专题07 解答压轴题（期末真题汇编，河南专用）七年级数学下学期

**基本信息** 河南多地七年级下期末解答压轴题汇编，聚焦几何动态探究、代数综合应用及统计实践，情境贴近生活与科技，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|22道|平行线性质、二元一次方程组、统计图表、动态几何、不等式应用|几何动态探究（如三角尺旋转与平行线角度关系）；生活实际应用（盲盒购买方案选择、水果批发利润计算）；跨学科情境（平面镜反射规律、新能源汽车调查统计）|

命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 专题07解答压轴题 1.(24-25七年级下河南洛阳·期末)如图，直线MNAB，,直角三角尺CDE的顶点C、D分别在直线MN 、AB上（点M、A分别在点C、D的左侧），∠CDE=30·,∠E=90°，MA与ED始终保持平行.设 ∠MAB=x(0°<&<90°) M D 图1 图2 (①)如图①，若∠MCD=100°，则ax的度数为· (2)如图②，∠MCD的平分线交AB于点F, ①若∠MCD=60·,判断CF与MA的位置关系，并说明理由： ②直接写出∠CFD与《之间的数量关系. 2.(24-25七年级下·河南新乡.期末)实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：△ABC和△DEF,其中∠ACB=∠EFD=90°，∠BAC=30°， ∠DEF=45°. M B C N M B D OC(D) Ox A(E)KO P E P O P- 图① 图② 图③ (①)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直 线分别为MN、PQ,AB与DE相交于点O,则∠BOE的大小为 度、 (2)操作二：保持MN、PQ不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在 MN上，点F在PQ上，点A与点E重合，点C与点D重合，若∠NBC=4∠PFA,求∠PFA的度数. (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺ABC绕点B以每秒1·的速度顺时针旋转，同时三角尺DEF绕点 F以每秒4。的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当0≤t≤90时，若边AB与三角板DEF的直角边EF 平行，直接写出所有满足条件的t值. 3.(24-25七年级下·河南南阳期末)【问题背景】 哪吒所在的班级为筹备安全知识竞赛，需购买「灵珠款」与「魔丸款」盲盒作为奖品： 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 某商店在无促销活动时，若购买15个「灵珠 素 款」盲盒、10个「魔丸款」盲盒，需230元 材 购买25个「灵珠款」盲盒、25个「魔丸款」 盲盒，需450元 「灵珠款」 「魔丸款」 该商展迎端午促销活动： 素 线下陈塘关会员活动：激活「陈塘关会员卡」需35元，激活后所有盲盒按标价8折 材 购买（哪吒此前未激活会员）； 2 线上太乙真人云商店：所有盲盒直接9折包邮. 【问题解决】 ()该商店在无促销活动时，「灵珠款」盲盒和「魔丸款」盲盒的销售单价各是多少元？ (2)哪吒计划在促销期间购买「灵珠款」与「魔丸款」盲盒共40个，其中「灵珠款」盲盒m个 (0<m<40).若在线下陈塘关会员活动参与购买，共需要_元：若在线上太乙真人云商店购买，共需要 元.（均用含m的代数式表示） (3)请你帮哪吒算一算，购买「灵珠款」盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 4.(24-25七年级下·河南濮阳·期末)某数学社团的同学们学习了“用统计图描述数据”，尝试解决下面有关 体重的问题： BM1是衡量人体胖瘦的常用指标(BM1=暮)，具体标准如表 BMI(m) 分类（体重） m<18.5 体重过低 18.5≤m<24.0 体重正常 24.0≤m<28.0 超重 m228.0 肥胖 九年级共有600名学生，该社团同学随机抽取了60名学生，测算出这些学生的BMI数据并分别绘制出条形 统计图和扇形统计图，如图所示： 2/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 体重条形统计图 体重扇形统计图 401么数 36 5 10% D A C 25 20 60% 15 9 9 10 6 5 A:过低B:正常 0 体重 体重 超重 肥胖 体重指 C:超重D:肥胖 过低 正常 数类型 请你根据所提供的信息回答下列问题： (①)在上述调查中，总体是_，样本是_ (②)在扇形统计图中，D的圆心角为_度，C所占的百分比为_； (3)九年级共有600名学生，其中体重指数BMI(m)≥24.0的学生人数是多少？针对这些学生，请你提出 一条有关体重管理的建议， 5.(24-25七年级下·河南濮阳·期末)如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线AB外一点P画 CD‖AB的方法. D B B B 图1 图2 图3 图4 P B 图6 P。 B 图7 图8 ()小明的作法：通过折纸的方式. 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对应点B落在AB上，折痕PQ与AB相交于点Q,打开纸 张铺平； 3/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕CD⊥PQ,打开纸张铺平（如图4）； 小明说CD‖AB 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据， 证明：：∠AQB=180°. :∠-=∠PQA=青∠AQB=90°，理由是：（角平分线的定义） :CD⊥PQ, ·∠_=90°，理由是：(_) ÷∠CPQ=∠PQB, ·CD‖AB,理由是：() (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板。 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P,三角板的一边与AB重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P; 第三步：如图7，过点P画直线PS, 小婷说，PS就是过点P平行于AB的一条直线，小婷这样做的理由是() A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”. 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图 6.(24-25七年级下·河南商丘期末)综合与探究： 【知识储备】 构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角 的大小)”，具体来说，要转移角的位直线的平行线”实现 【初步感知】 己知：如图1，直线l1‖l2,点P在直线l112之间，试探究∠A∠APB,∠B三者的数量关系 B 图1 4/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 分析：我们过点P作1的平行线，可以实现“移角”的功能 请你解决这个问题，并说明理由。 【方法应用】 己知：如图2，直线1|12，当点P在直线2下方时，∠A∠APB,∠B三者的数量关系改变吗？若改变，仅 就图2写出新的关系式，并说明理由. B 图2 【拓展探索】 如图3，将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直（∠F=90°）.板绕顶点G转动，过点E作 CD‖AB(点C在E的左侧)，并保持点E在直线AB的上方，在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间 的数量关系，并直接写出结果。 A G B 图3 7.(24-25七年级下·河南南阳·期末)问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 5x+2y 3 2x3y=5 2 解方程组： 42+2=0· 9 4 观察发现： (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错.如果把方程组中的 (5x+2y)看成一个整体，把(2x-3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题 m=9 设5x+2y=m,2x-3y=n,则原方程组可化为 ,解关于m,n的方程组，得n=-4,所 5x+2y=9 以{2x-3y=-4,解方程组，得 3(3x+2y)-2(x-3y)=26 探索猜想：(2)运用上述方法解下列方程组： 2(3x+2y)+3(x-3y)=13· a1X+by=C1.（x=4 拓展延伸：(3)已知关于x,y的二元一次方程组a2x+b2y=c2的解为y=-3,则关于x,y的方 5/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2a1x+3b1y=5c1 程组2a2x+3b2y=5c2的解是 8.(24-25七年级下·河南开封期末)问题情境综合与实践课上，同学们以一副直角三角尺和两条平行线 AB,CD为背景开展数学探究活动， 操作发现如图①，小华把三角尺30°角和90°角的顶点F,E分别放在直线AB,CD上，若∠1=29，则 ∠2= 迁移探究如图②，小红改变三角尺的位置，把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，若∠2：∠1=5：2， 求∠2的度数； 拓展应用如图③，小明把三角尺45°角的顶点F,G分别放在直线AB,CD上，把另一个三角尺60°角的 顶点放在E处，点E为45°角三角尺的直角顶点，即∠MEN=60°，∠FEN与∠MEG的平分线EP,EQ 分别交AB,CD于点P,Q,小明不断改变∠MEG的大小，使EG始终在∠MEN的内部，∠APE+∠CQE 的度数发生变化吗？若不变，请直接写出它的度数；若变化，请说明理由， 4 B B D G D 图① 图② 图③ 9.(24-25七年级下·河南安阳·期末)在二元一次方程组“数学活动”的学习中，小丽同学对二元一次方程 x十y=3的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小丽同学的探究过程补充完整. 5 4 2 -5-4-3-2-101 1.2.3456x -1 -2 3 -5 (1)补全下列表格，使上下每对x,y的值都是方程x十y=3的解. 一1 m 32 3 5 6/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 32 0 n 则表格中的m=-’n=-； (X=-1 (②如果将表中的各组解表示为点的坐标(xy)的形式，例如，方程x+y=3的解y=4 对应的点是 (一1,4).请在所给的平面直角坐标系中依次描出方程x+y=3的五组解所对应的点： (3)观察这些点，猜想方程x+y=3的所有解的对应点所组成的图形是_； (4)若关于x,y的二元一次方程x+y=3,ax+by=1的所有解所组成的图形的交点坐标为(3,0)，则二 【x+y=3 元一次方程组(ax+y=1的解为-， 10.(24-25七年级下河南商丘期末)已知直线1‖12，直线13与l1、12分别交于C、D两点，点P是直线l3上 的一动点， 3 图① 图② (I)如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有 ∠3+∠1=∠2这一相等关系？试说明理由： (2)如图②，当动点P在线段CD之外且在1的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？ 若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 11.(24-25七年级下·河南漯河·期末)数学社团的同学以“两条平行线AB,CD和一块含45°角的直角三 角板EFG(∠EFG=90°，∠FEG=∠FGE=45°)”为主题开展数学活动，己知点E,F中只有一个点 落在直线AB和CD之间. B D CG D 图1 图2 备用图 (1)观察猜想：如图1，把三角板的45°角的顶点E,G分别放在AB,CD上，若∠FGC=100°，则 ∠BEG的度数为 (②)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E 7/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角∠BME=15·,则∠FGC的度数为 (3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在CD上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若 ∠FGC=5∠DGE(0°<∠DGE<36°)，请求出∠DGE的度数 12.(24-25七年级下·河南新乡·期末)如图1，将直角三角形ABC放入平面直角坐标系中，己知点A的坐 标为(a,0),点C的坐标为(b,3),且满足(a+2)+b-2=0. B 1D 图1 图2 (I)a=-,b=-,三角形ABC的面积=-； (2)如图1，AC交y轴于点Q,点Q的坐标为(O,),在y轴上是否存在点P,使得三角形ABC和三角形 QCP的面积相等？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若过B作BD‖AC交y轴于点D,AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,∠ODB+∠OBD=90°，如图2， 请直接写出∠AED的度数. 13.(24-25七年级下河南新乡·期末)综合与实践 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等.如图1，一束光 线AB射向一个水平放置的平面镜后被反射成光线BC,此时∠1=∠2 A B B 4 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若∠1=∠4，请判断光线AB与光线CD是否平 行，并说明理由 (②)露露根据甜甜的实验想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置， 若∠1+∠4=90°，求证：AB‖DE. (3)彬彬利用一块如图4所示的曲面镜做实验，发现从点O处发射的灯光经过反射后都能水平射出，光线 OA反射后的光线为AB,且∠OAB=72°.若一入射光线0C(C是入射光线与曲面镜的交点)反射后的 光线为CD,且∠OCD=40°，直接写出∠A0C的度数 8/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 14.(24-25七年级下·河南周口期末)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，其中苹果和梨的 批发价格与零售价格如下表所示 品种 苹果 梨 批发价（元/千克） 4 3.5 零售价（元/千克） 6 5 (1)若该经营户批发苹果和梨共500千克，用去了1900元.求该经营户批发苹果和梨各多少千克？ (2)若该经营户批发苹果和梨共400千克，假设苹果和梨可以全部售完，苹果和梨的损耗率均为10%，该经 营户要想利润不少于585元，则至少批发苹果多少千克？（其他成本忽略不计） 15.(24-25七年级下·河南省直辖县级单位期末)【课本呈现】 (1)坐标(x,3)中的x分别取-3，-2，-1,0,1,2,3时所表示的点是否在一条 直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与y轴有什么关系？ (2)坐标(3，y)中的y分别取-3，-2，-1,0,1,2,3时所表示的点力争是否 在一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与y轴有什么关系？ 【描点发现】 填空：①当点的纵坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与y轴； ②当点的横坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与y轴， 【应用结论】 如图，在平面直角坐标系内的三角形AB0,已知A(-2,2),B(一2，-4) 图1 图2 (1)如图1，在AB上找一点P,使0P把三角形AOB分成的两部分面积之比为1：2，请直接写出符合条件 的点P的坐标； (2)如图2，点C是y轴正半轴上一点，OM平分∠C0B交AB于M,点D是y轴负半轴上的点，若 ∠BM0=75°，求∠B0D的度数. 9/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 16.(24-25七年级下·河南周口期末)中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯 电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2024年，中国新能源汽车销量 突破1700万辆，连续10年位居全球第一、在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行 了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成有待完成的条形 统计图和扇形统计图.请根据以上信息，解答下列问题： 人数个 30 27 25 氢燃料 油车 10% 20 15 纯电 混动 10 3 0 纯电混动氢燃料油车车型 (1)本次调查活动随机抽取了 (2)请补全条形统计图； (3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； (4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少 人. 17.(24-25七年级下·河南许昌·期末)【问题提出】 如图，已知ABIICD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,FG平分∠EFD交AB于点G. (1)如图1，若∠EGF=25°，则∠AEF的度数是 0 【问题探究】 (2)作EM平分∠GEF,交FG于点M. ①如图2，过点G作GNEM,交直线EF于点N,则∠FEM+∠EFG= o,求证：∠AGN=∠N; ②如图3，点P是ME延长线上的一点，连接FP,若3∠CFP=4∠PFG,直接写出∠PEA与∠PFE之间 的数量关系， 图1 图2 图3 18.(2425七年级下·河南信阳·期末)某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售.同 10/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式. 精包装 简包装 每盒3斤，每盒售价35元 每盒4斤，每盒售价40元 (1)在活动中，学生共卖出了800斤草莓，销售总收入为9000元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ (②)现在需要对80斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这80斤草莓整盒分装完.每个精包 装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元.若要将购买包装盒的成本控制在20元以内，请你设计 出一种符合要求的分装方案，并说明理由. 19.(24-25七年级下·河南许昌期末)如图，AD‖BC,∠BCD的平分线CG交AD于点G. H 备用图 (I)试说明：∠DGC=∠DCG; (2)如图，线段CG上有一点P,满足∠CDP=3∠PDG,过点A作AH‖CG交BC于点H. ①若∠BAH=2∠PDG,试判断AB与AD的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线CG上取一点M,使得∠PDM=∠BAH,直线DM交直线BC于点Q,求 AGC-ZGMC的值， ∠BAH 20.(24-25七年级下·河南许昌期末)使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“调和解”. 例：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0,当x=2时，2x-3=2×2-3=1, x十3=2+3=5>0同时成立，则称x=2”是方程2x-3=1与不等式x+3>0的“调和解” (①)已知三个不等式：①x-青>号，②2(x+3)<4,③号<3，判断方程2x十3=1的解是不等式的_“调 和解”（填序号）； (x=m ∫x>2 2)若{y=n是方程x-2y=4与不等式组y<1的“调和解”，求m十n的取值范围： 12(x+1)>m-1 ⊙)若关于x的方程2x-m=m-2与关于x的不等式号≥2等-2恰有5个“调和解”为整数.求 2 m的取值范围， 21.(24-25七年级下·河南郑州期末)如图，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；其中 11/12 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°.固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时 针方向旋转，记旋转角∠CAE=. D E (I)在旋转过程中，若0·<《<90°，则当BC⊥DE时，《为 度时（请直接写出α值的）： (2)在旋转过程中，若0·<《<180°，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系； (3)在旋转过程中，若90°<《<180°，当△ADE的一边与△ABC的一边平行（不共线）时，x为 度（请直接写出α的值）. 22.（24-25七年级下·河南郑州·期末)在平面直角坐标系中，对于任意三点AB,C的“矩面积”，给出如下 定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积 S=ah.已知：如图，A(2,-1),B(0,3). YA B 备用图 (1)若点C的坐标为（一1，一3），则AB,C三点的水平底”a=3,“铅垂高”h=6,“矩面积”S=ah= ； (2)若点P在y轴上，且AB,P三点的“矩面积”为10，直接写出点P的坐标 (3)点M(m,2m), ①若AB,M三点的“矩面积”为8，求出满足题意的m的取值范围； ②若m>2,直接写出AB,M三点的“矩面积”S的取值范围， 12/12 专题07 解答压轴题 1．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线，直角三角尺的顶点、分别在直线、上（点、分别在点、的左侧），，，与始终保持平行．设       (1)如图①，若，则的度数为_____． (2)如图②，的平分线交于点． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． （1）根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出； （2）①根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，，证明，根据平行线的判定得出，根据平行公理得出答案即可； ②根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，最后根据平行线的性质得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①；理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期末）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为与相交于点O，则的大小为______度． (2)操作二：保持不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数． (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，直接写出所有满足条件的t值． 【答案】(1)105 (2) (3)t的值为20秒或50秒或80秒 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，平行线的判定与性质，正确作出辅助线和分类讨论是解答本题的关键． （1）根据三角形定理求出，再由对顶角相等可得的大小； （2）设，则，过点C作，根据平行线的判定与性质求解即可； （3）分，和三种情况结合平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：105； （2）解：设，则， 过点C作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， 解得， 即， （3）解：①当时，如图，延长交于点H， 根据题意得，， 由条件可知，， ∴， 解得； ②当时，如图，延长交于点R， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， 由条件可知， ∴， 解得； ③当时，如图，延长交于点K，交于点T， 同理可得， 而， ∴， 由条件可知， ∴， 解得， 综上，t的值为20秒或50秒或80秒． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 哪吒所在的班级为筹备安全知识竞赛，需购买「灵珠款」与「魔丸款」盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若购买15个「灵珠款」盲盒、10个「魔丸款」盲盒，需230元．购买25个「灵珠款」盲盒、25个「魔丸款」盲盒，需450元． 素材2 该商展迎端午促销活动： 线下陈塘关会员活动：激活「陈塘关会员卡」需35元，激活后所有盲盒按标价8折购买（哪吒此前未激活会员）； 线上太乙真人云商店：所有盲盒直接9折包邮． 【问题解决】 (1)该商店在无促销活动时，「灵珠款」盲盒和「魔丸款」盲盒的销售单价各是多少元？ (2)哪吒计划在促销期间购买「灵珠款」与「魔丸款」盲盒共40个，其中「灵珠款」盲盒个．若在线下陈塘关会员活动参与购买，共需要 元；若在线上太乙真人云商店购买，共需要 元．（均用含的代数式表示） (3)请你帮哪吒算一算，购买「灵珠款」盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】(1)灵珠款的销售单价为10元，魔丸款的销售单价为8元 (2)； (3)灵珠款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式合算 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，列代数式，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组，代数式和不等式，是解题的关键： （1）设灵珠款的销售单价为元，魔丸款的销售单价为元，根据购买15个「灵珠款」盲盒、10个「魔丸款」盲盒，需230元．购买25个「灵珠款」盲盒、25个「魔丸款」盲盒，需450元，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种促销方式，列出代数式即可； （3）根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设灵珠款的销售单价为元，魔丸款的销售单价为元 由题知，解得 答：灵珠款的销售单价为10元，魔丸款的销售单价为8元． （2）由题意，得：在线下陈塘关会员活动参与购买，共需要元； 在线上太乙真人云商店购买，共需要：元； （3）由题知， 解得：， 又， ， 灵珠款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式合算． 4．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）某数学社团的同学们学习了“用统计图描述数据”，尝试解决下面有关体重的问题： 是衡量人体胖瘦的常用指标（），具体标准如表 分类（体重） 体重过低 体重正常 超重 肥胖 九年级共有600名学生，该社团同学随机抽取了60名学生，测算出这些学生的数据并分别绘制出条形统计图和扇形统计图，如图所示： 请你根据所提供的信息回答下列问题： (1)在上述调查中，总体是 ，样本是 ； (2)在扇形统计图中，D的圆心角为 度，C所占的百分比为 ； (3)九年级共有600名学生，其中体重指数的学生人数是多少？针对这些学生，请你提出一条有关体重管理的建议． 【答案】(1)九年级600名学生的体重（数据）；抽取的60名学生的体重（数据） (2)36， (3)体重指数的九年级学生人数约是150人；建议是加强体育运动，合理调整饮食，管理好自己的体重 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）由总体的概念可得总体；根据题意可得结论． （2）用乘以D的百分比可得D的圆心角，用C的人数除以样本容量可得结论； （2）根据用样本估计总体，用600乘以样本中体重指数的学生人数所占的百分比，即可得出答案． 【详解】（1）解：在上述调查中，总体是600名学生的体重；样本是抽取的60名学生的体重（数据） 故答案为：600名学生的体重；抽取的60名学生的体重（数据） （2）解：D的圆心角度数为； C所占的百分比为 故答案为：36；； （3）解：（人） 即：体重指数的九年级学生人数约是150人； 建议：加强体育运动，合理调整饮食，管理好自己的体重 5．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 小明说． 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据． 证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（ ） ， ，理由是：（ ） (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P； 第三步：如图7，过点P画直线， 小婷说，就是过点P平行于的一条直线，小婷这样做的理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行                B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行                D．两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”． 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图． 【答案】(1)；；垂直的定义；内错角相等，两直线平行 (2)A (3)见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，垂直的定义，平行线的判定方法进行作答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行作答即可； （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线；第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线，即可． 【详解】（1）证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（垂直的定义） ， ，理由是：（内错角相等，两直线平行）； （2）由题意和作图可知：小婷这样做的理由是同位角相等，两直线平行； 故选A． （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线； 第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线； 则就是经过点P且平行于的一条直线． 6．（24-25七年级下·河南商丘·期末）综合与探究： 【知识储备】 构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位直线的平行线”实现． 【初步感知】 已知：如图1，直线，点P在直线之间，试探究三者的数量关系． 分析：我们过点P作的平行线，可以实现“移角”的功能． 请你解决这个问题，并说明理由． 【方法应用】 已知：如图2，直线，当点P在直线下方时，三者的数量关系改变吗？若改变，仅就图2写出新的关系式，并说明理由． 【拓展探索】 如图3，将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直．板绕顶点G转动，过点E作（点C在E的左侧），并保持点E在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并直接写出结果． 【答案】初步感知：，见解析；方法应用：改变，，见解析；拓展探索：当点F在直线与直线之间时，；当点F在直线的上方时，；当点F在直线的下方时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质， 初步感知∶过点P作，则，再证明，进而可得； 方法应用：过点P作，则，再证明，进而可得； 拓展探索∶分三种情况求解：①当点F在直线与直线之间时，②当点F在直线的上方时，③当点F在直线的下方时． 【详解】解：． 理由如下： 过点P作． ， ， ．即． 【方法应用】解： 当点P在下方时，三者的数量关系改变． 新的关系式：．（形式不唯一） 理由如下： 过点P作． ， ， ，， ， ． ， ． 【拓展探索】如图3中，当点F在直线与直线之间时，； 如图4中，当点F在直线的上方时，； 如图5中，当点F在直线的下方时，． 具体分析如下： ①如图3中，当点F在直线与直线之间时，． 理由如下： 过点F作． ， ， ， ， 即． ②如图4中，当点F在直线的上方时，． 理由如下： 过点F作． ， ， ， ，即． ③如图5中，当点F在直线的下方时，． 理由如下： 过点F作． ， ， ， ，即． 7．（24-25七年级下·河南南阳·期末）问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解方程组，得________． 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：． 拓展延伸：（3）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是________． 【答案】（1），；（2）（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案． 【详解】解：（1）设，， 则原方程组可化为，解得 解得 故答案为：，． （2）设，， 则原方程组可化为，解得． 解得． （3）方程组可化为． 关于，的二元一次方程组的解为， 解得． 故答案为： 8．（24-25七年级下·河南开封·期末）问题情境综合与实践课上，同学们以一副直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学探究活动． 操作发现如图①，小华把三角尺角和角的顶点，分别放在直线，上，若，则________； 迁移探究如图②，小红改变三角尺的位置，把三角尺角的顶点放在直线上，若，求的度数； 拓展应用如图③，小明把三角尺角的顶点，分别放在直线，上，把另一个三角尺角的顶点放在处，点为角三角尺的直角顶点，即，与的平分线，分别交，于点，，小明不断改变的大小，使始终在的内部，的度数发生变化吗？若不变，请直接写出它的度数；若变化，请说明理由． 【答案】操作发现：；迁移探究：；拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键． 操作发现：根据平角定义和平行线的性质求解即可； 迁移探究：过点E作，则，根据平行线的性质得到，，进而可得，设,，由求解，进而可求解； 拓展应用：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：操作发现：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：119； 迁移探究：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由设,，则， ∴， 解得， ∴； 拓展应用：不变， 理由如下：过点E作， ， ， 设，则， 、分别平分、 ， ． 9．（24-25七年级下·河南安阳·期末）在二元一次方程组“数学活动”的学习中，小丽同学对二元一次方程的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小丽同学的探究过程补充完整． (1)补全下列表格，使上下每对，的值都是方程的解． 3 5 4 3 0 则表格中的 ， ； (2)如果将表中的各组解表示为点的坐标的形式，例如，方程的解对应的点是．请在所给的平面直角坐标系中依次描出方程的五组解所对应的点； (3)观察这些点，猜想方程的所有解的对应点所组成的图形是 ； (4)若关于，的二元一次方程，的所有解所组成的图形的交点坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 【答案】(1)0， (2)见解析 (3)一条直线 (4) 【分析】（1）根据二元一次方程的表达式，将x，y的解分别代入方程即可得到答案； （2）先写出五个组解得坐标，再标出位置即可； （3）根据点连成的形状可得所有解的对应点所组成的图形是一条直线； （4）根据图象交点可直接得到方程组的解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得， 当，时，， 解得； （2）解：根据题意可得方程的五组解所对应的点是： ，，，，， 描点如下图所示； （3）根据（2）中点的位置可以推算出方程的所有解的对应点所组成的图形是一条直线； （4）解：∵交点坐标为， ∴即是方程的解，也是方程的解， 故的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程的关系是解题的关键． 10．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)不成立，新的结论为，证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用； （1）成立，理由如下：过点P作，利用两直线平行内错角相等得到 ，根据，得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； （2）不成立，新的结论为，理由为：过P作，同理得到 ，根据 ，等量代换即可得证； 【详解】（1）解：成立，理由如下： 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：不成立，新的结论为，理由为： 过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（24-25七年级下·河南漯河·期末）数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（，）”为主题开展数学活动，已知点E，F中只有一个点落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为________； (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E落在和之间，且AB与EF所夹锐角，则的度数为________； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若（），请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线，利用平行线的判定与性质解题是关键． （1）根据平行线的性质直接求解即可； （2）过点E作，根据平行线的性质求得，再证明，求得，即可求得答案； （3）分点E在上方和下方两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：设，则， 当点E在上方时， ， ， 解得， 当点E在下方时， ， ， 解得， 综上所述，的度数为或． 12．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图1，将直角三角形放入平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，且满足． (1) ， ，三角形的面积 ； (2)如图交轴于点，点的坐标为，在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若过作 交轴于点分别平分，如图2，请直接写出的度数． 【答案】(1)，2，6 (2)存在，点的坐标为或 (3)45° 【分析】（1）由，可得，可求，再根据，计算求解即可； （2）设，则，，由，可得，计算求解，然后作答即可； （3）如图2，过点E作，则，，，，由分别平分，可得，由，可得，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴三角形的面积为， 故答案为：-2，2，6． （2）解：存在， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴P点坐标为或． （3）解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，坐标与图形，绝对值方程，平行线的判定与性质，角平分线定义等知识．熟练掌握算术平方根的非负性，坐标与图形，绝对值方程，平行线的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 13．（24-25七年级下·河南新乡·期末）综合与实践 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等．如图1，一束光线AB射向一个水平放置的平面镜后被反射成光线BC，此时 (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置，若，求证： ． (3)彬彬利用一块如图4所示的曲面镜做实验，发现从点O处发射的灯光经过反射后都能水平射出，光线反射后的光线为，且．若一入射光线（C是入射光线与曲面镜的交点）反射后的光线为，且∠，直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据，得出，从而得出，最后根据平行线的判定方法，求出结果即可； （2）根据，求出，根据平行线的判定得出答案即可； （3）分两种情况：当点在点下方时，当点在点上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ∴； （3）解：， ． 分两种情况讨论： ①如图1，当点在点下方时， 此时； ②如图2，当点在点上方时， 此时． 综上所述，的度数为或． 14．（24-25七年级下·河南周口·期末）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，其中苹果和梨的批发价格与零售价格如下表所示． 品种 苹果 梨 批发价（元/千克） 4 3.5 零售价（元/千克） 6 5 (1)若该经营户批发苹果和梨共500千克，用去了1900元．求该经营户批发苹果和梨各多少千克？ (2)若该经营户批发苹果和梨共400千克，假设苹果和梨可以全部售完，苹果和梨的损耗率均为，该经营户要想利润不少于585元，则至少批发苹果多少千克？（其他成本忽略不计） 【答案】(1)苹果300千克，梨200千克 (2)100千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设批发苹果千克，梨千克，根据题意列出方程组求解即可； （2）设批发苹果千克，则批发梨千克，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）设批发苹果千克，梨千克， 由题意，得 解得 答：该经营户批发苹果300千克，梨200千克． （2）设批发苹果千克，则批发梨千克， 由题意得，， 解得， 答：该经营户至少批发苹果100千克． 15．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）【课本呈现】 （1）坐标中的分别取，，，，，，时所表示的点是否在一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与轴有什么关系？ （2）坐标中的分别取，，，，，，时所表示的点力争是否在一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与轴有什么关系？ 【描点发现】 填空：①当点的纵坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴_____； ②当点的横坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴_____． 【应用结论】 如图，在平面直角坐标系内的三角形，已知， （1）如图1，在上找一点，使把三角形分成的两部分面积之比为，请直接写出符合条件的点的坐标； （2）如图2，点是轴正半轴上一点，平分交于，点是轴负半轴上的点，若，求的度数． 【答案】[描点发现] ①垂直；②平行 [应用结论] （1）或；（2） 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行线的性质，角平分线以及邻补角的定义． [描点发现]①根据纵坐标均为3，可知x取不同值之后所得的点均在一条平行于x轴的直线上，据此可解； ②根据横坐标均为3，可知y取不同值之后所得的点均在垂直于x轴的直线上，据此可解． [应用结论] （1）先求得，根据题意可得或，结合坐标系，即可求解； （2）根据题意可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义得出，进而根据领补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图： [描点法写] 填空：①当点的纵坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴垂直； 故答案为：垂直． ②当点的横坐标相同时，这些点在同一条直线上，这条直线与轴平行． 故答案为：平行． [应用结论] （1）解：∵，， ∴轴，， ∵在上找一点，使把三角形分成的两部分面积之比为， ∴或， ∴或， ∵， ∴或； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·河南周口·期末）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2024年，中国新能源汽车销量突破1700万辆，连续10年位居全球第一、在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动每人限选其中一种类型，并将数据整理后，绘制成有待完成的条形统计图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动随机抽取了___________人； (2)请补全条形统计图； (3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； (4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源纯电、混动、氢燃料汽车的有多少人． 【答案】(1)50 (2)图见解析 (3) (4)3600人 【分析】（1）用喜欢油车的人数除以所占的百分比即得调查人数； （2）求出喜欢“混动”人数，补全条形图； （3）用乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源车所占的百分比即可求解． 本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：本次调查活动随机抽取的人数为：人， 故答案为：50； （2）解：喜欢混动的人数为：人， 补全条形统计图如下： （3）解：， 答：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； （4）解：人， 估计喜欢新能源纯电、混动、氢燃料汽车的有3600人． 17．（24-25七年级下·河南许昌·期末）【问题提出】 如图，已知，直线分别交，于点E，F，平分交于点G． （1）如图1，若，则的度数是______． 【问题探究】 （2）作平分，交于点M． ①如图2，过点G作，交直线于点N，则______，求证：； ②如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）50；（2）①90，见解析；② 【分析】本题考查了平行线性质和判定，角平分线性质，结合图形进行分析是解题的关键． （1）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质即可得到，即可解题； （2）①利用角平分线性质得到，根据平行线的性质可得，即可得证． ②利用角平分线性质得到，进而可得，根据，设，设，根据平行线的性质可得，得出，根据得出，两式消去，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， 由角平分线定义可知， ， ， 故答案为：． （2）①证明： ∵平分， ， ， ∴， ∴； ， ， ； ②由角平分线定义可知， ， ∴， ∴， ∵， 设，设， ， ， ， 即， ， 又 ∵， 代入得，， ， 即． 18．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 精包装 简包装 每盒3斤，每盒售价35元 每盒4斤，每盒售价40元 (1)在活动中，学生共卖出了800斤草莓，销售总收入为9000元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ (2)现在需要对80斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这80斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在20元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】(1)精包装销售了200盒，简包装销售了50盒 (2)方案1：分装成4盒精包装，17盒简包装；方案2：分装成8盒精包装，14盒简包装．方案3：分装成12盒精包装，11盒简包装；方案4：分装成16盒精包装，8盒简包装，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设精包装销售了盒，简包装销售了盒，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）设可以分装成盒精包装，则分装成盒简包装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设精包装销售了盒，简包装销售了盒， 根据题意得：， 解得：． 答：精包装销售了200盒，简包装销售了50盒； （2）解：设可以分装成盒精包装，则分装成盒简包装， 根据题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 时，， 分装成4盒精包装，17盒简包装，成本为元，符合题意． 答：可分装成4盒精包装，17盒简包装． 19．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，试判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质几何角平分线的定义即可说明结论； （2）①，则，，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义得到，由（1）可知，最后根据，推出，进而得到，即可得到结论；②由①得，求出，过点M作，则，然后分当点M在线段上时，当点M在线段的延长线上时，分情况分别求得即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， 又平分， ， ． （2）解：①，理由如下： 设， ，， ，，， ， ， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ． ②同①设，则， ， 过点M作，则， 当点M在线段上时，如图所示， ， ， ， ， ， ， ； 当点M在线段的延长线上时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 20．（24-25七年级下·河南许昌·期末）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“调和解”． (1)已知三个不等式：①，②，③，判断方程的解是不等式的 “调和解”（填序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有5个“调和解”为整数．求m的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】本题考查了“调和解”，解一元一次不等式组，一元一次方程，二元一次方程的解，理解“调和解”的定义式解题的关键． （1）根据“调和解”的定义判断即可； （2）由题意可知，，，那么，推出，得到的范围，然后推出的范围，最后得出答案； （3）先解得，然后解不等式组，得到，将代入，解不等式，另根据恰有5个“调和解”为整数，得到这5个“调和解”为7，6，5，4，3，从而得到，最后得到的范围． 【详解】（1）解： ， ， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； 那么方程的解是不等式的“调和解”， 故答案为：③； （2）解： 是方程与不等式组的“调和解”， ，， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 关于x的方程与关于x的不等式恰有5个“调和解”为整数，， 这5个“调和解”为7，6，5，4，3， ， ， ， ． 21．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)在旋转过程中，若，则当时，为_______度时（请直接写出值的）： (2)在旋转过程中，若，试探究与之间的数量关系； (3)在旋转过程中，若，当的一边与的一边平行（不共线）时，为_______度（请直接写出的值）． 【答案】(1) (2)当时，，当时，，当时，° (3)，， 【分析】本题考查了旋转的性质，三角尺中角度的计算，平行线的性质，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏． （1）根据题意得出，然后根据平行线的性质可得，根据即可求解； （2）设∠，，在旋转过程中，分当＜时，当＜时，当时，三种情况根据平行线的性质即可求解； （3）根据题意，分①当 时，②当 时，③当 时，分别作出图形，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）设：，， ①如图，当时， ，， 故； 即° ②当时，如图 ，即 ③当，如图 ∴ ∴即° ④当时，如图 ∴ ∴即° 综上所述，当时，，当时，，当时， （3）①如图 当 时，， ②当 时，， ③当 时，， 综上所述，或或 故答案为：，，． 22．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，，． (1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”___________； (2)若点在轴上，且三点的“矩面积”为10，直接写出点的坐标___________； (3)点， ①若三点的“矩面积”为8，求出满足题意的的取值范围； ②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围． 【答案】(1)18 (2)或 (3)①② 【分析】（1）利用公式直接求解即可； （2）首先由题意：，然后分别从①当时，，当时，，去分析求解即可求得答案； （3）①由三点的“矩面积”为8，当时，满足条件，求得的值即可 ②由，分析可得，，则可得， 由的范围即可求得S的取值范围． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）由题意：， 当时，，如图， 则， ； 当时，，如图， 则， ； 当时，，如图， 此时，不合题意； 故答案为：或； （3）①    当时，，如图， 此时三点的“矩面积”为8， 由， 得， 检验：当取其他值时，皆不满足三点的“矩面积”为8， 故； ②若，则x坐标最小值为0，最大值为m，如图， ； ∵m > 2，得2m > 4，y坐标最大值2m、最小值−1， ， ∴， 当m从2往大处变化时，从大于10开始增大， 故S的取值范围为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $