精品解析：辽宁锦州市某校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题教师：高一备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 2. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 16 B. 17 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知分别求出，进而可得，即可得. 【详解】由题设， 又，，则， 所以. 故选：B 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，则，解得， 4. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（ ） A. 甲队获胜的概率为 B. 乙队以3：0获胜的概率为 C. 乙队以3：1获胜的概率为 D. 乙队以3：2获胜的概率为 【答案】AB 【解析】 【分析】由概率的乘法公式对选项逐一判断， 【详解】对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确； 对于B，乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确； 对于C，乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误； 对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3：2获胜的概率为，故D错误． 故选：AB 5. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图像，可得函数在和上为正，在为负，再根据函数的单调性，可得在上为负，在为正，又 ，逐项判断即可. 【详解】由，得， 由图像可知， 当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 又当，，当时，，当，， 所以当，，，即， 当，，，即， 综上所述，的解集为，故A正确. 故选：A 6. 高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用 表示男生被选中的人数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法1；由事件与事件互为对立事件，求出，即可求出； 解法2：由题可得，直接利用概率公式求解即可. 【详解】解法1：因为事件与事件互为对立事件，而， 所以（直接法求解较复杂时，考虑用间接法）． 解法2：由题意可知 的可能取值为0，1，2，3，，， ，则． 故选：B 7. 已知数列的前项和为，，且满足，已知， ，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由1，得1，利用等差数列的通项公式可得：an＝（2n﹣5）（n﹣6），当且仅当3≤n≤5时，an＜0．即可得出结论． 【详解】由1，即1，5． ∴数列{}为等差数列，首项为﹣5，公差为1． ∴5+n﹣1，可得：an＝（2n﹣5）（n﹣6）， 当且仅当3≤n≤5时，an＜0． 已知n，m∈，n＞m， 则Sn﹣Sm的最小值为＝﹣3﹣6﹣5＝﹣14． 故选A． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为 ，则当取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当 时，取得最大值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 的公差 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列前项和结合等差数列的性质由，可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由，由于，故，因此，A正确， ，B错误， ，C错误， 由于，故，故是中最大的先，故，D正确， 故选：AD 10. 小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为 ，若成等差数列，则（ ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A. 变量x与y的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，y的预测值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归分析以及回归方程的性质必过点即可判断AB，利用残差的定义和回归方程预测即可判断CD. 【详解】由表格中的数据可计算平均数：， ， 又因为成等差数列，所以，则， 根据经验回归方程为 必过点， 则，解得,故B正确； 由于经验回归方程为 是递增的一次函数，所以两个变量是正相关， 则样本相关系数，故A错误； 当时，，所以残差为，故C正确； 当时，，所以y的预测值为，故D正确； 故选：BCD． 11. 已知函数，则（ ） A. 的零点之和为3 B. 的图象关于点对称 C. 曲线不存在倾斜角为的切线 D. 曲线在处的切线的斜率为432 【答案】BCD 【解析】 【分析】先因式分解，然后判断二次函数的零点，即可判断A；化简，即可判断B；求导函数范围，即可判断C；设，然后把函数转化成，求导即可判断D. 【详解】因为， 其中，， 所以只有一个零点， 所以零点之和为0，故A错误． 因为， 所以的图象关于点对称，故B正确． 因为， 所以曲线不存在倾斜角为的切线，故C正确． 设， 则， 则， 所以，故D正确． 故选: BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 位于坐标原点的一个质点 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点 移动五次后位于点的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】可判断出质点需向右移动次，向上移动 次，从而利用二项分布求得概率. 【详解】质点移动五次后，位于点处，则需向右移动次，向上移动 次 则所求概率 本题正确结果： 【点睛】本题考查二项分布的应用问题，属于基础题. 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【详解】由函数在上单调递减， 得，， 而当时，， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【解析】 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式； （2）先求出数列的通项，裂项后求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由条件可知， 解得，， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以数列的前项和为. 16. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【小问1详解】 依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知数列中， ，，，等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等差数列，并求数列的前项和. 【答案】（1）.（2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，分别将代入求得，代入求得，即可求得数列的公比，进而得数列的通项公式. （2）将数列的通项公式代入递推公式，化简变形后可求得为常数，即可证明数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得数列的通项公式，由错位相减法及分组求和法即可求得数列的前项和. 【详解】（1）等比数列满足， 所以，得 ， ，得， 所以等比数列的公比为， 故其通项公式为 （2）证明：由（1）可知：，即， 所以， 又 所以数列是首项是1，公差为1的等差数列， 故，所以 令 【点睛】本题考查了由递推公式求等比数列通项公式，等差数列定义与证明，错位相减法与分组求和法的综合应用，属于中档题. 18. 已知． （1）若，求函数的极值； （2）若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值；无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，根据导函数分析函数的单调性确定极值点，即可求函数的极值； （2）问题转化为在上有解，通过参变分离求最值，进而得到的范围． 【小问1详解】 时，定义域为， ，， 令解得. 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以在时，函数取得极小值；无极大值. 【小问2详解】 因为存在单调递增区间，所以在上有解. 由，得， ∵，当且仅当时取等号. ∴，即， 所以实数的取值范围是. 19. 雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩 近似服从正态分布 ,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过 分的人数为，求随机变量的数学期望. （2）现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为. （i）求该同学第二关通过的概率； （ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时， 恒成立，求M的最小值. 附：若随机变量 服从正态分布 则 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，求出，进而可得 ，从而有 ，再利用二项分步的期望计算公式，即可求解； （2）（i）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求解；（ii）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，得，进而得到，再分为奇偶，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 则，所以 ， 由题知 ，所以 . 【小问2详解】 （i）由题知，甲同学第一关通过的概率为，即 所以第二关通过的概率为. （ii）记甲同学第 关通过为事件A， 依题意有， 当时， ， 所以 ， 所以， 所以，又因为，则 ， 所以数列是首项为， 公比为的等比数列， 所以， 当为奇数时，， 则随着的增大而减小，所以， 当为偶数时，， 又，所以 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题教师：高一备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. 16 B. 17 C. 20 D. 21 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 4. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（ ） A. 甲队获胜的概率为 B. 乙队以3：0获胜的概率为 C. 乙队以3：1获胜的概率为 D. 乙队以3：2获胜的概率为 5. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用 表示男生被选中的人数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，，且满足，已知， ，则的最小值为 A. B. C. D. 8. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为 ，则当取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 的公差 B. C. D. 10. 小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为 ，若成等差数列，则（ ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A. 变量x与y的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，y的预测值为 11. 已知函数，则（ ） A. 的零点之和为3 B. 的图象关于点对称 C. 曲线不存在倾斜角为的切线 D. 曲线在处的切线的斜率为432 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 位于坐标原点的一个质点 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点 移动五次后位于点的概率是________． 13. 已知函数在上单调递减，则实数 的取值范围为_____ 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值． 17. 已知数列中， ，，，等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等差数列，并求数列的前项和. 18. 已知． （1）若，求函数的极值； （2）若存在单调递增区间，求实数的取值范围． 19. 雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩 近似服从正态分布 ,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过 分的人数为，求随机变量的数学期望. （2）现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为. （i）求该同学第二关通过的概率； （ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时， 恒成立，求M的最小值. 附：若随机变量 服从正态分布 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $