆O的半径为r，等边三角形的边长为．如下图，圆O按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． (1)当圆O第一次回到原来位置时，圆O绕圆心滚动了几圈？ (2)当圆O第三次回到原来位置时，圆心O走过的路程是多少？ (3)假设圆O从中点位置开始滚动，当圆心O走过的路程为时停止，问：圆O绕圆心滚动了多少圈？ 【变式1-4】（21-22六年级上·上海青浦·期末）如图，准备在一个广场中心建一个直径为24m的圆形花坛，并将圆形花坛分割成面积相等的四个部分． (1)请你求出花坛中小圆部分的周长； (2)如果在花坛中小圆以外的三个区域内种上不同品种的花卉，已知A品种与B品种的费用之比为：0.5，B品种和C品种的费用之比为2：3，如果购买C品种花卉比购买A品种花卉多花了7000元，那么购买三种花卉总费用多少元？ 【考点题型二】弧、圆心角、扇形的认识（） 【例2】（24-25六年级下·上海闵行·期中）上课时，老师将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形．计算出了圆的周长，小明课下进行了新的拼接，得到一个近似的三角形，则三角形的底边长是（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23六年级上·上海杨浦·期末）一个扇形的面积是其所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角是 度． 【变式2-2】（24-25六年级下·上海青浦·期中）一条弧长12厘米，且这条弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的圆周长是 厘米． 【变式2-3】（21-22六年级上·上海宝山·期末）如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的弧长是它所在的圆的周长的 ． 【变式2-4】（24-25六年级下·上海普陀·期中）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 ． 【考点题型三】求弧长（） 【例3】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为 厘米．（保留） 【变式3-1】（24-25六年级下·上海杨浦·期中）如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米． 求： (1)的长度； (2)扇面的周长． 【考点题型四】 圆的面积（） 【例4】（20-21六年级上·上海松江·期末）如图，有两张边长都是4厘米的正方形纸片上，分别从中剪下一个圆和四个大小相同的小圆，余下的面积分别为S1、S2，则（    ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定 【变式4-1】（20-21六年级上·上海虹口·期末）如图，在直角三角形 ABC中， ABC90°，AB= 20 厘米，BC15厘米，以直角边AB 为直径作半圆，与直角三角形ABC另外两边相交，那么阴影a的面积比阴影b的面积大 平方厘米．（取3.14） 【变式4-2】（22-23六年级上·上海闵行·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积．    【变式4-3】（21-22六年级上·上海杨浦·期末）数学课上，我们通过化曲为直的数学思想，由长方形面积公式推导出圆的面积公式．课后有同学发现，还可以由三角形的面积公式推导出圆的面积公式．这位同学把圆看作由若干根粗细均匀的绳子围成（图1），并沿一条半径将绳子剪断并展开（图2，图3），可以发现如果绳子尽可能的细，所剪得的绳子拼成的图形越接近于一个三角形（图4）． (1)如图4中，近似三角形的底边相当于圆的______，三角形的高相当于圆的______． (2)已知圆的周长为31.4厘米，求这个圆的面积（取3.14）． 【变式4-4】（20-21六年级上·上海虹口·期末）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置（如图），它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． (1)选择某一固定位置安装一个射程为11米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ (2)如果设计如上的正方形轨道，使喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 【考点题型五】圆环的面积（） 【例5】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是 平方厘米．（结果保留） 【变式5-1】（2025六年级下·上海·专题练习）国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外直径分别为8米和10米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（取） 【变式5-2】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米．（保留） 【变式5-3】（2025六年级下·上海·专题练习）计算下图中涂色部分的面积．（单位：） 【变式5-4】（2025六年级下·上海·专题练习）如图，已知一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨架的长是40厘米，扇面宽的长是30厘米，求扇面的面积．（结果保留 【考点题型六】扇形的周长和面积（） 【例6】（21-22六年级上·上海普陀·期末）下列说法正确的有（     ）个 ①圆的周长是直径的倍；         ②圆心角是的两个扇形，它们的面积一样大； ③小圆与大圆的半径之比是1∶2，则它们的面积之比是1∶2； ④半圆形铁片的直径为16，则它的周长为 A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【变式6-1】（22-23六年级上·上海宝山·期末）如图，将边长为6的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为 ． 【变式6-2】（22-23六年级上·上海浦东新·期末）下图是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，圆心角，求此“右转危险区”的面积和周长． 【变式6-3】（22-23六年级上·上海杨浦·期末）汽车上有电动雨刷装置，雨刷刮过的区域是如图所示的阴影部分，雨刷呈扇形摆动的圆心角是108°，弧的长度是18.84厘米，的长度是30厘米． (1)求雨刷刮过的区域的面积； (2)调整雨刷呈扇形摆动的圆心角的度数（其他条件不变），使雨刷刮过的面积达到1570平方厘米，求调整后雨刷呈扇形摆动的圆心角的度数． 【变式6-4】（21-22六年级上·上海金山·期末）如图，下面的爱心图案是由一个正方形和两个半圆组成，其中正方形的边长为20，请计算图中阴影部分的面积是多少？（π取） 【考点题型七】含圆的组合图形的计算（周长和面积）（） 【例7】（24-25六年级下·上海·期中）下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为 ． 【变式7-2】（20-21六年级上·上海普陀·期末）如图，长方形的长和宽分别是24cm和12cm，求图中阴影部分的周长．（两段小弧相等，结果保留） 【变式7-3】（23-24六年级上·上海杨浦·期末）圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线AB无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O、圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，求圆O滚过区域的面积． (4)如图4，长方形的长，宽，点E、F分别在边AB、CD上的点，且，，半径为1cm的圆O在长方形外侧从点E经过点B、C无滑动滚动到点F，求圆O滚过区域的面积． 【考点题型八】组合图形的面积（） 【例8】（20-21六年级上·上海长宁·期末）如图，已知长方形ABCD的长AB＝24cm，宽BC＝10cm． (1)如图1，一个半径为1cm的圆在长方形的内侧，沿着长方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，则圆滚过区域的面积是 cm2； (2)如图2，E、F分别为AB、CD上的点，且AE＝AB，CF：DF＝5：7，一个半径为1cm的圆在长方形的外侧，沿着长方形的边连续地从点E经过点B、C无滑动地滚动到点F，则圆滚过区域的面积是 cm2．（注：本题中π取3.14） 【变式8-1】（22-23六年级上·上海·阶段练习）两圆半径都是2，且图中两个阴影部分面积相等，求的长． 【考点题型九】阴影部分的周长和面积（） 【例9】（20-21六年级上·上海·期末）如图，长方形ABCD的边长AB=4厘米，BC=7厘米，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点F，以D为圆心，DF为半径画弧，交DC于点E，计算图中阴影部分的周长和面积（结果保留） 【变式9-1】（20-21六年级上·上海虹口·期末）如图所示，求图中正方形中阴影部分的周长（取3.14）． 【变式9-2】（21-22六年级上·上海奉贤·期末）顺迈学校准备新建一个花坛，花坛的示意图，如图1所示，它是由5个大小相等的正方形和4个大小相等的扇形组成，每一个小正方形的边长是4米．（π取3） (1)这个花坛的周长是多少米？ (2)这个花坛的面积是多少平方米？ (3)如图2所示，学校准备在花坛里种植花草，其中阴影内种植红色花草，空白部分内种植黄色花草，已知每平方米红色花草的价格为20元，每平方米黄色花草价格的比每平方米红色花草的价格多，求学校购买花草的总费用为多少元？ 【考点题型十】不规则图形的面积（） 【例10】（21-22六年级上·上海闵行·期末）如图：直角三角形ABC中，，，以BC为直径画半圆O，如果阴影甲的面积等于阴影乙的面积，那么AC长为 cm． 【变式10-1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆与扇形（考点清单，4考点梳理+10题型解读） 清单01 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 半圆的周长： 清单02 弧长 1.弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． 2、弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 清单03 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积： 清单04 扇形的面积 1.扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． 2.扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 3.同圆中的之间的关系： 【考点题型一】圆的周长（） 【例1】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是圆周长与半径的比值 B．是圆周长与直径的比值 C．是圆面积与半径的比值 D．是圆面积与直径的比值 【答案】B 【分析】本题考查了圆周率，圆周长的计算公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫作圆周率，用字母“”表示，它是一个无限不循环小数；进而解答即可． 【详解】解：圆的周长和它直径的比值，叫作圆周率，用字母“”表示， 故选：B． 【变式1-1】（21-22六年级上·上海普陀·期末）如图，从A地到B地，小明沿直径AB上方的半圆走到B地，小丽先沿直径AC下方半圆走到AB上的C地，再沿直径CB下方半圆走到B地，他们走过的路程相比较（    ） A．小明的路程长 B．小丽的路程长 C．两人路程一样 D．无法确定 【答案】C 【分析】小明所走的路程长为以AB为直径的半圆弧长，小丽所走的路程长为以AC和BC为直径的两个半圆弧长的和，然后根据圆的周长公式进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：小明所走的路程长， 小丽所走的路程长：， 故他们走过的路程相比较两人路程一样． 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，圆的认识：掌握与圆有关的概念((弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).)，熟记圆的周长公式． 【变式1-2】（23-24六年级上·上海金山·期末）如图，把一个圆分成若干等份(如图①)，然后把它剪开，按照图②的形状拼起来，拼成图形的周长是厘米，那么原来圆的半径是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆的基本概念辨析、圆的周长，解题关键是正确掌握圆的周长公式推导过程． 由题意可知，新图形的周长为原来圆周长与两条圆的半径之和，据此可计算出原来圆的半径． 【详解】解：图②的周长=圆的周长+两条圆的半径， 即， 解得， 故答案为：． 【变式1-3】（22-23六年级上·上海青浦·期末）已知圆O的半径为r，等边三角形的边长为．如下图，圆O按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． (1)当圆O第一次回到原来位置时，圆O绕圆心滚动了几圈？ (2)当圆O第三次回到原来位置时，圆心O走过的路程是多少？ (3)假设圆O从中点位置开始滚动，当圆心O走过的路程为时停止，问：圆O绕圆心滚动了多少圈？ 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）求出圆O的周长和等边三角形的周长即可解得． （2）圆O第三次回到原来位置时，走了三个等边三角形的周长． （3）求除以圆的周长即可解得． 【详解】（1）根据题意可得圆O的周长， ∵等边三角形的边长为， ∴等边三角形的周长为 ∴（圈） 答：圆O绕圆心滚动了3圈． （2）当圆O第三次回到原来位置时， 圆心O走过的路程是， （3）， 答：当圆心O走过的路程为时停止滚了圈． 【点睛】此题考查了圆的周长，解题的关键是熟悉圆的周长公式． 【变式1-4】（21-22六年级上·上海青浦·期末）如图，准备在一个广场中心建一个直径为24m的圆形花坛，并将圆形花坛分割成面积相等的四个部分． (1)请你求出花坛中小圆部分的周长； (2)如果在花坛中小圆以外的三个区域内种上不同品种的花卉，已知A品种与B品种的费用之比为：0.5，B品种和C品种的费用之比为2：3，如果购买C品种花卉比购买A品种花卉多花了7000元，那么购买三种花卉总费用多少元？ 【答案】(1) (2)33000元 【分析】（1）设小圆部分的半径为r，根据花园被分成4个面积相等的部分列出方程，解之即可； （2）根据已知条件求出三种品种费用之比，再用7000除以C比A多的份数，最后乘以总份数即可． 【详解】（1）解：设小圆部分的半径为r， 由题意可得：， 解得：（负值舍去）， ∴花坛中小圆部分的周长为； （2）∵A品种与B品种的费用之比为，即， B品种和C品种的费用之比为， ∴A品种、B品种和C品种的费用之比为， ∵购买C品种花卉比购买A品种花卉多花了7000元， ∴购买三种花卉总费用为：元． 【点睛】本题考查了比的应用，求圆的周长，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 【考点题型二】弧、圆心角、扇形的认识（） 【例2】（24-25六年级下·上海闵行·期中）上课时，老师将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形．计算出了圆的周长，小明课下进行了新的拼接，得到一个近似的三角形，则三角形的底边长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的周长计算，根据将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，求出每一份的弧长为，再根据三角形的底边有4段弧长，求出三角形的底边长即可． 【详解】解：将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，每一份的弧长为， 则三角形的底边长是． 故选：C． 【变式2-1】（22-23六年级上·上海杨浦·期末）一个扇形的面积是其所在圆面积的，那么这个扇形的圆心角是 度． 【答案】120 【分析】设圆心角为，半径为r，利用圆面积以及扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：设圆心角为，半径为r， 由题意：， 解得， 故答案为：120． 【点睛】本题考查扇形的面积计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式2-2】（24-25六年级下·上海青浦·期中）一条弧长12厘米，且这条弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的圆周长是 厘米． 【答案】40 【分析】本题考查求圆的周长，根据弧长和圆周长之间的关系，用12除以弧所对的圆心角所占周角的比例，计算即可． 【详解】解：； 故答案为：40． 【变式2-3】（21-22六年级上·上海宝山·期末）如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的弧长是它所在的圆的周长的 ． 【答案】 【分析】求出扇形的弧长和圆的周长，进而可得结果． 【详解】解：设这个扇形的半径为， 一个扇形的圆心角为, 它所在的圆的周长， 这个扇形的弧长是它所在的圆的周长的比为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，熟练掌握扇形的弧长公式是解本题的关键． 【变式2-4】（24-25六年级下·上海普陀·期中）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形弧长的计算、比例关系的计算，由题意可得较大扇形圆心角为，再结合弧长公式计算即可得解． 【详解】解：∵把一个圆剪成两个扇形，其中较小扇形的圆心角为120度， ∴较大扇形圆心角为， ∵弧长公式为（为圆心角度数）， ∴较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为， 故答案为：． 【考点题型三】求弧长（） 【例3】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为 厘米．（保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了求弧长，画出图形，结合弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由弧长公式可得． ∴三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25六年级下·上海杨浦·期中）如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米． 求： (1)的长度； (2)扇面的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键． （1）根据弧长公式即可求解； （2）先求出，再由弧长公式求出，最后计算周长即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：， 则， ∴扇面的周长为：． 【考点题型四】 圆的面积（） 【例4】（20-21六年级上·上海松江·期末）如图，有两张边长都是4厘米的正方形纸片上，分别从中剪下一个圆和四个大小相同的小圆，余下的面积分别为S1、S2，则（    ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定 【答案】C 【分析】分别计算S1、S2比较大小即可． 【详解】解：S1＝4²﹣π×2²＝16﹣4π， S2＝4²﹣4×π×1²＝16﹣4π， ∴S1＝S2， 故选：C． 【点睛】此题考查圆的面积计算，分别计算圆的面积是解题的关键 【变式4-1】（20-21六年级上·上海虹口·期末）如图，在直角三角形 ABC中， ABC90°，AB= 20 厘米，BC15厘米，以直角边AB 为直径作半圆，与直角三角形ABC另外两边相交，那么阴影a的面积比阴影b的面积大 平方厘米．（取3.14） 【答案】7 【分析】根据圆的面积公式和三角形的面积公式分别求出半圆的面积和△ABC的面积，再相减即可． 【详解】解：∵半圆的面积减去△ABC的面积=阴影a的面积减去阴影b的面积， ∴阴影a的面积减去阴影b的面积=平方厘米， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算和三角形的面积，能根据题意得出半圆的面积减去△ABC的面积=阴影a的面积减去阴影b的面积是解此题的关键． 【变式4-2】（22-23六年级上·上海闵行·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积．    【答案】平方米 【分析】根据图形可得阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆，利用圆的面积公式求解即可得． 【详解】解：因为观赏鱼池是中心对称，且米， 所以阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆， 所以阴影部分的面积为（平方米）， 答：阴影部分的面积为平方米． 【点睛】本题考查了圆的面积，发现阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆是解题关键． 【变式4-3】（21-22六年级上·上海杨浦·期末）数学课上，我们通过化曲为直的数学思想，由长方形面积公式推导出圆的面积公式．课后有同学发现，还可以由三角形的面积公式推导出圆的面积公式．这位同学把圆看作由若干根粗细均匀的绳子围成（图1），并沿一条半径将绳子剪断并展开（图2，图3），可以发现如果绳子尽可能的细，所剪得的绳子拼成的图形越接近于一个三角形（图4）． (1)如图4中，近似三角形的底边相当于圆的______，三角形的高相当于圆的______． (2)已知圆的周长为31.4厘米，求这个圆的面积（取3.14）． 【答案】(1)周长，半径； (2)平方厘米 【分析】（1）根据图形即可得到结论； （2）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：近似三角形的底边相当于圆的周长，三角形的高相当于圆的半径， 故答案为：周长，半径； （2）设圆的半径为r，则， ∴， ∴这个圆的面积（平方厘米）． 【点睛】本题考查了圆的面积的计算，数学常识，正确地识别图形是解题的关键． 【变式4-4】（20-21六年级上·上海虹口·期末）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置（如图），它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． (1)选择某一固定位置安装一个射程为11米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ (2)如果设计如上的正方形轨道，使喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)最大浇灌面积为379.94平方米 (2)最大浇灌面积为1659.94平方米 【分析】（1）利用圆的面积公式，直接求出浇灌面积即可． （2）将所求面积分成一个圆形、一个正方形、4个长方形，求出对应各个图形面积，相加即是所求图形面积． 【详解】（1）（1）（平方米） 答：最大浇灌面积为379.94平方米． （2）（2） （平方米） 答：最大浇灌面积为1659.94平方米． 【点睛】本题主要是考查了面积的求解，熟练掌握各个图形的面积同时，是求解该题的关键． 【考点题型五】圆环的面积（） 【例5】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是 平方厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式．用大圆的面积减去小圆的面积即可得出圆环的面积． 【详解】解：圆环的面积为：（平方厘米）， 故答案为：． 【变式5-1】（2025六年级下·上海·专题练习）国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外直径分别为8米和10米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（取） 【答案】1270 【分析】本题考查圆环面积的计算方法，求出修剪草坪的总面积，即可求出所花费的人工费．掌握圆的面积的计算公式是正确解答的关键． 【详解】解：由题意可得： 修剪草坪的面积为 （平方米）， 因此所用的人工费为（元， 故答案为：1270． 【变式5-2】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米．（保留） 【答案】 【分析】此题主要考查了圆环的面积的计算方法，先根据环宽和“平等圆环”的定义求出内圆的半径，再求出外圆的半径，再根据圆环的面积公式，求出答案即可． 【详解】解：设圆环的内圆的半径为r厘米，则内圆的直径为厘米， 所以圆环的外圆的半径为厘米， ∵环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米， ∴， 解得：， ∴圆环的内圆的半径为5厘米，外圆的半径为10厘米， ∴这个“平等圆环”面积为（平方厘米）， 故答案为：． 【变式5-3】（2025六年级下·上海·专题练习）计算下图中涂色部分的面积．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式，掌握圆环面积求法是解题的关键． 分析图形可知，涂色部分的面积等于一个边长为的正方形面积减去中间圆环的面积；圆环的面积等于半径为的大圆面积减半径为的小圆面积，由圆的面积公式，可以推出圆环的面积为，由此列式可计算． 【详解】解： ， ∴涂色部分的面积 【变式5-4】（2025六年级下·上海·专题练习）如图，已知一把展开的扇子的圆心角是，扇子的骨架的长是40厘米，扇面宽的长是30厘米，求扇面的面积．（结果保留 【答案】平方厘米 【分析】此题考查了扇形的面积公式的实际应用，熟记公式即可解答问题． 根据图形，根据扇形的面积公式，分别求出扇子总面积和扇子骨架的面积，扇面的面积等于扇子的总面积减去扇子骨架的面积，计算求值即可． 【详解】解：根据题意有， （厘米）， 扇子的总面积：， 扇骨的面积：， 扇面的面积：（平方厘米）． 答：扇面的面积是平方厘米． 【考点题型六】扇形的周长和面积（） 【例6】（21-22六年级上·上海普陀·期末）下列说法正确的有（     ）个 ①圆的周长是直径的倍；         ②圆心角是的两个扇形，它们的面积一样大； ③小圆与大圆的半径之比是1∶2，则它们的面积之比是1∶2； ④半圆形铁片的直径为16，则它的周长为 A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由圆的周长公式可判断①，由扇形的含义可判断②，由圆的面积公式可判断③，由半圆形铁片的周长公式可判断④，从而可得答案． 【详解】解：因为，所以圆的周长是直径的倍，①不符合题意； 圆心角是的两个扇形，因为半径不一定一样，它们的面积不一定一样大，②不符合题意； 小圆与大圆的半径之比是1∶2， 所以它们的面积之比是；③不符合题意； 半圆形铁片的直径为16，则它的周长为，④符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查的是圆的周长与面积，扇形的认识，熟悉圆的基本知识是解本题的关键． 【变式6-1】（22-23六年级上·上海宝山·期末）如图，将边长为6的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为 ． 【答案】36 【分析】由正方形的边长为6，可得的长度为12，然后利用扇形的面积公式：，计算即可． 【详解】 解：正方形的边长为6， ， ． 故答案为：36． 【点睛】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是熟记扇形的面积公式 【变式6-2】（22-23六年级上·上海浦东新·期末）下图是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，圆心角，求此“右转危险区”的面积和周长． 【答案】周长为米，面积为平方米 【分析】根据“右转危险区”的周长的长的长．“右转危险区”的面积六边形的面积+，求解即可． 【详解】解：由题意可知，米， “右转危险区”的周长的长的长 米， “右转危险区”的面积六边形的面积+ 平方米． 【点睛】本题考查视点，视角和盲区，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式6-3】（22-23六年级上·上海杨浦·期末）汽车上有电动雨刷装置，雨刷刮过的区域是如图所示的阴影部分，雨刷呈扇形摆动的圆心角是108°，弧的长度是18.84厘米，的长度是30厘米． (1)求雨刷刮过的区域的面积； (2)调整雨刷呈扇形摆动的圆心角的度数（其他条件不变），使雨刷刮过的面积达到1570平方厘米，求调整后雨刷呈扇形摆动的圆心角的度数． 【答案】(1)1413平方厘米 (2) 【分析】（1）根据弧CD的长度是18.84厘米求出OC的长，再用扇形AOB的面积减去扇形COD面积即可； （2）根据扇形的面积公式即可求出圆心角的度数． 【详解】（1）解：∵弧CD的长度是18.84厘米， ∴, ∴OC=10， ∴OA=40， ∴（平方厘米）， 答：雨刷刮过的区域的面积为1413平方厘米； （2）设圆心角为n°， 则, 解得， 答：调整后雨刷呈扇形摆动的圆心角的度数为． 【点睛】此题主要考查了扇形面积和弧长的计算，本题的关键是看出雨刷扫过的面积就是一个大扇形小扇形的面积，然后再从一堆的数据中分出哪些是有用的，哪些是没用的．根据扇形的面积公式计算． 【变式6-4】（21-22六年级上·上海金山·期末）如图，下面的爱心图案是由一个正方形和两个半圆组成，其中正方形的边长为20，请计算图中阴影部分的面积是多少？（π取） 【答案】400 【分析】分别求出正方形的面积，两个半圆的面积，空白部分的面积，再由阴影部分的面积是正方形的面积加两个半圆的面积减去空白部分的面积，即可求解． 【详解】解：， 两个半圆的面积为， 空白部分的面积为， 因为阴影部分的面积是正方形的面积加两个半圆的面积减去空白部分的面积， 所以阴影部分的面积是． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，理解正方形的面积加两个半圆的面积减去空白部分的面积是解题的关键． 【考点题型七】含圆的组合图形的计算（周长和面积）（） 【例7】（24-25六年级下·上海·期中）下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与圆有关的图形的周长，根据图形分别计算各选项中阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：以下计算中，取 A. 阴影部分周长为： B. 阴影部分周长为： C. 阴影部分周长为：     D. 阴影部分周长为： 阴影部分周长最长的是D选项 故选：D 【变式7-1】（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求圆的半径，周长，弧长，长方形的周长等知识，先求出圆的半径，长方形为的长，最后根据阴影部分的周长计算即可． 【详解】解：根据题意， 则圆的半径为：， 圆的面积为：， 长方形的面积为，则长方形的长为： ， 则阴影部分的周长为：， 故答案为：5 【变式7-2】（20-21六年级上·上海普陀·期末）如图，长方形的长和宽分别是24cm和12cm，求图中阴影部分的周长．（两段小弧相等，结果保留） 【答案】阴影部分的周长为（12π+24）cm 【分析】根据弧长公式求出弧BF，弧GH、弧HE的长，再求出FG、BE的长，最后由周长的意义列式计算即可． 【详解】解：解：如图， 由题意得，BC=AD=12cm=CF，AB=CD=24cm，DH=DG=AH=AE=6cm， ∴FG=24-12-6=6（cm），BE=24-6=18（cm）， 弧BF的长为=6π（cm）， 弧GH的长为=3π（cm）， 弧HE的长为=3π（cm）， ∴阴影部分的周长为6+3π+3π+18+6π=（12π+24）cm， 【点睛】本题考查认识平面图形，掌握弧长的计算方法，理解周长的定义是正确解答的关键． 【变式7-3】（23-24六年级上·上海杨浦·期末）圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线AB无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O、圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，求圆O滚过区域的面积． (4)如图4，长方形的长，宽，点E、F分别在边AB、CD上的点，且，，半径为1cm的圆O在长方形外侧从点E经过点B、C无滑动滚动到点F，求圆O滚过区域的面积． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)平方厘米 (4)平方厘米 【分析】本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答； （1）圆心O经过的距离为半径为1厘米的圆的周长； （2）圆心O经过的距离为以为半径的圆的周长； （3）圆O滚过区域的面积为圆的面积加上三个长方形的面积； （4）圆O滚过区域的面积为一个直径为2的圆的面积加上三个长方形和一个直径为2的半圆的面积之和． 【详解】（1）解：（厘米） （2）解：（厘米） （厘米） （3）解：（厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米； （4）解：，， ，， （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米 【考点题型八】组合图形的面积（） 【例8】（20-21六年级上·上海长宁·期末）如图，已知长方形ABCD的长AB＝24cm，宽BC＝10cm． (1)如图1，一个半径为1cm的圆在长方形的内侧，沿着长方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，则圆滚过区域的面积是 cm2； (2)如图2，E、F分别为AB、CD上的点，且AE＝AB，CF：DF＝5：7，一个半径为1cm的圆在长方形的外侧，沿着长方形的边连续地从点E经过点B、C无滑动地滚动到点F，则圆滚过区域的面积是 cm2．（注：本题中π取3.14） 【答案】(1)119.14 (2)85.42 【分析】（l）如图所示，圆滚过的面积＝大长方形的面积一中间白色长方形的面积﹣四个直角处的面积和；四个直角处的面积和＝边长为2厘米的正方形的面积―半径为l的圆的面积，据此解答即可． （2）如图把圆滚过的面积分为7部分，3个长方形，起点、终点分别为两个半圆，两个角处分别为半径为2厘米的；圆；起点、终点加起来正好是一个半径长为1厘米圆的面积；两个角（两条红线之间）面积之和是半径为2厘米的半圆的面积；据此解答即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中， 空白部分的长＝24﹣4＝20（cm），宽＝10﹣4＝6（cm）， ∴阴影部分的面积＝24×10﹣20×6﹣（4﹣π）≈119.14（cm2）． 故答案为：119.14． （2）解：（2）如图2中， 由题意AE＝AB＝6（cm），BE＝24﹣6＝18（cm）， CF＝AB＝10（cm）， ∴阴影部分的面积＝2×（18+10+10）+π+×π×22≈85.42（cm2）． 故答案为：85.42． 【点睛】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式8-1】（22-23六年级上·上海·阶段练习）两圆半径都是2，且图中两个阴影部分面积相等，求的长． 【答案】 【分析】根据图示，长方形的面积等于两个圆的面积加上上面阴影部分的面积，再减去下面阴影部分的面积；然后根据图中两个阴影部分的面积相等，可得长方形的面积等于半径是2的两个圆的面积之和，据此解答即可． 【详解】解：因为图中两个阴影部分面积相等， ∴， 所以， 因为长方形的宽为半径2， 所以长． 【点睛】此题主要考查了圆与组合图形，解答此题的关键是熟练掌握圆的面积的求法，并判断出：长方形的面积等于半径是2的两个圆的面积之和． 【考点题型九】阴影部分的周长和面积（） 【例9】（20-21六年级上·上海·期末）如图，长方形ABCD的边长AB=4厘米，BC=7厘米，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点F，以D为圆心，DF为半径画弧，交DC于点E，计算图中阴影部分的周长和面积（结果保留） 【答案】图中阴影部分的周长为，面积为 【详解】解： 阴影周长=×2×π×4+×2×π×3+7+1=． 阴影面积= 4×7-×π×42-×π×32=． 【点睛】本题考查了长方形的面积公式，扇形的面积以及弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握扇形面积是看扇形占着所在圆的几分之几，弧长的计算是看弧占着所在圆的几分之几． 【变式9-1】（20-21六年级上·上海虹口·期末）如图所示，求图中正方形中阴影部分的周长（取3.14）． 【答案】61.4cm 【分析】根据扇形弧长公式求出直角扇形的弧长等于半径为10cm的圆的周长，直径为10cm的半圆的弧长和正方形三边边长围成的阴影部分． 【详解】解：cm， cm， cm． 答：正方形中阴影部分的周长为61.4cm． 【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的弧长，半圆弧长，掌握圆的周长公式，正方形性质是解题关键． 【变式9-2】（21-22六年级上·上海奉贤·期末）顺迈学校准备新建一个花坛，花坛的示意图，如图1所示，它是由5个大小相等的正方形和4个大小相等的扇形组成，每一个小正方形的边长是4米．（π取3） (1)这个花坛的周长是多少米？ (2)这个花坛的面积是多少平方米？ (3)如图2所示，学校准备在花坛里种植花草，其中阴影内种植红色花草，空白部分内种植黄色花草，已知每平方米红色花草的价格为20元，每平方米黄色花草价格的比每平方米红色花草的价格多，求学校购买花草的总费用为多少元？ 【答案】(1)40米 (2)128平方米 (3)3920元 【分析】（1）花坛的周长等于四个扇形的弧长加上4个正方形的边长； （2）花坛的面积等于5个正方形的面积加上4个扇形的面积； （3）分别求出阴影部分和空白部分的面积，即可得到花费的总费用． 【详解】（1）解：这个花坛的周长＝2π×4＋4×4＝8×3＋16＝40（米）； （2）解：这个花坛的面积＝π×4²＋5×4×4＝48＋80＝128（平方米）； （3）解：，， 阴影部分的面积：， 空白部分的面积：128-60＝68（平方米）， 购买花草的费用为：20×60＋40×68＝3920（元）， 答：学校购买花草的总费用为3920元． 【点睛】本题考查扇形的面积、扇形的弧长，解题的关键是综合运用相关知识解题． 【考点题型十】不规则图形的面积（） 【例10】（21-22六年级上·上海闵行·期末）如图：直角三角形ABC中，，，以BC为直径画半圆O，如果阴影甲的面积等于阴影乙的面积，那么AC长为 cm． 【答案】 【详解】解：如图，标注字母， 而 而 故答案为： 【点睛】本题考查的直角三角形的面积的计算，半圆面积的计算，理解题意推导得到是解本题的关键. 【变式10-1】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了圆的面积，扇形面积，解本题的关键是数形结合． （1）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的一半，进而可知阴影部分面积； （2）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的四分之一，进而可得，即可得到和的数量关系；最后根据，即可求出． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； ， 故答案为：，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$